Методика интегральной оценки
В математике , тригонометрические подстановки являются заменой из тригонометрических функций для других выражений. В исчислении тригонометрическая подстановка - это метод вычисления интегралов. Более того, можно использовать тригонометрические тождества для упрощения некоторых интегралов, содержащих радикальные выражения . [1] [2] Как и другие методы интегрирования с помощью подстановки, при вычислении определенного интеграла может быть проще полностью вывести первообразную до применения границ интегрирования.
Случай I. Интеграции, содержащие а 2 - Икс 2 {\ displaystyle a ^ {2} -x ^ {2}} [ править ] Пусть и тож воспользуются . Икс знак равно а грех θ {\ Displaystyle х = а \ грех \ тета} 1 - грех 2 θ знак равно потому что 2 θ {\ Displaystyle 1- \ грех ^ {2} \ тета = \ соз ^ {2} \ тета}
Примеры случая I [ править ]
Геометрическая конструкция для случая I
Пример 1 [ править ] В интегральном
∫ d Икс а 2 - Икс 2 , {\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}},} мы можем использовать
x = a sin θ , d x = a cos θ d θ , θ = arcsin x a . {\displaystyle x=a\sin \theta ,\quad dx=a\cos \theta \,d\theta ,\quad \theta =\arcsin {\frac {x}{a}}.} Потом,
∫ d x a 2 − x 2 = ∫ a cos θ d θ a 2 − a 2 sin 2 θ = ∫ a cos θ d θ a 2 ( 1 − sin 2 θ ) = ∫ a cos θ d θ a 2 cos 2 θ = ∫ d θ = θ + C = arcsin x a + C . {\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}&=\int {\frac {a\cos \theta \,d\theta }{\sqrt {a^{2}-a^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\[6pt]&=\int {\frac {a\cos \theta \,d\theta }{\sqrt {a^{2}(1-\sin ^{2}\theta )}}}\\[6pt]&=\int {\frac {a\cos \theta \,d\theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta }}}\\[6pt]&=\int d\theta \\[6pt]&=\theta +C\\[6pt]&=\arcsin {\frac {x}{a}}+C.\end{aligned}}} Вышеупомянутый шаг требует этого и . Мы можем выбрать в качестве главного корня и наложить ограничение , используя функцию обратного синуса. a > 0 {\displaystyle a>0} cos θ > 0 {\displaystyle \cos \theta >0} a {\displaystyle a} a 2 {\displaystyle a^{2}} − π / 2 < θ < π / 2 {\displaystyle -\pi /2<\theta <\pi /2}
Для получения определенного интеграла необходимо выяснить, как меняются границы интегрирования. Например, as идет от к , затем идет от к , поэтому идет от к . Потом, x {\displaystyle x} 0 {\displaystyle 0} a / 2 {\displaystyle a/2} sin θ {\displaystyle \sin \theta } 0 {\displaystyle 0} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} θ {\displaystyle \theta } 0 {\displaystyle 0} π / 6 {\displaystyle \pi /6}
∫ 0 a / 2 d x a 2 − x 2 = ∫ 0 π / 6 d θ = π 6 . {\displaystyle \int _{0}^{a/2}{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\int _{0}^{\pi /6}d\theta ={\frac {\pi }{6}}.} При выборе границ требуется некоторая осторожность. Поскольку этого требует интеграция, описанная выше , можно перейти только с на . Пренебрегая этим ограничением, можно было бы выбрать переход от к , что привело бы к отрицательному фактическому значению. − π / 2 < θ < π / 2 {\displaystyle -\pi /2<\theta <\pi /2} θ {\displaystyle \theta } 0 {\displaystyle 0} π / 6 {\displaystyle \pi /6} θ {\displaystyle \theta } π {\displaystyle \pi } 5 π / 6 {\displaystyle 5\pi /6}
Или полностью вычислите неопределенные интегралы перед применением граничных условий. В этом случае первообразная дает
∫ 0 a / 2 d x a 2 − x 2 = arcsin ( x a ) | 0 a / 2 = arcsin ( 1 2 ) − arcsin ( 0 ) = π 6 {\displaystyle \int _{0}^{a/2}{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arcsin \left({\frac {x}{a}}\right){\Biggl |}_{0}^{a/2}=\arcsin \left({\frac {1}{2}}\right)-\arcsin(0)={\frac {\pi }{6}}} Пример 2 [ править ] Интегральный
∫ a 2 − x 2 d x , {\displaystyle \int {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx,} можно оценить, допустив x = a sin θ , d x = a cos θ d θ , θ = arcsin x a , {\displaystyle x=a\sin \theta ,\,dx=a\cos \theta \,d\theta ,\,\theta =\arcsin {\frac {x}{a}},}
где так что , и по диапазону арксинуса, так что и . a > 0 {\displaystyle a>0} a 2 = a {\displaystyle {\sqrt {a^{2}}}=a} − π 2 ≤ θ ≤ π 2 {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}} cos θ ≥ 0 {\displaystyle \cos \theta \geq 0} cos 2 θ = cos θ {\displaystyle {\sqrt {\cos ^{2}\theta }}=\cos \theta }
Потом,
