Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите
улучшить его или обсудите эти проблемы на
странице обсуждения .
( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) Эта статья может
потребовать очистки, чтобы соответствовать
стандартам качества Википедии . Конкретная проблема заключается в следующем:
эта статья состоит в основном из огромных формул, большинство из которых не получены из источника и выглядят как WP: OR . Кроме того, структура статьи сбивает с толку, так как связь между различными списками, фигурирующими в ней, неясна (некоторые списки кажутся объяснением способа получения предыдущих списков, а некоторые списки кажутся дубликатами, поскольку выражают одни и те же вещи в разных терминах. Также некоторые разделы не относятся к этой статье. Помогите улучшить эту статью, если можете. ( ноябрь 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )
Эта статья,
возможно, содержит оригинальные исследования .
Пожалуйста, улучшите его , проверив сделанные утверждения и добавив встроенные цитаты . Заявления, содержащие только оригинальные исследования, следует удалить. ( Ноябрь 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )
Эта статья
может быть слишком длинной для чтения и удобной навигации .
Пожалуйста, подумайте о разделении контента на подстатьи, сжатии или добавлении подзаголовков . Пожалуйста, обсудите этот вопрос на странице обсуждения статьи . ( Январь 2021 г. )
( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )
точные алгебраические выражения для тригонометрических значений , в основном для упрощения решений до радикальных форм, которые позволяют дальнейшее упрощение.
Все тригонометрические числа - синусы или косинусы рациональных кратных 360 ° - являются алгебраическими числами (решениями полиномиальных уравнений с целыми коэффициентами); более того, они могут быть выражены в терминах радикалов комплексных чисел ; но не все из них можно выразить в терминах реальных радикалов. Когда они есть, их можно выразить более конкретно в терминах квадратных корней.
Все значения синусов, косинусов и тангенсов углов с шагом 3 ° выражаются в терминах квадратных корней, используя тождества - идентичность половинный угол , то идентичность двойной угол , а идентичность угла сложение / вычитание - и с использованием значений для 0 °, 30 °, 36 ° и 45 °. Для угла целого числа градусов, не кратного 3 ° (π / 60
Согласно теореме Нивена , единственные рациональные значения синусоидальной функции, аргументом которой является рациональное число степеней, равны 0, 1 / 2 1 / 2
Согласно теореме Бейкера , если значение синуса, косинуса или тангенса является алгебраическим, то угол является либо рациональным числом градусов, либо трансцендентным числом градусов. То есть, если угол представляет собой алгебраическое, но нерациональное число градусов, все тригонометрические функции имеют трансцендентные значения.
СОДЕРЖАНИЕ 1 Сфера применения данной статьи 2 Некоторые углы2.1 0 °: основной 2.2 1.5 °: правильный гекатоникосагон (120-сторонний многоугольник) 2.3 1.875 °: правильный эннаконтагексагон (96-сторонний многоугольник) 2.4 2.25 °: правильный восьмиугольник (80-сторонний многоугольник) 2,5 2,8125 °: правильный гексаконатетрагон (64-сторонний многоугольник) 2.6 3 °: правильный шестиугольник (многоугольник с 60 сторонами) 2.7 3.75 °: правильный четырехугольник (48-сторонний многоугольник) 2.8 4.5 °: правильный четырехугольник (40-сторонний многоугольник) 2.9 5.625 °: обычный триаконтадигон (32-сторонний многоугольник) 2.10 6 °: правильный триаконтагон (30-сторонний многоугольник) 2.11 7.5 °: правильный икоситетракон (24-сторонний многоугольник) 2.12 9 °: правильный икосугольник (20-сторонний многоугольник) 2.13 11.25 °: правильный шестиугольник (16-сторонний многоугольник) 2.14 12 °: правильный пятиугольник (15-сторонний многоугольник) 2.15 15 °: правильный двенадцатигранник (12-сторонний многоугольник) 2.16 18 °: правильный десятиугольник (10-сторонний многоугольник) [1] 2.17 21 °: сумма 9 ° + 12 ° 2,18 22,5 °: правильный восьмиугольник 2,19 24 °: сумма 12 ° + 12 ° 2,20 27 °: сумма 12 ° + 15 ° 2.21 30 °: правильный шестигранник 2.22 33 °: сумма 15 ° + 18 ° 2.23 36 °: правильный пятиугольник 2,24 39 °: сумма 18 ° + 21 ° 2,25 42 °: сумма 21 ° + 21 ° 2,26 45 °: квадрат 2,27 54 °: сумма 27 ° + 27 ° 2.28 60 °: равносторонний треугольник 2,29 67,5 °: сумма 7,5 ° + 60 ° 2.30 72 °: сумма 36 ° + 36 ° 2.31 75 °: сумма 30 ° + 45 ° 2.32 90 °: основной 3 Список тригонометрических констант 2π / n 4 Примечания4.1 Использование констант 4.2 Деривационные треугольники 5 Расчетные тригонометрические значения синуса и косинуса5.1 Тривиальные значения 5.2 Радикальная форма, sin и cos числа π / (3 × 2 n ) 5.3 Радикальная форма, sin и cos числа π / (5 × 2 n ) 5.4 Радикальная форма, sin и cos числа π / (5 × 3 × 2 n ) 5.5 Радикальная форма, sin и cos числа π / (17 × 2 n ) 5.6 Радикальная форма, sin и cos чисел π / (257 × 2 n ) и π / (65537 × 2 n ) 5.7 Радикальная форма, sin и cos чисел π / (255 × 2 n ) , π / (65535 × 2 n ) и π / (4294967295 × 2 n ) 5,8 п × π / (5 × 2 м )5.8.1 Геометрический метод 5.8.2 Алгебраический метод 5,9 п × π / 20 5,10 п × π / 30 5,11 п × π / 60 6 стратегий упрощения выражений6.1 Рационализация знаменателя 6.2 Разделение дроби на две 6.3 Возведение в квадрат и извлечение квадратного корня 6.4 Упрощение вложенных радикальных выражений 7 См. Также 8 ссылки 9 Внешние ссылки Сфера применения этой статьи [ править ] Список в этой статье неполон в нескольких смыслах. Во-первых, тригонометрические функции всех углов, которые являются целыми кратными указанным, также могут быть выражены в радикалах, но некоторые из них здесь опущены.
Во-вторых, всегда можно применить формулу половинного угла, чтобы найти выражение в радикалах для тригонометрической функции половины любого угла в списке, затем половины этого угла и т. Д.
В-третьих, выражения в вещественных радикалах существуют для тригонометрической функции рационального кратного π тогда и только тогда, когда знаменатель полностью приведенного рационального кратного является степенью 2 сама по себе или произведением степени 2 на произведение различных Ферма. простые числа , из которых известны 3, 5, 17, 257 и 65537.
В-четвертых, в данной статье рассматриваются значения тригонометрических функций только тогда, когда выражение в радикалах выражается в действительных радикалах - корнях действительных чисел. Значения многих других тригонометрических функций выражаются, например, в виде кубических корней комплексных чисел, которые нельзя переписать в терминах корней действительных чисел. Например, значения тригонометрической функции любого угла, который составляет одну треть угла θ, рассматриваемого в этой статье, могут быть выражены в кубических корнях и квадратных корнях с помощью формулы кубического уравнения для решения
4 потому что 3 θ 3 - 3 потому что θ 3 знак равно потому что θ , {\ displaystyle 4 \ cos ^ {3} {\ frac {\ theta} {3}} - 3 \ cos {\ frac {\ theta} {3}} = \ cos \ theta,} но в общем случае решение косинуса одной трети угла включает кубический корень из комплексного числа (что дает casus unducibilis ).
На практике все значения синусов, косинусов и тангенсов, не указанные в этой статье, аппроксимируются с использованием методов, описанных в тригонометрических таблицах .
Некоторые углы [ править ] Значения вне диапазона углов [0 °, 45 °] тривиально выводятся из следующих значений с использованием симметрии отражения оси окружности . (См. Список тригонометрических отождествлений .)
В приведенных ниже записях, когда определенное количество градусов связано с правильным многоугольником, соотношение состоит в том, что количество градусов в каждом углу многоугольника в ( n - 2) раз больше указанного числа градусов (где n - число сторон). Это потому, что сумма углов любого n -угольника равна 180 ° × ( n - 2), и поэтому мера каждого угла любого правильного n -угольника равна 180 ° × ( n - 2) ÷ n . Так, например, запись «45 °: квадрат» означает, что при n = 4 180 ° ÷ n = 45 °, а количество градусов в каждом углу квадрата составляет ( n - 2) × 45 ° = 90 °. .
