Преобразование Лапласа

В математике , то преобразование Лапласа , названный в честь его изобретателя Лаплас ( / L ə р л ɑː с / ), является интегральное преобразование , которое преобразует функцию вещественной переменной (часто времени) к функции комплексного переменного ( комплексная частота ). Преобразование имеет множество приложений в науке и технике, потому что это инструмент для решения дифференциальных уравнений . В частности, он преобразует дифференциальные уравнения в алгебраические уравнения, а свертку - в умножение. ^[1]${\ displaystyle t}$ ${\ displaystyle s}$^{[2] [3]}

История [ править ]

Преобразование Лапласа названо в честь математика и астронома Пьера-Симона Лапласа , который использовал аналогичное преобразование в своей работе по теории вероятностей. ^[4] Лаплас много писал об использовании производящих функций в « Философском опыте о вероятностях» (1814 г.), и в результате естественным образом возникла интегральная форма преобразования Лапласа. ^[5]

Использование производящих функций Лапласом было похоже на то, что теперь известно как z-преобразование , и он уделял мало внимания случаю непрерывной переменной, который обсуждался Нильсом Хенриком Абелем . ^[6] Теория получила дальнейшее развитие в 19 и начале 20 веков Mathias Лерха , ^[7] Оливер Хевисайда , ^[8] и Томас Бромвич . ^[9]

Нынешнее широкое использование преобразования (в основном в инженерии) произошло во время и вскоре после Второй мировой войны ^[10], заменив более раннее операционное исчисление Хевисайда. Преимущества преобразования Лапласа было подчеркнуто Gustav Дёча , ^[11] , к которому имя преобразования Лапласа, по- видимому из - за.

С 1744 года Леонард Эйлер исследовал интегралы вида

${\ displaystyle z = \ int X (x) e ^ {ax} \, dx \ quad {\ text {and}} \ quad z = \ int X (x) x ^ {A} \, dx}$

как решения дифференциальных уравнений, но далеко не продвинулись в этом вопросе. ^[12] Джозеф Луи Лагранж был поклонником Эйлера и в своей работе по интегрированию функций плотности вероятности исследовал выражения вида

${\ displaystyle \ int X (x) e ^ {- ax} a ^ {x} \, dx,}$

которые некоторые современные историки интерпретировали в рамках современной теории преобразования Лапласа. ^{[13] [14] [ требуется разъяснение ]}

Эти типы интегралов, кажется, впервые привлекли внимание Лапласа в 1782 году, когда он в духе Эйлера использовал сами интегралы как решения уравнений. ^[15] Однако в 1785 году Лаплас сделал важный шаг вперед, когда вместо того, чтобы просто искать решение в форме интеграла, он начал применять преобразования в том смысле, который позже стал популярным. Он использовал интеграл вида

${\ displaystyle \ int х ^ {s} \ varphi (x) \, dx,}$

аналогично преобразованию Меллина , чтобы преобразовать все разностное уравнение , чтобы искать решения преобразованного уравнения. Затем он таким же образом применил преобразование Лапласа и начал выводить некоторые из его свойств, начав осознавать его потенциальную силу. ^[16]

Лаплас также признал, что метод рядов Фурье Джозефа Фурье для решения уравнения диффузии может применяться только к ограниченной области пространства, потому что эти решения были периодическими . В 1809 году Лаплас применил свое преобразование, чтобы найти решения, которые бесконечно распространялись в пространстве. ^[17]

Формальное определение [ править ]

Преобразование Лапласа функции f ( t ) , определенное для всех действительных чисел t ≥ 0 , - это функция F ( s ) , которая является односторонним преобразованием, определяемым формулой

${\ Displaystyle F (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) e ^ {- st} \, dt}$

( Уравнение 1 )

где s - параметр частоты комплексного числа

${\ displaystyle s = \ sigma + я \ omega}$, с действительными числами σ и ω .

Альтернативное обозначение преобразования Лапласа: ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ {е \}}$вместо F . ^{[1] [3]}

Значение интеграла зависит от типа интересующих функций. Необходимым условием существования интеграла является то , что е должны быть локально интегрируемой на [0, ∞) . Для локально интегрируемых функций, убывающих на бесконечности или экспоненциального типа , интеграл можно понимать как (собственный) интеграл Лебега . Однако для многих приложений необходимо рассматривать его как условно сходящийся несобственный интеграл в ∞ . В более общем смысле интеграл можно понимать в слабом смысле , и это рассматривается ниже.

Преобразование Лапласа конечной борелевской меры μ можно определить интегралом Лебега ^[18]

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {\ mu \} (s) = \ int _ {[0, \ infty)} e ^ {- st} \, d \ mu (t).}$

Важным частным случаем является случай, когда μ - вероятностная мера , например дельта-функция Дирака . В операционном исчислении преобразование Лапласа меры часто трактуется так, как если бы мера была получена из функции плотности вероятности f . В этом случае, чтобы избежать путаницы, часто пишут

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt,}$

где нижний предел 0 ^- сокращенное обозначение для

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{-\varepsilon }^{\infty }.}$

Этот предел подчеркивает, что любая точечная масса, расположенная в 0 , полностью захватывается преобразованием Лапласа. Хотя для интеграла Лебега нет необходимости использовать такой предел, он более естественен в связи с преобразованием Лапласа – Стилтьеса .

Двустороннее преобразование Лапласа [ править ]

Когда говорят «преобразование Лапласа» без оговорок, обычно подразумевается одностороннее или одностороннее преобразование. В качестве альтернативы преобразование Лапласа можно определить как двустороннее преобразование Лапласа или двустороннее преобразование Лапласа , расширив пределы интегрирования до всей действительной оси. Если это будет сделано, обычное одностороннее преобразование просто станет частным случаем двустороннего преобразования, где определение преобразуемой функции умножается на ступенчатую функцию Хевисайда .

