Дивизор (алгебраическая геометрия)

В алгебраической геометрии , делители являются обобщением коразмерности -1 подмногообразиям алгебраических многообразий . Две различные обобщения в общем пользовании, дивизоры и Weil делители (названный в честь Пьера Картье и Вейль по David Mumford ). Оба они в конечном итоге происходят из понятия делимости в полях целых чисел и алгебраических чисел .

Фон состоит в том, что подмногообразия коразмерности 1 понимаются гораздо лучше, чем подмногообразия более высокой коразмерности. Это происходит как глобальным, так и локальным образом. Глобально каждое подмногообразие проективного пространства коразмерности 1 определяется обращением в нуль одного однородного многочлена ; напротив, подмногообразие коразмерности r не обязательно может быть определено только r уравнениями, когда r больше 1. (То есть не каждое подмногообразие проективного пространства является полным пересечением .) Локально каждое подмногообразие коразмерности 1 гладкого многообразияможно определить одним уравнением в окрестности каждой точки. Опять же, аналогичное утверждение неверно для подмногообразий более высокой коразмерности. В результате этого хорошего свойства большая часть алгебраической геометрии изучает произвольное многообразие, анализируя его подмногообразия коразмерности 1 и соответствующие линейные расслоения .

На особых многообразиях это хорошее свойство может не работать, и поэтому нужно различать подмногообразия коразмерности 1 и многообразия, которые могут быть локально определены одним уравнением. Первые являются дивизорами Вейля, а вторые - дивизорами Картье. Топологически дивизоры Вейля играют роль классов гомологий , а дивизоры Картье представляют классы когомологий . Для гладкого многообразия (или, в более общем смысле, регулярной схемы ) результат, аналогичный двойственности Пуанкаре, говорит, что дивизоры Вейля и Картье - одно и то же.

Название «делитель» восходит к работам Дедекинда и Вебера , которые показали актуальность дедекиндовских областей для изучения алгебраических кривых . ^[1] Группа дивизоров на кривой ( свободная абелева группа, порожденная всеми дивизорами) тесно связана с группой дробных идеалов дедекиндовской области.

Алгебраический цикл является более высокой Коразмерностью обобщением делителя; по определению дивизор Вейля - это цикл коразмерности 1.

Дивизоры на римановой поверхности [ править ]

Риманова поверхность представляет собой 1-мерное комплексное многообразие , и поэтому его Коразмерность-1 подмногообразия имеют размерность 0. Группа делителей на компактной римановой поверхности X есть свободная абелева группа по точкам X .

Эквивалентно дивизор на компактной римановой поверхности X - это конечная линейная комбинация точек X с целыми коэффициентами. Степень дивизора на X есть сумма его коэффициентов.

Для любой ненулевой мероморфной функции f на X можно определить порядок обращения в нуль функции f в точке p в X , ord _p ( f ). Это целое число, отрицательное, если у f есть полюс в точке p . Дивизор ненулевой мероморфной функции f на компактной римановой поверхности X определяется как

${\displaystyle (f):=\sum _{p\in X}\operatorname {ord} _{p}(f)p,}$

что является конечной суммой. Дивизоры вида ( f ) также называются главными делителями . Поскольку ( fg ) = ( f ) + ( g ), множество главных дивизоров является подгруппой группы дивизоров. Два дивизора, различающиеся главным делителем, называются линейно эквивалентными .

На компактной римановой поверхности степень главного дивизора равна нулю; то есть количество нулей мероморфной функции равно количеству полюсов, считаемых с кратностью. В результате степень корректно определена на классах линейной эквивалентности дивизоров.

Учитывая дивизор D на компактной римановой поверхности X , важно изучить комплексное векторное пространство мероморфных функций на X с полюсами, не более чем заданными D , называемое H ⁰ ( X , O ( D )) или пространство сечений линейное расслоение , связанное с D . Степень D многое говорит о размерности этого векторного пространства. Например, если D имеет отрицательную степень, то это векторное пространство равно нулю (потому что мероморфная функция не может иметь больше нулей, чем полюсов). Если Dимеет положительную степень, то размерность H ⁰ ( X , O ( mD )) линейно растет по m при достаточно большом m . Теорема Римана-Роха является более точным утверждением в этом направлении. С другой стороны, точное измерение H ⁰ ( X , O ( D )) для делителей D низкой степени является тонким, а не полностью определяется степенью D . В этих размерах отражены отличительные черты компактной римановой поверхности.