∫ a 2 − x 2 d x = ∫ a 2 − a 2 sin 2 θ ( a cos θ ) d θ = ∫ a 2 ( 1 − sin 2 θ ) ( a cos θ ) d θ = ∫ a 2 ( cos 2 θ ) ( a cos θ ) d θ = ∫ ( a cos θ ) ( a cos θ ) d θ = a 2 ∫ cos 2 θ d θ = a 2 ∫ ( 1 + cos 2 θ 2 ) d θ = a 2 2 ( θ + 1 2 sin 2 θ ) + C = a 2 2 ( θ + sin θ cos θ ) + C = a 2 2 ( arcsin x a + x a 1 − x 2 a 2 ) + C = a 2 2 arcsin x a + x 2 a 2 − x 2 + C . {\displaystyle {\begin{aligned}\int {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx&=\int {\sqrt {a^{2}-a^{2}\sin ^{2}\theta }}\,(a\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int {\sqrt {a^{2}(1-\sin ^{2}\theta )}}\,(a\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int {\sqrt {a^{2}(\cos ^{2}\theta )}}\,(a\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int (a\cos \theta )(a\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=a^{2}\int \cos ^{2}\theta \,d\theta \\[6pt]&=a^{2}\int \left({\frac {1+\cos 2\theta }{2}}\right)\,d\theta \\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\left(\theta +{\frac {1}{2}}\sin 2\theta \right)+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}(\theta +\sin \theta \cos \theta )+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\left(\arcsin {\frac {x}{a}}+{\frac {x}{a}}{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}\right)+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\arcsin {\frac {x}{a}}+{\frac {x}{2}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C.\end{aligned}}} Для определенного интеграла границы изменяются после выполнения замены и определяются с использованием уравнения со значениями в диапазоне . Или же примените граничные члены непосредственно к формуле первообразной. θ = arcsin x a {\displaystyle \theta =\arcsin {\frac {x}{a}}} − π 2 ≤ θ ≤ π 2 {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}}
Например, определенный интеграл
∫ − 1 1 4 − x 2 d x , {\displaystyle \int _{-1}^{1}{\sqrt {4-x^{2}}}\,dx,} можно оценить путем подстановки , при этом границы определяются с помощью . x = 2 sin θ , d x = 2 cos θ d θ {\displaystyle x=2\sin \theta ,\,dx=2\cos \theta \,d\theta } θ = arcsin x 2 {\displaystyle \theta =\arcsin {\frac {x}{2}}}
Поскольку и , arcsin ( 1 / 2 ) = π / 6 {\displaystyle \arcsin(1/2)=\pi /6} arcsin ( − 1 / 2 ) = − π / 6 {\displaystyle \arcsin(-1/2)=-\pi /6}
∫ − 1 1 4 − x 2 d x = ∫ − π / 6 π / 6 4 − 4 sin 2 θ ( 2 cos θ ) d θ = ∫ − π / 6 π / 6 4 ( 1 − sin 2 θ ) ( 2 cos θ ) d θ = ∫ − π / 6 π / 6 4 ( cos 2 θ ) ( 2 cos θ ) d θ = ∫ − π / 6 π / 6 ( 2 cos θ ) ( 2 cos θ ) d θ = 4 ∫ − π / 6 π / 6 cos 2 θ d θ = 4 ∫ − π / 6 π / 6 ( 1 + cos 2 θ 2 ) d θ = 2 [ θ + 1 2 sin 2 θ ] − π / 6 π / 6 = [ 2 θ + sin 2 θ ] | − π / 6 π / 6 = ( π 3 + sin π 3 ) − ( − π 3 + sin ( − π 3 ) ) = 2 π 3 + 3 . {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\sqrt {4-x^{2}}}\,dx&=\int _{-\pi /6}^{\pi /6}{\sqrt {4-4\sin ^{2}\theta }}\,(2\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int _{-\pi /6}^{\pi /6}{\sqrt {4(1-\sin ^{2}\theta )}}\,(2\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int _{-\pi /6}^{\pi /6}{\sqrt {4(\cos ^{2}\theta )}}\,(2\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int _{-\pi /6}^{\pi /6}(2\cos \theta )(2\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=4\int _{-\pi /6}^{\pi /6}\cos ^{2}\theta \,d\theta \\[6pt]&=4\int _{-\pi /6}^{\pi /6}\left({\frac {1+\cos 2\theta }{2}}\right)\,d\theta \\[6pt]&=2\left[\theta +{\frac {1}{2}}\sin 2\theta \right]_{-\pi /6}^{\pi /6}=[2\theta +\sin 2\theta ]{\Biggl |}_{-\pi /6}^{\pi /6}=\left({\frac {\pi }{3}}+\sin {\frac {\pi }{3}}\right)-\left(-{\frac {\pi }{3}}+\sin \left(-{\frac {\pi }{3}}\right)\right)={\frac {2\pi }{3}}+{\sqrt {3}}.\\[6pt]\end{aligned}}} С другой стороны, прямое применение граничных членов к ранее полученной формуле для первообразных дает
∫ − 1 1 4 − x 2 d x = [ 2 2 2 arcsin x 2 + x 2 2 2 − x 2 ] − 1 1 = ( 2 arcsin 1 2 + 1 2 4 − 1 ) − ( 2 arcsin ( − 1 2 ) + − 1 2 4 − 1 ) = ( 2 ⋅ π 6 + 3 2 ) − ( 2 ⋅ ( − π 6 ) − 3 2 ) = 2 π 3 + 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\sqrt {4-x^{2}}}\,dx&=\left[{\frac {2^{2}}{2}}\arcsin {\frac {x}{2}}+{\frac {x}{2}}{\sqrt {2^{2}-x^{2}}}\right]_{-1}^{1}\\[6pt]&=\left(2\arcsin {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {4-1}}\right)-\left(2\arcsin \left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {-1}{2}}{\sqrt {4-1}}\right)\\[6pt]&=\left(2\cdot {\frac {\pi }{6}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)-\left(2\cdot \left(-{\frac {\pi }{6}}\right)-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)\\[6pt]&={\frac {2\pi }{3}}+{\sqrt {3}}\end{aligned}}} как прежде.