Двустороннее преобразование Лапласа F ( s ) определяется следующим образом:

${\displaystyle F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt}$

( Уравнение 2 )

Альтернативное обозначение двустороннего преобразования Лапласа - вместо .${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f\}}$${\displaystyle F}$

Обратное преобразование Лапласа [ править ]

Две интегрируемые функции имеют одно и то же преобразование Лапласа, только если они различаются на множестве нулевой меры Лебега . Это означает, что в диапазоне преобразования есть обратное преобразование. Фактически, помимо интегрируемых функций, преобразование Лапласа является взаимно однозначным отображением одного функционального пространства в другое и во многих других функциональных пространствах, хотя обычно нет простой характеристики диапазона.

Типичные функциональные пространства, в которых это верно, включают пространства ограниченных непрерывных функций, пространство L ∞ (0, ∞) или более общие умеренные распределения на (0, ∞) . Преобразование Лапласа также определено и инъективно для подходящих пространств умеренных распределений .

В этих случаях образ преобразования Лапласа живет в пространстве аналитических функций в области сходимости . Обратное преобразование Лапласа задается следующим комплексным интегралом, который известен под разными названиями (The интегральных Бромвич , то интегральные Фурье-Меллина , а обратная формула Меллина ):

${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(t)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,ds}$

( Уравнение 3 )

где γ - действительное число, так что контурный путь интегрирования находится в области сходимости F ( s ) . В большинстве приложений контур можно замкнуть, что позволяет использовать теорему о вычетах . Альтернативная формула для обратного преобразования Лапласа дается формулой обращения Поста . Предел здесь интерпретируется в слабой топологии * .

На практике обычно удобнее разложить преобразование Лапласа на известные преобразования функций, полученных из таблицы, и построить обратное путем проверки.

Теория вероятностей [ править ]

В чистой и прикладной вероятности преобразование Лапласа определяется как ожидаемое значение . Если X - случайная величина с функцией плотности вероятности f , то преобразование Лапласа f задается математическим ожиданием

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\operatorname {E} \!\left[e^{-sX}\right]\!.}$

По соглашению , это называется преобразованием Лапласа случайной величины X сам. Здесь, заменяя S на - т дает производящую функцию момент в X . Преобразование Лапласа имеет приложения по всей теории вероятностей, в том числе первый раз пассажей из случайных процессов , таких как цепи Маркова и теории восстановления .

В частности, используется возможность восстановления кумулятивной функции распределения непрерывной случайной величины X с помощью преобразования Лапласа следующим образом: ^[19]

${\displaystyle F_{X}(x)={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s}}\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right]\right\}\!(x)={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\{f\}(s)\right\}\!(x).}$

Область конвергенции [ править ]

Если f - локально интегрируемая функция (или, в более общем смысле, борелевская мера локально ограниченной вариации), то преобразование Лапласа F ( s ) функции f сходится при условии, что предел

${\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}f(t)e^{-st}\,dt}$

существуют.

Преобразование Лапласа абсолютно сходится, если интеграл

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left|f(t)e^{-st}\right|\,dt}$

существует как собственный интеграл Лебега. Преобразование Лапласа обычно понимается как условно сходящееся , что означает, что оно сходится в первом, но не во втором смысле.

Набор значений, для которых F ( s ) абсолютно сходится, имеет вид Re ( s )> a или Re ( s ) ≥ a , где a - расширенная вещественная константа с −∞ ≤ a ≤ ∞ (следствие теорема о мажорируемой сходимости ). Постоянная a известна как абсцисса абсолютной сходимости и зависит от поведения роста f ( t ) . ^[20] Аналогично двустороннее преобразование абсолютно сходится в полосе вида a <Re ( s ) < b и, возможно, включая строки Re ( s ) = a или Re ( s ) = b . ^[21] Подмножество значений s, для которых преобразование Лапласа сходится абсолютно, называется областью абсолютной сходимости или областью абсолютной сходимости. В двустороннем случае ее иногда называют полосой абсолютной сходимости. Преобразование Лапласа является аналитическим в области абсолютной сходимости: это является следствием теоремы Фубини и теоремы Мореров .

Точно так же набор значений, для которых F ( s ) сходится (условно или абсолютно), известен как область условной конвергенции или просто область конвергенции (ROC). Если преобразование Лапласа сходится (условно) при s = s ₀ , то оно автоматически сходится для всех s с Re ( s )> Re ( s ₀ ) . Следовательно, область сходимости представляет собой полуплоскость вида Re ( s )> a , возможно, включающую некоторые точки граничной линии Re ( s ) = a .

В области сходимости Re ( s )> Re ( s ₀ ) преобразование Лапласа функции f может быть выражено интегрированием по частям как интеграл

${\displaystyle F(s)=(s-s_{0})\int _{0}^{\infty }e^{-(s-s_{0})t}\beta (t)\,dt,\quad \beta (u)=\int _{0}^{u}e^{-s_{0}t}f(t)\,dt.}$

То есть F ( s ) может быть эффективно выражено в области сходимости как абсолютно сходящееся преобразование Лапласа некоторой другой функции. В частности, он аналитический.

Существует несколько теорем Пэли – Винера, касающихся взаимосвязи между свойствами распада f и свойствами преобразования Лапласа в области сходимости.

В инженерных приложениях функция, соответствующая линейной инвариантной во времени (LTI) системе, является стабильной, если каждый ограниченный вход производит ограниченный выход. Это эквивалентно абсолютной сходимости преобразования Лапласа функции импульсного отклика в области Re ( s ) ≥ 0 . В результате системы LTI стабильны при условии, что полюса преобразования Лапласа функции импульсного отклика имеют отрицательную действительную часть.

Этот ROC используется для определения причинности и стабильности системы.

