Свободная абелева группа

В математике , А свободная абелева группа или свободный Z-модуль представляет собой абелева группа с основой , или, что эквивалентно, свободный модуль над целыми числами. Абелева группа означает, что это набор с ассоциативной , коммутативной и обратимой операцией сложения . Базис, также называемый интегральным базисом, представляет собой такое подмножество, что каждый элемент группы может быть однозначно выражен как линейная комбинация базисных элементов с целым числомкоэффициенты. Например, целые числа со сложением образуют свободную абелеву группу с базой {1}. Свободные абелевы группы обладают свойствами, которые делают их похожими на векторные пространства . У них есть приложения в алгебраической топологии , где они используются для определения цепных групп , и в алгебраической геометрии , где они используются для определения делителей . Целочисленные решетки также образуют примеры свободных абелевых групп, а теория решеток изучает свободные абелевы подгруппы вещественных векторных пространств.

Элементы свободной абелевой группы с базисом B можно описать несколькими эквивалентными способами. К ним относятся формальные суммы по B , которые являются выражениями формы, где каждый коэффициент a _i является ненулевым целым числом, каждый множитель b _i является отдельным базисным элементом, а сумма имеет конечное число членов. В качестве альтернативы, элементы свободной абелевой группы можно рассматривать как знаковые мультимножества, содержащие конечное число элементов из B , с кратностью элемента в мультимножестве, равным его коэффициенту в формальной сумме. Другой способ представить элемент свободной абелевой группы - это функция от B${\ displaystyle \ sum a_ {i} b_ {i}}$к целым числам с конечным числом ненулевых значений; для этого функционального представления групповая операция представляет собой поточечное сложение функций.

Каждое множество B имеет свободную абелеву группу, в основе которой лежит B. Эта группа уникальна в том смысле, что любые две свободные абелевы группы с одним и тем же базисом изоморфны . Вместо того , чтобы построить его путем описания его отдельных элементов, свободная группа с базисом B может быть выполнен в виде прямой суммы копий аддитивной группы целых чисел, с одной копией на одного члена B . В качестве альтернативы, свободная абелева группа с базисом B может быть описана представлением с элементами B в качестве ее образующих и с коммутаторами пар членов в качестве ее относителей. Оценкасвободной абелевой группы - мощность базиса; каждые две базы одной и той же группы дают один и тот же ранг, и любые две свободные абелевы группы с одинаковым рангом изоморфны. Каждая подгруппа свободной абелевой группы сама является свободной абелевой; этот факт позволяет понимать общую абелеву группу как фактор свободной абелевой группы по «отношениям» или как коядро инъективного гомоморфизма между свободными абелевыми группами. Единственными свободными абелевыми группами, которые являются свободными группами, являются тривиальная группа и бесконечная циклическая группа .

Примеры и конструкции [ править ]

Целые числа и решетки [ править ]

Эти целые числа , в соответствии с операцией сложения, образуют свободную абелеву группу с базисом {1}. Каждое целое число n представляет собой линейную комбинацию базисных элементов с целыми коэффициентами: а именно, n  =  n  × 1, с коэффициентом  n .

Двумерная целочисленная решетка , состоящая из точек на плоскости с целочисленными декартовыми координатами , образует свободную абелеву группу при векторном сложении с базисом {(0,1), (1,0)}. ^[1] Обозначив эти базисные векторы и элемент (4,3) можно записать${\ displaystyle \ e_ {1} = (1,0)}$${\ Displaystyle \ е_ {2} = (0,1)}$

${\ Displaystyle \ (4,3) = 4e_ {1} + 3e_ {2}}$ где "умножение" определяется так, что ${\ displaystyle \ 4e_ {1}: = e_ {1} + e_ {1} + e_ {1} + e_ {1}.}$

На этой основе нет другого способа написать (4,3). Однако с другим базисом, например {(1,0), (1,1)}, где и , его можно записать как${\ Displaystyle \ f_ {1} = (1,0)}$${\ displaystyle \ f_ {2} = (1,1)}$

${\ displaystyle \ (4,3) = f_ {1} + 3f_ {2}.}$

В более общем смысле каждая решетка образует конечно порожденную свободную абелеву группу. ^[2] д - мерный целочисленная решетка имеет естественный базис , состоящий из положительных целого числа единичных векторов , но она имеет много других оснований , а также: если М представляет собой d  ×  d целого числа , матрица с определителем ± 1, то строки М формы базис, и, наоборот, каждый базис целочисленной решетки имеет этот вид. ^[3] Для получения дополнительной информации о двумерном случае см. Фундаментальную пару периодов .