0 °: фундаментальный [ править ] грех 0 знак равно 0 {\ Displaystyle \ грех 0 = 0 \,} потому что 0 знак равно 1 {\ Displaystyle \ соз 0 = 1 \,} загар 0 знак равно 0 {\ Displaystyle \ загар 0 = 0 \,} детская кроватка 0 не определено {\ displaystyle \ cot 0 {\ text {не определено}} \,} 1,5 °: правильный гекатоникосагон (120-сторонний многоугольник) [ править ] грех ( π 120 ) знак равно грех ( 1.5 ∘ ) знак равно ( 2 + 2 ) ( 15 + 3 - 10 - 2 5 ) - ( 2 - 2 ) ( 30 - 6 5 + 5 + 1 ) 16 {\ displaystyle \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {120}} \ right) = \ sin \ left (1,5 ^ {\ circ} \ right) = {\ frac {\ left ({\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} \ right) \ left ({\ sqrt {15}} + {\ sqrt {3}} - {\ sqrt {10-2 {\ sqrt {5}}}}} \ right ) - \ left ({\ sqrt {2 - {\ sqrt {2}}}} \ right) \ left ({\ sqrt {30-6 {\ sqrt {5}}}} + {\ sqrt {5}} +1 \ вправо)} {16}}} потому что ( π 120 ) знак равно потому что ( 1.5 ∘ ) знак равно ( 2 + 2 ) ( 30 - 6 5 + 5 + 1 ) + ( 2 - 2 ) ( 15 + 3 - 10 - 2 5 ) 16 {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{120}}\right)=\cos \left(1.5^{\circ }\right)={\frac {\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1\right)+\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)}{16}}} 1.875 °: правильный эннаконтахексагон (96-сторонний многоугольник) [ править ] sin ( π 96 ) = sin ( 1.875 ∘ ) = 1 2 2 − 2 + 2 + 2 + 3 {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{96}}\right)=\sin \left(1.875^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}}} cos ( π 96 ) = cos ( 1.875 ∘ ) = 1 2 2 + 2 + 2 + 2 + 3 {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{96}}\right)=\cos \left(1.875^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}}} 2.25 °: правильный восьмиугольник (80-сторонний многоугольник) [ править ] sin ( π 80 ) = sin ( 2.25 ∘ ) = 1 2 2 − 2 + 2 + 5 + 5 2 {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{80}}\right)=\sin \left(2.25^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}}}} cos ( π 80 ) = cos ( 2.25 ∘ ) = 1 2 2 + 2 + 2 + 5 + 5 2 {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{80}}\right)=\cos \left(2.25^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}}}} 2,8125 °: правильный гексаконатетрагон (64-сторонний многоугольник) [ править ] sin ( π 64 ) = sin ( 2.8125 ∘ ) = 1 2 2 − 2 + 2 + 2 + 2 {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{64}}\right)=\sin \left(2.8125^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}}} cos ( π 64 ) = cos ( 2.8125 ∘ ) = 1 2 2 + 2 + 2 + 2 + 2 {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{64}}\right)=\cos \left(2.8125^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}}} 3 °: правильный шестиугольник (многоугольник с 60 сторонами) [ править ] sin ( π 60 ) = sin ( 3 ∘ ) = 2 ( 1 − 3 ) 5 + 5 + ( 10 − 2 ) ( 3 + 1 ) 16 {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\sin \left(3^{\circ }\right)={\frac {2\left(1-{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}+1\right)}{16}}\,} cos ( π 60 ) = cos ( 3 ∘ ) = 2 ( 1 + 3 ) 5 + 5 + ( 10 − 2 ) ( 3 − 1 ) 16 {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\cos \left(3^{\circ }\right)={\frac {2\left(1+{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}-1\right)}{16}}\,} tan ( π 60 ) = tan ( 3 ∘ ) = [ ( 2 − 3 ) ( 3 + 5 ) − 2 ] [ 2 − 10 − 2 5 ] 4 {\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\tan \left(3^{\circ }\right)={\frac {\left[\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right]}{4}}\,} cot ( π 60 ) = cot ( 3 ∘ ) = [ ( 2 + 3 ) ( 3 + 5 ) − 2 ] [ 2 + 10 − 2 5 ] 4 {\displaystyle \cot \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\cot \left(3^{\circ }\right)={\frac {\left[\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2+{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right]}{4}}\,} 3.75 °: правильный четырехугольник (48-сторонний многоугольник) [ править ] sin ( π 48 ) = sin ( 3.75 ∘ ) = 1 2 2 − 2 + 2 + 3 {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{48}}\right)=\sin \left(3.75^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}} cos ( π 48 ) = cos ( 3.75 ∘ ) = 1 2 2 + 2 + 2 + 3 {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{48}}\right)=\cos \left(3.75^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}} 4.5 °: правильный четырехугольник (40-сторонний многоугольник) [ править ] sin ( π 40 ) = sin ( 4.5 ∘ ) = 1 2 2 − 2 + 5 + 5 2 {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{40}}\right)=\sin \left(4.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}} cos ( π 40 ) = cos ( 4.5 ∘ ) = 1 2 2 + 2 + 5 + 5 2 {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{40}}\right)=\cos \left(4.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}} 5.625 °: обычный триаконтадигон (32-сторонний многоугольник) [ править ] sin ( π 32 ) = sin ( 5.625 ∘ ) = 1 2 2 − 2 + 2 + 2 {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{32}}\right)=\sin \left(5.625^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}} cos ( π 32 ) = cos ( 5.625 ∘ ) = 1 2 2 + 2 + 2 + 2 {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{32}}\right)=\cos \left(5.625^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}} 6 °: правильный триаконтагон (30-сторонний многоугольник) [ править ] sin π 30 = sin 6 ∘ = 30 − 180 − 5 − 1 8 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{30}}=\sin 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {30-{\sqrt {180}}}}-{\sqrt {5}}-1}{8}}\,} cos π 30 = cos 6 ∘ = 10 − 20 + 3 + 15 8 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{30}}=\cos 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {10-{\sqrt {20}}}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}}{8}}\,} tan π 30 = tan 6 ∘ = 10 − 20 + 3 − 15 2 {\displaystyle \tan {\frac {\pi }{30}}=\tan 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {10-{\sqrt {20}}}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}}{2}}\,} cot π 30 = cot 6 ∘ = 27 + 15 + 50 + 2420 2 {\displaystyle \cot {\frac {\pi }{30}}=\cot 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {27}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {50+{\sqrt {2420}}}}}{2}}\,} 7.5 °: правильный икоситетракон (24-сторонний многоугольник) [ править ] sin ( π 24 ) = sin ( 7.5 ∘ ) = 1 2 2 − 2 + 3 = 1 4 8 − 2 6 − 2 2 {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\sin \left(7.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {8-2{\sqrt {6}}-2{\sqrt {2}}}}} cos ( π 24 ) = cos ( 7.5 ∘ ) = 1 2 2 + 2 + 3 = 1 4 8 + 2 6 + 2 2 {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\cos \left(7.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {8+2{\sqrt {6}}+2{\sqrt {2}}}}} tan ( π 24 ) = tan ( 7.5 ∘ ) = 6 − 3 + 2 − 2 = ( 2 − 1 ) ( 3 − 2 ) {\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\tan \left(7.5^{\circ }\right)={\sqrt {6}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}-2\ =\left({\sqrt {2}}-1\right)\left({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}\right)} cot ( π 24 ) = cot ( 7.5 ∘ ) = 6 + 3 + 2 + 2 = ( 2 + 1 ) ( 3 + 2 ) {\displaystyle \cot \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\cot \left(7.5^{\circ }\right)={\sqrt {6}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}+2\ =\left({\sqrt {2}}+1\right)\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}\right)} 9 °: правильный икосугольник (20-сторонний многоугольник) [ править ] sin π 20 = sin 9 ∘ = 1 2 2 − 5 + 5 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{20}}=\sin 9^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}} cos π 20 = cos 9 ∘ = 1 2 2 + 5 + 5 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{20}}=\cos 9^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}} tan π 20 = tan 9 ∘ = 5 + 1 − 5 + 2 5 {\displaystyle \tan {\frac {\pi }{20}}=\tan 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,} cot π 20 = cot 9 ∘ = 5 + 1 + 5 + 2 5 {\displaystyle \cot {\frac {\pi }{20}}=\cot 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,} 11,25 °: правильный шестиугольник (16-сторонний многоугольник) [ править ] sin π 16 = sin 11.25 ∘ = 1 2 2 − 2 + 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{16}}=\sin 11.25^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}} cos π 16 = cos 11.25 ∘ = 1 2 2 + 2 + 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{16}}=\cos 11.25^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}} tan π 16 = tan 11.25 ∘ = 4 + 2 2 − 2 − 1 {\displaystyle \tan {\frac {\pi }{16}}=\tan 11.25^{\circ }={\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}-{\sqrt {2}}-1} cot π 16 = cot 11.25 ∘ = 4 + 2 2 + 2 + 1 {\displaystyle \cot {\frac {\pi }{16}}=\cot 11.25^{\circ }={\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}+{\sqrt {2}}+1} 12 °: правильный пятиугольник (15-сторонний многоугольник) [ править ] sin π 15 = sin 12 ∘ = 1 8 [ 2 ( 5 + 5 ) + 3 − 15 ] {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{15}}=\sin 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right]\,} cos π 15 = cos 12 ∘ = 1 8 [ 6 ( 5 + 5 ) + 5 − 1 ] {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{15}}=\cos 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {6\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}-1\right]\,} tan π 15 = tan 12 ∘ = 1 2 [ 3 3 − 15 − 2 ( 25 − 11 5 ) ] {\displaystyle \tan {\frac {\pi }{15}}=\tan 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}-{\sqrt {2\left(25-11{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,} cot π 15 = cot 12 ∘ = 1 2 [ 15 + 3 + 2 ( 5 + 5 ) ] {\displaystyle \cot {\frac {\pi }{15}}=\cot 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,} 15 °: правильный двенадцатигранник (12-сторонний многоугольник) [ править ] sin π 12 = sin 15 ∘ = 1 4 ( 6 − 2 ) = 1 2 2 − 3 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{12}}=\sin 15^{\circ }={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}} cos π 12 = cos 15 ∘ = 1 4 ( 6 + 2 ) = 1 2 2 + 3 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{12}}=\cos 15^{\circ }={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}} tan π 12 = tan 15 ∘ = 2 − 3 {\displaystyle \tan {\frac {\pi }{12}}=\tan 15^{\circ }=2-{\sqrt {3}}\,} cot π 12 = cot 15 ∘ = 2 + 3 {\displaystyle \cot {\frac {\pi }{12}}=\cot 15^{\circ }=2+{\sqrt {3}}\,} 18 °: правильный десятиугольник (10-сторонний многоугольник) [1] [ править ] sin π 10 = sin 18 ∘ = 1 4 ( 5 − 1 ) = 1 1 + 5 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)={\frac {1}{1+{\sqrt {5}}}}\,} cos π 10 = cos 18 ∘ = 1 4 2 ( 5 + 5 ) {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,} tan π 10 = tan 18 ∘ = 1 5 5 ( 5 − 2 5 ) {\displaystyle \tan {\frac {\pi }{10}}=\tan 18^{\circ }={\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}\,} cot π 10 = cot 18 ∘ = 5 + 2 5 {\displaystyle \cot {\frac {\pi }{10}}=\cot 18^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,} 21 °: сумма 9 ° + 12 ° [ править ] sin 7 π 60 = sin 21 ∘ = 1 16 ( 2 ( 3 + 1 ) 5 − 5 − ( 6 − 2 ) ( 1 + 5 ) ) {\displaystyle \sin {\frac {7\pi }{60}}=\sin 21^{\circ }={\frac {1}{16}}\left(2\left({\sqrt {3}}+1\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}-\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)\left(1+{\sqrt {5}}\right)\right)\,} cos 