Свойства и теоремы [ править ]

Преобразование Лапласа имеет ряд свойств, которые делают его полезным для анализа линейных динамических систем . Наиболее значительным преимуществом является то, что дифференцирование превращается в умножение, а интегрирование - в деление на s (напоминая о том, как логарифмы меняют умножение на сложение логарифмов).

Из-за этого свойства переменная Лапласа s также известна как операторная переменная в области L : либо оператор производной, либо (для s ⁻¹ ) оператор интегрирования . Преобразование превращает интегральные уравнения и дифференциальные уравнения в полиномиальные уравнения , которые намного проще решить. После решения обратное преобразование Лапласа возвращается к исходной области.

Учитывая функции f ( t ) и g ( t ) и их соответствующие преобразования Лапласа F ( s ) и G ( s ) ,

${\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\},\\g(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\},\end{aligned}}}$

Следующая таблица представляет собой список свойств одностороннего преобразования Лапласа: ^[22]

Свойства одностороннего преобразования Лапласа

	Область времени	s домен	Комментарий
Линейность	${\displaystyle af(t)+bg(t)\ }$	${\displaystyle aF(s)+bG(s)\ }$	Можно доказать с помощью основных правил интеграции.
Производная в частотной области	${\displaystyle tf(t)\ }$	${\displaystyle -F'(s)\ }$	F ′ - первая производная F по s .
Общая производная в частотной области	${\displaystyle t^{n}f(t)\ }$	${\displaystyle (-1)^{n}F^{(n)}(s)\ }$	Более общая форма, n- я производная от F ( s ) .
Производная	${\displaystyle f'(t)\ }$	${\displaystyle sF(s)-f(0^{-})\ }$	Предполагается, что f - дифференцируемая функция , а ее производная - экспоненциального типа. Затем его можно получить интегрированием по частям
Вторая производная	${\displaystyle f''(t)\ }$	${\textstyle s^{2}F(s)-sf(0^{-})-f'(0^{-})\ }$	Предполагается, что f дважды дифференцируема, а вторая производная имеет экспоненциальный тип. Далее следует применение свойства дифференцирования к f ′ ( t ) .
Общая производная	${\displaystyle f^{(n)}(t)\ }$	${\displaystyle s^{n}F(s)-\sum _{k=1}^{n}s^{n-k}f^{(k-1)}(0^{-})\ }$	е предполагается п -кратного дифференцируема, с п - й производной экспоненциального типа. Далее следует математическая индукция .
Интеграция в частотной области	${\displaystyle {\frac {1}{t}}f(t)\ }$	${\displaystyle \int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma \ }$	Это выводится с использованием характера частотной дифференциации и условной конвергенции.
Интеграция во временной области	${\displaystyle \int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =(u*f)(t)}$	${\displaystyle {1 \over s}F(s)}$	у ( т ) является функцией Хевисайда и ( у  *  е ) ( т ) является сверткой из U ( т ) и F ( т ) .
Сдвиг частоты	${\displaystyle e^{at}f(t)\ }$	${\displaystyle F(s-a)\ }$
Временной сдвиг	${\displaystyle f(t-a)u(t-a)\ }$	${\displaystyle e^{-as}F(s)\ }$	u ( t ) - ступенчатая функция Хевисайда
Масштабирование времени	${\displaystyle f(at)}$	${\displaystyle {\frac {1}{a}}F\left({s \over a}\right)}$	${\displaystyle a>0\ }$
Умножение	${\displaystyle f(t)g(t)}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}F(\sigma )G(s-\sigma )\,d\sigma \ }$	Интегрирование производится по вертикали Re ( σ ) = гр , что целиком лежит в пределах области сходимости F . [23]
Свертка	${\displaystyle (f*g)(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }$	${\displaystyle F(s)\cdot G(s)\ }$
Комплексное сопряжение	${\displaystyle f^{*}(t)}$	${\displaystyle F^{*}(s^{*})}$
Взаимная корреляция	${\displaystyle f(t)\star g(t)}$	${\displaystyle F^{*}(-s^{*})\cdot G(s)}$
Периодическая функция	${\displaystyle f(t)}$	${\displaystyle {1 \over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt}$	f ( t ) - периодическая функция периода T, так что f ( t ) = f ( t + T ) для всех t ≥ 0 . Это результат свойства сдвига во времени и геометрического ряда .

• Теорема о начальном значении :

${\displaystyle f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}.}$

• Теорема об окончательном значении :

${\displaystyle f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}}$, Если все полюса из лежат в левой полуплоскости.${\displaystyle sF(s)}$

Теорема о конечном значении полезна, потому что она дает долгосрочное поведение без необходимости выполнять разложение на частичные дроби (или другую сложную алгебру). Если F ( s ) имеет полюс в правой плоскости или полюсы на мнимой оси (например, если или ), то поведение этой формулы не определено.${\displaystyle f(t)=e^{t}}$${\displaystyle f(t)=\sin(t)}$

Отношение к степенным рядам [ править ]

Преобразование Лапласа можно рассматривать как непрерывный аналог степенного ряда . ^[24] Если a ( n ) является дискретной функцией положительного целого числа n , то степенной ряд, связанный с a ( n ), является рядом

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a(n)x^{n}}$

где x - вещественная переменная (см. преобразование Z ). Заменяя суммирование по n интегрированием по t , непрерывная версия степенного ряда становится

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)x^{t}\,dt}$

где дискретная функция a ( n ) заменена на непрерывную f ( t ) .

Изменение основания мощности с x на e дает

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)\left(e^{\ln {x}}\right)^{t}\,dt}$

Чтобы это сходилось, скажем, для всех ограниченных функций f , необходимо потребовать, чтобы ln x <0 . Выполнение замены - s = ln x дает просто преобразование Лапласа:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt}$

Другими словами, преобразование Лапласа является непрерывным аналогом степенного ряда, в котором дискретный параметр n заменяется непрерывным параметром t , а x заменяется на e ^{- s} .