Одним из ключевых дивизоров на компактной римановой поверхности является канонический дивизор . Чтобы определить его, сначала нужно определить дивизор ненулевой мероморфной 1-формы, как указано выше. Поскольку пространство мероморфных 1-форм является 1-мерным векторным пространством над полем мероморфных функций, любые две ненулевые мероморфные 1-формы дают линейно эквивалентные дивизоры. Любой делитель в этом линейном классе эквивалентности называется каноническим делителем из X , K _X . Рода г из X может быть считан из канонического делителя , а именно: К _Й имеет степень 2 г- 2. Ключевая трихотомия среди компактных римановых поверхностей X состоит в том, имеет ли канонический дивизор отрицательную степень (так что X имеет род ноль), нулевую степень (род один) или положительную степень (род не меньше 2). Например, это определяет, есть ли у X кэлерова метрика с положительной кривизной , нулевой кривизной или отрицательной кривизной. Канонический дивизор имеет отрицательную степень тогда и только тогда, когда X изоморфен сфере Римана CP ¹ .

Дивизоры Вейля [ править ]

Пусть X - целая локально нетерова схема . Простой делитель или неприводимый делитель на X является интегралом замкнутой подсхемы Z из коразмерности 1 в X . Weil делитель на X представляет собой формальную сумму более простых делителей Z из X ,

${\displaystyle \sum _{Z}n_{Z}Z,}$

где набор локально конечен. Если X квазикомпактно, локальная конечность эквивалентна конечности. Группа всех дивизоров Вейля обозначается Div ( X ) . Вейля делитель D является эффективным , если все коэффициенты неотрицательны. Пишут D ≥ D ′, если разность D - D ′ эффективна.${\displaystyle \{Z:n_{Z}\neq 0\}}$${\displaystyle \{Z:n_{Z}\neq 0\}}$

Например, дивизор на алгебраической кривой над полем - это формальная сумма конечного числа замкнутых точек. Делитель на Spec Z является формальной суммой простых чисел с целыми коэффициентами и , следовательно , соответствует ненулевому дробному идеалу в Q . Аналогичная характеристика верна для делителей, где K - числовое поле.${\displaystyle \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K},}$

Если Z ⊂ X - простой делитель, то локальное кольцо имеет размерность Крулля один. Если не равно нулю, то порядок обращения в нуль на F вдоль Z , написанный Ord _Z ( F ) , является длиной от этой длины конечна, ^[2] , и это добавка относительно умножения, то есть, Ord _Z ( fg ) = ord _Z ( f ) + ord _Z ( g ) . ^[3] Если k${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z}}$${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}_{X,Z}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z}/(f).}$( X ) - поле рациональных функций на X , то любой ненулевой f ∈ k ( X ) может быть записан как фактор g / h , где g и h входят в число, а порядок обращения в нуль для f определяется как ord _Z ( g ) - ord _Z ( h ) . ^[4] Согласно этому определению, порядок обращения в нуль - это функция ord _Z  : k ( X ) ^×${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z},}$→ Z . Если Х является нормальным , то локальное кольцо является кольцом дискретного нормирования , а функция Ord _Z является соответствующая оценка. Для ненулевой рациональной функции F на X , то главным Вейль делитель , связанный с F определяется как Вейль делитель${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z}}$

${\displaystyle \operatorname {div} f=\sum _{Z}\operatorname {ord} _{Z}(f)Z.}$

Можно показать, что эта сумма локально конечна и, следовательно, действительно определяет дивизор Вейля. Главный дивизор Вейля, связанный с f , также обозначается ( f ) . Если f - регулярная функция, то ее главный дивизор Вейля эффективен, но в общем случае это неверно. Из аддитивности порядка исчезающей функции следует, что

${\displaystyle \operatorname {div} fg=\operatorname {div} f+\operatorname {div} g.}$

Следовательно, div является гомоморфизмом и, в частности, его образ является подгруппой группы всех дивизоров Вейля.

