Завершение квадрата

Воспроизвести медиа

Анимация, изображающая процесс завершения квадрата. ( Подробности , анимированная версия в формате GIF )

В элементарной алгебре , завершая квадрат представляет собой метод преобразования квадратичного полинома вида

${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c}$

к форме

${\ Displaystyle а (хх) ^ {2} + к}$

для некоторых значений h и k .

Завершение квадрата используется в

• решение квадратных уравнений ,
• вывод формулы квадратного уравнения ,
• построение графиков квадратичных функций ,
• оценка интегралов в исчислении, таких как гауссовские интегралы с линейным членом в показателе степени,
• поиск преобразований Лапласа .

В математике завершение квадрата часто применяется в любых вычислениях, связанных с квадратичными многочленами.

Обзор [ править ]

Фон [ править ]

Формула в элементарной алгебре для вычисления площади в виде бинома является:

${\ displaystyle (x + p) ^ {2} \, = \, x ^ {2} + 2px + p ^ {2}.}$

Например:

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {2} (x + 3) ^ {2} \, & = \, x ^ {2} + 6x + 9 && (p = 3) \\ [3pt] (x-5 ) ^ {2} \, & = \, x ^ {2} -10x + 25 \ qquad && (p = -5). \ End {alignat}}}$

В любом совершенном квадрате коэффициент при x вдвое больше числа p , а постоянный член равен p ² .

Базовый пример [ править ]

Рассмотрим следующий квадратичный многочлен :

${\ displaystyle x ^ {2} + 10x + 28.}$

Эта квадратичная функция не является идеальным квадратом, поскольку 28 не является квадратом 5:

${\ displaystyle (x + 5) ^ {2} \, = \, x ^ {2} + 10x + 25.}$

Однако можно записать исходную квадратичную как сумму этого квадрата и константы:

${\ displaystyle x ^ {2} + 10x + 28 \, = \, (x + 5) ^ {2} +3.}$

Это называется завершением квадрата .

Общее описание [ править ]

Для любой монической квадратичной

${\ displaystyle x ^ {2} + bx + c,}$

можно сформировать квадрат, который имеет те же первые два члена:

${\ displaystyle \ left (x + {\ tfrac {1} {2}} b \ right) ^ {2} \, = \, x ^ {2} + bx + {\ tfrac {1} {4}} b ^ { 2}.}$

Этот квадрат отличается от исходного квадратичного только величиной постоянного члена. Следовательно, мы можем написать

${\displaystyle x^{2}+bx+c\,=\,\left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}+k,}$

где . Эта операция называется завершением квадрата . Например:${\displaystyle k\,=\,c-{\frac {b^{2}}{4}}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{alignedat}}}$

Немонический случай [ править ]

Для квадратичного многочлена вида

${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$

можно вычесть коэффициент a , а затем заполнить квадрат для полученного монического многочлена .

Пример:

${\displaystyle {\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3(x^{2}+4x+9)\\&{}=3\left((x+2)^{2}+5\right)\\&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}}$

Это позволяет записать любой квадратичный многочлен в виде

${\displaystyle a(x-h)^{2}+k.}$

Формула [ править ]

Скалярный регистр [ править ]

Результат завершения квадрата можно записать в виде формулы. Для общего случая: ^[1]

${\displaystyle ax^{2}+bx+c\;=\;a(x-h)^{2}+k,\quad {\text{where}}\quad h=-{\frac {b}{2a}}\quad {\text{and}}\quad k=c-ah^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4a}}.}$

В частности, когда a  = 1:

${\displaystyle x^{2}+bx+c\;=\;(x-h)^{2}+k,\quad {\text{where}}\quad h=-{\frac {b}{2}}\quad {\text{and}}\quad k=c-{\frac {b^{2}}{4}}.}$

Матричный кейс [ править ]

Корпус матрицы выглядит очень похоже:

${\displaystyle x^{\mathrm {T} }Ax+x^{\mathrm {T} }b+c=(x-h)^{\mathrm {T} }A(x-h)+k\quad {\text{where}}\quad h=-{\frac {1}{2}}A^{-1}b\quad {\text{and}}\quad k=c-{\frac {1}{4}}b^{\mathrm {T} }A^{-1}b}$

где должно быть симметрично .${\displaystyle A}$

Если не является симметричным, формулы для и должны быть обобщены на:${\displaystyle A}$${\displaystyle h}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle h=-(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b\quad {\text{and}}\quad k=c-h^{\mathrm {T} }Ah=c-b^{\mathrm {T} }(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}A(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b}$.