Случай II: Интеграции, содержащие a 2 + x 2 {\displaystyle a^{2}+x^{2}} [ править ] Пусть и тож воспользуются . x = a tan θ {\displaystyle x=a\tan \theta } 1 + tan 2 θ = sec 2 θ {\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta }
Примеры случая II [ править ]
Геометрическая конструкция для Case II
Пример 1 [ править ] В интегральном
∫ d x a 2 + x 2 {\displaystyle \int {\frac {dx}{a^{2}+x^{2}}}} мы можем написать
x = a tan θ , d x = a sec 2 θ d θ , θ = arctan x a , {\displaystyle x=a\tan \theta ,\quad dx=a\sec ^{2}\theta \,d\theta ,\quad \theta =\arctan {\frac {x}{a}},} так что интеграл становится
∫ d x a 2 + x 2 = ∫ a sec 2 θ d θ a 2 + a 2 tan 2 θ = ∫ a sec 2 θ d θ a 2 ( 1 + tan 2 θ ) = ∫ a sec 2 θ d θ a 2 sec 2 θ = ∫ d θ a = θ a + C = 1 a arctan x a + C , {\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{a^{2}+x^{2}}}&=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \,d\theta }{a^{2}+a^{2}\tan ^{2}\theta }}\\[6pt]&=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \,d\theta }{a^{2}(1+\tan ^{2}\theta )}}\\[6pt]&=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \,d\theta }{a^{2}\sec ^{2}\theta }}\\[6pt]&=\int {\frac {d\theta }{a}}\\[6pt]&={\frac {\theta }{a}}+C\\[6pt]&={\frac {1}{a}}\arctan {\frac {x}{a}}+C,\end{aligned}}} при условии . a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0}
Для определенного интеграла границы изменяются после выполнения замены и определяются с использованием уравнения со значениями в диапазоне . Или же примените граничные члены непосредственно к формуле первообразной. θ = arctan x a {\displaystyle \theta =\arctan {\frac {x}{a}}} − π 2 < θ < π 2 {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\theta <{\frac {\pi }{2}}}
Например, определенный интеграл
∫ 0 1 4 1 + x 2 d x {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {4}{1+x^{2}}}\,dx} можно оценить путем подстановки , при этом границы определяются с помощью . x = tan θ , d x = sec 2 θ d θ {\displaystyle x=\tan \theta ,\,dx=\sec ^{2}\theta \,d\theta } θ = arctan x {\displaystyle \theta =\arctan x}
Поскольку и , arctan 0 = 0 {\displaystyle \arctan 0=0} arctan 1 = π / 4 {\displaystyle \arctan 1=\pi /4}
∫ 0 1 4 d x 1 + x 2 = 4 ∫ 0 1 d x 1 + x 2 = 4 ∫ 0 π / 4 sec 2 θ d θ 1 + tan 2 θ = 4 ∫ 0 π / 4 sec 2 θ d θ sec 2 θ = 4 ∫ 0 π / 4 d θ = ( 4 θ ) | 0 π / 4 = 4 ( π 4 − 0 ) = π . {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {4\,dx}{1+x^{2}}}&=4\int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x^{2}}}\\[6pt]&=4\int _{0}^{\pi /4}{\frac {\sec ^{2}\theta \,d\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\\[6pt]&=4\int _{0}^{\pi /4}{\frac {\sec ^{2}\theta \,d\theta }{\sec ^{2}\theta }}\\[6pt]&=4\int _{0}^{\pi /4}d\theta \\[6pt]&=(4\theta ){\Bigg |}_{0}^{\pi /4}=4\left({\frac {\pi }{4}}-0\right)=\pi .\end{aligned}}} Между тем, прямое применение граничных членов к формуле для первообразных выходов
∫ 0 1 4 1 + x 2 d x = 4 ∫ 0 1 d x 1 + x 2 = 4 [ 1 1 arctan x 1 ] 0 1 = 4 ( arctan x ) | 0 1 = 4 ( arctan 1 − arctan 0 ) = 4 ( π 4 − 0 ) = π , {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {4}{1+x^{2}}}\,dx&=4\int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x^{2}}}\\&=4\left[{\frac {1}{1}}\arctan {\frac {x}{1}}\right]_{0}^{1}\\&=4(\arctan x){\Bigg |}_{0}^{1}\\&=4(\arctan 1-\arctan 0)\\&=4\left({\frac {\pi }{4}}-0\right)=\pi ,\end{aligned}}} как и раньше.
