История тригонометрии

Тригонометрия
Контур История использование Функции  ( обратные ) Обобщенная тригонометрия
Ссылка
Идентичности Точные константы Столы Единичный круг
Законы и теоремы
Синусы Косинусы Касательные Котангенсы теорема Пифагора
Исчисление
Тригонометрическая замена Интегралы  ( обратные функции ) Производные
v т е

Раннее изучение треугольников можно проследить до 2-го тысячелетия до нашей эры в египетской математике ( Математический папирус Райнда ) и вавилонской математике . Тригонометрия также была широко распространена в математике Кушите . ^[1] Систематическое изучение тригонометрических функций началось в эллинистической математике и достигло Индии как часть эллинистической астрономии . ^[2] В индийской астрономии изучение тригонометрических функций процветало в период Гупта , особенно благодаря Арьябхате (шестой век н.э.), который открылсинусоидальная функция . В средние века изучение тригонометрии продолжалось в исламской математике такими математиками, как Аль-Хорезми и Абу аль-Вафа . Он стал самостоятельной дисциплиной в исламском мире , где были известны все шесть тригонометрических функций . Переводы арабских и греческих текстов привели к тому, что тригонометрия стала предметом изучения на латинском Западе, начиная с эпохи Возрождения с Региомонтана . Развитие современной тригонометрии изменилось в эпоху западного Просвещения , начиная с математики 17 века ( Исаак Ньютон иДжеймс Стирлинг ) и достигнув своей современной формы с Леонардом Эйлером (1748).

Этимология [ править ]

Термин «тригонометрия» произошел от греческого τρίγωνον trigōnon , «треугольник» и μέτρον metron , «мера». ^[3]

Современное слово «синус» происходит от латинского слова « синус» , что означает «залив», «лоно» или «складка», косвенно, через индийскую, персидскую и арабскую передачи, происходящее от греческого термина khordḗ «тетива, аккорд. ". Индусский термин для обозначения синуса на санскрите - джья, « тетива из лука», первоначально введенный индуистами и обычно использовавший три тригонометрические функции: джья, коти-джья и уткрама-джья. Индусы определяли их как функции дуги окружности, а не угла, отсюда их связь с тетивой лука, и, следовательно, «хорда дуги» для дуги называется «луком» (дхану, чапа). Его синонимы - джива, синджини, маурви, гуна и т. Д. Функция синуса позже была адаптирована в варианте дживы . ^[4] Санскритская джива была переведена (принята) на арабский язык как джиба , написанная jb جب. ^{[5] [6]} Это было затем истолковано как подлинное арабское слово jayb , означающее «грудь, складка, залив», ^[6] либо арабами, либо по ошибке европейских переводчиков, таких как Роберт Честерский , который перевелjayb на латынь как sinus . ^{[5] В} частности , sinus rectus arcus по Фибоначчи оказал влияние на определение термина « синус» . ^[7] Слова «минута» и «секунда» произошли от латинских фраз partes minutae primae и partes minutae secundae . ^[8] Это примерно переводится как «первые маленькие части» и «вторые маленькие части».

Развитие [ править ]

Древний Ближний Восток [ править ]

Древние египтяне и вавилоняне знали теоремы о соотношении сторон подобных треугольников на протяжении многих веков. Однако, поскольку в доэллинских обществах отсутствовала концепция угловой меры, вместо этого они ограничивались изучением сторон треугольников. ^[9]

В вавилонские астрономы хранятся подробные записи на восход и заход звезд , движением планет и Солнца и Луны затмений , все из которых требуется знакомство с угловых расстояний , измеренных на небесной сфере . ^[6] Основываясь на одной интерпретации клинописи Плимптона 322 (ок. 1900 г. до н.э.), некоторые даже утверждали, что у древних вавилонян была таблица секантов. ^[10] Однако ведется много споров относительно того, является ли это таблицей троек Пифагора , решением квадратных уравнений или тригонометрической таблицей .

С другой стороны, египтяне использовали примитивную форму тригонометрии для построения пирамид во 2-м тысячелетии до нашей эры. ^[6] Папирус Ахмеса , написанный египетский писец Амс (. С 1680-1620 до н.э.), содержит следующую проблему , связанную с тригонометрии: ^[6]

«Если высота пирамиды 250 локтей, а длина стороны основания 360 локтей, то какой у нее сикед ?»

