Выражение (математика)

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  математика "Expression"  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( январь 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Эта статья включает в себя список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Октябрь 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , выражение или математическое выражение является конечной комбинацией символов , которые хорошо сформированных в соответствии с правилами , которые зависят от контекста. Математические символы могут обозначать числа ( константы ), переменные , операции , функции , скобки , знаки препинания и группировку, чтобы помочь определить порядок операций и другие аспекты логического синтаксиса .

Многие авторы различают выражение от формулы , причем первое обозначает математический объект, а второе - высказывание о математических объектах. ^{[ необходима цитата ]} Например, это выражение, а это формула. Однако в современной математике, и в частности в компьютерной алгебре , формулы рассматриваются как выражения, которые могут быть оценены как истинные или ложные , в зависимости от значений, которые присваиваются переменным, присутствующим в выражениях. Например, принимает значение false, если x задано значение меньше –1, и значение true в противном случае.${\ displaystyle 8x-5}$${\displaystyle 8x-5\geq 5x-8}$${\displaystyle 8x-5\geq 5x-8}$

Примеры [ править ]

Использование выражений варьируется от простых:

${\displaystyle 3+8}$

${\displaystyle 8x-5}$   ( линейный полином )

${\displaystyle 7{{x}^{2}}+4x-10}$   ( квадратичный полином )

${\displaystyle {\frac {x-1}{{{x}^{2}}+12}}}$   ( рациональная дробь )

к комплексу:

${\displaystyle f(a)+\sum _{k=1}^{n}\left.{\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}\right|_{t=0}f(u(t))+\int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{n}}{n!}}{\frac {d^{n+1}}{dt^{n+1}}}f(u(t))\,dt.}$

Синтаксис против семантики [ править ]

Синтаксис [ править ]

Выражение - это синтаксическая конструкция. Он должен быть правильно сформирован : разрешенные операторы должны иметь правильное количество вводов в правильных местах, символы, составляющие эти вводы, должны быть действительными, иметь четкий порядок операций и т. Д. Строки символов, нарушающие правила синтаксис неправильно сформирован и не являются допустимыми математическими выражениями.

Например, в обычных обозначениях из арифметики , выражение 1 + 2 × 3 хорошо сформированы, но следующее выражение не является:

${\displaystyle \times 4)x+,/y}$.

Семантика [ править ]

Семантика - это изучение смысла. Формальная семантика - это придание значения выражениям.

В алгебре выражение может использоваться для обозначения значения, которое может зависеть от значений, присвоенных переменным, встречающимся в выражении. Определение этого значения зависит от семантики, связанной с символами выражения. Выбор семантики зависит от контекста выражения. Одно и то же синтаксическое выражение 1 + 2 × 3 может иметь разные значения (математически 7, но также и 9), в зависимости от порядка операций, подразумеваемых контекстом (см. Также Операции § Калькуляторы ).

Семантические правила могут декларировать, что некоторые выражения не обозначают никакого значения (например, когда они включают деление на 0); такие выражения, как говорят, имеют неопределенное значение, но, тем не менее, они являются выражениями правильного формата. Как правило, значение выражений не ограничивается обозначением значений; например, выражение может обозначать условие или уравнение , которое необходимо решить, или оно может рассматриваться как самостоятельный объект, которым можно манипулировать в соответствии с определенными правилами. Определенные выражения, обозначающие значение, одновременно выражают условие, которое предполагается выполненным, например, те, в которых используется оператор для обозначения внутренней прямой суммы .${\displaystyle \oplus }$

Формальные языки и лямбда-исчисление [ править ]

Формальные языки позволяют формализовать понятие правильно сформированных выражений.

В 1930-х годах Алонзо Чёрч и Стивен Клини представили новый тип выражений, называемых лямбда-выражениями , для формализации функций и их вычисления. Они составляют основу лямбда-исчисления , формальной системы, используемой в математической логике и теории языков программирования .

Эквивалентность двух лямбда-выражений неразрешима . Это также относится к выражениям, представляющим действительные числа, которые строятся из целых чисел с помощью арифметических операций, логарифма и экспоненты ( теорема Ричардсона ).

Переменные [ править ]

Многие математические выражения включают переменные . Любая переменная может быть классифицирована как свободная или связанная переменная .

Для данной комбинации значений свободных переменных может быть вычислено выражение, хотя для некоторых комбинаций значений свободных переменных значение выражения может быть неопределенным. Таким образом, выражение представляет функцию , входы которой являются значениями, присвоенными свободным переменным, а выходом - результирующее значение выражения. ^{[ необходима цитата ]}

Например, выражение

${\displaystyle x/y}$

оценивается для x = 10, y = 5, даст 2; но он не определен для y = 0.

Оценка выражения зависит от определения математических операторов и от системы значений, которая является его контекстом.

Два выражения называются эквивалентными, если для каждой комбинации значений свободных переменных они имеют одинаковый результат, т. Е. Представляют одну и ту же функцию. Пример:

Выражение

${\displaystyle \sum _{n=1}^{3}(2nx)}$

имеет свободную переменную x , связанную переменную n , константы 1, 2 и 3, два вхождения неявного оператора умножения и оператор суммирования. Это выражение эквивалентно более простому выражению 12 x . Значение x  = 3 - 36.

См. Также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Редден, Джон (2011). «Элементарная алгебра» . Знание о плоском мире .