Линейная комбинация

В математике , А линейная комбинация представляет собой выражение строится из набора терминов путем умножения каждого члена на константу и добавления результатов (например, линейную комбинацию х и у будет любое выражение вида ах + по , где и б являются константами). ^{[1] [2] [3] [4]} Концепция линейных комбинаций занимает центральное место в линейной алгебре и смежных областях математики. Большая часть этой статьи посвящена линейным комбинациям в контексте векторного пространства надполе , с некоторыми обобщениями, приведенными в конце статьи.

Определение [ править ]

Пусть V векторное пространство над полем K . Как обычно, мы называем элементы V векторами и называем элементы K скалярами . Если v ₁ , ..., v _n - векторы, а a ₁ , ..., a _n - скаляры, то линейная комбинация этих векторов с этими скалярами в качестве коэффициентов равна

${\ displaystyle a_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + a_ {2} \ mathbf {v} _ {2} + a_ {3} \ mathbf {v} _ {3} + \ cdots + a_ { n} \ mathbf {v} _ {n}.}$

Существует некоторая двусмысленность в использовании термина «линейная комбинация» относительно того, относится ли он к выражению или к его значению. В большинстве случаев подчеркивается значение, поскольку в утверждении «множество всех линейных комбинаций v ₁ , ..., v _n всегда образует подпространство». Однако можно также сказать, что «две разные линейные комбинации могут иметь одно и то же значение», и в этом случае ссылка делается на выражение. Тонкое различие между этими применениями заключается в сущности понятия линейной зависимости : семейство векторов F линейно независимо, в точности если любая линейная комбинация векторов в F(как значение) однозначно так (как выражение). В любом случае, даже если рассматривать их как выражения, все, что имеет значение для линейной комбинации, - это коэффициент каждого v _i ; тривиальные модификации, такие как перестановка членов или добавление членов с нулевым коэффициентом, не дают четких линейных комбинаций.

В данной ситуации K и V могут быть указаны явно или очевидны из контекста. В этом случае мы часто говорим о линейной комбинации векторов v ₁ , ..., v _n с неопределенными коэффициентами (за исключением того, что они должны принадлежать K ). Или, если S является подмножеством из V , можно говорить о линейной комбинации векторов в S , где обе коэффициенты и векторы не определены, за исключением того, что векторы должны принадлежать множеству S (и коэффициенты должны принадлежать K ). Наконец, мы можем просто говорить олинейная комбинация , в которой ничего не указано (кроме того, что векторы должны принадлежать V, а коэффициенты должны принадлежать K ); в этом случае, вероятно, имеется в виду выражение, поскольку каждый вектор в V определенно является значением некоторой линейной комбинации.

Обратите внимание, что по определению линейная комбинация включает только конечное число векторов (за исключением случаев, описанных в Обобщениях ниже). Однако множество S , из которого берутся векторы (если он упоминается), все еще может быть бесконечным ; каждая отдельная линейная комбинация будет включать только конечное число векторов. Кроме того, нет причин, по которым n не может быть равным нулю ; в этом случае мы объявить по соглашению , что результат линейной комбинации является нулевым вектором в V .

Примеры и контрпримеры [ править ]

Этот раздел включает в себя список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но его источники остаются неясными, поскольку в нем отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел, добавив более точные цитаты. ( Август 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Евклидовы векторы [ править ]

Пусть поле K множество R из действительных чисел , и пусть векторное пространство V является евклидово пространство R ³ . Рассмотрим векторы e ₁ = (1,0,0) , e ₂ = (0,1,0) и e ₃ = (0,0,1) . Тогда любой вектор в R ³ является линейной комбинацией e ₁ , e ₂ и  e ₃ .

