В алгебре , А квадратичная функция , А квадратичный полином , А многочлен степени 2 , или просто квадратичные , является полиномиальной функцией с одним или несколькими переменными , в которых с наибольшей степенью термин второй степени.
Например, одномерная (одна переменная) квадратичная функция имеет вид [1]
в единственной переменной x . График из однофакторного квадратичной функции является парабола , ось симметрии параллельна у оси х, как показано справа.
Если квадратичная функция установлена равной нулю, то результатом будет квадратное уравнение . Решения уравнения одной переменной называются корнями функции одной переменной.
Двумерный случай в терминах переменных x и y имеет вид
с хотя бы одним из a, b, c, не равным нулю, и уравнение, устанавливающее эту функцию равной нулю, дает начало коническому сечению ( окружность или другой эллипс , парабола или гипербола ).
Квадратичная функция от трех переменных x , y и z содержит исключительно члены x 2 , y 2 , z 2 , xy , xz , yz , x , y , z и константу:
с по крайней мере одним из коэффициентов a, b, c, d, e или f членов второй степени, отличных от нуля.
В общем, может быть сколь угодно большое количество переменных, и в этом случае результирующая поверхность приведения квадратичной функции к нулю называется квадрикой , но член наивысшей степени должен иметь степень 2, например x 2 , xy , yz , и т.п.
Этимология
Прилагательное « квадратичный» происходит от латинского слова quadrātum (« квадрат »). Такой член, как x 2, в алгебре называется квадратом, потому что это площадь квадрата со стороной x .
Терминология
Коэффициенты
В коэффициенты полинома часто берутся быть реальными или комплексными числами , но на самом деле, полином может быть определен над любым кольцом .
Степень
Используя термин «квадратичный многочлен», авторы иногда имеют в виду «имеющий степень ровно 2», а иногда «имеющий степень не более 2». Если степень меньше 2, это можно назвать « вырожденным случаем ». Обычно контекст устанавливает, что из двух имеется в виду.
Иногда слово «порядок» используется со значением «степень», например, полином второго порядка.
Переменные
Квадратичный полином может включать одну переменную x (одномерный случай) или несколько переменных, таких как x , y и z (многомерный случай).
Случай одной переменной
Любой квадратичный многочлен от одной переменной может быть записан как
где x - переменная, а a , b и c - коэффициенты . В элементарной алгебре такие многочлены часто возникают в виде квадратного уравнения . Решения этого уравнения называются корнями квадратного многочлена и могут быть найдены путем факторизации , завершения квадрата , построения графиков , метода Ньютона или использования формулы квадратичного уравнения . Каждому квадратичному многочлену соответствует квадратичная функция, график которой представляет собой параболу .
Двумерный случай
Любой квадратичный многочлен от двух переменных можно записать как
где x и y - переменные, а a , b , c , d , e и f - коэффициенты. Такие многочлены являются фундаментальными для изучения конических сечений , которые характеризуются приравниванием выражения для f ( x , y ) к нулю. Точно так же квадратичные многочлены с тремя или более переменными соответствуют квадратичным поверхностям и гиперповерхностям . В линейной алгебре квадратичные многочлены можно обобщить до понятия квадратичной формы на векторном пространстве .
Формы одномерной квадратичной функции
Одномерная квадратичная функция может быть выражена в трех форматах: [2]
- называется стандартной формой ,
- называется факторизованной формой , где r 1 и r 2 - корни квадратичной функции и решения соответствующего квадратного уравнения.
- называется формой вершины , где h и k - координаты x и y вершины соответственно.
Коэффициент a имеет одинаковое значение во всех трех формах. Чтобы преобразовать стандартную форму в факторизованную , требуется только квадратичная формула для определения двух корней r 1 и r 2 . Чтобы преобразовать стандартную форму в форму вершины , нужен процесс, называемый завершением квадрата . Чтобы преобразовать факторизованную форму (или форму вершины) в стандартную форму, необходимо умножить, расширить и / или распределить множители.
График функции одной переменной
Независимо от формата, график одномерной квадратичной функции является парабола (как показано на рисунке справа). Эквивалентно, это график двумерного квадратного уравнения.
- Если a > 0 , парабола открывается вверх.
- Если a <0 , парабола открывается вниз.
Коэффициент a контролирует степень кривизны графика; большее значение a придает графику более замкнутый (резко изогнутый) вид.
Коэффициенты b и a вместе управляют положением оси симметрии параболы (также координатой x вершины и параметром h в форме вершины), которая находится в
Коэффициент c контролирует высоту параболы; более конкретно, это высота параболы, где она пересекает ось y .
Вершина
Вершина параболы является местом , где получается; следовательно, это также называется поворотной точкой . Если квадратичная функция имеет форму вершины, вершина равна ( h , k ) . Используя метод завершения квадрата, можно превратить стандартную форму
в
так что вершина ( h , k ) параболы в стандартной форме равна
Если квадратичная функция факторизована в виде
среднее значение двух корней, т. е.