Пример 2 [ править ] Интегральный
∫ a 2 + x 2 d x {\displaystyle \int {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\,{dx}} можно оценить, допустив x = a tan θ , d x = a sec 2 θ d θ , θ = arctan x a , {\displaystyle x=a\tan \theta ,\,dx=a\sec ^{2}\theta \,d\theta ,\,\theta =\arctan {\frac {x}{a}},}
где так , и по диапазону арктангенса, так что и . a > 0 {\displaystyle a>0} a 2 = a {\displaystyle {\sqrt {a^{2}}}=a} − π 2 < θ < π 2 {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\theta <{\frac {\pi }{2}}} sec θ > 0 {\displaystyle \sec \theta >0} sec 2 θ = sec θ {\displaystyle {\sqrt {\sec ^{2}\theta }}=\sec \theta }
Потом,
∫ a 2 + x 2 d x = ∫ a 2 + a 2 tan 2 θ ( a sec 2 θ ) d θ = ∫ a 2 ( 1 + tan 2 θ ) ( a sec 2 θ ) d θ = ∫ a 2 sec 2 θ ( a sec 2 θ ) d θ = ∫ ( a sec θ ) ( a sec 2 θ ) d θ = a 2 ∫ sec 3 θ d θ . {\displaystyle {\begin{aligned}\int {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\,dx&=\int {\sqrt {a^{2}+a^{2}\tan ^{2}\theta }}\,(a\sec ^{2}\theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int {\sqrt {a^{2}(1+\tan ^{2}\theta )}}\,(a\sec ^{2}\theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int {\sqrt {a^{2}\sec ^{2}\theta }}\,(a\sec ^{2}\theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int (a\sec \theta )(a\sec ^{2}\theta )\,d\theta \\[6pt]&=a^{2}\int \sec ^{3}\theta \,d\theta .\\[6pt]\end{aligned}}} Интеграл секущей кубы может быть оценен с помощью интегрирования по частям . Как результат,
∫ a 2 + x 2 d x = a 2 2 ( sec θ tan θ + ln | sec θ + tan θ | ) + C = a 2 2 ( 1 + x 2 a 2 ⋅ x a + ln | 1 + x 2 a 2 + x a | ) + C = 1 2 ( x a 2 + x 2 + a 2 ln | x + a 2 + x 2 a | ) + C . {\displaystyle {\begin{aligned}\int {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\,dx&={\frac {a^{2}}{2}}(\sec \theta \tan \theta +\ln |\sec \theta +\tan \theta |)+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\left({\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}\cdot {\frac {x}{a}}+\ln \left|{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}+{\frac {x}{a}}\right|\right)+C\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\left(x{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}+a^{2}\ln \left|{\frac {x+{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}{a}}\right|\right)+C.\end{aligned}}} Случай III: Интеграции, содержащие x 2 − a 2 {\displaystyle x^{2}-a^{2}} [ править ] Пусть , и используйте тождество x = a sec θ {\displaystyle x=a\sec \theta } sec 2 θ − 1 = tan 2 θ . {\displaystyle \sec ^{2}\theta -1=\tan ^{2}\theta .}
Примеры случая III [ править ]
Геометрическая конструкция для Case III
Интегралы типа
∫ d x x 2 − a 2 {\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}} также могут быть вычислены с помощью неполных дробей, а не тригонометрических замен. Однако интеграл
∫ x 2 − a 2 d x {\displaystyle \int {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\,dx} не можешь. В этом случае подходящей заменой будет:
x = a sec θ , d x = a sec θ tan θ d θ , θ = arcsec x a , {\displaystyle x=a\sec \theta ,\,dx=a\sec \theta \tan \theta \,d\theta ,\,\theta =\operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}},} где так что , и предполагая , так что и . a > 0 {\displaystyle a>0} a 2 = a {\displaystyle {\sqrt {a^{2}}}=a} 0 ≤ θ < π 2 {\displaystyle 0\leq \theta <{\frac {\pi }{2}}} x > 0 {\displaystyle x>0} tan θ ≥ 0 {\displaystyle \tan \theta \geq 0} tan 2 θ = tan θ {\displaystyle {\sqrt {\tan ^{2}\theta }}=\tan \theta }