Отношение к моментам [ править ]

Количество

${\displaystyle \mu _{n}=\int _{0}^{\infty }t^{n}f(t)\,dt}$

- моменты функции f . Если первый п моменты ф сходится абсолютно, то путем многократного дифференцированием под знаком интеграла ,

${\displaystyle (-1)^{n}({\mathcal {L}}f)^{(n)}(0)=\mu _{n}.}$

Это имеет особое значение в теории вероятностей, где моменты случайной величины X задаются математическими ожиданиями . Тогда имеет место соотношение${\displaystyle \mu _{n}=\operatorname {E} [X^{n}]}$

${\displaystyle \mu _{n}=(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right](0).}$

Вычисление преобразования Лапласа производной функции [ править ]

Часто бывает удобно использовать свойство дифференцирования преобразования Лапласа, чтобы найти преобразование производной функции. Это можно вывести из основного выражения для преобразования Лапласа следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}&=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt\\[6pt]&=\left[{\frac {f(t)e^{-st}}{-s}}\right]_{0^{-}}^{\infty }-\int _{0^{-}}^{\infty }{\frac {e^{-st}}{-s}}f'(t)\,dt\quad {\text{(by parts)}}\\[6pt]&=\left[-{\frac {f(0^{-})}{-s}}\right]+{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\},\end{aligned}}}$

уступающий

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}-f(0^{-}),}$

а в двустороннем случае

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}.}$

Общий результат

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}(t)\right\}=s^{n}\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-}),}$

где обозначает n- ^ю производную от f , может быть установлено с помощью индуктивного аргумента.${\displaystyle f^{(n)}}$

Вычисление интегралов по положительной действительной оси [ править ]

Полезное свойство преобразования Лапласа следующее:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)g(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }({\mathcal {L}}f)(s)\cdot ({\mathcal {L}}^{-1}g)(s)\,ds}$

при подходящих предположениях о поведении в правой окрестности и о скорости убывания в левой окрестности . Приведенная выше формула представляет собой вариацию интегрирования по частям с заменой операторов и на и . Докажем эквивалентную формулировку:${\displaystyle f,g}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle f,g}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$${\displaystyle \int \,dx}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }({\mathcal {L}}f)(x)g(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }f(s)({\mathcal {L}}g)(s)\,ds.}$

При подключении левая сторона превращается в:${\displaystyle ({\mathcal {L}}f)(x)=\int _{0}^{\infty }f(s)e^{-sx}\,ds}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }f(s)g(x)e^{-sx}\,ds\,dx,}$

но если предположить, что теорема Фубини верна, изменив порядок интегрирования на противоположный, мы получим нужную правую часть.

Связь с другими трансформациями [ править ]

Преобразование Лапласа – Стилтьеса [ править ]

(Одностороннее) преобразование Лапласа – Стилтьеса функции g  : R → R определяется интегралом Лебега – Стилтьеса

${\displaystyle \{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,dg(t).}$

Предполагается, что функция g имеет ограниченную вариацию . Если g является первообразной от f :

${\displaystyle g(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt}$

тогда преобразование Лапласа – Стилтьеса функции g и преобразование Лапласа функции f совпадают. В общем случае преобразование Лапласа – Стилтьеса - это преобразование Лапласа меры Стилтьеса, связанной с g . Таким образом, на практике единственное различие между этими двумя преобразованиями состоит в том, что преобразование Лапласа считается действующим на функцию плотности меры, тогда как преобразование Лапласа – Стилтьеса считается действующим на своей кумулятивной функции распределения . ^[25]

Преобразование Фурье [ править ]

Преобразование Лапласа аналогично преобразованию Фурье . В то время как преобразование Фурье функции является комплексной функцией действительной переменной (частоты), преобразование Лапласа функции является сложной функцией комплексной переменной. Преобразование Лапласа обычно ограничивается преобразованием функций от t при t ≥ 0 . Следствием этого ограничения является то, что преобразование Лапласа функции является голоморфной функцией переменной s . В отличие от преобразования Фурье, преобразование Лапласа распределения обычно хорошо себя ведет.функция. Методы комплексных переменных также можно использовать для непосредственного изучения преобразований Лапласа. Как голоморфная функция, преобразование Лапласа имеет представление степенного ряда . Этот степенной ряд выражает функцию как линейную суперпозицию моментов функции. Эта перспектива имеет приложения в теории вероятностей. Непрерывное преобразование Фурье эквивалентно оценке двустороннего преобразования Лапласа с мнимым аргументом s = iω или s = 2 πfi ^[26], когда выполняется условие, объясненное ниже,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}(\omega )&={\mathcal {F}}\{f(t)\}\\[4pt]&={\mathcal {L}}\{f(t)\}|_{s=i\omega }=F(s)|_{s=i\omega }\\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega t}f(t)\,dt~.\end{aligned}}}$

Это определение преобразования Фурье требует предварительного множителя 1 / (2 π ) на обратном преобразовании Фурье. Эта связь между преобразованиями Лапласа и Фурье часто используется для определения частотного спектра в виде сигнала или динамической системы.

Вышеупомянутое соотношение справедливо, как указано, тогда и только тогда, когда область конвергенции (ROC) F ( s ) содержит мнимую ось, σ = 0 .

Например, функция f ( t ) = cos ( ω ₀ t ) имеет преобразование Лапласа F ( s ) = s / ( s ² + ω ₀ ² ) , ROC которого Re ( s )> 0 . Поскольку s = iω является полюсом F ( s ) , подстановка s = iω в F ( s ) не приводит к преобразованию Фурье функции f ( t) u ( t ) , которая пропорциональна дельта-функции Дирака δ ( ω - ω ₀ ) .