Пусть X - нормальная интегральная нётерова схема. Каждый Weil делитель D определяет когерентный пучок на X . Конкретно его можно определить как подпучок пучка рациональных функций ^[5]${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$

${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X}(D))=\{f\in k(X):f=0{\text{ or }}\operatorname {div} (f)+D\geq 0{\text{ on }}U\}.}$

То есть ненулевая рациональная функция f является сечением над U тогда и только тогда, когда для любого простого делителя Z, пересекающего U ,${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$

${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z}(f)\geq -n_{Z}}$

где п _Z представляет коэффициент Z в D . Если D - главный, а значит, D - делитель рациональной функции g , то существует изоморфизм

${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {O}}(D)\to {\mathcal {O}}_{X}\\f\mapsto fg\end{cases}}}$

поскольку является эффективным делителем и поэтому является регулярным благодаря нормальности X . Наоборот, если изоморфен как -модуль, то D является главным. Отсюда следует, что D является локально главным тогда и только тогда, когда оно обратимо; то есть линейный пучок.${\displaystyle \operatorname {div} (fg)}$${\displaystyle fg}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$

Если D является эффективным делителем, который соответствует подсхеме X (например, D может быть редуцированным делителем или простым делителем), то пучок идеалов подсхемы D равен. Это приводит к часто используемой короткой точной последовательности,${\displaystyle {\mathcal {O}}(-D).}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}(-D)\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{D}\to 0.}$

Пучок когомологии этой последовательность показывает , что содержит информацию о регулярных функциями на том D являются ограничениями регулярных функций на X .${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(-D))}$

Также есть включение пучков

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(D).}$

Это дает канонический элемент , а именно, образом глобальной секции 1. Это называется каноническим сечением и может быть обозначено с _D . В то время как канонический секция образ нигде не исчезающей рациональной функции, ее образ в обращается в нуль вдоль D , так как функции перехода равны нулю вдоль D . Когда D представляет собой гладкий дивизор Картье, коядро вышеуказанного включения может быть идентифицировано; см. ниже делители # Картье .${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(D)),}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$

Предположим, что X - нормальная целочисленная разделенная схема конечного типа над полем. Пусть D - дивизор Вейля. Тогда является рефлексивным пучком ранга один , и, поскольку он определяется как его подпучок, является дробным пучком идеалов (см. Ниже). И наоборот, каждый рефлексивный пучок ранга один соответствует дивизору Вейля: пучок может быть ограничен до регулярного многоугольника, где он становится свободным и, таким образом, соответствует дивизору Картье (опять же, см. Ниже), и поскольку сингулярное многоугольник имеет коразмерность не менее во-вторых, замыкание дивизора Картье является дивизором Вейля.${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X},}$

Группа классов делителей [ править ]

Группа классов дивизоров Вейля Cl ( X ) является факторгруппой Div ( X ) по подгруппе всех главных дивизоров Вейля. Два дивизора называются линейно эквивалентными, если их разность является главной, поэтому группа классов дивизоров - это группа дивизоров по модулю линейной эквивалентности. Для многообразия X размерности n над полем группа классов дивизоров является группой Чжоу ; а именно, Cl ( X ) - группа Чжоу CH _{n −1} ( X ) ( n −1) -мерных циклов.

Пусть Z замкнутое подмножество X . Если Z неприводимо коразмерности один, то Cl ( X - Z ) изоморфна фактор - группе Cl ( X ) по классу Z . Если Z имеет коразмерность не менее 2 в X , то ограничение Cl ( X ) → Cl ( X - Z ) является изоморфизмом. ^[6] (Эти факты являются частными случаями последовательности локализации для групп Чжоу.)

На нормальной интегральной нётеровой схеме X два дивизора Вейля D , E линейно эквивалентны тогда и только тогда, когда и изоморфны как -модули. Классы изоморфизма рефлексивных пучков на X образуют моноид с произведением, заданным как рефлексивная оболочка тензорного произведения. Тогда определяет моноидное изоморфизм из класса делителя группы Вейля X в моноид классов изоморфизма ранга один рефлексивных пучки на X .${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle D\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(D)}$

Примеры [ править ]

• Пусть k - поле, а n - натуральное число. Поскольку кольцо многочленов k [ x ₁ , ..., x _n ] является единственной областью факторизации, группа классов дивизоров аффинного пространства A ⁿ над k равна нулю. ^[7] Поскольку проективное пространство P ⁿ над k без гиперплоскости H изоморфно A ⁿ , то группа классов дивизоров P ⁿ порождается классом H. Оттуда, это просто проверить , что Cl ( Р ^н ), на самом деле изоморфен целые числа Z , порожденной H . Конкретно это означает, что каждое подмногообразие коразмерности 1 в P ⁿ определяется обращением в нуль единственного однородного многочлена.