Связь с графиком [ править ]

В аналитической геометрии график любой квадратичной функции представляет собой параболу на плоскости xy . Для квадратичного многочлена вида

${\displaystyle a(x-h)^{2}+k}$

числа ч и к может быть истолковано как декартовы координаты в вершине (или стационарной точки ) параболы. То есть h - координата x оси симметрии (т.е. ось симметрии имеет уравнение x = h ), а k - минимальное значение (или максимальное значение, если a  <0) квадратичной функции.

Один из способов убедиться в этом - заметить, что график функции ƒ ( x ) =  x ² представляет собой параболу, вершина которой находится в начале координат (0, 0). Следовательно, график функции ƒ ( x  -  h ) = ( x  -  h ) ² представляет собой параболу, сдвинутую вправо на h , вершина которой находится в точке ( h , 0), как показано на верхнем рисунке. Напротив, график функции ƒ ( x ) +  k =  x ²  +  k представляет собой параболу, смещенную вверх на kвершина которого находится в точке (0,  k ), как показано на центральном рисунке. Объединение горизонтального и вертикального сдвигов дает ƒ ( x  -  h ) +  k = ( x  -  h ) ²  +  k - парабола, сдвинутая вправо на h и вверх на k , вершина которой находится в точке ( h ,  k ), как показано на нижний рисунок.

Решение квадратных уравнений [ править ]

Заполнение квадрата может использоваться для решения любого квадратного уравнения . Например:

${\displaystyle x^{2}+6x+5=0.}$

Первым делом нужно завершить квадрат:

${\displaystyle (x+3)^{2}-4=0.}$

Затем мы решаем квадрат члена:

${\displaystyle (x+3)^{2}=4.}$

Тогда либо

${\displaystyle x+3=-2\quad {\text{or}}\quad x+3=2,}$

и поэтому

${\displaystyle x=-5\quad {\text{or}}\quad x=-1.}$

Это можно применить к любому квадратному уравнению. Когда x ² имеет коэффициент, отличный от 1, первым шагом является разделение уравнения на этот коэффициент: например, см. Немонический случай ниже.

Иррациональные и сложные корни [ править ]

В отличие от методов, включающих факторизацию уравнения, которая надежна только в том случае, если корни рациональны , завершение квадрата найдет корни квадратного уравнения, даже если эти корни иррациональны или сложны . Например, рассмотрим уравнение

${\displaystyle x^{2}-10x+18=0.}$

Завершение квадрата дает

${\displaystyle (x-5)^{2}-7=0,}$

так

${\displaystyle (x-5)^{2}=7.}$

Тогда либо

${\displaystyle x-5=-{\sqrt {7}}\quad {\text{or}}\quad x-5={\sqrt {7}}.}$

Короче:

${\displaystyle x-5=\pm {\sqrt {7}},}$

так

${\displaystyle x=5\pm {\sqrt {7}}.}$

Таким же образом можно обрабатывать уравнения с комплексными корнями. Например:

${\displaystyle {\begin{array}{c}x^{2}+4x+5\,=\,0\\[6pt](x+2)^{2}+1\,=\,0\\[6pt](x+2)^{2}\,=\,-1\\[6pt]x+2\,=\,\pm i\\[6pt]x\,=\,-2\pm i.\end{array}}}$

Немонический случай [ править ]

Для уравнения, содержащего немоническую квадратичную, первый шаг к их решению - разделить на коэффициент при x ² . Например:

${\displaystyle {\begin{array}{c}2x^{2}+7x+6\,=\,0\\[6pt]x^{2}+{\tfrac {7}{2}}x+3\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}-{\tfrac {1}{16}}\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}\,=\,{\tfrac {1}{16}}\\[6pt]x+{\tfrac {7}{4}}={\tfrac {1}{4}}\quad {\text{or}}\quad x+{\tfrac {7}{4}}=-{\tfrac {1}{4}}\\[6pt]x=-{\tfrac {3}{2}}\quad {\text{or}}\quad x=-2.\end{array}}}$

Применение этой процедуры к квадратному уравнению общего вида приводит к квадратной формуле .

Другие приложения [ править ]

Интеграция [ править ]

Заполнение квадрата может использоваться для вычисления любого интеграла формы

${\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}}$

используя основные интегралы

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C\quad {\text{and}}\quad \int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C.}$

Например, рассмотрим интеграл

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}+6x+13}}.}$

Завершение квадрата в знаменателе дает:

${\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+2^{2}}}.}$

Теперь это можно оценить, используя замену u  =  x  + 3, которая дает

${\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,{\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {x+3}{2}}\right)+C.}$

Комплексные числа [ править ]

Рассмотрим выражение

${\displaystyle |z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c,}$

где z и b - комплексные числа , z ^* и b ^* - комплексно сопряженные числа z и b , соответственно, а c - действительное число . Используя личность | u | ² = uu ^* мы можем переписать это как