7 π 60 = cos 21 ∘ = 1 16 ( 2 ( 3 − 1 ) 5 − 5 + ( 6 + 2 ) ( 1 + 5 ) ) {\displaystyle \cos {\frac {7\pi }{60}}=\cos 21^{\circ }={\frac {1}{16}}\left(2\left({\sqrt {3}}-1\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)\left(1+{\sqrt {5}}\right)\right)\,} tan 7 π 60 = tan 21 ∘ = 1 4 ( 2 − ( 2 + 3 ) ( 3 − 5 ) ) ( 2 − 2 ( 5 + 5 ) ) {\displaystyle \tan {\frac {7\pi }{60}}=\tan 21^{\circ }={\frac {1}{4}}\left(2-\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)\right)\left(2-{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\right)\,} cot 7 π 60 = cot 21 ∘ = 1 4 ( 2 − ( 2 − 3 ) ( 3 − 5 ) ) ( 2 + 2 ( 5 + 5 ) ) {\displaystyle \cot {\frac {7\pi }{60}}=\cot 21^{\circ }={\frac {1}{4}}\left(2-\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)\right)\left(2+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\right)\,} 22,5 °: правильный восьмиугольник [ править ] sin π 8 = sin 22.5 ∘ = 1 2 2 − 2 , {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{8}}=\sin 22.5^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}},} cos π 8 = cos 22.5 ∘ = 1 2 2 + 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{8}}=\cos 22.5^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\,} tan π 8 = tan 22.5 ∘ = 2 − 1 {\displaystyle \tan {\frac {\pi }{8}}=\tan 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}-1\,} cot π 8 = cot 22.5 ∘ = 2 + 1 = δ S {\displaystyle \cot {\frac {\pi }{8}}=\cot 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}+1=\delta _{S}\,} 24 °: сумма 12 ° + 12 ° [ править ] sin 2 π 15 = sin 24 ∘ = 1 8 [ 15 + 3 − 2 ( 5 − 5 ) ] {\displaystyle \sin {\frac {2\pi }{15}}=\sin 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right]\,} cos 2 π 15 = cos 24 ∘ = 1 8 ( 6 ( 5 − 5 ) + 5 + 1 ) {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{15}}=\cos 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left({\sqrt {6\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}+1\right)\,} tan 2 π 15 = tan 24 ∘ = 1 2 [ 50 + 22 5 − 3 3 − 15 ] {\displaystyle \tan {\frac {2\pi }{15}}=\tan 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}-3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right]\,} cot 2 π 15 = cot 24 ∘ = 1 2 [ 15 − 3 + 2 ( 5 − 5 ) ] {\displaystyle \cot {\frac {2\pi }{15}}=\cot 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right]\,} 27 °: сумма 12 ° + 15 ° [ править ] sin 3 π 20 = sin 27 ∘ = 1 8 [ 2 5 + 5 − 2 ( 5 − 1 ) ] {\displaystyle \sin {\frac {3\pi }{20}}=\sin 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {2}}\;\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,} cos 3 π 20 = cos 27 ∘ = 1 8 [ 2 5 + 5 + 2 ( 5 − 1 ) ] {\displaystyle \cos {\frac {3\pi }{20}}=\cos 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\;\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,} tan 3 π 20 = tan 27 ∘ = 5 − 1 − 5 − 2 5 {\displaystyle \tan {\frac {3\pi }{20}}=\tan 27^{\circ }={\sqrt {5}}-1-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,} cot 3 π 20 = cot 27 ∘ = 5 − 1 + 5 − 2 5 {\displaystyle \cot {\frac {3\pi }{20}}=\cot 27^{\circ }={\sqrt {5}}-1+{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,} 30 °: правильный шестиугольник [ править ] sin π 6 = sin 30 ∘ = 1 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\frac {1}{2}}\,} cos π 6 = cos 30 ∘ = 3 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{6}}=\cos 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,} tan π 6 = tan 30 ∘ = 3 3 = 1 3 {\displaystyle \tan {\frac {\pi }{6}}=\tan 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,} cot π 6 = cot 30 ∘ = 3 {\displaystyle \cot {\frac {\pi }{6}}=\cot 30^{\circ }={\sqrt {3}}\,} 33 °: сумма 15 ° + 18 ° [ править ] sin 11 π 60 = sin 33 ∘ = 1 16 [ 2 ( 3 − 1 ) 5 + 5 + 2 ( 1 + 3 ) ( 5 − 1 ) ] {\displaystyle \sin {\frac {11\pi }{60}}=\sin 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left({\sqrt {3}}-1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left(1+{\sqrt {3}}\right)\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,} cos 11 π 60 = cos 33 ∘ = 1 16 [ 2 ( 3 + 1 ) 5 + 5 + 2 ( 1 − 3 ) ( 5 − 1 ) ] {\displaystyle \cos {\frac {11\pi }{60}}=\cos 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left({\sqrt {3}}+1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left(1-{\sqrt {3}}\right)\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,} tan 11 π 60 = tan 33 ∘ = 1 4 [ 2 − ( 2 − 3 ) ( 3 + 5 ) ] [ 2 + 2 ( 5 − 5 ) ] {\displaystyle \tan {\frac {11\pi }{60}}=\tan 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,} cot 11 π 60 = cot 33 ∘ = 1 4 [ 2 − ( 2 + 3 ) ( 3 + 5 ) ] [ 2 − 2 ( 5 − 5 ) ] {\displaystyle \cot {\frac {11\pi }{60}}=\cot 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,} 36 °: правильный пятиугольник [ править ] [1] sin π 5 = sin 36 ∘ = 1 4 10 − 2 5 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }={\frac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}} cos π 5 = cos 36 ∘ = 5 + 1 4 = φ 2 , {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}={\frac {\varphi }{2}},} φ tan π 5 = tan 36 ∘ = 5 − 2 5 {\displaystyle \tan {\frac {\pi }{5}}=\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,} cot π 5 = cot 36 ∘ = 1 5 25 + 10 5 {\displaystyle \cot {\frac {\pi }{5}}=\cot 36^{\circ }={\frac {1}{5}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}} 39 °: сумма 18 ° + 21 ° [ править ] sin 13 π 60 = sin 39 ∘ = 1 16 [ 2 ( 1 − 3 ) 5 − 5 + 2 ( 3 + 1 ) ( 5 + 1 ) ] {\displaystyle \sin {\frac {13\pi }{60}}=\sin 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left(1-{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}+1\right)\left({\sqrt {5}}+1\right)\right]\,} cos 13 π 60 = cos 39 ∘ = 1 16 [ 2 ( 1 + 3 ) 5 − 5 + 2 ( 3 − 1 ) ( 5 + 1 ) ] {\displaystyle \cos {\frac {13\pi }{60}}=\cos 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left(1+{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}-1\right)\left({\sqrt {5}}+1\right)\right]\,} tan 13 π 60 = tan 39 ∘ = 1 4 [ ( 2 − 3 ) ( 3 − 5 ) − 2 ] [ 2 − 2 ( 5 + 5 ) ] {\displaystyle \tan {\frac {13\pi }{60}}=\tan 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,} cot 13 π 60 = cot 39 ∘ = 1 4 [ ( 2 + 3 ) ( 3 − 5 ) − 2 ] [ 2 + 2 ( 5 + 5 ) ] {\displaystyle \cot {\frac {13\pi }{60}}=\cot 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,} 42 °: сумма 21 ° + 21 ° [ править ] sin 7 π 30 = sin 42 ∘ = 30 + 6 5 − 5 + 1 8 {\displaystyle \sin {\frac {7\pi }{30}}=\sin 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {30+6{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {5}}+1}{8}}\,} cos 7 π 30 = cos 42 ∘ = 15 − 3 + 10 + 2 5 8 {\displaystyle \cos {\frac {7\pi }{30}}=\cos 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{8}}\,} tan 7 π 30 = tan 42 ∘ = 15 + 3 − 10 + 2 5 2 {\displaystyle \tan {\frac {7\pi }{30}}=\tan 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{2}}\,} cot 7 π 30 = cot 42 ∘ = 50 − 22 5 + 3 3 − 15 2 {\displaystyle \cot {\frac {7\pi }{30}}=\cot 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {50-22{\sqrt {5}}}}+3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}}{2}}\,} 45 °: квадрат [ править ] sin π 4 = sin 45 ∘ = 2 2 = 1 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,} cos π 4 = cos 45 ∘ = 2 2 = 1 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{4}}=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,} tan π 4 = tan 45 ∘ = 1 {\displaystyle \tan {\frac {\pi }{4}}=\tan 45^{\circ }=1\,} cot π 4 = cot 45 ∘ = 1 {\displaystyle \cot {\frac {\pi }{4}}=\cot 45^{\circ }=1\,} 54 °: сумма 27 ° + 27 ° [ править ] sin 3 π 10 = sin 54 ∘ = 5 + 1 4 {\displaystyle \sin {\frac {3\pi }{10}}=\sin 54^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}\,\!} cos 3 π 10 = cos 54 ∘ = 10 − 2 5 4 {\displaystyle \cos {\frac {3\pi }{10}}=\cos 54^{\circ }={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}} tan 3 π 10 = tan 54 ∘ = 25 + 10 5 5 {\displaystyle \tan {\frac {3\pi }{10}}=\tan 54^{\circ }={\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}\,} cot 3 π 10 = cot 54 ∘ = 5 − 2 5 {\displaystyle \cot {\frac {3\pi }{10}}=\cot 54^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,} 60 °: равносторонний треугольник [ править ] sin π 3 = sin 60 ∘ = 3 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{3}}=\sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,} cos π 3 = cos 60 ∘ = 1 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{3}}=\cos 60^{\circ }={\frac {1}{2}}\,} tan π 3 = tan 60 ∘ = 3 {\displaystyle \tan {\frac {\pi }{3}}=\tan 60^{\circ }={\sqrt {3}}\,} cot π 3 = cot 60 ∘ = 3 3 = 1 3 {\displaystyle \cot {\frac {\pi }{3}}=\cot 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,} 67,5 °: сумма 7,5 ° + 60 ° [ править ] sin 3 π 8 = sin 67.5 ∘ = 1 2 2 + 2 {\displaystyle \sin {\frac {3\pi }{8}}=\sin 67.5^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\,} cos 3 π 8 = cos 67.5 ∘ = 1 2 2 − 2 {\displaystyle \cos {\frac {3\pi }{8}}=\cos 67.5^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\,} tan 3 π 8 = tan 67.5 ∘ = 2 + 1 {\displaystyle \tan {\frac {3\pi }{8}}=\tan 67.5^{\circ }={\sqrt {2}}+1\,} cot 3 π 8 = cot 67.5 ∘ = 2 − 1 {\displaystyle \cot {\frac {3\pi }{8}}=\cot 67.5^{\circ }={\sqrt {2}}-1\,} 72 °: сумма 36 ° + 36 ° [ править ] sin 2 π 5 = sin 72 ∘ = 1 4 2 ( 5 + 5 ) {\displaystyle \sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin 72^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,} cos 2 π 5 = cos 72 ∘ = 1 4 ( 5 − 1 ) {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{5}}=\cos 72^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\,} tan 2 π 5 = tan 72 ∘ = 5 + 2 5 {\displaystyle \tan {\frac {2\pi }{5}}=\tan 72^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,} cot 2 π 5 = cot 72 ∘ = 1 5 5 ( 5 − 2 5 ) {\displaystyle \cot {\frac {2\pi }{5}}=\cot 72^{\circ }={\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}\,} 75 °: сумма 30 ° + 45 ° [ править ] sin 5 π 12 = sin 75 ∘ = 1 4 ( 6 + 2 ) {\displaystyle \sin {\frac {5\pi }{12}}=\sin 75^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)\,} cos 5 π 12 = cos 75 ∘ = 1 4 ( 6 − 2 ) {\displaystyle \cos {\frac {5\pi }{12}}=\cos 75^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)\,} tan 5 π 12 = tan 75 ∘ = 2 + 3 {\displaystyle \tan {\frac {5\pi }{12}}=\tan 75^{\circ }=2+{\sqrt {3}}\,} cot 5 π 12 = cot 75 ∘ = 2 − 3 {\displaystyle \cot {\frac {5\pi }{12}}=\cot 75^{\circ }=2-{\sqrt {3}}\,} 90 °: основной [ править ] sin π 2 = sin 90 ∘ = 1 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{2}}=\sin 90^{\circ }=1\,} cos π 2 = cos 90 ∘ = 0 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2}}=\cos 90^{\circ }=0\,} tan π 2 = tan 90 ∘ is undefined {\displaystyle \tan {\frac {\pi }{2}}=\tan 90^{\circ }{\text{ is undefined}}\,} cot π 2 = cot 90 ∘ = 0 {\displaystyle \cot {\frac {\pi }{2}}=\cot 90^{\circ }=0\,} Список тригонометрических констант 2π / n [ править ] Для кубических корней нереальных чисел, которые появляются в этой таблице, нужно взять главное значение , то есть кубический корень с наибольшей действительной частью; эта самая большая действительная часть всегда положительна. Таким образом, суммы кубических корней, представленные в таблице, являются положительными действительными числами.