• Пусть X - алгебраическая кривая над полем k . Каждая замкнутая точка р в X имеет вид Spec E для некоторого конечного поля расширения Е от к , а степень из р определяется быть степень из Е над к . Расширение этого по линейности дает представление о степени для делителя на X . Если X - проективная кривая над k , то дивизор ненулевой рациональной функции f на Xимеет нулевую степень. ^[8] В результате, для проективной кривой X , то степень дает гомоморфизм град: Cl ( X ) → Z .

• Для проективной линии P ¹ над полем к , степень дает изоморфизм Cl ( Р ¹ ) ≅ Z . Для любой гладкой проективной кривой X с к - рациональной точке , степень гомоморфизм сюръективен, а ядро изоморфно группе K -точек на якобиев многообразие из X , который представляет собой абелево многообразие размерности , равное роду X . Отсюда, например, следует, что группа классов дивизоров комплексной эллиптической кривой является несчетной абелевой группой.

• Обобщая предыдущий пример: для любого гладкого проективного многообразия X над полем k такое, что X имеет k -рациональную точку, группа классов дивизоров Cl ( X ) является расширением конечно порожденной абелевой группы , группы Нерона – Севери , по формуле группа K -точках связной групповой схемы ^[9] для к нулевой характеристики, -абелево многообразие, то многообразие Пикара из X .${\displaystyle \operatorname {Pic} _{X/k}^{0}.}$${\displaystyle \operatorname {Pic} _{X/k}^{0}}$

• Для R кольца целых одного числового поля , группа классов дивизоров Cl ( R ): = Cl (Spec R ) также называют идеальную группу классов из R . Это конечная абелева группа. Понимание идеальных групп классов - центральная цель алгебраической теории чисел .

• Аффинный квадратичный конус xy = z ² .
  Пусть X - квадратный конус размерности 2, определяемый уравнением xy = z ² в аффинном 3-пространстве над полем. Тогда прямая D в X, определяемая как x = z = 0, не является главной на X вблизи начала координат. Обратите внимание, что D можно определить как набор с помощью одного уравнения на X , а именно x = 0; но функция x на X обращается в нуль до порядка 2 вдоль D , и поэтому мы обнаруживаем только, что 2 D является Картье (как определено ниже) на X. В самом деле, группа классов дивизоров Cl ( X ) изоморфна циклической группе Z / 2, сгенерированного по классу D . ^[10]

• Пусть X - квадратный конус размерности 3, определяемый уравнением xy = zw в аффинном 4-пространстве над полем. Тогда плоскость D в X, определенная как x = z = 0, не может быть определена в X одним уравнением около начала координат, даже как набор. Отсюда следует, что D не является Q-Картье на X ; то есть никакое положительное кратное D не является Картье. В самом деле, группа классов дивизоров Cl ( X ) изоморфны целые числа Z , порожденный классом D . ^[11]

Канонический делитель [ править ]

Пусть X - нормальное многообразие над совершенным полем . Гладкой локус U из X есть открытое подмножество, дополнение которого имеет коразмерность по крайней мере , 2. Пусть J : U → X отображение , вложение, то гомоморфизм ограничения:

${\displaystyle j^{*}:\operatorname {Cl} (X)\to \operatorname {Cl} (U)=\operatorname {Pic} (U)}$

является изоморфизмом, так как X - U имеет коразмерность по крайней мере , 2 в X . Например, можно использовать этот изоморфизм , чтобы определить канонический делитель К _X из X : это делитель Вейля (до линейной эквивалентности) , соответствующие линий пучка дифференциальных форм на верхнюю ступень U . Эквивалентно, пучок на X является прямым пучком изображения , где п есть размерность X .${\displaystyle {\mathcal {O}}(K_{X})}$ ${\displaystyle j_{*}\Omega _{U}^{n},}$

Пример : Пусть X = P ⁿ - проективное n -пространство с однородными координатами x ₀ , ..., x _n . Пусть U = { x ₀ ≠ 0}. Тогда U изоморфно аффинному n -пространству с координатами y _i = x _i / x ₀ . Позволять

${\displaystyle \omega ={dy_{1} \over y_{1}}\wedge \dots \wedge {dy_{n} \over y_{n}}.}$

Тогда ω - рациональная дифференциальная форма на U ; таким образом, это рациональное сечение, имеющее простые полюсы вдоль Z _i = { x _i = 0}, i = 1, ..., n . Переключение на другую аффинную карту меняет только знак ω, и поэтому мы видим, что ω также имеет простой полюс вдоль Z ₀ . Таким образом, дивизор ω равен${\displaystyle \Omega _{\mathbf {P} ^{n}}^{n}}$

${\displaystyle \operatorname {div} (\omega )=-Z_{0}-\dots -Z_{n}}$

и его класс дивизоров

${\displaystyle K_{\mathbf {P} ^{n}}=[\operatorname {div} (\omega )]=-(n+1)[H]}$

где [ H ] = [ Z _i ], i = 0, ..., n . (См. Также последовательность Эйлера .)