Потом,
∫ x 2 − a 2 d x = ∫ a 2 sec 2 θ − a 2 ⋅ a sec θ tan θ d θ = ∫ a 2 ( sec 2 θ − 1 ) ⋅ a sec θ tan θ d θ = ∫ a 2 tan 2 θ ⋅ a sec θ tan θ d θ = ∫ a 2 sec θ tan 2 θ d θ = a 2 ∫ ( sec θ ) ( sec 2 θ − 1 ) d θ = a 2 ∫ ( sec 3 θ − sec θ ) d θ . {\displaystyle {\begin{aligned}\int {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\,dx&=\int {\sqrt {a^{2}\sec ^{2}\theta -a^{2}}}\cdot a\sec \theta \tan \theta \,d\theta \\&=\int {\sqrt {a^{2}(\sec ^{2}\theta -1)}}\cdot a\sec \theta \tan \theta \,d\theta \\&=\int {\sqrt {a^{2}\tan ^{2}\theta }}\cdot a\sec \theta \tan \theta \,d\theta \\&=\int a^{2}\sec \theta \tan ^{2}\theta \,d\theta \\&=a^{2}\int (\sec \theta )(\sec ^{2}\theta -1)\,d\theta \\&=a^{2}\int (\sec ^{3}\theta -\sec \theta )\,d\theta .\end{aligned}}} Можно вычислить интеграл секущей функции , умножив числитель и знаменатель на, а интеграл секущей в кубе по частям. [3] В результате ( sec θ + tan θ ) {\displaystyle (\sec \theta +\tan \theta )}
∫ x 2 − a 2 d x = a 2 2 ( sec θ tan θ + ln | sec θ + tan θ | ) − a 2 ln | sec θ + tan θ | + C = a 2 2 ( sec θ tan θ − ln | sec θ + tan θ | ) + C = a 2 2 ( x a ⋅ x 2 a 2 − 1 − ln | x a + x 2 a 2 − 1 | ) + C = 1 2 ( x x 2 − a 2 − a 2 ln | x + x 2 − a 2 a | ) + C . {\displaystyle {\begin{aligned}\int {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\,dx&={\frac {a^{2}}{2}}(\sec \theta \tan \theta +\ln |\sec \theta +\tan \theta |)-a^{2}\ln |\sec \theta +\tan \theta |+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}(\sec \theta \tan \theta -\ln |\sec \theta +\tan \theta |)+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\left({\frac {x}{a}}\cdot {\sqrt {{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-1}}-\ln \left|{\frac {x}{a}}+{\sqrt {{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-1}}\right|\right)+C\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\left(x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}-a^{2}\ln \left|{\frac {x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}{a}}\right|\right)+C.\end{aligned}}} Когда , что происходит, когда задан диапазон арксеканса , то есть вместо этого в этом случае. π 2 < θ ≤ π {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}<\theta \leq \pi } x < 0 {\displaystyle x<0} tan θ ≤ 0 {\displaystyle \tan \theta \leq 0} tan 2 θ = − tan θ {\displaystyle {\sqrt {\tan ^{2}\theta }}=-\tan \theta }
Замены, устраняющие тригонометрические функции [ править ] Подстановка может использоваться для удаления тригонометрических функций.
Например,
∫ f ( sin ( x ) , cos ( x ) ) d x = ∫ 1 ± 1 − u 2 f ( u , ± 1 − u 2 ) d u u = sin ( x ) ∫ f ( sin ( x ) , cos ( x ) ) d x = ∫ 1 ∓ 1 − u 2 f ( ± 1 − u 2 , u ) d u u = cos ( x ) ∫ f ( sin ( x ) , cos ( x ) ) d x = ∫ 2 1 + u 2 f ( 2 u 1 + u 2 , 1 − u 2 1 + u 2 ) d u u = tan ( x 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\int f(\sin(x),\cos(x))\,dx&=\int {\frac {1}{\pm {\sqrt {1-u^{2}}}}}f\left(u,\pm {\sqrt {1-u^{2}}}\right)\,du&&u=\sin(x)\\[6pt]\int f(\sin(x),\cos(x))\,dx&=\int {\frac {1}{\mp {\sqrt {1-u^{2}}}}}f\left(\pm {\sqrt {1-u^{2}}},u\right)\,du&&u=\cos(x)\\[6pt]\int f(\sin(x),\cos(x))\,dx&=\int {\frac {2}{1+u^{2}}}f\left({\frac {2u}{1+u^{2}}},{\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\right)\,du&&u=\tan \left({\tfrac {x}{2}}\right)\\[6pt]\end{aligned}}} Последняя подстановка известна как подстановка Вейерштрасса , в которой используются формулы касательного полуугла .