n sin ( 2 π n ) cos ( 2 π n ) tan ( 2 π n ) 1 0 1 0 2 0 − 1 0 3 1 2 3 − 1 2 − 3 4 1 0 ± ∞ 5 1 4 ( 10 + 2 5 ) 1 4 ( 5 − 1 ) 5 + 2 5 6 1 2 3 1 2 3 7 1 6 ( − 1 + 7 + 21 − 3 2 3 + 7 − 21 − 3 2 3 ) 8 1 2 2 1 2 2 1 9 i 2 ( − 1 − − 3 2 3 − − 1 + − 3 2 3 ) 1 2 ( − 1 + − 3 2 3 + − 1 − − 3 2 3 ) 10 1 4 ( 10 − 2 5 ) 1 4 ( 5 + 1 ) 5 − 2 5 11 12 1 2 1 2 3 1 3 3 13 1 12 ( 104 − 20 13 + 12 − 39 3 + 104 − 20 13 − 12 − 39 3 + 13 − 1 ) 14 1 24 3 ( 112 − 14336 + − 5549064192 3 − 14336 − − 5549064192 3 ) 1 24 3 ( 80 + 14336 + − 5549064192 3 + 14336 − − 5549064192 3 ) 112 − 14336 + − 5549064192 3 − 14336 − − 5549064192 3 80 + 14336 + − 5549064192 3 + 14336 − − 5549064192 3 15 1 8 ( 15 + 3 − 10 − 2 5 ) 1 8 ( 1 + 5 + 30 − 6 5 ) 1 2 ( − 3 3 − 15 + 50 + 22 5 ) 16 1 2 ( 2 − 2 ) 1 2 ( 2 + 2 ) 2 − 1 17 1 8 34 − 2 17 + 2 34 − 2 17 − 4 17 + 3 17 + 170 + 38 17 1 16 ( 17 + 34 − 2 17 + 2 17 + 3 17 − 170 + 38 17 − 1 ) 2 34 − 2 17 + 2 34 − 2 17 − 4 17 + 3 17 + 170 + 38 17 17 + 34 − 2 17 + 2 17 + 3 17 − 170 + 38 17 − 1 18 i 4 ( 4 − 4 − 3 3 − 4 + 4 − 3 3 ) 1 4 ( 4 + 4 − 3 3 + 4 − 4 − 3 3 ) 20 1 4 ( 5 − 1 ) 1 4 ( 10 + 2 5 ) 1 5 ( 25 − 10 5 ) 24 1 4 ( 6 − 2 ) 1 4 ( 6 + 2 ) 2 − 3 25 1 2 ( − 1 + 5 + − 10 − 2 5 4 5 + − 1 + 5 − − 10 − 2 5 4 5 ) {\displaystyle {\begin{array}{r|l|l|l}n&\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)&\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)&\tan \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\\\hline 1&0&1&0\\\hline 2&0&-1&0\\\hline 3&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&-{\frac {1}{2}}&-{\sqrt {3}}\\\hline 4&1&0&\pm \infty \\\hline 5&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)&{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\\\hline 6&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{2}}&{\sqrt {3}}\\\hline 7&&{\frac {1}{6}}\left(-1+{\sqrt[{3}]{\frac {7+21{\sqrt {-3}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-21{\sqrt {-3}}}{2}}}\right)&\\\hline 8&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}&1\\\hline 9&{\frac {i}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}}\right)&\\\hline 10&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}+1\right)&{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\\\hline 11&&&\\\hline 12&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\\\hline 13&&{\frac {1}{12}}\left({\sqrt[{3}]{104-20{\sqrt {13}}+12{\sqrt {-39}}}}+{\sqrt[{3}]{104-20{\sqrt {13}}-12{\sqrt {-39}}}}+{\sqrt {13}}-1\right)&\\\hline 14&{\frac {1}{24}}{\sqrt {3\left(112-{\sqrt[{3}]{14336+{\sqrt {-5549064192}}}}-{\sqrt[{3}]{14336-{\sqrt {-5549064192}}}}\right)}}&{\frac {1}{24}}{\sqrt {3\left(80+{\sqrt[{3}]{14336+{\sqrt {-5549064192}}}}+{\sqrt[{3}]{14336-{\sqrt {-5549064192}}}}\right)}}&{\sqrt {\frac {112-{\sqrt[{3}]{14336+{\sqrt {-5549064192}}}}-{\sqrt[{3}]{14336-{\sqrt {-5549064192}}}}}{80+{\sqrt[{3}]{14336+{\sqrt {-5549064192}}}}+{\sqrt[{3}]{14336-{\sqrt {-5549064192}}}}}}}\\\hline 15&{\frac {1}{8}}\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{8}}\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left(-3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}+{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}\right)\\\hline 16&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)&{\sqrt {2}}-1\\\hline 17&{\frac {1}{8}}{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}+2{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-4{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}+{\sqrt {170+38{\sqrt {17}}}}}}}}&{\frac {1}{16}}\left({\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {170+38{\sqrt {17}}}}}}-1\right)&{\frac {2{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}+2{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-4{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}+{\sqrt {170+38{\sqrt {17}}}}}}}}}{{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {170+38{\sqrt {17}}}}}}-1}}\\\hline 18&{\frac {i}{4}}\left({\sqrt[{3}]{4-4{\sqrt {-3}}}}-{\sqrt[{3}]{4+4{\sqrt {-3}}}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt[{3}]{4+4{\sqrt {-3}}}}+{\sqrt[{3}]{4-4{\sqrt {-3}}}}\right)&\\\hline 20&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{5}}\left({\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}\right)\\\hline 24&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)&2-{\sqrt {3}}\\\hline 25&&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{5}]{\frac {-1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {-10-2{\sqrt {5}}}}}{4}}}+{\sqrt[{5}]{\frac {-1+{\sqrt {5}}-{\sqrt {-10-2{\sqrt {5}}}}}{4}}}\right)&\\\end{array}}}
Заметки [ править ] Использование констант [ править ] В качестве примера использования этих констант рассмотрим объем правильного додекаэдра , где а - длина ребра:
V = 5 a 3 cos 36 ∘ tan 2 36 ∘ . {\displaystyle V={\frac {5a^{3}\cos 36^{\circ }}{\tan ^{2}{36^{\circ }}}}.} С использованием
cos 36 ∘ = 5 + 1 4 , {\displaystyle \cos 36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}},\,} tan 36 ∘ = 5 − 2 5 , {\displaystyle \tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}},\,} это можно упростить до:
V = a 3 ( 15 + 7 5 ) 4 . {\displaystyle V={\frac {a^{3}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)}{4}}.\,} Деривационные треугольники [ править ]
Правильный многоугольник (
n- сторонний) и его основной прямоугольный треугольник. Углы:
a =
180 ° / п и
b = 90 (1 -
2 / п ) °
Преобразование констант синуса, косинуса и тангенса в радиальные формы основано на конструктивности прямоугольных треугольников.
Здесь прямоугольные треугольники, составленные из секций симметрии правильных многоугольников, используются для вычисления фундаментальных тригонометрических соотношений. Каждый прямоугольный треугольник представляет три точки в правильном многоугольнике: вершину, центр края, содержащего эту вершину, и центр многоугольника. П -угольник можно разделить на 2 п правильных треугольников с углами180 / п 180 / п n в 3, 4, 5,…
Конструируемость 3-, 4-, 5- и 15-сторонних многоугольников является основой, а биссектрисы углов также позволяют получить значения, кратные двум.