Решение проблемы, предложенное Ахмесом, - это отношение половины стороны основания пирамиды к ее высоте или отношение длины подъема к высоте ее грани. Другими словами, величина, которую он нашел для секеда, является котангенсом угла к основанию пирамиды и ее грани. ^[6]

Классическая древность [ править ]

Древнегреческие и эллинистические математики использовали аккорд . Учитывая окружность и дугу на окружности, хорда - это линия, которая образует дугу. Серединный перпендикуляр хорды проходит через центр окружности и делит угол пополам. Одна половина разделенной пополам хорды - это синус половины разделенного пополам угла, то есть ^[11]

${\ Displaystyle \ mathrm {аккорд} \ \ theta = 2r \ sin {\ frac {\ theta} {2}},}$

и, следовательно, функция синуса также известна как полухорда . Из-за этой связи ряд тригонометрических тождеств и теорем, которые известны сегодня, также были известны эллинистическим математикам, но в их эквивалентной аккордовой форме. ^{[12] [13]}

Хотя в трудах Евклида и Архимеда нет тригонометрии , в строгом смысле этого слова есть теоремы, представленные геометрическим способом (а не тригонометрическим способом), которые эквивалентны определенным тригонометрическим законам или формулам. ^[9] Например, предложения двенадцать и тринадцать второй книги Элементов - это законы косинусов для тупых и острых углов соответственно. Теоремы о длинах хорд являются приложениями закона синусов . А теорема Архимеда о сломанных хордах эквивалентна формулам для синусов сумм и разностей углов. ^[9] Для компенсации отсутствия таблицы аккордовматематики времен Аристарха иногда использовали утверждение, что в современных обозначениях sin  α / sin  β  <  α / β  <tan  α / tan  β всякий раз, когда 0 ° <β <α <90 °, теперь известное как неравенство Аристарха . ^[14]

Первый тригонометрические таблицы, по- видимому , составленный Гиппарх из Никеи (180 - 125 до н.э.), который в настоящее время , следовательно , известный как «отец тригонометрии.» ^[15] Гиппарх был первым, кто ввел в таблицу соответствующие значения дуги и хорды для ряда углов. ^{[7] [15]}

Хотя неизвестно, когда систематическое использование круга 360 ° вошло в математику, известно, что систематическое введение круга 360 ° произошло немного после того, как Аристарх Самосский написал О размерах и расстояниях Солнца и Луны (ок. 260 г. до н.э.), так как он измерял угол в долях квадранта. ^[14] Кажется, что систематическое использование круга на 360 ° во многом связано с Гиппархом и его таблицей аккордов . Гиппарх, возможно, заимствовал идею этого деления у Гипсика, который ранее разделил день на 360 частей, что могло быть предложено вавилонской астрономией. ^[16]В древней астрономии зодиак делился на двенадцать «знаков» или тридцать шесть «деканов». Сезонный цикл, составляющий примерно 360 дней, мог бы соответствовать знакам и деканам зодиака, если бы каждый знак был разделен на тридцать частей, а каждый декан - на десять частей. ^[8] Благодаря вавилонской шестидесятеричной системе счисления каждый градус делится на шестьдесят минут, а каждая минута делится на шестьдесят секунд. ^[8]

Менелай Александрийский (ок. 100 г. н.э.) написал в трех книгах свой Sphaerica . В Книге I он установил основу для сферических треугольников, аналогичную евклидовой основе для плоских треугольников. ^[13] Он устанавливает теорему, которая не имеет евклидова аналога, что два сферических треугольника конгруэнтны, если соответствующие углы равны, но он не различал конгруэнтные и симметричные сферические треугольники. ^[13] Другая теорема, которую он устанавливает, заключается в том, что сумма углов сферического треугольника больше 180 °. ^[13] Книга II Sphaerica применяет сферическую геометрию к астрономии. А в третьей книге содержится «теорема Менелая». ^[13]Далее он привел свое знаменитое «правило шести величин». ^[17]