Например,
∫ 4 cos x ( 1 + cos x ) 3 d x = ∫ 2 1 + u 2 4 ( 1 − u 2 1 + u 2 ) ( 1 + 1 − u 2 1 + u 2 ) 3 d u = ∫ ( 1 − u 2 ) ( 1 + u 2 ) d u = ∫ ( 1 − u 4 ) d u = u − u 5 5 + C = tan x 2 − 1 5 tan 5 x 2 + C . {\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {4\cos x}{(1+\cos x)^{3}}}\,dx&=\int {\frac {2}{1+u^{2}}}{\frac {4\left({\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\right)}{\left(1+{\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\right)^{3}}}\,du=\int (1-u^{2})(1+u^{2})\,du\\&=\int (1-u^{4})\,du=u-{\frac {u^{5}}{5}}+C=\tan {\frac {x}{2}}-{\frac {1}{5}}\tan ^{5}{\frac {x}{2}}+C.\end{aligned}}} Гиперболическая подстановка [ править ] Подстановки гиперболических функций также могут использоваться для упрощения интегралов. [4]
В интеграле сделаем замену , ∫ 1 a 2 + x 2 d x {\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}\,dx} x = a sinh u {\displaystyle x=a\sinh {u}} d x = a cosh u d u . {\displaystyle dx=a\cosh u\,du.}
Затем, используя тождества и cosh 2 ( x ) − sinh 2 ( x ) = 1 {\displaystyle \cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1} sinh − 1 x = ln ( x + x 2 + 1 ) , {\displaystyle \sinh ^{-1}{x}=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}}),}
∫ 1 a 2 + x 2 d x = ∫ a cosh u a 2 + a 2 sinh 2 u d u = ∫ a cosh u a 1 + sinh 2 u d u = ∫ a cosh u a cosh u d u = u + C = sinh − 1 x a + C = ln ( x 2 a 2 + 1 + x a ) + C = ln ( x 2 + a 2 + x a ) + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}\,dx&=\int {\frac {a\cosh u}{\sqrt {a^{2}+a^{2}\sinh ^{2}u}}}\,du\\[6pt]&=\int {\frac {a\cosh {u}}{a{\sqrt {1+\sinh ^{2}{u}}}}}\,du\\[6pt]&=\int {\frac {a\cosh {u}}{a\cosh u}}\,du\\[6pt]&=u+C\\[6pt]&=\sinh ^{-1}{\frac {x}{a}}+C\\[6pt]&=\ln \left({\sqrt {{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+1}}+{\frac {x}{a}}\right)+C\\[6pt]&=\ln \left({\frac {{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}+x}{a}}\right)+C\end{aligned}}}
См. Также [ править ] В Викиверситете есть учебные ресурсы о тригонометрических заменах
В Wikibooks есть книга по темам: Исчисление / Интеграция / Тригонометрическая подстановка.
Интеграция заменой Замена Вейерштрасса Подстановка Эйлера Ссылки [ править ] ^ Стюарт, Джеймс (2008). Calculus: Early Transcendentals (6-е изд.). Брукс / Коул . ISBN 0-495-01166-5. ^ Томас, Джордж Б .; Weir, Maurice D .; Хасс, Джоэл (2010). Исчисление Томаса: Ранние трансцендентальные (12-е изд.). Эддисон-Уэсли . ISBN ^ Стюарт, Джеймс (2012). «Раздел 7.2: Тригонометрические интегралы». Исчисление - Ранние трансценденталы . США: Cengage Learning. С. 475–6. ISBN ^ Бояджиев, Христо Н. "Гиперболические замены интегралов" (PDF) . Проверено 4 марта 2013 года .
Интеграл Римана Интеграл Лебега Интеграл Беркилла Интеграл Бохнера Даниэль интеграл Интеграл Дарбу Интеграл Хенстока – Курцвейла Интеграл Хаара Интеграл Хеллингера Хинчин интеграл Колмогоровский интеграл Интеграл Лебега – Стилтьеса. Интеграл Петтиса Интеграл Пфеффера Интеграл Римана – Стилтьеса. Регулируемый интеграл ЗаменаТригонометрический Эйлер Вейерштрасс По частям Неполные фракции Формула Эйлера Обратные функции Изменение порядка Формулы приведения Параметрические производные Дифференцирование под знаком интеграла Преобразование Лапласа Контурная интеграция Метод Лапласа Численное интегрированиеПравило Симпсона Трапецеидальная линейка Алгоритм риша Гауссов интеграл Интеграл Дирихле Интеграл Ферми – Дирака Интеграл Бозе – Эйнштейна Интеграл Фруллани Общие интегралы в квантовой теории поля Ито интегральный Интеграл Руссо – Валлуа Интеграл Стратоновича Скороход интеграл Базельская проблема Формула Эйлера – Маклорена Рог Габриэля Пчела интеграции Доказательство того, что 22/7 превышает π Объемы
![{\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ frac {dx} {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}} & = \ int {\ frac {a \ cos \ theta \, d \ theta} {\ sqrt {a ^ {2} -a ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}} \\ [6pt] & = \ int {\ frac {a \ cos \ theta \, d \ theta} {\ sqrt {a ^ {2} (1- \ sin ^ {2} \ theta)}}} \\ [6pt] & = \ int {\ frac {a \ cos \ theta \, d \ theta} {\ sqrt {a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta}}} \\ [6pt] & = \ int d \ theta \\ [6pt] & = \ theta + C \\ [6pt] & = \ arcsin {\ frac {x} {a}} + C. \ end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb0f45f461035d567bc90912abb383b4f184bc87)