Прямые суммы, прямые произведения и тривиальная группа [ править ]

Прямое произведение двух свободных абелевых групп сам свободная абелева, с базисом объединение непересекающегося оснований двух групп. ^{[4] В} более общем смысле прямое произведение любого конечного числа свободных абелевых групп является свободным абелевым. Д - мерное целое число решетки, например, изоморфна прямому произведению д копий целочисленного группового Z .

Тривиальная группа {0} также считается свободной абелевой с базисом в пустом множестве . ^[5] Это может быть истолковано как прямое произведение нулевых копий  Z .

Для бесконечных семейств свободных абелевых групп прямое произведение (семейство наборов элементов из каждой группы с поточечным сложением) не обязательно является свободным абелевым. ^[4] Например, группа Бэра – Шпекера , бесчисленная группа, образованная как прямой продукт счетного множества копий , была показана в 1937 году Рейнхольдом Бэром как не свободная абелева; ^[6] Эрнст Шпекер доказал в 1950 году, что каждая счетная подгруппа в свободна абелева. ^[7] прямая сумма${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {\ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {\ mathbb {N}}}$конечного числа групп совпадает с прямым произведением, но отличается от прямого произведения на бесконечное число слагаемых; его элементы состоят из наборов элементов из каждой группы, все, кроме конечного числа, равны единичному элементу. Как и в случае конечного числа слагаемых, прямая сумма бесконечного числа свободных абелевых групп остается свободной абелевой, с базисом, образованным (образами) несвязным объединением баз слагаемых. ^[4]

Тензорное произведение двух свободных абелевых групп всегда абелева, с основой , которая является декартово произведение оснований для двух групп в продукте. ^[8]

Каждую свободную абелеву группу можно описать как прямую сумму копий , по одной копии на каждого члена ее основы. ^{[9] [10]} Эта конструкция позволяет любому множеству B стать базисом свободной абелевой группы. ^[11]${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Целочисленные функции и формальные суммы [ править ]

Учитывая набор B , можно определить группу , элементы которой являются функциями от B до целых чисел, где скобка в верхнем индексе указывает, что включены только функции с конечным числом ненулевых значений. Если f ( x ) и g ( x ) - две такие функции, то f  +  g - это функция, значения которой являются суммами значений в f и g : то есть ( f  +  g ) ( x ) =  f ( x ) +  g ( х ). Этот${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {(B)}}$поточечная операция сложения дает структуру абелевой группы. ^[12]${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {(B)}}$

Каждый элемент x из данного множества B соответствует члену функции e _x, для которой e _x ( x ) = 1 и для которой e _x ( y ) = 0 для всех y  ≠  x . Каждая функция f in является однозначно линейной комбинацией конечного числа базисных элементов:${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {(B)}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {(B)}}$

${\ displaystyle f = \ sum _ {\ {x \ mid f (x) \ neq 0 \}} f (x) e_ {x}}$

Таким образом, эти элементы e _x составляют основу и являются свободной абелевой группой. Таким образом, каждое множество B можно превратить в базис свободной абелевой группы. ^[12]${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {(B)}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {(B)}}$

Свободная абелева группа с базисом B единственно с точностью до изоморфизма, и ее элементы известны как формальные суммы элементов  B . Они также могут быть интерпретированы как подписанными мультимножествами конечного числа элементов B . Так , например, в алгебраической топологии , цепочки являются формальными суммами симплексов , а группа цепи является свободной абелевой группой, элементы которой является цепью. ^[13] В алгебраической геометрии , то делители о наличии римановой поверхности (комбинаторное описание нулей и полюсов мероморфных функций) образуют несчетную свободную абелеву группу, состоящую из формальных сумм точек поверхности. ^[14]

Презентация [ править ]