- координата x вершины, следовательно, вершина ( h , k ) является
Вершина также является точкой максимума, если a <0 , или точкой минимума, если a > 0 .
Вертикальная линия
проходящая через вершину также является осью симметрии параболы.
Максимальные и минимальные баллы
Используя исчисление , точка вершины, являющаяся максимумом или минимумом функции, может быть получена путем нахождения корней производной :
x является корнем f '( x ), если f ' ( x ) = 0, в результате
с соответствующим значением функции
поэтому снова координаты точки вершины ( h , k ) могут быть выражены как
Корни одномерной функции
Точные корни
Эти корни (или нули ), г 1 и г 2 , из однофакторной квадратичной функции
- значения x, для которых f ( x ) = 0 .
Когда коэффициенты , б , и гр , являются реальными или сложными , корни
Верхняя граница величины корней
Модуль упругости корней квадратичной не может быть больше, чем где это золотое сечение [4] [ важность? ]
Квадратный корень из одномерной квадратичной функции
Квадратный корень из однофакторной квадратичной функции приводит к одному из четырех конических сечений, почти всегда либо к эллипсу или к гиперболе .
Если тогда уравнение описывает гиперболу, что можно увидеть, возведя обе стороны в квадрат. Направления осей гиперболы определяются ординаты в минимальной точке , соответствующей параболы. Если ордината отрицательна, то большая ось гиперболы (через ее вершины) горизонтальна, а если ордината положительна, то большая ось гиперболы вертикальна.
Если тогда уравнение описывает либо круг, либо другой эллипс, либо вообще ничего. Если ордината максимальной точки соответствующей параболыположительно, то его квадратный корень описывает эллипс, но если ордината отрицательна, то он описывает пустое геометрическое место точек.
Итерация
Чтобы перебрать функцию , можно многократно применять функцию, используя выходные данные одной итерации в качестве входных данных для следующей.
Не всегда можно вывести аналитическую форму , что означает n- ю итерацию. (Верхний индекс может быть расширен до отрицательных чисел, ссылаясь на итерацию обратногоесли существует обратное.) Но есть некоторые аналитически разрешимые случаи.
Например, для итерационного уравнения
надо
где
- а также
Итак, по индукции
можно получить, где можно легко вычислить как
Наконец, у нас есть
как решение.
См. Раздел « Топологическая сопряженность» для получения более подробной информации о взаимосвязи между f и g . И см. Комплексный квадратичный полином для хаотического поведения в общей итерации.
Логистическое отображение
с параметром 2 < r <4 могут быть решены в некоторых случаях, один из которых является хаотическим, а другой - нет. В хаотическом случае r = 4 решение имеет вид
где параметр начального состояния дан кем-то . Для рационального, после конечного числа итераций отображается в периодическую последовательность. Но почти все иррациональны, а для иррациональных , никогда не повторяется - он непериодичен и чувствительно зависит от начальных условий , поэтому его называют хаотическим.
Решение логистической карты при r = 2 есть
для . С для любого значения кроме неустойчивой фиксированной точки 0, член стремится к 0, когда n стремится к бесконечности, поэтому переходит в устойчивую фиксированную точку
Двумерная (две переменные) квадратичная функция
Двумерный квадратичная функция является второй степенью многочлена вида
где A, B, C, D и E - фиксированные коэффициенты, а F - постоянный член. Такая функция описывает квадратичную поверхность . Параметр равное нулю описывает пересечение поверхности с плоскостью , которое представляет собой геометрическое место точек, эквивалентное коническому сечению .
Минимум / максимум
Если функция не имеет максимума или минимума; его график образует гиперболический параболоид .
Если функция имеет минимум, если A > 0, и максимум, если A <0; его график образует эллиптический параболоид. В этом случае минимум или максимум приходится на где:
Если а также функция не имеет максимума или минимума; его график образует параболический цилиндр .
Если а также функция достигает максимума / минимума на линии - минимума, если A > 0, и максимума, если A <0; его график образует параболический цилиндр.
Смотрите также
- Квадратичная форма
- Квадратное уровненеие
- Матричное представление конических сечений
- Квадрик
- Периодические точки комплексных квадратичных отображений
- Список математических функций
Рекомендации
- ^ "Квадратное уравнение из Wolfram MathWorld" . Проверено 6 января 2013 года .
- ^ Хьюз-Халлетт, Дебора ; Коннали, Эрик; МакКаллум, Уильям Г. (2007), College Algebra , John Wiley & Sons Inc., стр. 205, ISBN 9780471271758, Результат поиска
- ^ «Сложные корни стали видимыми - математические забавные факты» . Проверено 1 октября +2016 .
- ^ Лорд, Ник, "Золотые границы для корней квадратных уравнений", Mathematical Gazette 91, ноябрь 2007 г., 549.
- Алгебра 1, Гленко, ISBN 0-07-825083-8
- Алгебра 2, саксонский, ISBN 0-939798-62-X
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Квадратичный» . MathWorld .