Конструируемый3 × 2 n- n = 0, 1, 2, 3, ...30 ° -60 ° -90 ° треугольник: треугольник (3-сторонний) Треугольник 60 ° -30 ° -90 °: шестигранник (6-гранный) 75 ° -15 ° -90 ° треугольник: двенадцатиугольник (12-сторонний) Треугольник 82,5 ° -7,5 ° -90 °: икоситетракон (24-гранный) 86,25 ° -3,75 ° -90 ° треугольник: тетраконтаоктагон (48 сторон ) 88,125 ° -1,875 ° -90 ° треугольник: enneacontahexagon (96-гранный) 89,0625 ° -0,9375 ° -90 ° треугольник: 192-угольник 89,53125 ° -0,46875 ° -90 ° треугольник: 384-угольник ... 4 × 2 н- 45 ° -45 ° -90 ° треугольник: квадрат (4-сторонний) Треугольник 67,5 ° -22,5 ° -90 °: восьмиугольник (8-гранный) 78,75 ° -11,25 ° -90 ° треугольник: шестиугольник (16 сторон ) Треугольник 84,375 ° -5,625 ° -90 °: триаконтадигон (32-гранный) 87,1875 ° -2,8125 ° -90 ° треугольник: гексаконатетрагон (64-сторонний) 88.09375 ° -1.40625 ° -90 ° треугольник: 128-угольник 89,046875 ° -0,703125 ° -90 ° треугольник: 256-угольник ... 5 × 2 н- Треугольник 54 ° -36 ° -90 °: пятиугольник (5-гранный) Треугольник 72 ° -18 ° -90 °: десятиугольник (10-гранный) Треугольник 81 ° -9 ° -90 °: икосугольник (20-гранный) Треугольник 85,5 ° -4,5 ° -90 °: четырехугольник (40-гранный) Треугольник 87,75 ° -2,25 ° -90 °: восьмиугольник (80-гранный) 88,875 ° -1,125 ° -90 ° треугольник: 160-угольник 89,4375 ° -0,5625 ° -90 ° треугольник: 320-угольник ... 15 × 2 n- Треугольник 78 ° -12 ° -90 °: пятиугольник (15-гранный) Треугольник 84 ° -6 ° -90 °: триаконтагон (30-гранный) Треугольник 87 ° -3 ° -90 °: шестиугольник (60-гранный) Треугольник 88,5 ° -1,5 ° -90 °: гекатоникосагон (120-гранный) 89,25 ° -0,75 ° -90 ° треугольник: 240-угольник ... Существуют также более высокие конструктивные правильные многоугольники: 17 , 51, 85, 255, 257 , 353, 449, 641, 1409, 2547, ..., 65535, 65537 , 69481, 73697, ..., 4294967295.) Неконструируемый (с целыми углами или углами в половину градуса) - Никакие конечные радикальные выражения, включающие действительные числа для этих соотношений сторон треугольника, невозможны, поэтому его кратные двум также невозможны.9 × 2 n- Треугольник 70 ° -20 ° -90 °: enneagon (9-гранный) Треугольник 80 ° -10 ° -90 °: восьмиугольник (18 сторон) Треугольник 85 ° -5 ° -90 °: триаконтагексагон (36 сторон) Треугольник 87,5 ° -2,5 ° -90 °: гептаконтадигон (72-гранный) ... 45 × 2 n- Треугольник 86 ° -4 ° -90 °: четырехугольник (45-гранный) Треугольник 88 ° -2 ° -90 °: энконтагон (90-гранный) Треугольник 89 ° -1 ° -90 °: 180-угольник Треугольник 89,5 ° -0,5 ° -90 °: 360-угольник ... Расчетные тригонометрические значения синуса и косинуса [ править ] Тривиальные значения [ править ] В градусном формате sin и cos 0, 30, 45, 60 и 90 могут быть вычислены из их прямоугольных треугольников, используя теорему Пифагора.
В радианах sin и cos числа π / 2 n могут быть выражены в радикальном формате, рекурсивно применяя следующее:
2 cos θ = 2 + 2 cos 2 θ = 2 + 2 + 2 cos 4 θ = 2 + 2 + 2 + 2 cos 8 θ {\displaystyle 2\cos \theta ={\sqrt {2+2\cos 2\theta }}={\sqrt {2+{\sqrt {2+2\cos 4\theta }}}}={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\cos 8\theta }}}}}}} 2 sin θ = 2 − 2 cos 2 θ = 2 − 2 + 2 cos 4 θ = 2 − 2 + 2 + 2 cos 8 θ {\displaystyle 2\sin \theta ={\sqrt {2-2\cos 2\theta }}={\sqrt {2-{\sqrt {2+2\cos 4\theta }}}}={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\cos 8\theta }}}}}}} Например:
cos π 2 1 = 0 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2^{1}}}={\frac {0}{2}}} cos π 2 2 = 2 + 0 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2^{2}}}={\frac {\sqrt {2+0}}{2}}} sin π 2 2 = 2 − 0 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{2^{2}}}={\frac {\sqrt {2-0}}{2}}} cos π 2 3 = 2 + 2 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2^{3}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}} sin π 2 3 = 2 − 2 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{2^{3}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}} cos π 2 4 = 2 + 2 + 2 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2^{4}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}} sin π 2 4 = 2 − 2 + 2 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{2^{4}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}} cos π 2 5 = 2 + 2 + 2 + 2 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2^{5}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}{2}}} sin π 2 5 = 2 − 2 + 2 + 2 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{2^{5}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}{2}}} cos π 2 6 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2^{6}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}}{2}}} sin π 2 6 = 2 − 2 + 2 + 2 + 2 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{2^{6}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}}{2}}} и так далее.
Радикальная форма, грех и соз π / (3 × 2 п ) [ редактировать ] cos 2 π 3 = − 1 2 {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{3}}={\frac {-1}{2}}} cos π 3 × 2 0 = 2 − 1 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{3\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2-1}}{2}}} sin π 3 × 2 0 = 2 + 1 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{3\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2+1}}{2}}} cos π 3 × 2 1 = 2 + 1 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{3\times 2^{1}}}={\frac {\sqrt {2+1}}{2}}} sin π 3 × 2 1 = 2 − 1 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{3\times 2^{1}}}={\frac {\sqrt {2-1}}{2}}} cos π 3 × 2 2 = 2 + 3 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{3\times 2^{2}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}} sin π 3 × 2 2 = 2 − 3 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{3\times 2^{2}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}{2}}} cos π 3 × 2 3 = 2 + 2 + 3 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{3\times 2^{3}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}{2}}} sin π 3 × 2 3 = 2 − 2 + 3 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{3\times 2^{3}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}{2}}} cos π 3 × 2 4 = 2 + 2 + 2 + 3 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{3\times 2^{4}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}{2}}} sin π 3 × 2 4 = 2 − 2 + 2 + 3 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{3\times 2^{4}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}{2}}} cos π 3 × 2 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 3 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{3\times 2^{5}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}}{2}}} sin π 3 × 2 5 = 2 − 2 + 2 + 2 + 3 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{3\times 2^{5}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}}{2}}} и так далее.
Радикальная форма, грех и соз π / (5 × 2 п ) [ редактировать ] cos 2 π 5 = 5 − 1 4 {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{5}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}} cos π 5 × 2 0 = 5 + 1 4 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{5\times 2^{0}}}={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}} 2 + 2 cos π 5 = 2 + 1.25 + 0.5 {\displaystyle 2+2\cos {\frac {\pi }{5}}=2+{\sqrt {1.25}}+0.5} cos π 5 × 2 1 = 2.5 + 1.25 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{5\times 2^{1}}}={\frac {\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25}}}}{2}}} sin π 5 × 2 1 = 1.5 − 1.25 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{5\times 2^{1}}}={\frac {\sqrt {1.5-{\sqrt {1.25}}}}{2}}} cos π 5 × 2 2 = 2 + 2.5 + 1.25 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{5\times 2^{2}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25}}}}}}{2}}} sin π 5 × 2 2 = 2 − 2.5 + 1.25 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{5\times 2^{2}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25}}}}}}{2}}} cos π 5 × 2 3 = 2 + 2 + 2.5 + 1.25 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{5\times 2^{3}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25}}}}}}}}{2}}} sin π 5 × 2 3 = 2 − 2 + 2.5 + 1.25 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{5\times 2^{3}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25}}}}}}}}{2}}} cos π 5 × 2 4 = 2 + 2 + 2 + 2.5 + 1.25 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{5\times 2^{4}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25}}}}}}}}}}{2}}} sin π 5 × 2 4 = 2 − 2 + 2 + 2.5 + 1.25 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{5\times 2^{4}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25}}}}}}}}}}{2}}} cos π 5 × 2 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2.5 + 1.25 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{5\times 2^{5}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25}}}}}}}}}}}}{2}}} sin π 5 × 2 5 = 2 − 2 + 2 + 2 + 2.5 + 1.25 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{5\times 2^{5}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25}}}}}}}}}}}}{2}}} и так далее.
Радикальная форма, грех и соз π / (5 × 3 × 2 п [ редактировать ] cos π 15 × 2 0 = 0.703125 + 1.875 + 0.3125 − 0.25 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{15\times 2^{0}}}={\frac {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}-0.25}{2}}} cos π 15 × 2 1 = 0.703125 + 1.875 + 0.3125 + 1.75 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{15\times 2^{1}}}={\frac {\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}}{2}}} sin π 15 × 2 1 = 2.25 − 0.703125 + 1.875 − 0.3125 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{15\times 2^{1}}}={\frac {\sqrt {2.25-{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}-{\sqrt {0.3125}}}}{2}}} cos π 15 × 2 2 = 2 + 0.703125 + 1.875 + 0.3125 + 1.75 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{15\times 2^{2}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}}}}{2}}} sin π 15 × 2 2 = 2 − 0.703125 + 1.875 + 0.3125 + 1.75 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{15\times 2^{2}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}}}}{2}}} cos π 15 × 2 3 = 2 + 2 + 0.703125 + 1.875 + 0.3125 + 1.75 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{15\times 2^{3}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}}}}}}{2}}} sin π 15 × 2 3 = 2 − 2 + 0.703125 + 1.875 + 0.3125 + 1.75 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{15\times 2^{3}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}}}}}}{2}}} cos π 15 × 2 4 = 2 + 2 + 2 + 0.703125 + 1.875 + 0.3125 + 1.75 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{15\times 2^{4}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}}}}}}}}{2}}} sin π 15 × 2 4 = 2 − 2 + 2 + 0.703125 + 1.875 + 0.3125 + 1.75 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{15\times 2^{4}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}}}}}}}}{2}}} cos π 15 × 2 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 0.703125 + 1.875 + 0.3125 + 1.75 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{15\times 2^{5}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}}}}}}}}}}{2}}} sin π 15 × 2 5 = 2 − 2 + 2 + 2 + 0.703125 + 1.875 + 0.3125 + 1.75 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{15\times 2^{5}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}}}}}}}}}}{2}}} и так далее.