Презентация группы представляет собой набор элементов , которые генерируют группу (все элементы группы являются продуктами конечного числа образующих), вместе с «реляторами», продуктами генераторов , которые дают единичный элемент. Свободная абелева группа с базисом B имеет представление , в котором генераторы являются элементами B , и реляторы являются коммутаторами пара элементов B . Здесь коммутатор двух элементов x и y - это произведение x ⁻¹ y ⁻¹ xy ; установка этого продукта на идентичность приводит к тому , что xy становится равным yx , так что xи y ездят на работу. В более общем смысле, если все пары образующих коммутируют, то коммутируют и все пары произведений образующих. Следовательно, группа, порожденная этим представлением, является абелевой, и относители представления образуют минимальный набор относителей, необходимый для обеспечения его абелевой принадлежности. ^[15]

Когда набор образующих конечно, представление также конечно. Этот факт вместе с тем фактом, что каждая подгруппа свободной абелевой группы является свободной абелевой ( см. Ниже ), может использоваться, чтобы показать, что каждая конечно порожденная абелева группа конечно представима. Действительно, если G конечно порожденное множество B , то есть фактор свободной абелевой группы над B с помощью свободной абелевой подгруппы, подгрупп , порожденных реляторами из представления G . Но так как эта подгруппа сама свободная абелева, также конечно порожден, и в его основе (вместе с коммутаторами над В ) образует конечное множество реляторов для представления G . ^[16]

Терминология [ править ]

Каждую абелеву группу можно рассматривать как модуль над целыми числами, рассматривая скалярное умножение члена группы на целое число, определенное следующим образом: ^[17]

${\ displaystyle {\ begin {align} 0 \, x & = 0 \\ 1 \, x & = x \\ n \, x & = x + (n-1) \, x \ qquad {\ text {if}} \ quad n> 1 \\ n \, x & = - ((- n) \, x) \ qquad {\ text {if}} \ quad n <0 \ end {выровнено}}}$

Свободный модуль является модулем , который может быть представлен в виде прямой суммы над его базовым кольцом, так что свободные абелевы группы и свободные -модулями эквивалентные понятия: каждая свободная абелева группа (с операцией умножения выше) свободного - модуля, и каждый free -модуль происходит таким образом из свободной абелевой группы. ^[18]${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

В отличие от векторных пространств , не все абелевы группы имеют базис, отсюда и специальное название для тех, которые имеют. Например, любой торсионный -модуль и, следовательно, любая конечная абелева группа, не является свободной абелевой группой, потому что 0 может быть разложен несколькими способами на любой набор элементов, который мог бы быть кандидатом в базис: для некоторого положительного целого числа n . С другой стороны, многие важные свойства свободных абелевых групп могут быть обобщены на свободные модули над областью главных идеалов . ^[19]${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle 0 = 0 \, b = n \, b}$

Обратите внимание, что свободная абелева группа не является свободной группой, за исключением двух случаев: свободная абелева группа, имеющая пустой базис (ранг 0, что дает тривиальную группу ) или имеющая только 1 элемент в базисе (ранг 1, что дает бесконечную циклическую группу ). ^{[5] [20]} Другие абелевы группы не являются свободными группами, потому что в свободных группах ab должно отличаться от ba, если a и b являются разными элементами базиса, тогда как в свободных абелевых группах они должны быть идентичны. Бесплатные группы - это бесплатные объекты в категории групп., то есть «наиболее общие» или «наименее ограниченные» группы с данным числом образующих, тогда как свободные абелевы группы являются свободными объектами в категории абелевых групп . ^[21] В общей категории групп это дополнительное ограничение требует, чтобы ab = ba , тогда как это необходимое свойство в категории абелевых групп.

Свойства [ править ]

Универсальное свойство [ править ]

Свободная абелева группа с базисом имеет следующее универсальное свойство : для каждой функции от к абелевой группе , существует единственный гомоморфизм группы из к которой проходит . ^[5] По общему свойству универсальных свойств это показывает, что «» абелева группа базы единственна с точностью до изоморфизма. Следовательно, свойство универсальности можно использовать как определение свободной абелевой группы базы . Уникальность группы, определяемой этим свойством, показывает, что все другие определения эквивалентны. ^[11]${\ displaystyle F}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$

Ранг [ править ]

Каждые два базиса одной и той же свободной абелевой группы имеют одинаковую мощность , поэтому мощность базиса образует инвариант группы, известный как ее ранг. ^{[22] [23]} В частности, свободная абелева группа конечно порождена тогда и только тогда, когда ее ранг является конечным числом n , и в этом случае группа изоморфна .${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

