Группа лиева типа

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальный ортогональный SO ( n ) Унитарный U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математике , в частности , в теории групп , фраза группа типа Ли обычно относится к конечным группам , которые тесно связаны с группой рациональных точек одного восстановительной линейной алгебраической группы со значениями в конечном поле . Группа фраз лиева типа не имеет общепринятого точного определения ^[1], но важный набор конечных простых групп лиева типа имеет точное определение, и они составляют большинство групп в классификации конечных простых групп. .

Название «группы лиева типа» связано с тесной связью с (бесконечными) группами Ли , поскольку компактная группа Ли может рассматриваться как рациональные точки редуктивной линейной алгебраической группы над полем действительных чисел . Дьедонне (1971) и Картер (1989) являются стандартными справочниками для групп лиева типа.

Классические группы [ править ]

Первоначальный подход к этому вопросу был определение и детальное изучение так называемых классических групп над конечными и другими областями по Иордании (1870) . Эти группы изучали Л. Е. Диксон и Жан Дьедонне . Эмиль Артин исследовал порядки таких групп с целью классификации случаев совпадения.

Классическая группа - это, грубо говоря, специальная линейная , ортогональная , симплектическая или унитарная группа . Есть несколько незначительных их вариаций, которые задаются производными подгруппами или центральными факторами , последние дают проективные линейные группы . Их можно построить над конечными полями (или любым другим полем) почти так же, как они построены над действительными числами. Им соответствуют серии A _n , B _n , C _n , D _n , ² A _n , ² D _n групп Шевалле и Штейнберга.

Группы Шевалле [ править ]

Группы Шевалле можно рассматривать как группы Ли над конечными полями. Теория была прояснена теорией алгебраических групп и работой Шевалле  ( 1955 ) по алгебрам Ли, с помощью которой было выделено понятие группы Шевалле . Шевалле построил базис Шевалле (своего рода интегральную форму, но над конечными полями) для всех сложных простых алгебр Ли (или, скорее, их универсальных обертывающих алгебр ), который можно использовать для определения соответствующих алгебраических групп над целыми числами. В частности, он мог брать свои точки со значениями в любом конечном поле. Для алгебр Ли A _n , B _n , C_n , D _n это дало хорошо известные классические группы, но его конструкция также дала группы, связанные с исключительными алгебрами Ли E ₆ , E ₇ , E ₈ , F ₄ и G ₂ . Группы типа G ₂ (иногда называемые группами Диксона ) уже были построены Диксоном (1905) , а группы типа E ₆ - Диксоном (1901) .

Группы Стейнберга [ править ]

Конструкция Шевалле не дала всех известных классических групп: она опустила унитарные группы и нерасщепляемые ортогональные группы . Стейнберг (1959) нашел модификацию конструкции Шевалле, которая дала этим группам и двум новым семействам ³ D ₄ , ² E ₆ , второе из которых было открыто примерно в то же время с другой точки зрения Титсом (1958) . Эта конструкция обобщает обычную конструкцию унитарной группы из общей линейной группы.

Унитарная группа возникает следующим образом: общая линейная группа над комплексными числами имеет автоморфизм диаграммы, заданный обращением диаграммы Дынкина A _n (что соответствует взятию транспонированного инверсного), и полевой автоморфизм, заданный комплексным сопряжением , которые коммутируют. Унитарная группа - это группа неподвижных точек произведения этих двух автоморфизмов.

Точно так же многие группы Шевалле имеют диаграммные автоморфизмы, индуцированные автоморфизмами их диаграмм Дынкина , и полевые автоморфизмы, индуцированные автоморфизмами конечного поля. Аналогично унитарному случаю Стейнберг построил семейства групп, взяв неподвижные точки произведения диаграммы и полевого автоморфизма.

Они дали:

• в унитарных группах ² А _п , от порядка 2 автоморфизма _п ;
• дальнейшие ортогональные группы ² D _n из автоморфизма порядка 2 группы D _n ;
• новая серия 2 E 6 , из автоморфизма порядка 2 E ₆ ;
• новая серия 3 D 4 , из автоморфизма порядка 3 группы D ₄ .

Группы типа ³ D _{4 не} имеют аналога над действительными числами, поскольку комплексные числа не имеют автоморфизма порядка 3. ^{[ требуется пояснение ]} Симметрии диаграммы D ₄ также приводят к тройственности .

