Элементарная абелева группа

Основные понятия

Топологические группы и группы Ли

Соленоид
Круг

Общая линейная GL ( n )

Специальная линейная SL ( n )

Ортогональный O ( n )

Евклидова E ( n )

Специальный ортогональный SO ( n )

Унитарный U ( n )

Специальная унитарная СУ ( п )

Симплектический Sp ( n )

G 2
П 4
E 6
E 7
E 8

Лоренц
Пуанкаре
Конформный

Диффеоморфизм
Петля

Бесконечномерная группа Ли

O (∞)
SU (∞)
Sp (∞)

Эта статья может потребовать очистки, чтобы соответствовать стандартам качества Википедии . Конкретная проблема: не предполагайте конечность, если не указано иное. Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, если можете. ( Апрель 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , особенно в теории групп , элементарная абелева группа (или элементарная абелева p -группа ) - это абелева группа, в которой каждый нетривиальный элемент имеет порядок p . Число p должно быть простым , а элементарные абелевы группы представляют собой особый вид p -групп . ^[1]^[2] Случай p = 2, т. Е. Элементарная абелева 2-группа, иногда называют булевой группой . ^[3]

Каждая элементарная абелева p -группа является векторным пространством над простым полем с p элементами, и, наоборот, каждое такое векторное пространство является элементарной абелевой группой. По классификации конечно порожденных абелевых групп или по тому факту, что каждое векторное пространство имеет базис , каждая конечная элементарная абелева группа должна иметь вид ( Z / p Z ) ^n, где n - неотрицательное целое число (иногда называемое групповым звание ). Здесь Z / p Z обозначает циклическую группу порядкаp (или, что эквивалентно, целые числа mod p ), а верхний индекс означает n- кратное прямое произведение групп . ^[2]

В общем случае (возможно, бесконечная) элементарная абелева p -группа является прямой суммой циклических групп порядка p . ^[4] (Обратите внимание, что в конечном случае прямое произведение и прямая сумма совпадают, но это не так в бесконечном случае.)

В настоящее время в оставшейся части статьи эти группы предполагаются конечными .

Примеры и свойства [ править ]

Элементарная абелева группа ( Z / 2 Z ) ² состоит из четырех элементов: {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} . Сложение выполняется покомпонентно, беря результат по модулю 2. Например, (1,0) + (1,1) = (0,1) . Фактически это четырехгруппа Клейна .
В группе, порожденной симметричной разностью на (не обязательно конечном) множестве, каждый элемент имеет порядок 2. Любая такая группа обязательно абелева, потому что, поскольку каждый элемент является своим собственным обратным, xy = ( xy ) ⁻¹ = y ⁻¹х ⁻¹ = ух . Такая группа (также называемая булевой группой) обобщает пример четырех групп Клейна на произвольное количество компонентов.
( Z / p Z ) ⁿ порождается n элементами, а n - наименьшее возможное количество образующих. В частности, набор { e ₁ , ..., e _n } , где e _i имеет 1 в i- м компоненте и 0 в другом месте, является минимальным порождающим набором.
Каждая элементарная абелева группа имеет довольно простое конечное представление .

{\ displaystyle (\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}) ^ {n} \ cong \ langle e_ {1}, \ ldots, e_ {n} \ mid e_ {i} ^ {p} = 1, \ e_ {i} e_ {j} = e_ {j} e_ {i} \ rangle}

Структура векторного пространства [ править ]

Предположим, что V ( Z / p Z ) ⁿ - элементарная абелева группа. Поскольку Z / p Z F _p , конечное поле из p элементов, мы имеем V = ( Z / p Z ) ⁿ F _pⁿ , следовательно, V можно рассматривать как n -мерное векторное пространство над полем F _p . Отметим, что элементарная абелева группа, вообще говоря, не имеет выделенного базиса: выбор изоморфизма ${\ displaystyle \ cong}$ ${\ displaystyle \ cong}$ ${\ displaystyle \ cong}$ V ( Z / p Z ) ⁿ соответствует выбору базиса. ${\ Displaystyle {\ overset {\ cong} {\ to}}}$

Наблюдательному читателю может показаться, что F _pⁿ имеет большую структуру, чем группа V , в частности, что она имеет скалярное умножение в дополнение к сложению (вектор / группа). Тем не менее, V как абелева группа имеет уникальный Z - модуль структуры , где действие Z соответствует повторному Кроме того, и это Z - модуль структура согласуется с F _р скалярного умножения. То есть c · g = g + g + ... + g ( c раз), где cв F _p (рассматриваемом как целое с 0 ≤ c < p ) дает V естественную структуру F _p -модуля.