Это понятие ранга можно обобщить от свободных абелевых групп до абелевых групп, которые не обязательно являются свободными. Ранг абелевой группы G определяется как ранг свободной абелевой подгруппы F из G , для которых фактор - группа G / F является группа кручения . Эквивалентно, это мощность максимального подмножества G, которая порождает свободную подгруппу. Опять же, это групповой инвариант; это не зависит от выбора подгруппы. ^[24]

Подгруппы [ править ]

Каждая подгруппа свободной абелевой группы сама является свободной абелевой группой. Этот результат Ричарда Дедекинда ^[25] был предшественником аналогичной теоремы Нильсена – Шрайера о том, что каждая подгруппа свободной группы свободна, и является обобщением того факта, что каждая нетривиальная подгруппа бесконечной циклической группы бесконечна циклическая . Для доказательства нужна аксиома выбора . ^[26] Доказательство , используя лемму Цорна (один из многих эквивалентных предположений к аксиоме выбора) можно найти в Serge Lang «s алгебры . ^[27] Соломон Лефшец и Ирвинг Капланскизаявили, что использование принципа хорошего порядка вместо леммы Цорна приводит к более интуитивному доказательству. ^[10]

В случае конечно порожденных свободных абелевых групп доказательство проще, не требует аксиомы выбора и приводит к более точному результату. Если является подгруппой конечно порожденной свободной абелевой группы , то она свободна и существует базис из положительных целых чисел (то есть каждое из них делит следующее) такой, что является базисом Кроме того, последовательность зависит только от и и не на том основании, которое решает проблему. ^[28] конструктивное доказательство существования части теоремы обеспечиваются любым алгоритмом , вычисляющего Смит нормальной формы матрицы целых чисел. ^[29]${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$${\displaystyle F}$${\displaystyle d_{1}|d_{2}|\ldots |d_{k}}$${\displaystyle (d_{1}e_{1},\ldots ,d_{k}e_{k})}$${\displaystyle G.}$${\displaystyle d_{1},d_{2},\ldots ,d_{k}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$Единственность следует из того факта , что для любого , то наибольший общий делитель миноров ранга матрицы не изменяется при нормальной форме расчета Смита и является продуктом в конце вычислений. ^[30]${\displaystyle r\leq k}$${\displaystyle r}$${\displaystyle d_{1}\cdots d_{r}}$

Поскольку каждая конечно порожденная абелева группа является фактор- группой конечно порожденной свободной абелевой группы по подмодулю, основная теорема о конечно порожденных абелевых группах является следствием приведенного выше результата.

Кручение и делимость [ править ]

Все свободные абелевы группы не имеют кручения , что означает, что не существует группового элемента (неединичного) и ненулевого целого числа, таких что . Наоборот, все конечно порожденные абелевы группы без кручения являются свободными абелевыми. ^{[5] [31]} То же самое относится и к плоскостности , поскольку абелева группа без кручения тогда и только тогда, когда она плоская.${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle nx=0}$

Аддитивная группа рациональных чисел представляет собой пример абелевой группы без кручения (но не конечно порожденной), которая не является свободной абелевой. ^[32] Одна из причин, по которой не является свободным абелевым, состоит в том, что он делится , что означает, что для каждого элемента и любого ненулевого целого числа можно выразить как скалярное кратное другого элемента  . Напротив, ненулевые свободные абелевы группы никогда не делятся, потому что любой из их базисных элементов не может быть нетривиальным целым числом, кратным другим элементам. ^[33]${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle ny}$${\displaystyle y=x/n}$

Отношение к другим абелевым группам [ править ]

Для произвольной абелевой группы всегда существует свободная абелева группа и сюръективный групповой гомоморфизм из в . Один из способов построения сюръекции на данную группу - позволить быть свободной абелевой группой над , представленной в виде формальных сумм. Тогда сюръекция может быть определена путем отображения формальных сумм в соответствующие суммы членов . То есть карты сюръекций${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F=\mathbb {Z} ^{(A)}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \sum _{\{x\mid a_{x}\neq 0\}}a_{x}e_{x}\mapsto \sum _{\{x\mid a_{x}\neq 0\}}a_{x}x,}$

где - целочисленный коэффициент базисного элемента в данной формальной сумме, первая сумма - в , а вторая сумма - в . ^{[23] [34]} Эта сюръекция является единственным гомоморфизмом групп, который расширяет функцию , и поэтому ее конструкция может рассматриваться как пример универсального свойства.${\displaystyle a_{x}}$${\displaystyle e_{x}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle e_{x}\mapsto x}$