Делители Картье [ править ]

Пусть X - целая нётерова схема. Тогда X имеет пучок рациональных функций Все регулярные функции являются рациональными функциями, что приводит к короткой точной последовательности${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}.}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {M}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to 0.}$

Картье делитель на X представляет собой глобальное сечение эквивалентное описание является то , что делитель Картье представляет собой коллекцию , где открытая крышка находится участок на и от до умножения на участке${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }.}$${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\},}$${\displaystyle \{U_{i}\}}$${\displaystyle X,f_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}^{\times }}$${\displaystyle U_{i},}$${\displaystyle f_{i}=f_{j}}$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\times }.}$

Дивизоры Картье также имеют теоретико-пучковое описание. Дробный идеал пучок является суб- - модуль дробной пучок идеалов J является обратимым , если для каждого х в X , существует открытая окрестность U от х , на котором сужение J на U равно , где и продукт приняты в каждом Картье делитель определяет обратимый пучок дробный идеал , используя описание делителя Картье в качестве коллекции и наоборот, обратимые дробные идеальные пучки определяют Картье делителей. Если обозначить дивизор Картье${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}.}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}\cdot f,}$${\displaystyle f\in {\mathcal {M}}_{X}^{\times }(U)}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}.}$${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\},}$D , то соответствующий дробный пучок идеалов обозначается O ( D ) или L ( D ).

По указанной выше точной последовательности существует точная последовательность групп когомологий пучков :

${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\to H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })=\operatorname {Pic} (X).}$

Картье делитель называется главным , если он находится в образе гомоморфизма , то есть, если он является делителем рациональной функции на X . Два дивизора Картье линейно эквивалентны, если их разность является основной. Каждое линейное расслоение L на X на целой нётеровой схеме является классом некоторого дивизора Картье. В результате точная последовательность выше отождествляет группу Пикара линейных расслоений на целой нётеровой схеме X с группой дивизоров Картье по модулю линейной эквивалентности. В более общем случае это справедливо для редуцированных нётеровых схем или квазипроективных схем над нётеровым кольцом ^[12].${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\to H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }),}$но он может потерпеть неудачу в целом (даже для правильных схем над C ), что снижает интерес к дивизорам Картье в целом . ^[13]

Предположим, что D - эффективный дивизор Картье. Тогда есть короткая точная последовательность

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(D)\to {\mathcal {O}}_{D}(D)\to 0.}$

Эта последовательность получена из короткой точной последовательности , относящейся структурные пучки X и D и идеальный пучок D . Поскольку D является дивизором Картье, O ( D ) локально свободен, и, следовательно, тензорное преобразование этой последовательности с помощью O ( D ) дает другую короткую точную последовательность, указанную выше. Когда D является гладким, O _D ( D ) является нормальным расслоением D в X .

Сравнение дивизоров Вейля и делителей Картье [ править ]

Дивизор Вейля D называется Картье тогда и только тогда, когда пучок O ( D ) обратим. Когда это происходит, O ( D ) (с его вложением в M _X ) является линейным расслоением, связанным с дивизором Картье. Точнее, если O ( D ) обратимо, то существует открытое покрытие { U _i } такое, что O ( D ) ограничивается тривиальным расслоением на каждом открытом множестве. Для каждого U _i выберите изоморфизм Изображение под этой картой является сечением O (${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U_{i}}\to {\mathcal {O}}(D)|_{U_{i}}.}$${\displaystyle 1\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{U_{i}})=\Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})}$D ) на U _i . Поскольку O ( D ) определяется как подпучок пучка рациональных функций, образ 1 можно отождествить с некоторой рациональной функцией f _i . Тогда коллекция является делителем Картье. Это хорошо определено, поскольку использовались только варианты покрытия и изоморфизма, ни один из которых не изменял дивизор Картье. Этот дивизор Картье можно использовать для создания пучка, который для отличия мы обозначим как L ( D ). Существует изоморфизм O ( D ) с L ( D ), определяемый работой над открытым покрытием { U${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\}}$_i }. Ключевой факт, который необходимо проверить здесь, - это то, что функции перехода O ( D ) и L ( D ) совместимы, и это сводится к тому, что все эти функции имеют вид${\displaystyle f_{i}/f_{j}.}$

В противоположном направлении дивизор Картье на интегральной нётеровой схеме X естественным образом определяет дивизор Вейля на X , применяя его к функциям f _i на открытых множествах U _i .${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\}}$${\displaystyle \operatorname {div} }$

Если X нормален, дивизор Картье определяется ассоциированным дивизором Вейля, а дивизор Вейля является дивизором Картье тогда и только тогда, когда он является локально главным.