Радикальная форма, грех и соз π / (17 × 2 п ) [ редактировать ] Если и тогда M = 2 ( 17 + 17 ) {\displaystyle M=2(17+{\sqrt {17}})} N = 2 ( 17 − 17 ) {\displaystyle N=2(17-{\sqrt {17}})}
cos π 17 = M − 4 + 2 ( N + 2 ( 2 M − N + 17 N − N − 8 M ) ) 8 . {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17}}={\frac {\sqrt {M-4+2({\sqrt {N}}+{\sqrt {2(2M-N+{\sqrt {17N}}-{\sqrt {N}}-8{\sqrt {M}})}})}}{8}}.} Следовательно, применяя индукцию:
cos π 17 × 2 0 = 30 + 2 17 + 136 − 8 17 + 272 + 48 17 + 8 34 − 2 17 × ( 17 − 1 ) − 64 34 + 2 17 8 ; {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {30+2{\sqrt {17}}+{\sqrt {136-8{\sqrt {17}}}}+{\sqrt {272+48{\sqrt {17}}+8{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}\times ({\sqrt {17}}-1)-64{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}}}{8}};} cos π 17 × 2 n + 1 = 2 + 2 cos π 17 × 2 n 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{17\times 2^{n}}}}}{2}}} sin π 17 × 2 n + 1 = 2 − 2 cos π 17 × 2 n 2 . {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{17\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{17\times 2^{n}}}}}{2}}.} Радикальная форма, грех и соз π / (257 × 2 п ) π / (65537 × 2 п ) [ редактировать ] Вышеуказанная индукция может быть применена таким же образом ко всем остальным простым числам Ферма (F 3 = 2 2 3 + 1 = 2 8 + 1 = 257 и F 4 = 2 2 4 + 1 = 2 16 + 1 = 65537 ), множители π , радикальные выражения cos и sin которых, как известно, существуют, но их здесь очень много.
cos π 257 × 2 n + 1 = 2 + 2 cos π 257 × 2 n 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{257\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{257\times 2^{n}}}}}{2}}} sin π 257 × 2 n + 1 = 2 − 2 cos π 257 × 2 n 2 ; {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{257\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{257\times 2^{n}}}}}{2}};} cos π 65537 × 2 n + 1 = 2 + 2 cos π 65537 × 2 n 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{65537\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{65537\times 2^{n}}}}}{2}}} sin π 65537 × 2 n + 1 = 2 − 2 cos π 65537 × 2 n 2 . {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{65537\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{65537\times 2^{n}}}}}{2}}.} Радикальная форма, грех и соз π / (255 × 2 п ) π / (65535 × 2 п ) π / (4294967295 × 2 п ) [ редактировать ] D = 2 32 - 1 = 4 294 967 295 - это наибольший нечетный целочисленный знаменатель, для которого, как известно, существуют радикальные формы для sin ( π / D) и cos ( π / D).
Используя значения радикальной формы из приведенных выше разделов и применяя cos (AB) = cosA cosB + sinA sinB с последующей индукцией, мы получаем -
cos π 255 × 2 0 = 2 + 2 cos ( π 15 − π 17 ) 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{255\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos({\frac {\pi }{15}}-{\frac {\pi }{17}})}}{2}}} sin π 255 × 2 0 = 2 − 2 cos ( π 15 − π 17 ) 2 ; {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{255\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos({\frac {\pi }{15}}-{\frac {\pi }{17}})}}{2}};} cos π 255 × 2 n + 1 = 2 + 2 cos π 255 × 2 n 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{255\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{255\times 2^{n}}}}}{2}}} sin π 255 × 2 n + 1 = 2 − 2 cos π 255 × 2 n 2 ; {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{255\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{255\times 2^{n}}}}}{2}};} Следовательно, используя значения радикальной формы из приведенных выше разделов и применяя cos (AB) = cosA cosB + sinA sinB с последующей индукцией, мы получаем -
cos π 65535 × 2 0 = 2 + 2 cos ( π 255 − π 257 ) 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{65535\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos({\frac {\pi }{255}}-{\frac {\pi }{257}})}}{2}}} sin π 65535 × 2 0 = 2 − 2 cos ( π 255 − π 257 ) 2 ; {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{65535\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos({\frac {\pi }{255}}-{\frac {\pi }{257}})}}{2}};} cos π 65535 × 2 n + 1 = 2 + 2 cos π 65535 × 2 n 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{65535\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{65535\times 2^{n}}}}}{2}}} sin π 65535 × 2 n + 1 = 2 − 2 cos π 65535 × 2 n 2 . {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{65535\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{65535\times 2^{n}}}}}{2}}.} Наконец, используя значения радикальной формы из приведенных выше разделов и применяя cos (AB) = cosA cosB + sinA sinB с последующей индукцией, мы получаем -
cos π 4294967295 × 2 0 = 2 + 2 cos ( π 65535 − π 65537 ) 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos({\frac {\pi }{65535}}-{\frac {\pi }{65537}})}}{2}}} sin π 4294967295 × 2 0 = 2 − 2 cos ( π 65535 − π 65537 ) 2 ; {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos({\frac {\pi }{65535}}-{\frac {\pi }{65537}})}}{2}};} cos π 4294967295 × 2 n + 1 = 2 + 2 cos π 4294967295 × 2 n 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{n}}}}}{2}}} sin π 4294967295 × 2 n + 1 = 2 − 2 cos π 4294967295 × 2 n 2 . {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{n}}}}}{2}}.} Расширение радикальной формы вышеупомянутого очень велико, поэтому выражено в более простой форме выше.
п ×π / (5 × 2 м [ редактировать ]
Хорда (36 °) =
а / б знак равно
1 / φ , т.е. величина, обратная золотому сечению , из теоремы Птолемея
Геометрический метод [ править ] Применяя теорему Птолемея к вписанному четырехугольнику ABCD, определяемому четырьмя последовательными вершинами пятиугольника, мы можем найти, что:
crd 36 ∘ = crd ( ∠ A D B ) = a b = 2 1 + 5 = 5 − 1 2 {\displaystyle \operatorname {crd} 36^{\circ }=\operatorname {crd} (\angle \mathrm {ADB} )={\frac {a}{b}}={\frac {2}{1+{\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}} что является обратным 1 / φ crd - функция аккорда ,
crd θ = 2 sin θ 2 . {\displaystyle \operatorname {crd} \ {\theta }=2\sin {\frac {\theta }{2}}.\,} (См. Также таблицу аккордов Птолемея .)
Таким образом
sin 18 ∘ = 1 1 + 5 = 5 − 1 4 . {\displaystyle \sin 18^{\circ }={\frac {1}{1+{\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}.} (В качестве альтернативы, без использования теоремы Птолемея, обозначьте как X пересечение AC и BD и обратите внимание, учитывая углы, что треугольник AXB равнобедренный , поэтому AX = AB = a . Треугольники AXD и CXB подобны , потому что AD параллелен BC. Итак, XC = a · (а / б a + а 2 / б б . Решение этого даета / б 1 / φ
по аналогии
crd 108 ∘ = crd ( ∠ A B C ) = b a = 1 + 5 2 , {\displaystyle \operatorname {crd} \ 108^{\circ }=\operatorname {crd} (\angle \mathrm {ABC} )={\frac {b}{a}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},} так
sin 54 ∘ = cos 36 ∘ = 1 + 5 4 . {\displaystyle \sin 54^{\circ }=\cos 36^{\circ }={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}.} Алгебраический метод [ править ] Если θ равно 18 ° или -54 °, тогда 2θ и 3θ в сумме дают 5θ = 90 ° или -270 °, поэтому sin 2θ равен cos 3θ.
( 2 sin θ ) cos θ = sin 2 θ = cos 3 θ = 4 cos 3 θ − 3 cos θ = ( 4 cos 2 θ − 3 ) cos θ = ( 1 − 4 sin 2 θ ) cos θ {\displaystyle (2\sin \theta )\cos \theta =\sin 2\theta =\cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta =(4\cos ^{2}\theta -3)\cos \theta =(1-4\sin ^{2}\theta )\cos \theta } Итак , что подразумевает 4 sin 2 θ + 2 sin θ − 1 = 0 {\displaystyle 4\sin ^{2}\theta +2\sin \theta -1=0} sin θ = sin ( 18 ∘ , − 54 ∘ ) = − 1 ± 5 4 . {\displaystyle \sin \theta =\sin(18^{\circ },-54^{\circ })={\frac {-1\pm {\sqrt {5}}}{4}}.} Следовательно,
sin ( 18 ∘ ) = cos ( 72 ∘ ) = 5 − 1 4 {\displaystyle \sin(18^{\circ })=\cos(72^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}} sin ( 54 ∘ ) = cos ( 36 ∘ ) = 5 + 1 4 {\displaystyle \sin(54^{\circ })=\cos(36^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}} sin ( 36 ∘ ) = cos ( 54 ∘ ) = 10 − 2 5 4 {\displaystyle \sin(36^{\circ })=\cos(54^{\circ })={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}} sin ( 72 ∘ ) = cos ( 18 ∘ ) = 10 + 2 5 4 . {\displaystyle \sin(72^{\circ })=\cos(18^{\circ })={\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}.} Альтернативно, многоугловые формулы для функций 5 x , где x ∈ {18, 36, 54, 72, 90} и 5 x ∈ {90, 180, 270, 360, 450}, могут быть решены для функций x , поскольку мы знаем значения функции 5 x . Формулы для нескольких углов:
sin 5 x = 16 sin 5 x − 20 sin 3 x + 5 sin x , {\displaystyle \sin 5x=16\sin ^{5}x-20\sin ^{3}x+5\sin x,\,} cos 5 x = 16 cos 5 x − 20 cos 3 x + 5 cos x . {\displaystyle \cos 5x=16\cos ^{5}x-20\cos ^{3}x+5\cos x.\,} Когда sin 5 x = 0 или cos 5 x = 0, мы полагаем y = sin x или y = cos x и решаем относительно y : 16 y 5 − 20 y 3 + 5 y = 0. {\displaystyle 16y^{5}-20y^{3}+5y=0.\,} Одно решение равно нулю, и полученное уравнение четвертой степени может быть решено как квадратичное по y 2 . Когда sin 5 x = 1 или cos 5 x = 1, мы снова полагаем y = sin x или y = cos x и решаем относительно y : 16 y 5 − 20 y 3 + 5 y − 1 = 0 , {\displaystyle 16y^{5}-20y^{3}+5y-1=0,\,} что влияет на: ( y − 1 ) ( 4 y 2 + 2 y − 1 ) 2 = 0. {\displaystyle (y-1)\left(4y^{2}+2y-1\right)^{2}=0.\,} п ×π / 20 [ редактировать ] 9 ° - это 45 - 36, а 27 ° - это 45 - 18; поэтому мы используем формулы вычитания для синуса и косинуса. п ×π / 30 [ редактировать ] 6 ° - это 36-30, 12 ° - это 30-18, 24 ° - это 54-30, и 42 ° - это 60-18; поэтому мы используем формулы вычитания для синуса и косинуса. п ×π / 60 [ редактировать ] 3 ° - это 18–15, 21 ° - это 36–15, 33 ° - это 18 + 15, а 39 ° - это 54–15, поэтому мы используем формулы вычитания (или сложения) для синуса и косинуса. Стратегии упрощения выражений [ править ] Этот раздел может отклоняться от темы статьи . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел или обсудите эту проблему на странице обсуждения . ( Январь 2021 г. )
Рационализация знаменателя [ править ] Основная статья: Рационализация
Если знаменатель является квадратным корнем, умножьте числитель и знаменатель на этот радикал. Если знаменатель представляет собой сумму или разность двух членов, умножьте числитель и знаменатель на сопряжение знаменателя. Сопряжение идентично, за исключением того, что знак между терминами изменен. Иногда знаменатель нужно рационализировать более одного раза.