Позже Клавдий Птолемей (ок. 90 - ок. 168 г. н.э.) расширил аккорды Гиппарха в круге в его Альмагесте , или « Математический синтаксис» . Альмагест - это в первую очередь работа по астрономии, а астрономия опирается на тригонометрию. Таблица хорд Птолемея дает длины хорд окружности диаметром 120 в зависимости от числа градусов  n в соответствующей дуге окружности для n в диапазоне от 1/2 до 180 с шагом 1/2. ^[18] Тринадцать книг Альмагеста являются наиболее влиятельным и значительным тригонометрическим произведением всей древности. ^[19]Теорема, которая была центральной в вычислении хорд Птолемеем, была тем, что все еще известно как теорема Птолемея, о том , что сумма произведений противоположных сторон циклического четырехугольника равна произведению диагоналей. Частный случай теоремы Птолемея появился как предложение 93 в « Данных Евклида» . Теорема Птолемея приводит к эквиваленту четырех формул суммы и разности для синуса и косинуса, которые сегодня известны как формулы Птолемея, хотя сам Птолемей использовал аккорды вместо синуса и косинуса. ^[19] Далее Птолемей вывел эквивалент формулы полуугла

${\ displaystyle \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) = {\ frac {1- \ cos (x)} {2}}.}$^[19]

Птолемей использовал эти результаты для создания своих тригонометрических таблиц, но невозможно определить, были ли эти таблицы получены из работы Гиппарха. ^[19]

Ни таблицы Гиппарха, ни таблицы Птолемея не сохранились до наших дней, хотя описания других древних авторов не оставляют сомнений в том, что они когда-то существовали. ^[20]

Пифагор открыл многие свойства того, что впоследствии стало тригонометрическими функциями. Теорема Пифагора , p ² + b ² = h ^2, представляет собой представление фундаментального тригонометрического тождества sin ² (x) + cos ² (x) = 1. Длина 1 - гипотенуза любого прямоугольного треугольника и имеет длину катетов sin (x) и cos (x), где x является одним из двух непрямых углов. С учетом этого тождество, на котором основана тригонометрия, оказывается теоремой Пифагора.

Индийская математика [ править ]

Некоторые из первых и очень значительных достижений тригонометрии произошли в Индии . Влиятельные работы 4–5 веков нашей эры, известные как сиддханты (которых было пять, наиболее важная из которых - Сурья Сиддханта ^[21] ), впервые определили синус как современное соотношение между половиной угла и половиной аккорда. , а также определяют косинус, версинус и обратный синус . ^[22] Вскоре после этого другой индийский математик и астроном , Арьябхата (476–550 гг. Н.э.), собрал и расширил развитие сиддхант в важной работе под названием « Арьябхатия».. ^[23] сиддхант и Aryabhatiya содержат самые ранние сохранившиеся таблицы значений синуса и синус-верзус (1 - косинуса), значение в 3,75 ° с интервалом от 0 ° до 90 °, с точностью до 4 знаков после запятой. ^[24] Они использовали слова jya для синуса, kojya для косинуса, utkrama-jya для версина и otkram jya для обратного синуса. Слова jya и kojya в конечном итоге стали синусом и косинусом соответственно после описанного выше неправильного перевода.

В 7 веке Бхаскара I создал формулу для вычисления синуса острого угла без использования таблицы. Он также дал следующую формулу аппроксимации для sin ( x ) с относительной погрешностью менее 1,9%:

${\ Displaystyle \ грех Икс \ приблизительно {\ гидроразрыва {16x (\ pi -x)} {5 \ pi ^ {2} -4x (\ pi -x)}}, \ qquad \ left (0 \ leq x \ leq \ pi \ right).}$

Позже, в VII веке, Брахмагупта переработал формулу

${\ displaystyle \ 1- \ sin ^ {2} (x) = \ cos ^ {2} (x) = \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - x \ right )}$

(также полученная ранее, как упоминалось выше) и формула интерполяции Брахмагупты для вычисления значений синуса. ^[10]

Еще одним более поздним индийским автором по тригонометрии был Бхаскара II в 12 веке. Бхаскара II разработал сферическую тригонометрию и обнаружил множество тригонометрических результатов.