Однако отношение вида

${\displaystyle \lim _{\sigma \to 0^{+}}F(\sigma +i\omega )={\widehat {f}}(\omega )}$

выполняется при гораздо более слабых условиях. Например, это верно для вышеприведенного примера при условии, что предел понимается как слабый предел мер (см. Расплывчатую топологию ). Общие условия, связывающие предел преобразования Лапласа функции на границе с преобразованием Фурье, принимают форму теорем Пэли – Винера .

Преобразование Меллина [ править ]

Преобразование Меллина и его обратное связаны с двусторонним преобразованием Лапласа простой заменой переменных.

Если в преобразовании Меллина

${\displaystyle G(s)={\mathcal {M}}\{g(\theta )\}=\int _{0}^{\infty }\theta ^{s}g(\theta )\,{\frac {d\theta }{\theta }}}$

положим & thetas = е ^{- т} мы получаем преобразование двусторонний Лапласа.

Z-преобразование [ править ]

Одностороннее или одностороннее Z-преобразование - это просто преобразование Лапласа идеально дискретизированного сигнала с заменой

${\displaystyle z{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}e^{sT},}$

где T = 1 / f _s - период дискретизации (в единицах времени, например, секундах), а f _s - частота дискретизации (в отсчетах в секунду или герцах ).

Позволять

${\displaystyle \Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)}$

быть последовательностью импульсов отбора проб (также называемой гребенкой Дирака ) и

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{q}(t)\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ x(t)\Delta _{T}(t)=x(t)\sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)\end{aligned}}}$

- выборочное представление непрерывного времени x ( t )

${\displaystyle x[n]{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}x(nT)~.}$

Преобразование Лапласа дискретизированного сигнала x _q ( t ) имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{q}(s)&=\int _{0^{-}}^{\infty }x_{q}(t)e^{-st}\,dt\\&=\int _{0^{-}}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\int _{0^{-}}^{\infty }\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]e^{-nsT}~.\end{aligned}}}$

Это точное определение одностороннего Z-преобразования дискретной функции x [ n ]

${\displaystyle X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}}$

с заменой z → e ^sT .

Сравнивая два последних уравнения, мы находим связь между односторонним Z-преобразованием и преобразованием Лапласа дискретизированного сигнала:

${\displaystyle X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{z=e^{sT}}.}$

Сходство между преобразованием Z и преобразованием Лапласа расширяется в теории исчисления шкалы времени .

Преобразование Бореля [ править ]

Интегральная форма преобразования Бореля

${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(z)e^{-sz}\,dz}$

является частным случаем преобразования Лапласа для е в целой функции экспоненциального типа, а это означает , что

${\displaystyle |f(z)|\leq Ae^{B|z|}}$

для некоторых констант A и B . Обобщенное преобразование Бореля позволяет использовать другую весовую функцию, а не экспоненциальную функцию, для преобразования функций не экспоненциального типа. Теорема Нахбина дает необходимые и достаточные условия для корректного определения преобразования Бореля.

Фундаментальные отношения [ править ]

Поскольку обычное преобразование Лапласа может быть записано как частный случай двустороннего преобразования и поскольку двустороннее преобразование может быть записано как сумма двух односторонних преобразований, теория Лапласа, Фурье, Меллина -, и Z-преобразования - это, по сути, одна и та же тема. Однако с каждым из этих четырех основных интегральных преобразований связаны разные точки зрения и разные характерные проблемы.

Таблица избранных преобразований Лапласа [ править ]

В следующей таблице представлены преобразования Лапласа для многих общих функций одной переменной. ^{[27] [28]} Определения и пояснения см. В пояснениях в конце таблицы.

Поскольку преобразование Лапласа является линейным оператором,

• Преобразование Лапласа суммы - это сумма преобразований Лапласа каждого члена.

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)+g(t)\}={\mathcal {L}}\{f(t)\}+{\mathcal {L}}\{g(t)\}}$

• Преобразование Лапласа кратной функции - это многократное преобразование Лапласа этой функции.

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{af(t)\}=a{\mathcal {L}}\{f(t)\}}$

Используя эту линейность и различные тригонометрические , гиперболические и комплексные числа (и т. Д.) Свойства и / или тождества, некоторые преобразования Лапласа могут быть получены из других быстрее, чем при непосредственном использовании определения.

Одностороннее преобразование Лапласа принимает в качестве входных данных функцию, временная область которой является неотрицательными действительными числами, поэтому все функции временной области в таблице ниже кратны ступенчатой ​​функции Хевисайда u ( t ) .

Записи в таблице, которые включают временную задержку τ , должны быть причинными (это означает, что τ > 0 ). Причинная система - это система, в которой импульсная характеристика h ( t ) равна нулю за все время t до t = 0 . В общем, область конвергенции причинных систем не такая, как у антикаузальных систем .