Чтобы убедиться в этом, возьмем произвольный вектор ( a ₁ , a ₂ , a ₃ ) в R ³ и напишем:

${\ displaystyle {\ begin {align} (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}) & = (a_ {1}, 0,0) + (0, a_ {2}, 0) + ( 0,0, a_ {3}) \\ [6pt] & = a_ {1} (1,0,0) + a_ {2} (0,1,0) + a_ {3} (0,0,1 ) \\ [6pt] & = a_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + a_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + a_ {3} \ mathbf {e} _ {3}. \ конец {выровнено}}}$

Функции [ править ]

Пусть К множество С всех комплексных чисел , и пусть V множество С _С ( R ) всех непрерывных функций от вещественной прямой R на комплексной плоскости C . Рассмотрим векторы (функции) f и g, определенные как f ( t ): = e ^it и g ( t ): = e ^{- it} . (Здесь, е представляет собой основание натурального логарифма, около 2,71828 ..., а i - мнимая единица , квадратный корень из -1.) Вот некоторые линейные комбинации f и g  :

• ${\ displaystyle \ cos t = {\ tfrac {1} {2}} \, e ^ {it} + {\ tfrac {1} {2}} \, e ^ {- it}}$
• ${\ displaystyle 2 \ sin t = (- i) e ^ {it} + (i) e ^ {- it}.}$

С другой стороны, постоянная функция 3 не является линейной комбинацией f и g . Чтобы убедиться в этом, предположим, что 3 можно записать как линейную комбинацию e ^it и e ^{- it} . Это означает, что существуют такие комплексные скаляры a и b , что ae ^it + be ^{- it} = 3 для всех действительных чисел t . Положив t = 0 и t = π, получим уравнения a + b = 3 и a +b = −3 , и, очевидно, этого не может быть. См . Личность Эйлера .

Полиномы [ править ]

Пусть К будет Р , С , или любое поле, и пусть V множество Р всех многочленов с коэффициентами , взятых из поля K . Рассмотрим векторы (многочлены) p ₁  : = 1, p ₂  : = x + 1 и p ₃  : = x ² + x + 1 .

Является ли многочлен x ²  - 1 линейной комбинацией p ₁ , p ₂ и p ₃ ? Чтобы выяснить это, рассмотрим произвольную линейную комбинацию этих векторов и попытаемся увидеть, когда она равна желаемому вектору x ²  - 1. Выбирая произвольные коэффициенты a ₁ , a ₂ и a ₃ , мы хотим

${\displaystyle a_{1}(1)+a_{2}(x+1)+a_{3}(x^{2}+x+1)=x^{2}-1.}$

Умножая многочлены, это означает

${\displaystyle (a_{1})+(a_{2}x+a_{2})+(a_{3}x^{2}+a_{3}x+a_{3})=x^{2}-1}$

и собирая как степени x , получаем

${\displaystyle a_{3}x^{2}+(a_{2}+a_{3})x+(a_{1}+a_{2}+a_{3})=1x^{2}+0x+(-1).}$

Два полинома равны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты равны, поэтому мы можем заключить

${\displaystyle a_{3}=1,\quad a_{2}+a_{3}=0,\quad a_{1}+a_{2}+a_{3}=-1.}$

Эту систему линейных уравнений легко решить. Во- первых, первое уравнение просто говорит , что ₃ равен 1. Зная , что мы можем решить второе уравнение в ₂ , который выходит на -1. Наконец, последнее уравнение говорит нам , что ₁ также -1. Следовательно, единственный возможный способ получить линейную комбинацию - это использовать эти коэффициенты. В самом деле,

${\displaystyle x^{2}-1=-1-(x+1)+(x^{2}+x+1)=-p_{1}-p_{2}+p_{3}}$

поэтому x ²  - 1 является линейной комбинацией p ₁ , p ₂ и  p ₃ .

С другой стороны, как насчет многочлена x ³  - 1? Если мы попытаемся сделать этот вектор линейной комбинацией p ₁ , p ₂ и p ₃ , то, следуя тому же процессу, что и раньше, мы получим уравнение

${\displaystyle {\begin{aligned}&0x^{3}+a_{3}x^{2}+(a_{2}+a_{3})x+(a_{1}+a_{2}+a_{3})\\[5pt]={}&1x^{3}+0x^{2}+0x+(-1).\end{aligned}}}$

Однако, когда мы устанавливаем соответствующие коэффициенты равными в этом случае, уравнение для x ³  имеет вид

${\displaystyle 0=1}$

что всегда ложно. Следовательно, это никак не сработает, и x ³  - 1 не является линейной комбинацией p ₁ , p ₂ и  p ₃ .