Группы Сузуки – Ри [ править ]

Судзуки  ( 1960 ) обнаружил новую бесконечную серию групп, которые на первый взгляд казались не связанными с известными алгебраическими группами. Ри  ( 1960 , 1961 ) знал, что алгебраическая группа B ₂ имеет «лишний» автоморфизм в характеристике 2, квадрат которого является автоморфизмом Фробениуса . Он обнаружил, что если конечное поле характеристики 2 также имеет автоморфизм, квадрат которого является отображением Фробениуса, то аналог конструкции Стейнберга дает группы Судзуки. Поля с таким автоморфизмом - это поля порядка 2 ^{2 n +1} , а соответствующие группы - это группы Сузуки

² В ₂ (2 ^{2 n +1} ) = Suz (2 ^{2 n +1} ).

(Строго говоря, группа Suz (2) не считается группой Судзуки, поскольку она непроста: это группа Фробениуса порядка 20.) Ри удалось найти два новых подобных семейства.

² Ж ₄ (2 ^{2 п +1} )

и

² G ₂ (3 ^{2 n +1} )

простых групп, используя тот факт, что F ₄ и G ₂ имеют дополнительные автоморфизмы в характеристиках 2 и 3. (Грубо говоря, в характеристике p можно игнорировать стрелку на связях кратности p в диаграмме Дынкина при взятии диаграммных автоморфизмов. ) Наименьшая группа ² F ₄ (2) типа ² F ₄ не проста, но имеет простую подгруппу индекса 2, называемую группой Титса (названной в честь математика Жака Титса ). Наименьшая группа ² G ₂ (3) типа ² G ₂не простой, но он имеет простую нормальную подгруппу индекса 3, изоморфную A ₁ (8). В классификации конечных простых групп группы Ри

² G ₂ (3 ^{2 n +1} )

- это те, чью структуру труднее всего определить в явном виде. Эти группы также сыграли роль в открытии первой современной спорадической группы. У них есть централизаторы инволюции вида Z / 2 Z × PSL (2, q ) при q = 3 ⁿ , и, исследуя группы с централизатором инволюции аналогичного вида Z / 2 Z × PSL (2, 5) Янко нашел спорадическая группа  J 1 .

Группы Сузуки - единственные конечные неабелевы простые группы с порядком, не кратным 3. Они имеют порядок 2 ^{2 (2 n +1)} (2 ^{2 (2 n +1)} + 1) (2 ^{(2 n +1)} - 1).

Отношения с конечными простыми группами [ править ]

Конечные группы лиева типа были среди первых групп, которые стали рассматриваться в математике после циклических , симметрических и знакопеременных групп, с проективными специальными линейными группами над простыми конечными полями, PSL (2, p ), построенными Эваристом Галуа в 1830-х годах. Систематическое исследование конечных групп лиева типа началось с теоремы Камиллы Жордана о том, что проективная специальная линейная группа PSL (2, q ) проста при q ≠ 2, 3. Эта теорема обобщается на проективные группы более высоких размерностей и дает важный бесконечное семейство PSL ( n , q) конечных простых групп . Другие классические группы изучал Леонард Диксон в начале 20 века. В 1950-х годах Клод Шевалле понял, что после соответствующей переформулировки многие теоремы о полупростых группах Ли допускают аналоги для алгебраических групп над произвольным полем k , что привело к построению того, что сейчас называется группами Шевалле . Более того, как и в случае компактных простых групп Ли, соответствующие группы оказались почти простыми, как абстрактные группы ( теорема Титса о простоте ). Хотя с 19 века было известно, что существуют и другие конечные простые группы (например, группы Матье), постепенно сформировалось убеждение, что почти все конечные простые группы могут быть объяснены соответствующими расширениями конструкции Шевалле вместе с циклическими и знакопеременными группами. Более того, исключения, спорадические группы , имеют много общих свойств с конечными группами лиева типа и, в частности, могут быть построены и охарактеризованы на основе их геометрии в смысле Титса.

Вера теперь превратилась в теорему - классификацию конечных простых групп . Изучение списка конечных простых групп показывает, что группы лиева типа над конечным полем включают все конечные простые группы, кроме циклических, знакопеременных групп, группы Титса и 26 спорадических простых групп .

Малые группы лиева типа [ править ]

В общем случае конечная группа, ассоциированная с эндоморфизмом односвязной простой алгебраической группы, является универсальным центральным расширением простой группы, поэтому она совершенна и имеет тривиальный множитель Шура . Однако некоторые из самых маленьких групп в перечисленных выше семьях либо несовершенны, либо имеют множитель Шура больше, чем «ожидаемый».