Bhaskara II был один из первых , чтобы обнаружить и тригонометрические результаты , такие как:${\ Displaystyle \ грех \ влево (а + б \ вправо)}$${\ Displaystyle \ грех \ влево (ab \ вправо)}$

• ${\ displaystyle \ sin \ left (a + b \ right) = \ sin a \ cos b + \ cos a \ sin b}$

Мадхава (ок. 1400 г.) сделал первые шаги в анализе тригонометрических функций и их разложений в бесконечные ряды . Он разработал концепции степенного ряда и ряда Тейлора и произвел разложения степенного ряда синуса, косинуса, тангенса и арктангенса. ^{[25] [26]} Используя приближения синуса и косинуса ряда Тейлора, он составил таблицу синусов с точностью до 12 знаков после запятой и таблицу косинусов с точностью до 9 знаков после запятой. Он также дал степенной ряд π и угол , радиус , диаметр и длину окружности.круга в терминах тригонометрических функций. Его работы были расширены его последователями в школе Кералы до 16 века. ^{[25] [26]}

Индийский текст Yuktibhāṣā содержит доказательство разложения функций синуса и косинуса, а также вывод и доказательство степенного ряда для обратного тангенса , открытого Мадхавой. Юктибхана также содержит правила нахождения синусов и косинусов суммы и разности двух углов.

Китайская математика [ править ]

В Китае , Aryabhata стол «S синусов были переведены на китайский математической книге Кайюань Zhanjing , составленный в 718 нашей эры во время династии Тан . ^[28] Хотя китайцы преуспели в других областях математики, таких как сплошная геометрия, биномиальная теорема и сложные алгебраические формулы, ранние формы тригонометрии не пользовались таким широким признанием, как в более раннем греческом, эллинистическом, индийском и исламском мирах. ^[29] Вместо этого ранние китайцы использовали эмпирическую замену, известную как чунча , в то время как практическое использование плоской тригонометрии при использовании синуса, касательной и секущей было известно.^[28] Однако это зародышевое состояние тригонометрии в Китае постепенно начало меняться и развиваться во время династии Сун (960–1279), когда китайские математики начали уделять больше внимания необходимости сферической тригонометрии в календарной науке и астрономических расчетах. ^[28] эрудит китайский ученый, математик и официальный Шен Куо (1031-1095)используемые тригонометрические функции для решения математических задач хорд и дуг. ^[28] Виктор Дж. Кац пишет, что в формуле Шена «техника пересечения кругов» он создал приближение дуги  s окружности с учетом диаметра  d , sagitta  v., и длину  c хорды, соединяющей дугу, длину которой он аппроксимировал как ^[30]

${\ displaystyle s = c + {\ frac {2v ^ {2}} {d}}.}$

Сал Рестиво пишет, что работа Шена о длинах дуг окружностей послужила основой для сферической тригонометрии, разработанной в 13 веке математиком и астрономом Го Шоуцзином (1231–1316). ^[31] Как утверждают историки Л. Гаше и Джозеф Нидхэм, Го Шоуцзин использовал сферическую тригонометрию в своих расчетах для улучшения календарной системы и китайской астрономии . ^{[28] [32]} Наряду с более поздней иллюстрацией математических доказательств Го в Китае в 17 веке, Нидхэм утверждает, что:

Го использовал четырехугольную сферическую пирамиду, базальный четырехугольник которой состоял из одной экваториальной и одной эклиптической дуги вместе с двумя дугами меридиана , одна из которых проходила через точку летнего солнцестояния ... С помощью таких методов он смог получить дю люй. (степени экватора, соответствующие степеням эклиптики), ji cha (значения хорд для заданных дуг эклиптики) и cha lü (разница между хордами дуг, различающихся на 1 градус). ^[33]

Несмотря на достижения Шэнь и Го в тригонометрии, еще одна существенная работа по китайской тригонометрии не будет опубликована снова до 1607 года, когда китайский чиновник и астроном Сюй Гуанци (1562–1633) и итальянский иезуит Маттео Риччи дважды опубликовали «Элементы Евклида» (1552–1610). ^[34]

Средневековый исламский мир [ править ]

Предыдущие работы были впоследствии переведены и расширены в средневековом исламском мире на мусульманских математиков в основном персидского и арабского происхождения , которые провозглашенному большое количество теорем, освобожденными предмет тригонометрии от зависимости от полного четырехугольника , как это имело место в математике эллинизма в связи к применению теоремы Менелая . По словам Кеннеди, именно после этого развития исламской математики «возникла первая настоящая тригонометрия в том смысле, что только тогда объектом исследования стал сферический или плоский треугольник , его стороны и углы ».^[35]