Группа автоморфизмов [ править ]

Поскольку векторное пространство V имеет базис { e ₁ , ..., e _n }, как описано в примерах, если мы возьмем { v ₁ , ..., v _n } в качестве любых n элементов V , то линейным алгебра мы имеем , что отображение Т ( е _я ) = v _я однозначно продолжается до линейного преобразования V . Каждое такое T можно рассматривать как гомоморфизм групп из V в V ( эндоморфизм), а также любой эндоморфизм V можно рассматривать как линейное преобразование V как векторного пространства.

Если мы ограничим наше внимание автоморфизмов из V мы имеем Aut ( V ) = { T : V → V | кег Т = 0} = GL _п ( Р _р ), то линейная группа из п × п обратимых матриц на F _р .

Группа автоморфизмов GL ( V ) = GL _n ( F _p ) действует транзитивно на V \ {0} (как и любое векторное пространство). Фактически это характеризует элементарные абелевы группы среди всех конечных групп: если G - конечная группа с единицей e такая, что Aut ( G ) действует транзитивно на G \ {e} , то G элементарная абелева группа. (Доказательство: если Aut ( G ) действует транзитивно на G \ {e} , то все неединичные элементы G имеют одинаковый (обязательно простой) порядок. Тогда G является p-группа. Отсюда следует, что G имеет нетривиальный центр , который обязательно инвариантен относительно всех автоморфизмов и, следовательно, равен всем G. )

Обобщение на высшие порядки [ править ]

Также может быть интересно перейти от компонентов простого порядка к порядку мощности простых чисел. Рассмотрим элементарная абелева группа G , чтобы быть типа ( р , р , ..., р ) для некоторого простого р . Гомоциклическая группа ^[5] (ранг п ) является абелевой группой типа ( м , м , ..., м ) , то есть прямое произведение п изоморфных циклических групп порядка т , из которых группы типа ( р ^к , p ^k , ..., p ^k ) являются частным случаем.

Связанные группы [ править ]

Эти дополнительные специальные группы являются расширениями элементарных абелевых групп по циклической группе порядка р, и аналогичны группе Гейзенберга .

См. Также [ править ]

Элементарная группа
Пространство Хэмминга

Ссылки [ править ]

^ Ханс Дж Цассенхауза (1999) [1958]. Теория групп . Курьерская корпорация. п. 142. ISBN. 978-0-486-16568-4.
^ a b H.E. Роза (2009). Курс конечных групп . Springer Science & Business Media. п. 88. ISBN 978-1-84882-889-6.
^ Стивен Гивант; Пол Халмос (2009). Введение в булевы алгебры . Springer Science & Business Media. п. 6. ISBN 978-0-387-40293-2.
^ Л. Фукс (1970). Бесконечные абелевы группы. Том I . Академическая пресса. п. 43. ISBN 978-0-08-087348-0.
^ Горенштейн, Даниэль (1968). «1,2». Конечные группы . Нью-Йорк: Харпер и Роу. п. 8. ISBN 0-8218-4342-7.

[Zassenhaus-1] Ханс Дж Цассенхауза (1999) [1958]. Теория групп . Курьерская корпорация. п. 142. ISBN. 978-0-486-16568-4.

[Rose2009-2] H.E. Роза (2009). Курс конечных групп . Springer Science & Business Media. п. 88. ISBN 978-1-84882-889-6.

[GivantHalmos2009-3] Стивен Гивант; Пол Халмос (2009). Введение в булевы алгебры . Springer Science & Business Media. п. 6. ISBN 978-0-387-40293-2.

[4] Л. Фукс (1970). Бесконечные абелевы группы. Том I . Академическая пресса. п. 43. ISBN 978-0-08-087348-0.

[5] Горенштейн, Даниэль (1968). «1,2». Конечные группы . Нью-Йорк: Харпер и Роу. п. 8. ISBN 0-8218-4342-7.