Случаи, когда группа не идеальна, включают:

• A ₁ (2) = SL (2, 2) Разрешаемая порядка 6 (симметрическая группа по 3 точкам)
• A ₁ (3) = SL (2, 3) Решаемая порядка 24 (двойное покрытие знакопеременной группы по 4 точкам)
• ² A ₂ (4) Решаемая
• B ₂ (2) Не идеальна, но изоморфна симметрической группе в 6 точках, поэтому ее производная подгруппа имеет индекс 2 и проста порядка 360.
• ² B ₂ (2) = Suz (2) Разрешаемая порядка 20 (группа Фробениуса)
• ² F ₄ (2) Не идеально, но производная группа имеет индекс 2 и является простой группой Титса .
• G ₂ (2) Не идеально, но производная группа имеет индекс 2 и проста порядка 6048.
• ² G ₂ (3) Не идеально, но производная группа имеет индекс 3 и является простой группой порядка 504.

Вот некоторые случаи, когда группа идеальна, но множитель Шура больше ожидаемого:

• A ₁ (4) У множителя Шура есть дополнительное Z / 2 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 2 вместо 1.
• A ₁ (9) У множителя Шура есть дополнительное Z / 3 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 6 вместо 2.
• A ₂ (2) У множителя Шура есть дополнительное Z / 2 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 2 вместо 1.
• A ₂ (4) У множителя Шура есть дополнительные Z / 4 Z × Z / 4 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 48 вместо 3.
• A ₃ (2) У множителя Шура есть дополнительное Z / 2 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 2 вместо 1.
• B ₃ (2) = C ₃ (2) У множителя Шура есть дополнительное Z / 2 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 2 вместо 1.
• B ₃ (3) У множителя Шура есть дополнительное Z / 3 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 6 вместо 2.
• D ₄ (2) У множителя Шура есть лишнее Z / 2 Z × Z / 2 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 4 вместо 1.
• F ₄ (2) У множителя Шура есть дополнительное Z / 2 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 2 вместо 1.
• G ₂ (3) У множителя Шура есть дополнительное Z / 3 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 3 вместо 1.
• G ₂ (4) У множителя Шура есть дополнительное Z / 2 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 2 вместо 1.
• ² A ₃ (4) У множителя Шура есть дополнительное Z / 2 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 2 вместо 1.
• ² A ₃ (9) У множителя Шура есть лишнее Z / 3 Z × Z / 3 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 36 вместо 4.
• ² A ₅ (4) У множителя Шура есть лишнее Z / 2 Z × Z / 2 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 12 вместо 3.
• ² E ₆ (4) У множителя Шура есть лишнее Z / 2 Z × Z / 2 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 12 вместо 3.
• ² B ₂ (8) У множителя Шура есть лишнее Z / 2 Z × Z / 2 Z , поэтому множитель Шура простой группы имеет порядок 4 вместо 1.

Существует поразительное количество «случайных» изоморфизмов между различными малыми группами лиева типа (и знакопеременными группами). Например, группы SL (2, 4), PSL (2, 5) и знакопеременная группа в 5 точках изоморфны.

Полный список этих исключений см. В списке конечных простых групп . Многие из этих особых свойств связаны с некоторыми спорадическими простыми группами.

Чередующиеся группы иногда ведут себя так, как если бы они были группами лиева типа над полем с одним элементом . Некоторые из малых альтернированных групп также обладают исключительными свойствами. Чередующиеся группы обычно имеют группу внешних автоморфизмов порядка 2, но знакопеременные группы в 6 точках имеют группу внешних автоморфизмов порядка 4 . Чередующиеся группы обычно имеют множитель Шура порядка 2, но группы с 6 или 7 точками имеют множитель Шура порядка 6 .

Проблемы с обозначениями [ править ]

Стандартных обозначений для конечных групп лиева типа не существует, а в литературе есть десятки несовместимых и запутанных систем обозначений для них.