Когда и такие же, как указано выше, ядро сюръекции из в также является свободным абелевым, поскольку оно является подгруппой (подгруппы элементов, отображаемых в единицу). Следовательно, эти группы образуют короткую точную последовательность${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle 0\to G\to F\to A\to 0}$

в котором и являются свободными абелевыми и изоморфны фактор-группе . Это свободное разрешение от . ^[35] Кроме того, в предположении аксиомы выбора , ^[36] свободные абелевые группы являются проективными объектами в категории абелевых групп . ^[37]${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F/G}$${\displaystyle A}$

Приложения [ править ]

Алгебраическая топология [ править ]

В алгебраической топологии формальная сумма -мерных симплексов называется -цепью, а свободная абелева группа, имеющая в качестве основы набор -симплексов, называется цепной группой. Симплексы обычно берутся из некоторого топологического пространства, например, как множество -симплексов в симплициальном комплексе или как множество особых -симплексов в многообразии . Любой -мерный симплекс имеет границу, которая может быть представлена ​​как формальная сумма -мерных симплексов, а универсальное свойство свободных абелевых групп позволяет расширить этот граничный оператор до группового гомоморфизма от -цепей к${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (k-1)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (k-1)}$-цепи. Система цепных групп, связанных таким образом граничными операторами, образует цепной комплекс , а изучение цепных комплексов составляет основу теории гомологии . ^[38]

Алгебраическая геометрия и комплексный анализ [ править ]

Рациональная функция имеет нуль четвертого порядка в точке 0 (черная точка в центре сюжета), и простые полюса в четырех комплексных числах и (белые точки на концах четырех лепестков). Он может быть представлен (с точностью до скаляра ) делителем, где - базисный элемент для комплексного числа в свободной абелевой группе над комплексными числами.${\displaystyle z^{4}/(z^{4}-1)}$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle \pm i}$${\displaystyle 4e_{0}-e_{1}-e_{-1}-e_{i}-e_{-i}}$${\displaystyle e_{z}}$${\displaystyle z}$

Каждой рациональной функции над комплексными числами можно сопоставить знаковое мультимножество комплексных чисел , нулей и полюсов функции (точки, где ее значение равно нулю или бесконечности). Кратность точки в этом мультимножестве - это ее порядок как нуля функции или отрицание ее порядка как полюса. Тогда сама функция может быть восстановлена ​​из этих данных с точностью до скалярного множителя, как${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle m_{i}}$

${\displaystyle f(q)=\prod (q-c_{i})^{m_{i}}.}$

Если эти мультимножества интерпретируются как члены свободной абелевой группы над комплексными числами, то произведение или частное двух рациональных функций соответствует сумме или разности двух членов группы. Таким образом, мультипликативная группа рациональных функций может быть разложена на мультипликативную группу комплексных чисел (связанные скалярные множители для каждой функции) и свободную абелеву группу над комплексными числами. Рациональные функции, имеющие ненулевое предельное значение на бесконечности ( мероморфные функции на сфере Римана ), образуют подгруппу этой группы, в которой сумма кратностей равна нулю. ^[39]

Эта конструкция была обобщена в алгебраической геометрии до понятия дивизора . Существуют разные определения дивизоров, но в целом они образуют абстракцию подмногообразия коразмерности один алгебраического многообразия , множество точек решения системы полиномиальных уравнений. В случае, когда система уравнений имеет одну степень свободы (ее решения образуют алгебраическую кривую или риманову поверхность), подмногообразие имеет коразмерность один, когда оно состоит из изолированных точек, и в этом случае дивизор снова является знаковым мультимножеством точек из многообразия. Мероморфные функции на компактной римановой поверхности имеют конечное число нулей и полюсов, и их делители снова могут быть представлены как элементы свободной абелевой группы с умножением или делением функций, соответствующими сложению или вычитанию элементов группы. Однако в этом случае существуют дополнительные ограничения на делитель помимо нулевой суммы кратностей. ^[39]

См. Также [ править ]

• Групповое кольцо , кольцо, определенное путем объединения мультипликативной группы и другого кольца; когда определяющее кольцо - целые числа, аддитивная группа группового кольца является свободной абелевой группой над определяющей группой. ^[40]

Ссылки [ править ]