${\displaystyle |z-b|^{2}-|b|^{2}+c,}$

что явно реальное количество. Это потому что

${\displaystyle {\begin{aligned}|z-b|^{2}&{}=(z-b)(z-b)^{*}\\&{}=(z-b)(z^{*}-b^{*})\\&{}=zz^{*}-zb^{*}-bz^{*}+bb^{*}\\&{}=|z|^{2}-zb^{*}-bz^{*}+|b|^{2}.\end{aligned}}}$

Другой пример: выражение

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c,}$

где a , b , c , x и y - действительные числа, причем a  > 0 и b  > 0, могут быть выражены через квадрат абсолютного значения комплексного числа. Определять

${\displaystyle z={\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y.}$

потом

${\displaystyle {\begin{aligned}|z|^{2}&{}=zz^{*}\\&{}=({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y)({\sqrt {a}}\,x-i{\sqrt {b}}\,y)\\&{}=ax^{2}-i{\sqrt {ab}}\,xy+i{\sqrt {ba}}\,yx-i^{2}by^{2}\\&{}=ax^{2}+by^{2},\end{aligned}}}$

так

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c.}$

Идемпотентная матрица [ править ]

Матрица М является идемпотентной , когда М  ² = М . Идемпотентные матрицы обобщают идемпотентные свойства 0 и 1. Завершение квадратного метода решения уравнения

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}$

показывает, что некоторые идемпотентные матрицы 2 × 2 параметризуются окружностью на ( a, b ) -плоскости:

Матрица будет идемпотентной при условии, что после завершения квадрата она станет${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}}$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}$

${\displaystyle (a-{\tfrac {1}{2}})^{2}+b^{2}={\tfrac {1}{4}}.}$

На плоскости ( a, b ) это уравнение окружности с центром (1/2, 0) и радиусом 1/2.

Геометрическая перспектива [ править ]

Рассмотрим завершение квадрата для уравнения

${\displaystyle x^{2}+bx=a.}$

Поскольку x ² представляет площадь квадрата со стороной длиной x , а bx представляет площадь прямоугольника со сторонами b и x , процесс завершения квадрата можно рассматривать как визуальное манипулирование прямоугольниками.

Простые попытки объединить прямоугольники x ² и bx в квадрат большего размера приводят к отсутствию угла. Термин ( b / 2) ^2, добавленный к каждой стороне приведенного выше уравнения, и есть площадь недостающего угла, откуда и происходит термин «завершение квадрата».

Вариант техники [ править ]

Как обычно учат, завершение квадрата состоит из добавления третьего члена, v  ^2, к

${\displaystyle u^{2}+2uv}$

получить квадрат. Есть также случаи, когда можно добавить средний член, либо 2 uv, либо −2 uv , к

${\displaystyle u^{2}+v^{2}}$

получить квадрат.

Пример: сумма положительного числа и обратного [ править ]

Написав

${\displaystyle {\begin{aligned}x+{1 \over x}&{}=\left(x-2+{1 \over x}\right)+2\\&{}=\left({\sqrt {x}}-{1 \over {\sqrt {x}}}\right)^{2}+2\end{aligned}}}$

мы показываем, что сумма положительного числа x и его обратной величины всегда больше или равна 2. Квадрат действительного выражения всегда больше или равен нулю, что дает указанную границу; и здесь мы получаем 2 именно тогда, когда x равно 1, в результате чего квадрат исчезает.

Пример: разложение на множители простого многочлена четвертой степени [ править ]

Рассмотрим задачу факторизации многочлена

${\displaystyle x^{4}+324.}$

Это

${\displaystyle (x^{2})^{2}+(18)^{2},}$

поэтому средний член равен 2 ( x ² ) (18) = 36 x ² . Таким образом мы получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+324&{}=(x^{4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&{}=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}={\text{a difference of two squares}}\\&{}=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&{}=(x^{2}+6x+18)(x^{2}-6x+18)\end{aligned}}}$

(последняя строка добавлена ​​просто для того, чтобы следовать соглашению об уменьшении степени терминов).

Тот же аргумент показывает, что всегда факторизуем как ${\displaystyle x^{4}+4a^{4}}$

${\displaystyle x^{4}+4a^{4}=(x^{2}+2ax+2a^{2})(x^{2}-2ax+2a^{2})}$

(Также известна как Идентификация Софи-Жермен).

Ссылки [ править ]

• Алгебра 1, Гленко, ISBN 0-07-825083-8 , страницы 539–544 
• Алгебра 2, саксонский, ISBN 0-939798-62-X , страницы 214–214, 241–242, 256–257, 398–401 

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме « Завершение квадрата» .

• «Завершение квадрата» . PlanetMath .