Линейный пролет [ править ]

Возьмем произвольное поле K , произвольное векторное пространство V и пусть v ₁ , ..., v _n - векторы (в V ). Интересно рассмотреть множество всех линейных комбинаций этих векторов. Этот набор называется линейной оболочкой (или просто оболочкой ) векторов, скажем, S = { v ₁ , ..., v _n }. Запишем промежуток S как span ( S ) ^{[5] [6]} или sp ( S ):

${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}):=\{a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}:a_{1},\ldots ,a_{n}\in K\}.}$

Линейная независимость [ править ]

Для некоторых наборов векторов v ₁ , ..., v _n один вектор может быть записан двумя разными способами как их линейная комбинация:

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i}a_{i}\mathbf {v} _{i}=\sum _{i}b_{i}\mathbf {v} _{i}{\text{ where }}a_{i}\neq b_{i}.}$

Эквивалентно, при вычитании этих ( ) нетривиальная комбинация равна нулю: ^{[7] [8]}${\displaystyle c_{i}:=a_{i}-b_{i}}$

${\displaystyle \mathbf {0} =\sum _{i}c_{i}\mathbf {v} _{i}.}$

Если это возможно, то v ₁ , ..., v _n называются линейно зависимыми ; в противном случае они линейно независимы . Точно так же можно говорить о линейной зависимости или независимости произвольного множества векторов S.

Если S является линейно независимой и пролет S равна V , то S является основанием для V .

Аффинные, конические и выпуклые комбинации [ править ]

Ограничивая коэффициенты, используемые в линейных комбинациях, можно определить связанные понятия аффинной комбинации , конической комбинации и выпуклой комбинации , а также связанные с ними понятия множеств, замкнутых под действием этих операций.

Тип сочетания	Ограничения на коэффициенты	Название набора	Модельное пространство
Линейная комбинация	нет ограничений	Векторное подпространство	${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$
Аффинная комбинация	${\displaystyle \sum a_{i}=1}$	Аффинное подпространство	Аффинная гиперплоскость
Коническая комбинация	${\displaystyle a_{i}\geq 0}$	Выпуклый конус	Квадрант , октант или ортант
Выпуклая комбинация	${\displaystyle a_{i}\geq 0}$ и ${\displaystyle \sum a_{i}=1}$	Выпуклый набор	Симплекс

Поскольку это более ограниченные операции, под ними будет замкнуто больше подмножеств, поэтому аффинные подмножества, выпуклые конусы и выпуклые множества являются обобщениями векторных подпространств: векторное подпространство также является аффинным подпространством, выпуклым конусом и выпуклым множеством, но выпуклое множество не обязательно должно быть векторным подпространством, аффинным или выпуклым конусом.

Эти понятия часто возникают, когда можно взять определенные линейные комбинации объектов, но не любые: например, распределения вероятностей замкнуты относительно выпуклой комбинации (они образуют выпуклое множество), но не конических или аффинных комбинаций (или линейных), а положительные меры замкнуты относительно конической комбинации, но не аффинны или линейны, поэтому знаковые меры определяются как линейное замыкание.

Линейные и аффинные комбинации могут быть определены над любым полем (или кольцом), но коническая и выпуклая комбинация требует понятия «положительный» и, следовательно, может быть определена только над упорядоченным полем (или упорядоченным кольцом ), обычно действительными числами.

Если разрешить только скалярное умножение, а не сложение, получится конус (не обязательно выпуклый) ; часто ограничивают определение, разрешая только умножение на положительные скаляры.

Все эти концепции обычно определяются как подмножества внешнего векторного пространства (за исключением аффинных пространств, которые также рассматриваются как «векторные пространства, забывающие начало координат»), а не аксиоматизируются независимо.