Нётерова схема X называется факториальной, если все локальные кольца X являются уникальными областями факторизации . ^[5] (Некоторые авторы говорят «локально факториально».) В частности, каждая регулярная схема факториальна. ^[14] На факториальной схеме X каждый дивизор Вейля D является локально главным, поэтому O ( D ) всегда является линейным расслоением. ^[7] Однако в общем случае дивизор Вейля на нормальной схеме не обязательно должен быть локально главным; см. примеры квадратичных конусов выше.

Эффективные делители Картье [ править ]

Эффективные дивизоры Картье - это те, которые соответствуют идеальным пучкам. Фактически, теория эффективных дивизоров Картье может быть развита без каких-либо ссылок на пучки рациональных функций или дробные пучки идеалов.

Пусть X - схема. Эффективный дивизор Картье на X является идеальным пучок I , который является обратимым и таким образом, что для каждой точки х в X , стебель я _х является главным. Это эквивалентно требованию, чтобы вокруг каждого x существовало открытое аффинное подмножество U = Spec A такое, что U ∩ D = Spec A / ( f ) , где f - ненулевой делитель в A. Сумма двух эффективных дивизоров Картье соответствует умножению пучков идеалов.

Есть хорошая теория семейств эффективных дивизоров Картье. Пусть φ: X → S - морфизм. Относительно эффективный дивизор Картье для X над S представляет собой эффективный дивизор Картье D на X , который является плоским над S . Из-за предположения о плоскостности для каждого происходит откат D к, и этот откат является эффективным делителем Картье. В частности, это верно для слоев φ.${\displaystyle S'\to S,}$${\displaystyle X\times _{S}S',}$

Функциональность [ править ]

Пусть φ: X → Y - морфизм целых локально нётеровых схем. Часто - но не всегда - возможно использовать φ для переноса делителя D из одной схемы в другую. Возможно ли это, зависит от того, является ли делитель дивизором Вейля или Картье, нужно ли переместить дивизор из X в Y или наоборот, и какими дополнительными свойствами может обладать φ.

Если Z является дивизор Вейля на X , то есть замкнутая неприводимая подсхема Y . В зависимости от φ он может быть или не быть простым делителем Вейля. Например, если φ - раздутие точки на плоскости, а Z - исключительный дивизор, то ее образ не является дивизором Вейля. Следовательно, φ _* Z определяется как равное, если эта подсхема является простым делителем, и определяется как делитель нуля в противном случае. Расширение этого за счет линейности в предположении, что X квазикомпактно, определит гомоморфизм Div ( X ) → Div ( Y ), называемый pushforward . (Если X${\displaystyle {\overline {\phi (Z)}}}$${\displaystyle {\overline {\phi (Z)}}}$не является квазикомпактным, то прямой перевод может не быть локально конечной суммой.) Это частный случай прямого ответа на группах Чжоу.

Если Z является делителем Картье, то в мягких условиях на ф есть прообраз φ ^* Z . Теоретически пучков, когда есть обратное отображение φ ⁻¹ M _Y → M _X , то это обратное движение может быть использовано для определения обратного образа дивизоров Картье. С точки зрения локальных секций откат определяется как . Откат всегда определяется, если φ является доминирующим, но не может быть определен в целом. Например, если X = Z и φ - включение Z в Y , то φ ^* Z${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\}}$${\displaystyle \{(\phi ^{-1}(U_{i}),f_{i}\circ \phi )\}}$не определено, потому что соответствующие локальные секции будут везде нулевыми. (Однако определяется откат соответствующего линейного пучка.)

Если φ плоский, то определен откат дивизоров Вейля. В этом случае возврат Z равен φ ^* Z = φ ⁻¹ ( Z ) . Плоскостность φ гарантирует, что прообраз Z по- прежнему имеет коразмерность один. Это может не работать для морфизмов, которые не являются плоскими, например, для небольшого сжатия .

