В математике и абстрактной алгебре , теории групп изучают алгебраические структуры , известные как группы . Концепция группы занимает центральное место в абстрактной алгебре: другие хорошо известные алгебраические структуры, такие как кольца , поля и векторные пространства , можно рассматривать как группы, наделенные дополнительными операциями и аксиомами . Группы повторяются в математике, а методы теории групп повлияли на многие разделы алгебры. Линейные алгебраические группы и группы Ли это две ветви теории групп, которые достигли прогресса и стали самостоятельными предметными областями.
Различные физические системы, такие как кристаллы и атом водорода , можно моделировать группами симметрии . Таким образом, теория групп и тесно связанная с ней теория представлений имеют много важных приложений в физике , химии и материаловедении . Теория групп также занимает центральное место в криптографии с открытым ключом .
Структуры и операции
- Центральное расширение
- Прямое произведение групп
- Прямая сумма групп
- Проблема с расширением
- Свободная абелева группа
- Бесплатная группа
- Бесплатный продукт
- Генераторная группа группы
- Групповые когомологии
- Расширение группы
- Презентация группы
- Произведение групповых подмножеств
- Множитель Шура
- Полупрямой продукт
- Теоремы Силова
- Венок
Основные свойства групп
- Лемма о бабочке
- Центр группы
- Центратор и нормализатор
- Характеристическая подгруппа
- Коммутатор
- Композиция серии
- Класс сопряженности
- Закрытие конъюгата
- Сопряжение изометрий в евклидовом пространстве
- Центральная группа)
- Coset
- Производная группа
- Теорема Эйлера
- Подгруппа фитингов
- Обобщенная подгруппа Фиттинга
- Гамильтонова группа
- Элемент идентичности
- Теорема Лагранжа
- Мультипликативный обратный
- Нормальная подгруппа
- идеальная группа
- р-ядро
- Уточняющая теорема Шрайера
- Подгруппа
- Трансверсаль (комбинаторика)
- Подгруппа кручения
- Лемма Цассенхауза
Групповые гомоморфизмы
- Автоморфизм
- Группа автоморфизмов
- Факторная группа
- Основная теорема о гомоморфизмах
- Групповой гомоморфизм
- Групповой изоморфизм
- Гомоморфизм
- Теорема об изоморфизме
- Внутренний автоморфизм
- Порядковый автоморфизм
- Группа внешних автоморфизмов
- Факторная группа
Основные типы групп
- Примеры групп
- Абелева группа
- Циклическая группа
- Ранг абелевой группы
- Дициклическая группа
- Группа диэдра
- Делимая группа
- Конечно порожденная абелева группа
- Представительство группы
- Кляйн четыре группы
- Список малых групп
- Локально циклическая группа
- Нильпотентная группа
- Неабелева группа
- Решаемая группа
- P-группа
- Про-конечная группа
Простые группы и их классификация
- Классификация конечных простых групп
- Чередующаяся группа
- Подгруппа Бореля
- Группа Шевалле
- Конвей группа
- Теорема Фейта – Томпсона
- Группа Фишера
- Общая линейная группа
- Группа лиева типа
- Схема группы
- Янко группа
- Группа Ли
- Простая группа Ли
- Линейная алгебраическая группа
- Список конечных простых групп
- Группа Матье
- Группа монстров
- Группа Baby Monster
- Бимонстр
- Параболическая подгруппа
- Проективная группа
- Редуктивная группа
- Простая группа
- Квазипростая группа
- Специальная линейная группа
- Симметричная группа
- Группа Томпсона (конечная)
- Группа Сиськи
- Группа Вейля
Группы перестановок и симметрии
- Арифметическая группа
- Группа кос
- Лемма Бернсайда
- Теорема Кэли
- Группа Кокстера
- Кристаллографическая группа
- Кристаллографическая точечная группа , обозначение Шенфлиса
- Дискретная группа
- Евклидова группа
- Четные и нечетные перестановки
- Группа Frieze
- Группа Фробениуса