Разделение дроби на две [ править ] Иногда помогает разбить дробь на сумму двух дробей, а затем упростить обе по отдельности. Возведение в квадрат и извлечение квадратного корня [ править ] Этот план может помочь, если есть сложный термин, в котором есть только один вид радикалов. Возведите термин в квадрат, объедините одинаковые термины и извлеките квадратный корень. Это может оставить большой радикал с меньшим радикалом внутри, но часто он лучше, чем оригинал. Упрощение вложенных радикальных выражений [ править ] Основная статья: Вложенный радикал
В общем случае вложенные радикалы не могут быть уменьшены. Но радикальный
a ± b c {\displaystyle {\sqrt {a\pm b{\sqrt {c}}}}\,} с рациональными a , b и c можно уменьшить, если
R = a 2 − b 2 c {\displaystyle R={\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}\,} рационально. В этом случае оба
d = a + R 2 and e = a − R 2 {\displaystyle d={\frac {a+R}{2}}{\text{ and }}e={\frac {a-R}{2}}\,} рациональны, и у нас есть
a ± b c = d ± e . {\displaystyle {\sqrt {a\pm b{\sqrt {c}}}}={\sqrt {d}}\pm {\sqrt {e}}.\,} Например,
4 sin 18 ∘ = 6 − 2 5 = 5 − 1. {\displaystyle 4\sin 18^{\circ }={\sqrt {6-2{\sqrt {5}}}}={\sqrt {5}}-1.\,} 4 sin 15 ∘ = 2 2 − 3 = 2 ( 3 − 1 ) . {\displaystyle 4\sin 15^{\circ }=2{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}={\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}-1\right).} См. Также [ править ] Конструируемый многоугольник , для которого косинус или синус каждого угла имеет точное выражение в квадратных корнях. Гептадекагональная конструкция , дающая точное выражение для cos 2 π / 17 Список тригонометрических тождеств Теорема Нивена о рациональных значениях синуса рационального кратного числа π Таблица аккордов Птолемея Тригонометрические функции Тригонометрическое число , значение тригонометрической функции рационального кратного π Единицы измерения угла Ссылки [ править ] ^ a b Брэди, Брайан (сентябрь 2002 г.). «Точные значения синуса и косинуса, кратных 18 °: геометрический подход». Журнал математики колледжа . 33 (4): 318–319. DOI : 10.2307 / 1559057 . JSTOR 1559057 . Вайсштейн, Эрик В. «Конструируемый многоугольник» . MathWorld . Вайсштейн, Эрик В. "Углы тригонометрии" . MathWorld . π / 3 (60 °) - π / 6 (30 °) - π / 12 (15 °) - π / 24 (7,5 °) π / 4 (45 °) - π / 8 (22,5 °) - π / 16 (11,25 °) - π / 32 (5,625 °) π / 5 (36 °) - π / 10 (18 °) - π / 20 (9 °) π / 7 - π / 14 π / 9 (20 °) - π / 18 (10 °) π / 11 π / 13 π / 15 (12 °) - π / 30 (6 °) π / 17 π / 19π / 23 Бракен, Пол; Чижек, Иржи (2002). «Оценка сумм квантово-механических возмущений в терминах квадратичных сурдов и их использование в приближении ζ (3) / π 3 ». Int. J. Quantum Chem . 90 (1): 42–53. DOI : 10.1002 / qua.1803 . Конвей, Джон Х .; Радин, Чарльз ; Садун, Лоренцо (1999). «Об углах, квадраты тригонометрических функций которых рациональны». Диск. И комп. Геом . 22 (3): 321–332. arXiv : math-ph / 9812019 . DOI : 10.1007 / PL00009463 . Руководство по ремонту 1706614 . Гирстмэр, Курт (1997). «Некоторые линейные отношения между значениями тригонометрических функций при k π / n » . Acta Arithmetica . 81 (4): 387–398. DOI : 10,4064 / аа-81-4-387-398 . Руководство по ремонту 1472818 . Гурак, С. (2006). «О минимальном многочлене периодов Гаусса для простых степеней» . Математика вычислений . 75 (256): 2021–2035. Bibcode : 2006MaCom..75.2021G . DOI : 10.1090 / S0025-5718-06-01885-0 . Руководство по ремонту 2240647 . Серви, LD (2003). «Вложенные квадратные корни из 2». Амер. Математика. Ежемесячно . 110 (4): 326–330. DOI : 10.2307 / 3647881 . JSTOR 3647881 . Руководство по ремонту 1984573 . Внешние ссылки [ править ] Конструируемые правильные многоугольники Именование полигонов Синус и косинус в Surds в некоторых случаях включают альтернативные выражения, а также выражения для некоторых других углов. 
![{\ displaystyle \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {60}} \ right) = \ tan \ left (3 ^ {\ circ} \ right) = {\ frac {\ left [\ left (2- {\ sqrt {3}} \ right) \ left (3 + {\ sqrt {5}} \ right) -2 \ right] \ left [2 - {\ sqrt {10-2 {\ sqrt {5}}} } \ right]} {4}} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3def0c4623027bd006e5772927044dc5f2c82f41)
![{\ displaystyle \ cot \ left ({\ frac {\ pi} {60}} \ right) = \ cot \ left (3 ^ {\ circ} \ right) = {\ frac {\ left [\ left (2+ {\ sqrt {3}} \ right) \ left (3 + {\ sqrt {5}} \ right) -2 \ right] \ left [2 + {\ sqrt {10-2 {\ sqrt {5}}} } \ right]} {4}} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5604f62a7ebebb43eb6e64baa6f88872c7e9d069)
![{\ displaystyle \ sin {\ frac {\ pi} {15}} = \ sin 12 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {8}} \ left [{\ sqrt {2 \ left (5+ { \ sqrt {5}} \ right)}} + {\ sqrt {3}} - {\ sqrt {15}} \ right] \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1228d7e22be483539e4ba91a0b4c9bfaf074eebe)
![{\ displaystyle \ cos {\ frac {\ pi} {15}} = \ cos 12 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {8}} \ left [{\ sqrt {6 \ left (5+ { \ sqrt {5}} \ right)}} + {\ sqrt {5}} - 1 \ right] \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb2ac6239ea26bcfc4e7eefcc375f7f67b6a0acb)
![{\ displaystyle \ tan {\ frac {\ pi} {15}} = \ tan 12 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {2}} \ left [3 {\ sqrt {3}} - {\ sqrt {15}} - {\ sqrt {2 \ left (25-11 {\ sqrt {5}} \ right)}} \, \ right] \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b57f4f65cc3f783c5b77b860a2297a8a8cbab4)
![{\ displaystyle \ cot {\ frac {\ pi} {15}} = \ cot 12 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {2}} \ left [{\ sqrt {15}} + {\ sqrt {3}} + {\ sqrt {2 \ left (5 + {\ sqrt {5}} \ right)}} \, \ right] \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe18dfa13f93c50f52d019bc3ea48fa0ca9bf472)
![{\ displaystyle \ sin {\ frac {2 \ pi} {15}} = \ sin 24 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {8}} \ left [{\ sqrt {15}} + {\ sqrt {3}} - {\ sqrt {2 \ left (5 - {\ sqrt {5}} \ right)}} \ right] \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c08024470722b423345f24249ea960c772fc87ae)
![\ tan {\ frac {2 \ pi} {15}} = \ tan 24 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {2}} \ left [{\ sqrt {50 + 22 {\ sqrt {5}] }}} - 3 {\ sqrt {3}} - {\ sqrt {15}} \ right] \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fa351918ed8323175584ed4751bfacf5f61e67e)
![{\ displaystyle \ cot {\ frac {2 \ pi} {15}} = \ cot 24 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {2}} \ left [{\ sqrt {15}} - {\ sqrt {3}} + {\ sqrt {2 \ left (5 - {\ sqrt {5}} \ right)}} \ right] \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/679f693d22aa397b2aa744452edc6d64496e09fd)
![{\ displaystyle \ sin {\ frac {3 \ pi} {20}} = \ sin 27 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {8}} \ left [2 {\ sqrt {5 + {\ sqrt {5}}}} - {\ sqrt {2}} \; \ left ({\ sqrt {5}} - 1 \ right) \ right] \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/598d2e8e06f65d78a64d4c8450bff3de5e5c5220)
![{\ displaystyle \ cos {\ frac {3 \ pi} {20}} = \ cos 27 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {8}} \ left [2 {\ sqrt {5 + {\ sqrt {5}}}} + {\ sqrt {2}} \; \ left ({\ sqrt {5}} - 1 \ right) \ right] \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96ed3130d2995af89ffd7fed92ca75b79e11b580)