Функция	Область времени ${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}}$	S -домен Лапласа ${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}}$	Область конвергенции	Ссылка
единичный импульс	${\displaystyle \delta (t)\ }$	${\displaystyle 1}$	все с	осмотр
задержанный импульс	${\displaystyle \delta (t-\tau )\ }$	${\displaystyle e^{-\tau s}\ }$		временной сдвиг единичного импульса
единичный шаг	${\displaystyle u(t)\ }$	${\displaystyle {1 \over s}}$	Re ( s )> 0	интегрировать единичный импульс
отложенный единичный шаг	${\displaystyle u(t-\tau )\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{s}}e^{-\tau s}}$	Re ( s )> 0	временной сдвиг единичного шага
пандус	${\displaystyle t\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{s^{2}}}}$	Re ( s )> 0	интегрировать единичный импульс дважды
n- я степень (для целого n )	${\displaystyle t^{n}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {n! \over s^{n+1}}}$	Re ( s )> 0 ( n > −1 )	Интегрировать единичный шаг n раз
q- я степень (для комплексного q )	${\displaystyle t^{q}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\Gamma (q+1) \over s^{q+1}}}$	Re ( s )> 0 Re ( q )> −1	[29] [30]
корень n- й степени	${\displaystyle {\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {1 \over s^{{\frac {1}{n}}+1}}\Gamma \left({\frac {1}{n}}+1\right)}$	Re ( s )> 0	Установите q = 1 / n выше.
n- я степень со сдвигом частоты	${\displaystyle t^{n}e^{-\alpha t}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {n!}{(s+\alpha )^{n+1}}}}$	Re ( s )> - α	Интегрировать единичный шаг, применить сдвиг частоты
задержанная n- я степень со сдвигом частоты	${\displaystyle (t-\tau )^{n}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )}$	${\displaystyle {\frac {n!\cdot e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}}$	Re ( s )> - α	Интегрировать единичный шаг, применить сдвиг частоты, применить сдвиг по времени
экспоненциальный спад	${\displaystyle e^{-\alpha t}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {1 \over s+\alpha }}$	Re ( s )> - α	Частотный сдвиг единичного шага
двусторонний экспоненциальный спад (только для двустороннего преобразования)	${\displaystyle e^{-\alpha |t|}\ }$	${\displaystyle {2\alpha \over \alpha ^{2}-s^{2}}}$	- α <Re ( s ) < α	Частотный сдвиг единичного шага
экспоненциальный подход	${\displaystyle (1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}}$	Re ( s )> 0	Единичный шаг минус экспоненциальный спад
синус	${\displaystyle \sin(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}}$	Re ( s )> 0	Bracewell 1978 , стр. 227
косинус	${\displaystyle \cos(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {s \over s^{2}+\omega ^{2}}}$	Re ( s )> 0	Bracewell 1978 , стр. 227
гиперболический синус	${\displaystyle \sinh(\alpha t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}}$	Re ( s )> | α |	Уильямс 1973 , стр. 88
гиперболический косинус	${\displaystyle \cosh(\alpha t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {s \over s^{2}-\alpha ^{2}}}$	Re ( s )> | α |	Уильямс 1973 , стр. 88
экспоненциально затухающая синусоида	${\displaystyle e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}$	Re ( s )> - α	Bracewell 1978 , стр. 227
экспоненциально затухающая косинусоидальная волна	${\displaystyle e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}$	Re ( s )> - α	Bracewell 1978 , стр. 227
натуральный логарифм	${\displaystyle \ln(t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle -{1 \over s}\,\left[\ln(s)+\gamma \right]}$	Re ( s )> 0	Уильямс 1973 , стр. 88
Функция Бесселя первого рода порядка n	${\displaystyle J_{n}(\omega t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {\left({\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}-s\right)^{n}}{\omega ^{n}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}}}$	Re ( s )> 0 ( n > −1 )	Уильямс 1973 , стр. 89
Функция ошибки	${\displaystyle \operatorname {erf} (t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {1}{s}}e^{(1/4)s^{2}}\left(1-\operatorname {erf} {\frac {s}{2}}\right)}$	Re ( s )> 0	Уильямс 1973 , стр. 89
Пояснительные примечания: u ( t ) представляет собой ступенчатую функцию Хевисайда . δ представляет собой дельта-функцию Дирака . Γ ( z ) представляет собой гамма-функцию . γ - постоянная Эйлера – Маскерони . t , действительное число, обычно представляет время , хотя может представлять любое независимое измерение. s - комплексный параметр частотной области, а Re ( s ) - его действительная часть . α , β , τ и ω - действительные числа . n - целое число .

s -доменные эквивалентные схемы и импедансы [ править ]

Преобразование Лапласа часто используется в анализе схем, и могут быть выполнены простые преобразования в s- область элементов схемы. Элементы схемы могут быть преобразованы в импедансы , очень похожие на импедансы векторов .

Вот краткое изложение эквивалентов:

Обратите внимание, что резистор точно такой же во временной области и в s- области. Источники ставятся при наличии начальных условий на элементах схемы. Например, если на конденсаторе есть начальное напряжение или если через катушку индуктивности проходит начальный ток, это учитывается источниками, вставленными в s- область.

Эквиваленты для источников тока и напряжения просто выводятся из преобразований в таблице выше.

Примеры и приложения [ править ]

Преобразование Лапласа часто используется в технике и физике ; выходной сигнал линейной системы, не зависящей от времени , может быть вычислен путем свертки ее единичной импульсной характеристики с входным сигналом. Выполнение этого вычисления в пространстве Лапласа превращает свертку в умножение; последнее легче решить из-за его алгебраической формы. Для получения дополнительной информации см. Теорию управления . Преобразование Лапласа обратимо для большого класса функций. Учитывая простое математическое или функциональное описание входа или выхода системыпреобразование Лапласа обеспечивает альтернативное функциональное описание, которое часто упрощает процесс анализа поведения системы или синтеза новой системы на основе набора спецификаций. ^[31]

Преобразование Лапласа также можно использовать для решения дифференциальных уравнений и широко используется в машиностроении и электротехнике . Преобразование Лапласа сводит линейное дифференциальное уравнение к алгебраическому уравнению, которое затем может быть решено с помощью формальных правил алгебры. Затем исходное дифференциальное уравнение может быть решено с помощью обратного преобразования Лапласа. Английский инженер-электрик Оливер Хевисайд первым предложил аналогичную схему, но без использования преобразования Лапласа; и результирующее операционное исчисление зачисляется как исчисление Хевисайда.