• Простая группа PSL ( n , q ) обычно не совпадает с группой PSL ( n , F _q ) F _q -значных точек алгебраической группы PSL ( n ). Проблема в том, что сюръективное отображение алгебраических групп, такое как SL ( n ) → PSL ( n ), не обязательно индуцирует сюръективное отображение соответствующих групп со значениями в некотором (не алгебраически замкнутом) поле. Аналогичные проблемы возникают с точками других алгебраических групп со значениями в конечных полях.
• Группы типа A _{n −1} иногда обозначают PSL ( n , q ) (проективная специальная линейная группа) или L ( n , q ).
• Группы типа C _n иногда обозначают через Sp (2 n , q ) (симплектическая группа) или (что сбивает с толку) через Sp ( n , q ).
• Обозначения групп типа D _n («ортогональные» группы) особенно сбивают с толку. Некоторые используемые символы: O ( n , q ), O ^- ( n , q ), PSO ( n , q ), Ω _n ( q ), но существует так много соглашений, что невозможно точно сказать, каким группам они соответствуют. без явного указания. Источник проблемы состоит в том, что простая группа не является ни ортогональной группой O, ни проективной специальной ортогональной группой PSO, а скорее подгруппой PSO, ^[2]который, соответственно, не имеет классических обозначений. Особенно неприятная ловушка состоит в том, что некоторые авторы, такие как ATLAS , используют O ( n , q ) для группы, которая не является ортогональной группой, а соответствующей простой группой. Обозначения Ω, PΩ были введены Жаном Дьедонне , хотя его определение не является простым для n ≤ 4, и, таким образом, те же обозначения могут использоваться для немного другой группы, которая согласуется в n ≥ 5, но не в более низкой размерности. ^[2]
• Для групп Стейнберга некоторые авторы пишут ² A _n ( q ² ) (и т. Д.) Для группы, которую другие авторы обозначают через ² A _n ( q ). Проблема в том, что задействованы два поля, одно порядка q ² и его фиксированное поле порядка q , и у людей есть разные идеи, которые следует включить в обозначения. Соглашение « ² A _n ( q ² )» более логично и согласовано, но соглашение « ² A _n ( q )» гораздо более распространено и ближе к соглашению дляалгебраические группы .
• Авторы расходятся во мнениях относительно того, являются ли такие группы, как A _n ( q ), группами точек со значениями в простой или односвязной алгебраической группе. Например, A _n ( q ) может означать либо специальную линейную группу SL ( n +1, q ), либо проективную специальную линейную группу PSL ( n +1, q ). Итак, ² A ₂ (4) может быть любой из 4 различных групп, в зависимости от автора.

См. Также [ править ]

• Теория Делиня – Люстига
• Модулярная алгебра Ли

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Картер, Роджер В. (1989) [1972], Простые группы типа Ли , Библиотека классической литературы Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50683-6, Руководство по ремонту  0407163
• Шевалье, Клод (1955), "Sur certains Groupes Simples", Тохоку математический журнал , вторая серия, 7 (1-2): 14-66, DOI : 10,2748 / TMJ / 1178245104 , ISSN  0040-8735 , MR  0073602
• Dickson, Леонард Евгений (1901b), "Теория линейных групп в произвольном поле", Труды Американского математического общества , Providence, RI: Американское математическое общество , 2 (4): 363-394, DOI : 10,1090 / S0002-9947 -1901-1500573-3 , ISSN  0002-9947 , JSTOR  1986251 , перепечатано во II томе его собрания статей.
• Диксон, Леонард Юджин (1901), «Класс групп в произвольной области, связанный с конфигурацией 27 линий на кубической поверхности» , The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , 33 : 145–173, перепечатано в томе 5 его собрания сочинений
• Диксон, Л. Е. (1905), "Новая система простых групп" , Math. Аня. , 60 : 137-150, DOI : 10.1007 / BF01447497Леонард Э. Диксон сообщил о группах типа G _2.
• Дьедонне, Жан А. (1971) [1955], La géométrie des groupes classiques (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-05391-2, Руководство по ремонту  0310083
• Иордания, Камилла (1870), Traité des замен и des équations algébriques , Париж: Готье-Виллар
• Ree, Rimhak (1960), "Семейство простых групп , связанных с простой алгеброй Ли типа (G ₂ )", Бюллетень Американского математического общества , 66 (6): 508-510, DOI : 10,1090 / S0002-9904 -1960-10523-X , ISSN  0002-9904 , MR  0125155
• Ри, Римхак (1961), «Семейство простых групп, связанных с простой алгеброй Ли типа (F ₄ )», Бюллетень Американского математического общества , 67 : 115–116, DOI : 10.1090 / S0002-9904-1961- 10527-2 , ISSN  0002-9904 , MR  0125155
• Steinberg, Роберт (1959), "Вариации на тему Chevalley" , Pacific Journal математики , 9 (3): 875-891, DOI : 10,2140 / pjm.1959.9.875 , ISSN  0030-8730 , MR  0109191
• Стейнберг, Роберт (1968), Лекции о группах Шевалле , Йельский университет, Нью-Хейвен, штат Коннектикут, MR  0466335 , архивировано с оригинала 10 сентября 2012 г.
• Судзуки, Мичио (1960), «Новый тип простых групп конечного порядка», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 46 (6): 868–870, Bibcode : 1960PNAS ... 46. .868S , DOI : 10.1073 / pnas.46.6.868 , ISSN  0027-8424 , JSTOR  70960 , МР  0120283 , КУП  222949 , PMID  16590684
• Титс, Жак (1958), «Реальные формы» групп типа E 6 , Séminaire Bourbaki; 10 лет: 1957/1958. Тексты конференций; Exposés 152 по 168; 2e èd. Corrigée, Exposé 162, 15 , Париж: Secrétariat math'ematique, MR  0106247