Первый класс Черна [ править ]

Для целочисленной нётеровой схемы X естественный гомоморфизм группы дивизоров Картье на группу дивизоров Вейля дает гомоморфизм

${\displaystyle c_{1}:\operatorname {Pic} (X)\to \operatorname {Cl} (X),}$

известен как первый класс Черна . ^[15] Первый класс Черна инъективен, если X нормален, и изоморфизм, если X факториален (как определено выше). В частности, дивизоры Картье можно отождествить с дивизорами Вейля на любой регулярной схеме, и поэтому первый класс Черна является изоморфизмом для регулярного X.

Явно первый класс Черна можно определить следующим образом. Для линейного расслоения L на интегральной схеме нётеровой X , пусть с ненулевой рациональной участок L (то есть, раздел на некотором непустом открытом подмножестве L ), которая существует на локальной тривиальности L . Определим дивизор ( ы ) Вейля на X по аналогии с дивизором рациональной функции. Тогда первый класс Черна L может быть определен как делитель ( ы ). Замена рационального сечения s меняет этот дивизор на линейную эквивалентность, так как ( fs ) = ( f ) + (ы ) для ненулевой рациональной функции F и отлична от нуля рационального сечения ˙s из L . Таким образом, элемент c ₁ ( L ) в Cl ( X ) определен правильно.

Для комплексного многообразия X размерности n , не обязательно гладкого или собственного над C , существует естественный гомоморфизм, отображение цикла , из группы классов дивизоров в гомологии Бореля – Мура :

${\displaystyle \operatorname {Cl} (X)\to H_{2n-2}^{\operatorname {BM} }(X,\mathbf {Z} ).}$

Последняя группа определяется с помощью пространства X ( C ) комплексных точек X с его классической (евклидовой) топологией. Точно так же группа Пикара отображается в интегральные когомологии первым классом Черна в топологическом смысле:

${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)\to H^{2}(X,\mathbf {Z} ).}$

Два гомоморфизма связаны коммутативной диаграммой , в которой правое вертикальное отображение является конечным произведением с фундаментальным классом X в гомологиях Бореля – Мура:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\operatorname {Pic} (X)&\longrightarrow &H^{2}(X,\mathbf {Z} )\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Cl} (X)&\longrightarrow &H_{2n-2}^{\operatorname {BM} }(X,\mathbf {Z} )\end{array}}}$

Для X, гладкого над C , оба вертикальных отображения являются изоморфизмами.

Глобальные сечения линейных пучков и линейных систем [ править ]

Дивизор Картье эффективен, если его локальные определяющие функции f _i регулярны (а не только рациональные функции). В этом случае дивизор Картье можно отождествить с замкнутой подсхемой коразмерности 1 в X , подсхемой, локально определенной как f _i = 0. Дивизор Картье D линейно эквивалентен эффективному дивизору тогда и только тогда, когда связанное с ним линейное расслоение O ( D ) имеет ненулевое глобальное сечение s ; то D линейно эквивалентен геометрическому множеству нулей s .

Пусть X - проективное многообразие над полем k . Тогда умножение глобального сечения O ( D ) на ненулевой скаляр в k не меняет его нулевое геометрическое место. В результате проективного пространства прямых в к -векторному пространству глобальных сечений Н ⁰ ( Х , О ( Г )) может быть идентифицирован с помощью набора эффективных делителей линейно эквивалентных D , называется полная линейная системой из D . Проективное линейное подпространство этого проективного пространства называется линейной системой дивизоров.

Одна из причин изучения пространства глобальных сечений линейного расслоения - понять возможные отображения данной разновидности в проективное пространство. Это существенно для классификации алгебраических многообразий. Явно морфизм из многообразия X в проективное пространство P ⁿ над полем k определяет линейное расслоение L на X , обратный образ стандартного линейного расслоения O (1) на P ⁿ . Более того, L имеет n +1 секций, базовое множество которых (пересечение их нулевых множеств) пусто. Наоборот, любое линейное расслоение L сn +1 глобальных секций, общее базовое множество которых пусто, определяет морфизм X → P ⁿ . ^[16] Эти наблюдения приводят к нескольким понятиям положительности для дивизоров Картье (или линейных расслоений), таких как обильные дивизоры и nef-дивизоры . ^[17]

Для делителя D на проективное многообразие X над полем к , то к -векторному пространству Н ⁰ ( Х , О ( Г )) имеет конечную размерность. Теорема Римана – Роха - это фундаментальный инструмент для вычисления размерности этого векторного пространства, когда X - проективная кривая. Последовательные обобщения, то теорема Хирцебрух-Римана-Роха и теорема Гротендика-Римана-Роха , дает некоторую информацию о размерности H ⁰ ( X , O ( D)) для проективного многообразия X любой размерности над полем.