![{\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} \, dx & = \ int {\ sqrt {a ^ {2} -a ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} \, (a \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] & = \ int {\ sqrt {a ^ {2} (1- \ sin ^ {2} \ theta)}} \, (a \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] & = \ int {\ sqrt {a ^ {2} (\ cos ^ {2} \ theta)}} \ , (a \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] & = \ int (a \ cos \ theta) (a \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] & = a ^ {2} \ int \ cos ^ {2} \ theta \, d \ theta \\ [6pt] & = a ^ {2} \ int \ left ({\ frac {1+ \ cos 2 \ theta} {2} } \ right) \, d \ theta \\ [6pt] & = {\ frac {a ^ {2}} {2}} \ left (\ theta + {\ frac {1} {2}} \ sin 2 \ theta \ right) + C \\ [6pt] & = {\ frac {a ^ {2}} {2}} (\ theta + \ sin \ theta \ cos \ theta) + C \\ [6pt] & = { \ frac {a ^ {2}} {2}} \ left (\ arcsin {\ frac {x} {a}} + {\ frac {x} {a}} {\ sqrt {1 - {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}} \ right) + C \\ [6pt] & = {\ frac {a ^ {2}} {2}} \ arcsin {\ frac {x} { a}} + {\ frac {x} {2}} {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} + C. \ end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc8b7727d973d3575d22f781010591f86e20436)
![{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {- 1} ^ {1} {\ sqrt {4-x ^ {2}}} \, dx & = \ int _ {- \ pi / 6} ^ {\ pi / 6} {\ sqrt {4-4 \ sin ^ {2} \ theta}} \, (2 \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] & = \ int _ {- \ pi / 6} ^ {\ pi / 6} {\ sqrt {4 (1- \ sin ^ {2} \ theta)}} \, (2 \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] & = \ int _ {- \ pi / 6} ^ {\ pi / 6} {\ sqrt {4 (\ cos ^ {2} \ theta)}} \, (2 \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [ 6pt] & = \ int _ {- \ pi / 6} ^ {\ pi / 6} (2 \ cos \ theta) (2 \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] & = 4 \ int _ {- \ pi / 6} ^ {\ pi / 6} \ cos ^ {2} \ theta \, d \ theta \\ [6pt] & = 4 \ int _ {- \ pi / 6} ^ {\ pi / 6} \ left ({\ frac {1+ \ cos 2 \ theta} {2}} \ right) \, d \ theta \\ [6pt] & = 2 \ left [\ theta + {\ frac {1} {2}} \ sin 2 \ theta \ right] _ {- \ pi / 6} ^ {\ pi / 6} = [2 \ theta + \ sin 2 \ theta] {\ Biggl |} _ {- \ pi / 6} ^ {\ pi / 6} = \ left ({\ frac {\ pi} {3}} + \ sin {\ frac {\ pi} {3}} \ right) - \ left (- {\ frac { \ pi} {3}} + \ sin \ left (- {\ frac {\ pi} {3}} \ right) \ right) = {\ frac {2 \ pi} {3}} + {\ sqrt {3 }}.\\ [6pt] \ end {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3290b5d8dffff518a7a54af50b0bbcad1051b19)
![{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {- 1} ^ {1} {\ sqrt {4-x ^ {2}}} \, dx & = \ left [{\ frac {2 ^ {2}} {2}} \ arcsin {\ frac {x} {2}} + {\ frac {x} {2}} {\ sqrt {2 ^ {2} -x ^ {2}}} \ right] _ {- 1} ^ {1} \\ [6pt] & = \ left (2 \ arcsin {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {4-1}} \ справа) - \ left (2 \ arcsin \ left (- {\ frac {1} {2}} \ right) + {\ frac {-1} {2}} {\ sqrt {4-1}} \ right) \\ [6pt] & = \ left (2 \ cdot {\ frac {\ pi} {6}} + {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ right) - \ left (2 \ cdot \ left (- {\ frac {\ pi} {6}} \ right) - {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ right) \\ [6pt] & = {\ frac {2 \ pi} {3}} + {\ sqrt {3}} \ end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/331bd80b5e0c5a19ece342b80e800bd3d1bc2093)
![{\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ frac {dx} {a ^ {2} + x ^ {2}}} & = \ int {\ frac {a \ sec ^ {2} \ theta \, d \ theta} {a ^ {2} + a ^ {2} \ tan ^ {2} \ theta}} \\ [6pt] & = \ int {\ frac {a \ sec ^ {2} \ theta \, d \ theta} {a ^ {2} (1+ \ tan ^ {2} \ theta)}} \\ [6pt] & = \ int {\ frac {a \ sec ^ {2} \ theta \, d \ theta} {a ^ {2} \ sec ^ {2} \ theta}} \\ [6pt] & = \ int {\ frac {d \ theta} {a}} \\ [6pt] & = {\ frac { \ theta} {a}} + C \\ [6pt] & = {\ frac {1} {a}} \ arctan {\ frac {x} {a}} + C, \ end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c65e486a1f8cafb8397f72820972c35efacd858)
![{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {4 \, dx} {1 + x ^ {2}}} & = 4 \ int _ {0} ^ {1 } {\ frac {dx} {1 + x ^ {2}}} \\ [6pt] & = 4 \ int _ {0} ^ {\ pi / 4} {\ frac {\ sec ^ {2} \ theta \, d \ theta} {1+ \ tan ^ {2} \ theta}} \\ [6pt] & = 4 \ int _ {0} ^ {\ pi / 4} {\ frac {\ sec ^ {2} \ theta \, d \ theta} {\ sec ^ {2} \ theta}} \\ [6pt] & = 4 \ int _ {0} ^ {\ pi / 4} d \ theta \\ [6pt] & = (4 \ theta) {\ Bigg |} _ {0} ^ {\ pi / 4} = 4 \ left ({\ frac {\ pi} {4}} - 0 \ right) = \ pi. \ End {выровнено }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1fdc8a13ac2312f87a1c7b36cef5ca23eb89075)