- Фуксова группа
- Геометрическая теория групп
- Групповое действие
- Однородное пространство
- Гиперболическая группа
- Группа изометрии
- Орбита (теория групп)
- Перестановка
- Группа перестановок
- Группа Кубик Рубика
- Космическая группа
- Подгруппа стабилизатора
- Система Штейнера
- Мощная генераторная установка
- Симметрия
- Симметричная группа
- Группа симметрии
- Группа обоев
- Ассоциативность
- Биекция
- Билинейный оператор
- Бинарная операция
- Коммутативный
- Отношение конгруэнтности
- Класс эквивалентности
- Отношение эквивалентности
- Решетка (группа)
- Решетка (дискретная подгруппа)
- Таблица умножения
- простое число
- Вплоть до
Математические объекты, использующие групповую операцию
- Абелева разновидность
- Алгебраическая группа
- Парадокс Банаха-Тарского
- Категория групп
- Размерный анализ
- Эллиптическая кривая
- Группа Галуа
- Матрицы Гелл-Манна
- Групповой объект
- Гильбертово пространство
- Целое число
- Группа Ли
- Матрица
- Модульная арифметика
- Число
- Матрицы Паули
- Настоящий номер
- Кватернион
- Группа Quaternion
- Тензор
Математические области и темы, в которых важную роль играет теория групп
- Алгебраическая геометрия
- Алгебраическая топология
- Дискретное пространство
- Фундаментальная группа
- Геометрия
- Гомология
- Теорема Минковского
- Топологическая группа
- Поле
- Конечное поле
- Теория Галуа
- Группа Гротендика
- Групповое кольцо
- Группа с операторами
- Куча
- Линейная алгебра
- Магма
- Модуль
- Моноид
- Моноидное кольцо
- Quandle
- Квазигруппа
- Квантовая группа
- Звенеть
- Полугруппа
- Векторное пространство
Представительства группы
- Аффинное представление
- Теория характера
- Теорема большой ортогональности
- Теорема Машке
- Чудовищный самогон
- Проективное представление
- Теория представлений
- Лемма Шура
Вычислительная теория групп
- Перечисление смежных классов
- Лемма Шрайера о подгруппах
- Алгоритм Шрайера – Симса
- Алгоритм Тодда-Кокстера
Приложения
- Система компьютерной алгебры
- Криптография
- Дискретный логарифм
- Тройной DES
- Шифр цезаря
- Возведение в степень возведением в квадрат
- Задача о рюкзаке
- Алгоритм Шора
- Стандартная модель
- Симметрия в физике
Известные проблемы
- Проблема Бернсайда
- Классификация конечных простых групп
- Гипотеза Герцога-Шёнхейма
- Проблема суммы подмножества
- Проблема с Уайтхедом
- Задача со словом для групп
Другие темы
- Аменабле группа
- Способная группа
- Соизмеримость (теория групп)
- Компактная группа
- Компактно порожденная группа
- Полная группа
- Подгруппа конгруэнтности
- Непрерывная симметрия
- Подгруппа Фраттини
- Скорость роста
- Группа Гейзенберга , дискретная группа Гейзенберга
- Молекулярная симметрия
- Преобразование Нильсена
- Группа тарских монстров
- Группы Томпсона
- Преобразование Титце
- Трансфер (теория групп)
Теоретики групп
- Н. Абель
- М. Ашбахер
- Р. Баер
- Р. Брауэр
- У. Бернсайд
- Р. Картер
- А. Коши
- А. Кэли
- Дж. Х. Конвей
- Р. Дедекинд
- Л. Е. Диксон
- М. Данвуди
- W. Feit
- Б. Фишер
- H. Фитинг
- Г. Фраттини
- Г. Фробениус
- Э. Галуа
- Г. Глауберман
- Д. Горенштейн
- Р.Л. Грисс
- М. Холл-младший
- П. Холл
- Г. Хигман
- Д. Гильберт
- О. Гёльдер
- Б. Хупперт
- К. Ивасава
- З. Янко
- К. Иордания
- Ф. Кляйн
- А. Курош
- Я. Л. Лагранж
- К. Лидхэм-Грин
- FW Levi
- Софус Ли
- В. Магнус
- Э. Матье
- Г. А. Миллер
- BH Neumann
- Х. Нейман
- Дж. Нильсон
- Эмми Нётер
- Ø. Руда
- О. Шрайер
- И. Шур
- Р. Стейнберг
- М. Сузуки
- Л. Силов
- Дж. Томпсон
- Дж. Титс
- Гельмут Виландт
- Х. Цассенхаус
- М. Цорн
Смотрите также
- Список тем абстрактной алгебры
- Список тем теории категорий
- Список тем группы Ли