![{\ displaystyle \ sin {\ frac {11 \ pi} {60}} = \ sin 33 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {16}} \ left [2 \ left ({\ sqrt {3} } -1 \ right) {\ sqrt {5 + {\ sqrt {5}}}} + {\ sqrt {2}} \ left (1 + {\ sqrt {3}} \ right) \ left ({\ sqrt {5}} - 1 \ right) \ right] \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67cd8c6ce776c45fc5b1dfaa972f24628f4d57ab)
![{\ displaystyle \ cos {\ frac {11 \ pi} {60}} = \ cos 33 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {16}} \ left [2 \ left ({\ sqrt {3} } +1 \ right) {\ sqrt {5 + {\ sqrt {5}}}} + {\ sqrt {2}} \ left (1 - {\ sqrt {3}} \ right) \ left ({\ sqrt {5}} - 1 \ right) \ right] \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89d8b1c326975404f0f829d7b88fcfd06abfee06)
![{\ displaystyle \ tan {\ frac {11 \ pi} {60}} = \ tan 33 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {4}} \ left [2- \ left (2 - {\ sqrt {3}} \ right) \ left (3 + {\ sqrt {5}} \ right) \ right] \ left [2 + {\ sqrt {2 \ left (5 - {\ sqrt {5}} \ right) }}\,\верно]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdb93b95e09248b579de718f6c6670c64b38a785)
![{\ displaystyle \ cot {\ frac {11 \ pi} {60}} = \ cot 33 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {4}} \ left [2- \ left (2 + {\ sqrt {3}} \ right) \ left (3 + {\ sqrt {5}} \ right) \ right] \ left [2 - {\ sqrt {2 \ left (5 - {\ sqrt {5}} \ right) }}\,\верно]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/637555b8bd052954d2c6cff5ec40071d29d1ffeb)
![{\ displaystyle \ sin {\ frac {13 \ pi} {60}} = \ sin 39 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {16}} \ left [2 \ left (1 - {\ sqrt { 3}} \ right) {\ sqrt {5 - {\ sqrt {5}}}} + {\ sqrt {2}} \ left ({\ sqrt {3}} + 1 \ right) \ left ({\ sqrt {5}} + 1 \ right) \ right] \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fde6336d3d6afde0136a7171d6f40a9e695c3436)
![{\ displaystyle \ cos {\ frac {13 \ pi} {60}} = \ cos 39 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {16}} \ left [2 \ left (1 + {\ sqrt { 3}} \ right) {\ sqrt {5 - {\ sqrt {5}}}} + {\ sqrt {2}} \ left ({\ sqrt {3}} - 1 \ right) \ left ({\ sqrt {5}} + 1 \ right) \ right] \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d84363bc38d47561a10590df7ae08c6353619596)
![{\ displaystyle \ tan {\ frac {13 \ pi} {60}} = \ tan 39 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {4}} \ left [\ left (2 - {\ sqrt {3 }} \ right) \ left (3 - {\ sqrt {5}} \ right) -2 \ right] \ left [2 - {\ sqrt {2 \ left (5 + {\ sqrt {5}} \ right) }}\,\верно]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7739885ff94d55132c58be5a2ca59b17eb44037)
![{\ displaystyle \ cot {\ frac {13 \ pi} {60}} = \ cot 39 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {4}} \ left [\ left (2 + {\ sqrt {3 }} \ right) \ left (3 - {\ sqrt {5}} \ right) -2 \ right] \ left [2 + {\ sqrt {2 \ left (5 + {\ sqrt {5}} \ right) }}\,\верно]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a960ac308ab19d558f2f1c6399a1913bfe1f5ca)
![{\ displaystyle {\ begin {array} {r | l | l | l} n & \ sin \ left ({\ frac {2 \ pi} {n}} \ right) & \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {n}} \ right) & \ tan \ left ({\ frac {2 \ pi} {n}} \ right) \\\ hline 1 & 0 & 1 & 0 \\\ hline 2 & 0 & -1 & 0 \\\ hline 3 & {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {3}} & - {\ frac {1} {2}} & - {\ sqrt {3}} \\\ hline 4 & 1 & 0 & \ pm \ infty \\\ hline 5 & {\ frac {1} {4}} \ left ({\ sqrt {10 + 2 {\ sqrt {5}}}} \ right) & {\ frac {1} {4}} \ left ({\ sqrt { 5}} - 1 \ right) & {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}} \\\ hline 6 & {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {3}} & {\ frac {1} {2}} & {\ sqrt {3}} \\\ hline 7 && {\ frac {1} {6}} \ left (-1 + {\ sqrt [{3}] {\ frac {7 +21 {\ sqrt {-3}}} {2}}} + {\ sqrt [{3}] {\ frac {7-21 {\ sqrt {-3}}} {2}}} \ right) и \\\ hline 8 & {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {2}} & {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {2}} & 1 \\\ hline 9 &{\ frac {i} {2}} \ left ({\ sqrt [{3}] {\ frac {-1 - {\ sqrt {-3}}} {2}}} - {\ sqrt [{3} ] {\ frac {-1 + {\ sqrt {-3}}} {2}}} \ right) & {\ frac {1} {2}} \ left ({\ sqrt [{3}] {\ frac {-1 + {\ sqrt {-3}}} {2}}} + {\ sqrt [{3}] {\ frac {-1 - {\ sqrt {-3}}} {2}}} \ right ) & \\\ hline 10 & {\ frac {1} {4}} \ left ({\ sqrt {10-2 {\ sqrt {5}}}} \ right) & {\ frac {1} {4}} \ left ({\ sqrt {5}} + 1 \ right) & {\ sqrt {5-2 {\ sqrt {5}}}} \\\ hline 11 &&& \\\ hline 12 & {\ frac {1} {2 }} & {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {3}} & {\ frac {1} {3}} {\ sqrt {3}} \\\ hline 13 && {\ frac {1} { 12}} \ left ({\ sqrt [{3}] {104-20 {\ sqrt {13}} + 12 {\ sqrt {-39}}}} + {\ sqrt [{3}] {104-20 {\ sqrt {13}} - 12 {\ sqrt {-39}}}} + {\ sqrt {13}} - 1 \ right) & \\\ hline 14 & {\ frac {1} {24}} {\ sqrt {3 \ left (112 - {\ sqrt [{3}] {14336 + {\ sqrt {-5549064192}}}} - {\ sqrt [{3}] {14336 - {\ sqrt {-5549064192}}}} }\верно)}}&{\ frac {1} {24}} {\ sqrt {3 \ left (80 + {\ sqrt [{3}] {14336 + {\ sqrt {-5549064192}}}} + {\ sqrt [{3}]) {14336 - {\ sqrt {-5549064192}}}} \ right)}} & {\ sqrt {\ frac {112 - {\ sqrt [{3}] {14336 + {\ sqrt {-5549064192}}}} - {\ sqrt [{3}] {14336 - {\ sqrt {-5549064192}}}}} {80 + {\ sqrt [{3}] {14336 + {\ sqrt {-5549064192}}}} + {\ sqrt [{3}] {14336 - {\ sqrt {-5549064192}}}}}}} \\\ hline 15 & {\ frac {1} {8}} \ left ({\ sqrt {15}} + {\ sqrt {3}} - {\ sqrt {10-2 {\ sqrt {5}}}} \ right) & {\ frac {1} {8}} \ left (1 + {\ sqrt {5}} + {\ sqrt {30-6 {\ sqrt {5}}}} \ right) & {\ frac {1} {2}} \ left (-3 {\ sqrt {3}} - {\ sqrt {15}} + { \ sqrt {50 + 22 {\ sqrt {5}}}} \ right) \\\ hline 16 & {\ frac {1} {2}} \ left ({\ sqrt {2 - {\ sqrt {2}}} } \ right) & {\ frac {1} {2}} \ left ({\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} \ right) & {\ sqrt {2}} - 1 \\\ hline 17 & {\ frac {1} {8}} {\ sqrt {34-2 {\ sqrt {17}} + 2 {\ sqrt {34-2 {\ sqrt {17}}}} - 4 {\ sqrt {17} +3 {\ sqrt {17}} + {\ sqrt {170 + 38 {\ sqrt {17}}}}}}}} и{\ frac {1} {16}} \ left ({\ sqrt {17}} + {\ sqrt {34-2 {\ sqrt {17}}}} + 2 {\ sqrt {17 + 3 {\ sqrt { 17}} - {\ sqrt {170 + 38 {\ sqrt {17}}}}}} - 1 \ right) & {\ frac {2 {\ sqrt {34-2 {\ sqrt {17}} + 2 { \ sqrt {34-2 {\ sqrt {17}}}} - 4 {\ sqrt {17 + 3 {\ sqrt {17}} + {\ sqrt {170 + 38 {\ sqrt {17}}}}}} }}} {{\ sqrt {17}} + {\ sqrt {34-2 {\ sqrt {17}}}} + 2 {\ sqrt {17 + 3 {\ sqrt {17}} - {\ sqrt {170 +38 {\ sqrt {17}}}}}} - 1}} \\\ hline 18 & {\ frac {i} {4}} \ left ({\ sqrt [{3}] {4-4 {\ sqrt {-3}}}} - {\ sqrt [{3}] {4 + 4 {\ sqrt {-3}}}} \ right) & {\ frac {1} {4}} \ left ({\ sqrt [{3}] {4 + 4 {\ sqrt {-3}}}} + {\ sqrt [{3}] {4-4 {\ sqrt {-3}}}} \ right) & \\\ hline 20 & {\ frac {1} {4}} \ left ({\ sqrt {5}} - 1 \ right) & {\ frac {1} {4}} \ left ({\ sqrt {10 + 2 {\ sqrt {5}}}} \ right) & {\ frac {1} {5}} \ left ({\ sqrt {25-10 {\ sqrt {5}}}} \ right) \\\ hline 24 & {\ frac {1} {4}} \ left ({\ sqrt {6}} - {\ sqrt {2}} \ right) и {\ frac {1} {4}} \ left ({\ sqrt {6}} + {\ sqrt {2}} \ right) &2 - {\ sqrt {3}} \\\ hline 25 && {\ frac {1} {2}} \ left ({\ sqrt [{5}] {\ frac {-1 + {\ sqrt {5}} + {\ sqrt {-10-2 {\ sqrt {5}}}}} {4}}} + {\ sqrt [{5}] {\ frac {-1 + {\ sqrt {5}} - {\ sqrt {-10-2 {\ sqrt {5}}}}} {4}}} \ right) & \\\ end {array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e0b2057a61f23a66b4bfddedcb2795f03326ce1)
![\ operatorname {crd} \ 108 ^ {\ circ} = \ operatorname {crd} (\ angle \ mathrm {ABC}) = {\ frac {b} {a}} = {\ frac {1 + {\ sqrt {5] }}} {2}},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd52b4c124da306aa2840703a6c26b998bfb11cf)