![{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {4} {1 + x ^ {2}}} \, dx & = 4 \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {dx} {1 + x ^ {2}}} \\ & = 4 \ left [{\ frac {1} {1}} \ arctan {\ frac {x} {1}} \ right] _ {0} ^ {1} \\ & = 4 (\ arctan x) {\ Bigg |} _ {0} ^ {1} \\ & = 4 (\ arctan 1- \ arctan 0) \\ & = 4 \ left ({\ frac {\ pi} {4}} - 0 \ right) = \ pi, \ end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d22c46fc3be1aac3570a02e6914168f9e0fa0501)
![{\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} \, dx & = \ int {\ sqrt {a ^ {2} + a ^ {2} \ tan ^ {2} \ theta}} \, (a \ sec ^ {2} \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] & = \ int {\ sqrt {a ^ {2} (1+ \ tan ^ {2} \ theta)}} \, (a \ sec ^ {2} \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] & = \ int {\ sqrt {a ^ {2} \ sec ^ {2 } \ theta}} \, (a \ sec ^ {2} \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] & = \ int (a \ sec \ theta) (a \ sec ^ {2} \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] & = a ^ {2} \ int \ sec ^ {3} \ theta \, d \ theta. \\ [6pt] \ end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/108a5f1becea83b5cb41021d81544ff3e1bab889)
![{\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} \, dx & = {\ frac {a ^ {2}} {2}} (\ sec \ theta \ tan \ theta + \ ln | \ sec \ theta + \ tan \ theta |) + C \\ [6pt] & = {\ frac {a ^ {2}} {2}} \ left ({\ sqrt { 1 + {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}}} \ cdot {\ frac {x} {a}} + \ ln \ left | {\ sqrt {1 + {\ frac { x ^ {2}} {a ^ {2}}}}} + {\ frac {x} {a}} \ right | \ right) + C \\ [6pt] & = {\ frac {1} {2 }} \ left (x {\ sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} + a ^ {2} \ ln \ left | {\ frac {x + {\ sqrt {a ^ {2} + x) ^ {2}}}} {a}} \ right | \ right) + C. \ End {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35b28bc818f9ffcffedfb2e767d2d578c4a3e038)
![{\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} \, dx & = {\ frac {a ^ {2}} {2}} (\ sec \ theta \ tan \ theta + \ ln | \ sec \ theta + \ tan \ theta |) -a ^ {2} \ ln | \ sec \ theta + \ tan \ theta | + C \\ [6pt] & = {\ frac {a ^ {2}} {2}} (\ sec \ theta \ tan \ theta - \ ln | \ sec \ theta + \ tan \ theta |) + C \\ [6pt] & = {\ frac {a ^ {2}} {2}} \ left ({\ frac {x} {a}} \ cdot {\ sqrt {{\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - 1}} - \ ln \ left | {\ frac {x} {a}} + {\ sqrt {{\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - 1}} \ right | \ right) + C \\ [6pt] & = {\ frac {1} {2}} \ left (x {\ sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} - a ^ {2} \ ln \ left | {\ frac {x + {\ sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}}} {a}} \ right | \ right) + C. \ end {выравнивается}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d551bea9f1a33df981d45ab8cf11a1443d6da85)
![{\ Displaystyle {\ begin {align} \ int е (\ sin (x), \ cos (x)) \, dx & = \ int {\ frac {1} {\ pm {\ sqrt {1-u ^ {2 }}}}} f \ left (u, \ pm {\ sqrt {1-u ^ {2}}} \ right) \, du && u = \ sin (x) \\ [6pt] \ int f (\ sin ( x), \ cos (x)) \, dx & = \ int {\ frac {1} {\ mp {\ sqrt {1-u ^ {2}}}}} f \ left (\ pm {\ sqrt {1 -u ^ {2}}}, u \ right) \, du && u = \ cos (x) \\ [6pt] \ int f (\ sin (x), \ cos (x)) \, dx & = \ int { \ frac {2} {1 + u ^ {2}}} f \ left ({\ frac {2u} {1 + u ^ {2}}}, {\ frac {1-u ^ {2}} {1 + u ^ {2}}} \ right) \, du && u = \ tan \ left ({\ tfrac {x} {2}} \ right) \\ [6pt] \ end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a9a11e89e8ccd82a402c1c24e5c755bdd6400a0)
![{\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ frac {1} {\ sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}}} \, dx & = \ int {\ frac {a \ cosh u} {\ sqrt {a ^ {2} + a ^ {2} \ sinh ^ {2} u}}} \, du \\ [6pt] & = \ int {\ frac {a \ ch {u}} {a {\ sqrt {1+ \ sinh ^ {2} {u}}}} \, du \\ [6pt] & = \ int {\ frac {a \ cosh {u}} {a \ ch u}} \ , du \\ [6pt] & = u + C \\ [6pt] & = \ sinh ^ {- 1} {\ frac {x} {a}} + C \\ [6pt] & = \ ln \ left ( {\ sqrt {{\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + 1}} + {\ frac {x} {a}} \ right) + C \\ [6pt] & = \ ln \ left ({\ frac {{\ sqrt {x ^ {2} + a ^ {2}}} + x} {a}} \ right) + C \ end {выравнивается}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4de72234865476739112fe15f4849d934ebb1622)