Теория операд [ править ]

Более абстрактно, на языке теории операд , можно рассматривать векторные пространства как алгебры над операдой (бесконечная прямая сумма , поэтому только конечное число членов ненулевое; это соответствует только взятию конечных сумм), что параметризует линейные комбинации : например, вектор соответствует линейной комбинации . Точно так же можно рассматривать аффинные комбинации, конические комбинации и выпуклые комбинации как соответствующие подоперадам, в которых сумма членов равна 1, все члены неотрицательны или и то, и другое, соответственно. Графически это бесконечная аффинная гиперплоскость, бесконечный гипероктант и бесконечный симплекс. Это формализует то, что подразумевается под${\displaystyle \mathbf {R} ^{\infty }}$${\displaystyle (2,3,-5,0,\dots )}$${\displaystyle 2v_{1}+3v_{2}-5v_{3}+0v_{4}+\cdots }$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$быть или стандартным симплексом, являющимся модельными пространствами, и такие наблюдения, как то, что каждый ограниченный выпуклый многогранник является образом симплекса. Здесь подоперации соответствуют более ограниченным операциям и, следовательно, более общим теориям.

С этой точки зрения мы можем рассматривать линейные комбинации как наиболее общий вид операций в векторном пространстве - утверждение, что векторное пространство является алгеброй над операдой линейных комбинаций, - это в точности утверждение, что все возможные алгебраические операции в векторе пространство - это линейные комбинации.

Базовые операции сложения и скалярного умножения, вместе с существованием аддитивного тождества и аддитивных инверсий, не могут быть скомбинированы более сложным образом, чем обычная линейная комбинация: базовые операции - это порождающий набор для операды всех линейных комбинаций.

В конечном счете, этот факт лежит в основе полезности линейных комбинаций при изучении векторных пространств.

Обобщения [ править ]

Если V является топологическим векторным пространством , то есть может быть способом , чтобы сделать смысл некоторых бесконечного линейной комбинации, используя топологию V . Например, мы могли бы говорить о ₁ v ₁  + ₂ v ₂  + ₃ v ₃  + ..., продолжается вечно. Такие бесконечные линейные комбинации не всегда имеют смысл; мы называем их конвергентнымикогда они это сделают. Разрешение более линейных комбинаций в этом случае также может привести к другой концепции диапазона, линейной независимости и базиса. В статьях о различных разновидностях топологических векторных пространств более подробно рассказывается об этом.

Если K - коммутативное кольцо, а не поле, то все, что было сказано выше о линейных комбинациях, без изменений обобщается на этот случай. Единственная разница в том, что мы называем такие пространства V модулями вместо векторных пространств. Если K - некоммутативное кольцо, то концепция все еще обобщается, с одной оговоркой: поскольку модули над некоммутативными кольцами бывают левой и правой версий, наши линейные комбинации также могут входить в любую из этих версий, независимо от того, что подходит для данного модуля. Это просто вопрос скалярного умножения с правильной стороны.

Более сложный поворот наступает тогда , когда V представляет собой бимодуль более двух колец, K _L и K _R . В этом случае наиболее общая линейная комбинация выглядит как

${\displaystyle a_{1}v_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}b_{n}\,}$

где ₁ , ..., _п принадлежат K _L , б ₁ , ..., б _п принадлежат K _R , и V ₁ , ..., V _п принадлежат к V .

Заявление [ править ]

Важное приложение линейных комбинаций - волновые функции в квантовой механике .

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

Учебник [ править ]

• Акслер, Шелдон Джей (2015). Линейная алгебра, сделанная правильно (3-е изд.). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.
• Кацнельсон, Ицхак ; Кацнельсон, Йонатан Р. (2008). (Краткое) Введение в линейную алгебру . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Lay, David C .; Lay, Стивен Р .; Макдональд, Джуди Дж. (2016). Линейная алгебра и ее приложения (5-е изд.). Пирсон. ISBN 978-0-321-98238-4.
• Стрэнг, Гилберт (2016). Введение в линейную алгебру (5-е изд.). Уэллсли Кембридж Пресс. ISBN 978-0-9802327-7-6.

Интернет [ править ]

• «Линейные комбинации» . nLab . 27 октября 2015 . Дата обращения 16 февраля 2021 .

Внешние ссылки [ править ]

• Линейные комбинации и промежуток: понимание линейных комбинаций и промежутков векторов , khanacademy.org.