Были также известны методы работы со сферическими треугольниками, в частности, метод Менелая Александрийского , который разработал «теорему Менелая» для решения сферических задач. ^{[13] [36]} Однако Кеннеди указывает, что, хотя в доисламской математике было возможно вычислить величины сферической фигуры, в принципе, с помощью таблицы аккордов и теоремы Менелая, применение Теорема к сферическим задачам была очень сложной на практике. ^[37] Чтобы соблюдать священные дни по исламскому календарю, в которых время определялось фазами луны , астрономы первоначально использовали метод Менелая для расчета положения Луны извезд , хотя этот метод оказался неуклюжим и сложным. Он включал создание двух пересекающихся прямоугольных треугольников ; Применяя теорему Менелая, можно было решить одну из шести сторон, но только если были известны другие пять сторон. Для того, чтобы определить время от солнца «сек высоты , например, повторное применение Менелой» теоремы требовалась. Для средневековых исламских астрономов было очевидной проблемой найти более простой тригонометрический метод. ^[38]

В начале 9 века нашей эры Мухаммад ибн Муса аль-Хваризми создал точные таблицы синусов и косинусов, а также первую таблицу касательных. Он также был пионером сферической тригонометрии . В 830 году нашей эры Хабаш аль-Хасиб аль-Марвази составил первую таблицу котангенсов. ^{[39] [40]} Мухаммад ибн Джабир аль-Харрани аль-Баттани (Альбатениус) (853–929 гг. Н.э.) открыл взаимные функции секанса и косеканса и составил первую таблицу косекансов для каждой степени от 1 ° до 90 °. ^[40]

К 10 веку нашей эры в работах Абу аль-Вафа аль-Бузджани мусульманские математики использовали все шесть тригонометрических функций . ^[41] Абу аль-Вафа имел таблицы синусов с шагом 0,25 °, с точностью до 8 десятичных знаков и точные таблицы значений тангенса. ^[41] Он также разработал следующую тригонометрическую формулу: ^[42]

${\ Displaystyle \ \ грех (2x) = 2 \ грех (х) \ соз (х)}$ (частный случай формулы Птолемея для сложения углов; см. выше)

В своем первоначальном тексте Абу аль-Вафа утверждает: «Если мы хотим этого, мы умножаем данный синус на косинус минут , и в результате получаем половину синуса двойного». ^[42] Абу аль-Вафа также установил тождества сложения углов и разности, представленные с полными доказательствами: ^[42]

${\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )={\sqrt {\sin ^{2}\alpha -(\sin \alpha \sin \beta )^{2}}}\pm {\sqrt {\sin ^{2}\beta -(\sin \alpha \sin \beta )^{2}}}}$

${\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }$

Для второй в тексте говорится: «Мы умножаем синус каждой из двух дуг на косинус других минут . Если нам нужен синус суммы, мы складываем произведения, если нам нужен синус разницы. , берем их разницу ». ^[42]

Он также открыл закон синусов для сферической тригонометрии: ^[39]

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.}$

Также в конце 10 и начале 11 веков нашей эры египетский астроном Ибн Юнус провел множество тщательных тригонометрических вычислений и продемонстрировал следующую тригонометрическую идентичность : ^[43]

${\displaystyle \cos a\cos b={\frac {\cos(a+b)+\cos(a-b)}{2}}}$

Аль- Джаяни (989–1079) из Аль-Андалуса написал книгу о неизвестных дугах сферы , которая считается «первым трактатом по сферической тригонометрии ». ^[44] Он «содержит формулы для правых треугольников , общий закон синусов и решение сферического треугольника с помощью полярного треугольника». Позднее этот трактат оказал «сильное влияние на европейскую математику», и его «определение отношений как чисел» и «метод решения сферического треугольника, когда все стороны неизвестны», вероятно, повлияли на Региомонтана . ^[44]

Метод триангуляции был впервые разработан мусульманскими математиками, которые применили его к практическим применениям, таким как геодезия ^[45] и исламская география , как это описал Абу Райхан Бируни в начале 11 века. Сам Бируни представил методы триангуляции для измерения размеров Земли и расстояний между различными местами. ^[46] В конце 11 века Омар Хайям (1048–1131) решил кубические уравнения, используя приближенные численные решения, найденные путем интерполяции в тригонометрических таблицах. В 13 веке Насир ад-Дин ат-Тусибыл первым, кто стал рассматривать тригонометрию как математическую дисциплину, независимую от астрономии, и развил сферическую тригонометрию в ее нынешней форме. ^[40] Он перечислил шесть различных случаев прямоугольного треугольника в сферической тригонометрии, а в своей работе « О секторном рисунке» изложил закон синусов для плоских и сферических треугольников, открыл закон касательных для сферических треугольников и представил доказательства обоих этих законов. ^[47] Насир ад-Дин ат-Туси был описан как создатель тригонометрии как самостоятельной математической дисциплины. ^{[48] [49] [50]}