Поскольку канонический дивизор внутренне связан с многообразием, ключевую роль в классификации многообразий играют отображения в проективное пространство, задаваемые K _X и его положительными кратными. Размерность Кодаиры из X является одним из ключевых бирациональным инвариант, измерение роста векторных пространств Н ⁰ ( Х , мК _Х ) ( что означает H ⁰ ( X , O ( мК _X ))) как м возрастает. Размерность Кодаира делит все n -мерные многообразия на n+2 класса, которые (очень грубо) переходят от положительной кривизны к отрицательной.

Q-делители [ править ]

Пусть X - нормальное многообразие. A (Weil) Q -дивизор - это конечная формальная линейная комбинация неприводимых подмногообразий коразмерности 1 в X с рациональными коэффициентами. ( Аналогично определяется R -дивизор.) Q- Дивизор эффективен, если коэффициенты неотрицательны. Q -divisor D является Q-Картье , если мД является дивизором Картье для некоторого натурального т . Если X гладко, то каждый Q -дивизор является Q- Картье.

Если

${\displaystyle D=\sum _{j}a_{j}Z_{j}}$

является Q -дивизором, то его округление вниз является делителем

${\displaystyle \lfloor D\rfloor =\sum \lfloor a_{j}\rfloor Z_{j},}$

где - наибольшее целое число, меньшее или равное a . Тогда пучок определяется как${\displaystyle \lfloor a\rfloor }$${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(\lfloor D\rfloor ).}$

Теорема Гротендика – Лефшеца о гиперплоскости [ править ]

Из теоремы Лефшеца о гиперплоскости следует, что для гладкого комплексного проективного многообразия X размерности не менее 4 и гладкого обильного дивизора Y в X ограничение Pic ( X ) → Pic ( Y ) является изоморфизмом. Например, если Y - гладкое многообразие с полным пересечением размерности не менее 3 в комплексном проективном пространстве, то группа Пикара Y изоморфна Z , порожденная ограничением линейного расслоения O (1) на проективное пространство.

Гротендик обобщил теорему Лефшеца в нескольких направлениях, включая произвольные базовые поля, особые многообразия и результаты о локальных кольцах, а не о проективных многообразиях. В частности, если R является локальным кольцом полного пересечения, факториальным в коразмерности не более 3 (например, если нерегулярное множество R имеет коразмерность не менее 4), то R является единственной областью факторизации (и, следовательно, любой Вейль дивизор на Spec ( R ) есть Картье). ^[18] Граница размерности здесь оптимальна, как показано выше на примере трехмерного квадратичного конуса.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Дьедонне, Жан (1985), История алгебраической геометрии , Серия Математики Уодсворта, переведенная Джудит Д. Салли , Бельмонт, Калифорния: Международная группа Уодсворта, ISBN 0-534-03723-2, Руководство по ремонту  0780183
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 32 : 5–361. DOI : 10.1007 / bf02732123 . Руководство по ремонту  0238860 .
• Гротендик, Александр ; Рейно, Michèle (2005) [1968], Ласло, Ив , (ред.) Cohomologie локали де faisceaux cohérents и др théorèmes де Лефшец locaux и др globaux (SGA 2) , Документы Mathématiques, 4 , Париж: Société Mathematique де Франс , Arxiv : математика / 0511279 , Bibcode : 2005math ..... 11279G , ISBN 978-2-85629-169-6, MR  2171939
• Раздел II.6 Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry , Graduate Texts in Mathematics, 52 , New York, Heidelberg: Springer-Verlag , ISBN 0-387-90244-9, Руководство по ремонту  0463157
• Клейман, Стивен (2005), «Схема Пикара», Фундаментальная алгебраическая геометрия , Math. Surveys Monogr., 123 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 235–321, arXiv : math / 0504020 , Bibcode : 2005math ...... 4020K , MR  2223410
• Коллар, Янош (2013), Особенности программы минимальных моделей , Cambridge University Press , ISBN 978-1-107-03534-8, Руководство по ремонту  3057950
• Лазарсфельд, Роберт (2004), Положительность в алгебраической геометрии , 1 , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-22533-1, Руководство по ремонту  2095471

Внешние ссылки [ править ]

• Авторы проекта Stacks, проект Stacks