Вычисление несобственных интегралов [ править ]

Пусть . Затем (см. Таблицу выше)${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}e^{-st}\,dt=\int _{s}^{\infty }F(p)\,dp.}$

В пределе получается${\displaystyle s\rightarrow 0}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}\,dt=\int _{0}^{\infty }F(p)\,dp,}$

при условии, что замена лимитов может быть оправдана. Даже когда взаимообмен не может быть оправдан, расчет может быть многообещающим. Например, при a  ≠ 0 ≠  b формально мы имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(at)-\cos(bt)}{t}}\,dt&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {p}{p^{2}+a^{2}}}-{\frac {p}{p^{2}+b^{2}}}\right)\,dp\\[6pt]&={\Biggl [}{\frac {1}{2}}\left.\ln {\frac {p^{2}+a^{2}}{p^{2}+b^{2}}}\right|_{0}^{\infty }{\Biggl ]}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {b^{2}}{a^{2}}}=\ln {\Biggl |}{\frac {b}{a}}{\Biggl |}.\end{aligned}}}$

Справедливость этого тождества можно доказать другими способами. Это пример интеграла Фруллани .

Другой пример - интеграл Дирихле .

Комплексное сопротивление конденсатора [ править ]

В теории электрических цепей ток, протекающий в конденсаторе , пропорционален емкости и скорости изменения электрического потенциала (в единицах СИ ). Символически это выражается дифференциальным уравнением

${\displaystyle i=C{dv \over dt},}$

где C - емкость (в фарадах ) конденсатора, i = i ( t ) - электрический ток (в амперах ) через конденсатор как функция времени, а v = v ( t ) - напряжение (в вольтах ). на выводах конденсатора, также как функция времени.

Используя преобразование Лапласа этого уравнения, получаем

${\displaystyle I(s)=C(sV(s)-V_{0}),}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}I(s)&={\mathcal {L}}\{i(t)\},\\V(s)&={\mathcal {L}}\{v(t)\},\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle V_{0}=v(t){\Big |}_{t=0}.\,}$

Решая для V ( s ), мы имеем

${\displaystyle V(s)={I(s) \over sC}+{V_{0} \over s}.}$

Определение комплексного импеданса Z (в омах ) - это отношение комплексного напряжения V, деленного на комплексный ток I, при сохранении начального состояния V ₀ на нуле:

${\displaystyle Z(s)=\left.{V(s) \over I(s)}\right|_{V_{0}=0}.}$

Используя это определение и предыдущее уравнение, мы находим:

${\displaystyle Z(s)={\frac {1}{sC}},}$

что является правильным выражением для комплексного импеданса конденсатора. Кроме того, преобразование Лапласа имеет большие приложения в теории управления.

Расширение частичной дроби [ править ]

Рассмотрим линейную инвариантную во времени систему с передаточной функцией

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}.}$

Импульсный отклик просто обратное преобразование Лапласа этой передаточной функции:

${\displaystyle h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}.}$

Чтобы оценить это обратное преобразование, мы начнем с расширения H ( s ), используя метод частичного разложения дробей,

${\displaystyle {\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}={P \over s+\alpha }+{R \over s+\beta }.}$

Неизвестные константы P и R представляют собой вычеты, расположенные в соответствующих полюсах передаточной функции. Каждый остаток представляет собой относительный вклад этой особенности в общую форму передаточной функции.

По теореме о вычетах обратное преобразование Лапласа зависит только от полюсов и их вычетов. Чтобы найти остаток P , умножим обе части уравнения на s + α, чтобы получить

${\displaystyle {\frac {1}{s+\beta }}=P+{R(s+\alpha ) \over s+\beta }.}$

Тогда, если положить s = - α , вклад R будет равен нулю, и все, что останется

${\displaystyle P=\left.{1 \over s+\beta }\right|_{s=-\alpha }={1 \over \beta -\alpha }.}$

Аналогично, вычет R определяется формулой

${\displaystyle R=\left.{1 \over s+\alpha }\right|_{s=-\beta }={1 \over \alpha -\beta }.}$

Обратите внимание, что

${\displaystyle R={-1 \over \beta -\alpha }=-P}$

и поэтому замена R и P в расширенное выражение для H ( s ) дает

${\displaystyle H(s)=\left({\frac {1}{\beta -\alpha }}\right)\cdot \left({1 \over s+\alpha }-{1 \over s+\beta }\right).}$

Наконец, используя свойство линейности и известное преобразование для экспоненциального распада (см пункт # 3 в таблице преобразования Лапласа , выше), можно взять обратное преобразование Лапласа Н ( ы ) , чтобы получить

${\displaystyle h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}={\frac {1}{\beta -\alpha }}\left(e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}\right),}$

что является импульсной характеристикой системы.

Свертка

Тот же результат может быть достигнут с использованием свойства свертки, как если бы система была серией фильтров с передаточными функциями 1 / ( s + a ) и 1 / ( s + b ) . То есть обратное

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{(s+a)(s+b)}}={\frac {1}{s+a}}\cdot {\frac {1}{s+b}}}$

является

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s+a}}\right\}*{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s+b}}\right\}=e^{-at}*e^{-bt}=\int _{0}^{t}e^{-ax}e^{-b(t-x)}\,dx={\frac {e^{-at}-e^{-bt}}{b-a}}.}$

Фазовая задержка [ править ]

Функция времени	Преобразование Лапласа
${\displaystyle \sin {(\omega t+\varphi )}}$	${\displaystyle {\frac {s\sin(\varphi )+\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}}$
${\displaystyle \cos {(\omega t+\varphi )}}$	${\displaystyle {\frac {s\cos(\varphi )-\omega \sin(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}.}$

Начиная с преобразования Лапласа,

${\displaystyle X(s)={\frac {s\sin(\varphi )+\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}}$

мы находим обратное, сначала переставляя члены дроби:

${\displaystyle {\begin{aligned}X(s)&={\frac {s\sin(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}+{\frac {\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}\\&=\sin(\varphi )\left({\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}\right)+\cos(\varphi )\left({\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