В 15 веке Джамшид аль-Каши представил первое явное изложение закона косинусов в форме, пригодной для триангуляции . ^{[ необходимая цитата ]} Во Франции закон косинусов до сих пор называют теоремой Аль-Каши . Он также дал тригонометрические таблицы значений функции синуса для четырех шестидесятеричных цифр (эквивалентных 8 десятичным знакам) для каждого 1 ° аргумента с добавлением разностей для каждой 1/60 1 °. ^{[ необходима цитата ]} Улугбег также дает точные таблицы синусов и касательных с точностью до 8 десятичных знаков примерно в одно и то же время. ^{[цитата необходима ]}

Европейский ренессанс и позже [ править ]

В 1342 году Леви бен Гершон, известный как Герсонид , написал « О синусах, хордах и дугах» , в частности доказав закон синусов для плоских треугольников и представив пятизначные таблицы синусов . ^[51]

Упрощенная тригонометрическая таблица « toleta de marteloio » использовалась моряками в Средиземном море в 14-15 веках для расчета навигационных курсов. Он описан Рамоном Лулллом с Майорки в 1295 году и изложен в атласе венецианского капитана Андреа Бьянко 1436 года .

Региомонтан был, возможно, первым математиком в Европе, который рассматривал тригонометрию как отдельную математическую дисциплину ^[52] в его De triangulis omnimodis, написанном в 1464 году, а также в его более позднем Tabulae directionum, который включал функцию касательной без названия. Opus Palatinum де triangulis из Ретика , ученик Коперника , был , вероятно, первым в Европе , чтобы определить тригонометрические функции непосредственно в терминах правильных треугольников вместо окружностей, с таблицами для всех шести тригонометрических функций; эта работа была закончена учеником Ретикуса Валентином Отоном в 1596 году.

В 17 веке Исаак Ньютон и Джеймс Стирлинг разработали общую формулу интерполяции Ньютона – Стирлинга для тригонометрических функций.

В 18 - м веке, Leonhard Euler «s Введении в анализ бесконечно малых (1748) был в основном отвечает за создание аналитической обработки тригонометрических функций в Европе, черпающие свои бесконечные ряды и представление„ формулу Эйлера “  е ^ие  = соз  х  +  я  грех  х . Эйлер использовал почти современные сокращения sin. , cos. , танг. , детская кроватка. , сек. , и cosec. До этого Роджер Котес вычислял производную синуса в своей Harmonia Mensurarum.(1722). ^[53] Также в 18 веке Брук Тейлор определил общий ряд Тейлора и дал расширения ряда и приближения для всех шести тригонометрических функций. Работы Джеймса Грегори в 17 веке и Колина Маклорена в 18 веке также оказали большое влияние на развитие тригонометрических рядов.

См. Также [ править ]

• Греческая математика
• История математики
• Тригонометрические функции
• Тригонометрия
• Таблица аккордов Птолемея
• Таблица синусов Арьябхаты
• Рациональная тригонометрия

Цитаты и сноски [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бойер, Карл Бенджамин (1991). История математики (2-е изд.). ISBN компании John Wiley & Sons, Inc. 978-0-471-54397-8.
• Гоше, Л. (1917). Обратите внимание на Sur La Trigonométrie Sphérique de Kouo Cheou-King .
• Джозеф, Джордж Г. (2000). Гребень павлина: неевропейские корни математики (2-е изд.). Лондон: Penguin Books . ISBN 978-0-691-00659-8.
• Кац, Виктор Дж. (1998). История математики / Введение (2-е изд.). Эддисон Уэсли. ISBN 978-0-321-01618-8.
• Кац, Виктор Дж. (2007). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-11485-9.
• Нидхэм, Джозеф (1986). Наука и цивилизация в Китае: Том 3, Математика и науки о Небесах и Земле . Тайбэй: Caves Books, Ltd.
• Рестиво, Сал (1992). Математика в обществе и истории: социологические вопросы . Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. ISBN 1-4020-0039-1.

Дальнейшее чтение [ править ]

• Антон фон Браунмюль (1903) Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie , через Интернет-архив