Теперь мы можем использовать обратное преобразование Лапласа для наших членов:

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=\sin(\varphi ){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}+\cos(\varphi ){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}\\&=\sin(\varphi )\cos(\omega t)+\sin(\omega t)\cos(\varphi ).\end{aligned}}}$

Это просто синус суммы аргументов, дающей:

${\displaystyle x(t)=\sin(\omega t+\varphi ).}$

Мы можем применить аналогичную логику, чтобы найти, что

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s\cos \varphi -\omega \sin \varphi }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}=\cos {(\omega t+\varphi )}.}$

Статистическая механика [ править ]

В статистической механике преобразование плотности состояний Лапласа определяет статистическую сумму . ^[32] То есть каноническая статистическая сумма определяется выражением${\displaystyle g(E)dE}$${\displaystyle Z(\beta )}$

${\displaystyle Z(\beta )=\int _{0}^{\infty }e^{-\beta E}g(E)dE}$

а обратное дается выражением

${\displaystyle g(E)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\beta _{0}-i\infty }^{\beta _{0}+i\infty }e^{\beta E}Z(\beta )d\beta }$

Галерея [ править ]

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Современный [ править ]

• Брейсуэлл, Рональд Н. (1978), Преобразование Фурье и его приложения (2-е изд.), McGraw-Hill Kogakusha, ISBN 978-0-07-007013-4
• Bracewell, RN (2000), Преобразование Фурье и его приложения (3-е изд.), Бостон: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-116043-8
• Феллер, Уильям (1971), Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Vol. II. , Второе издание, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , MR  0270403
• Корн, Джорджия; Корн, TM (1967), Математический справочник для ученых и инженеров (2-е изд.), McGraw-Hill Companies, ISBN 978-0-07-035370-1
• Виддер, Дэвид Вернон (1941), Преобразование Лапласа , Princeton Mathematical Series, v. 6, Princeton University Press , MR  0005923
• Уильямс, Дж. (1973), Преобразования Лапласа , Решатели проблем, Джордж Аллен и Анвин, ISBN 978-0-04-512021-5
• Такач, Дж. (1953), "Фурье-амплитуда мегатарозас операторовzamitassal", Magyar Hiradastechnika (на венгерском языке), IV (7–8): 93–96

Исторический [ править ]

• Эйлер, Л. (1744), «De constructione aequationum» [Построение уравнений], Opera Omnia , 1-я серия (на латинском языке), 22 : 150–161
• Эйлер, Л. (1753), «Methodus aequationes Differentiales» [Метод решения дифференциальных уравнений], Opera Omnia , 1-я серия (на латинском языке), 22 : 181–213
• Эйлер, Л. (1992) [1769], «Институты интегрального исчисления, Том 2» [Учреждения интегрального исчисления], Opera Omnia , 1-я серия (на латинском языке), Базель: Birkhäuser, 12 , ISBN 978-3764314743, Главы 3–5
• Эйлер, Леонард (1769), Институты интегрального исчисления [ Учреждения интегрального исчисления ] (на латыни), II , Париж: Петрополи, гл. 3–5, с. 57–153
• Grattan-Guinness, I (1997), «Интегральные решения Лапласа для уравнений в частных производных», в Gillispie, CC (ed.), Pierre Simon Laplace 1749–1827: A Life in Exact Science , Princeton: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-01185-1
• Lagrange, JL (1773), Mémoire sur l'utilité de la méthode , uvres de Lagrange, 2 , стр. 171–234

Дальнейшее чтение [ править ]

• Арендт, Вольфганг; Бэтти, Чарльз Дж. К.; Хибер, Матиас; Нойбрандер, Франк (2002), векторные преобразования Лапласа и задачи Коши , Birkhäuser Basel, ISBN 978-3-7643-6549-3.
• Дэвис, Брайан (2002), Интегральные преобразования и их приложения (Третье изд.), Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-0-387-95314-4
• Дикин, МАБ (1981), "Развитие преобразования Лапласа", Архив для истории точных наук , 25 (4): 343-390, DOI : 10.1007 / BF01395660
• Дикин, МАБ (1982), "Развитие преобразования Лапласа", Архив для истории точных наук , 26 (4): 351-381, DOI : 10.1007 / BF00418754
• Doetsch, Gustav (1974), Введение в теорию и применение преобразования Лапласа , Springer, ISBN 978-0-387-06407-9
• Мэтьюз, Джон; Уокер, Роберт Л. (1970), Математические методы физики (2-е изд.), Нью-Йорк: Бенджамин WA, ISBN 0-8053-7002-1 
• Полянин А.Д .; Манжиров, А.В. (1998), Справочник по интегральным уравнениям , Бока-Ратон: CRC Press, ISBN 978-0-8493-2876-3
• Шварц, Лоран (1952), "Преобразование распределений Лапласа", Comm. Sém. Математика. Univ. Лунд [Medd. Lunds Univ. Мат. Сем.] (На французском языке), 1952 : 196–206, MR  0052555.
• Шварц, Лоран (2008) [1966], Математика для физических наук , Dover Books on Mathematics, New York: Dover Publications, стр. 215–241, ISBN 978-0-486-46662-0- См. Главу VI. Преобразование Лапласа.
• Зиберт, Уильям МакКи. (1986), Схемы, сигналы и системы , Кембридж, Массачусетс: MIT Press, ISBN 978-0-262-19229-3
• Widder, Дэвид Вернон (1945), "Что такое преобразование Лапласа?", Американский Математический Месячный , 52 (8): 419-425, DOI : 10,2307 / 2305640 , ISSN  0002-9890 , JSTOR  2305640 , MR  0013447

Внешние ссылки [ править ]

В Викицитатнике есть цитаты, связанные с преобразованием Лапласа