Закон синусов

Треугольник с обозначенными компонентами закона синусов. Заглавные буквы A , B и C - это углы, а строчные буквы a , b и c - длины противоположных сторон. ( Противоположно и т.д.)

Тригонометрия
Контур История использование Функции  ( обратные ) Обобщенная тригонометрия
Ссылка
Идентичности Точные константы Столы Единичный круг
Законы и теоремы
Синусы Косинусы Касательные Котангенсы теорема Пифагора
Исчисление
Тригонометрическая замена Интегралы  ( обратные функции ) Производные
v т е

В тригонометрии , то закон синусов , закону синуса , синус формулы , или синус правило представляет собой уравнение , связывающее длины из сторон треугольника (любой формы) к синусов его углов. В соответствии с законом,

${\ displaystyle {\ frac {a} {\ sin A}} \, = \, {\ frac {b} {\ sin B}} \, = \, {\ frac {c} {\ sin C}} \ , = \, 2R,}$

где a , b и c - длины сторон треугольника, а A , B и C - противоположные углы (см. рисунок справа), а R - радиус описанной окружности треугольника . Когда последняя часть уравнения не используется, закон иногда формулируется с использованием обратных величин ;

${\ displaystyle {\ frac {\ sin A} {a}} \, = \, {\ frac {\ sin B} {b}} \, = \, {\ frac {\ sin C} {c}}. }$

Закон синусов можно использовать для вычисления оставшихся сторон треугольника, когда известны два угла и сторона - метод, известный как триангуляция . Его также можно использовать, когда известны две стороны и один из незамкнутых углов. В некоторых таких случаях треугольник не определяется однозначно этими данными (это называется неоднозначным случаем ), и метод дает два возможных значения для заключенного угла.

Закон синусов - одно из двух тригонометрических уравнений, обычно применяемых для нахождения длин и углов в разносторонних треугольниках , а второе - это закон косинусов .

Закон синусов может быть обобщен на более высокие измерения на поверхностях с постоянной кривизной. ^[1]

История [ править ]

Согласно Убиратану Д'Амброзио и Хелайн Селин , сферический закон синусов был открыт в 10 веке. Его по-разному приписывают Абу-Махмуду Ходжанди , Абу аль-Вафа Бузджани , Насиру ад-Дину ат-Туси и Абу Насру Мансуру . ^[2] Все они были персидскими математиками и учеными.

Книга Ибн Мухада аль-Джайяни « Книга неизвестных дуг сферы в 11 веке» содержит общий закон синусов. ^[3] Плоский закон синусов был позже сформулирован в 13 веке Насиром ад-Дин ат-Туси . В своей «Секторной диаграмме» он сформулировал закон синусов для плоских и сферических треугольников и представил доказательства этого закона. ^[4]

Согласно Глену Ван Браммелену , «Закон Синуса на самом деле является основой Региомонтана для его решений прямоугольных треугольников в Книге IV, и эти решения, в свою очередь, являются основанием для его решений общих треугольников». ^[5] Региомонтан был немецким математиком 15 века.

Доказательство [ править ]

Площадь T любого треугольника может быть записана как половина его основания, умноженная на его высоту. При выборе одной стороны треугольника в качестве основания высота треугольника относительно этого основания вычисляется как длина другой стороны, умноженная на синус угла между выбранной стороной и основанием. Таким образом, в зависимости от выбора основания площадь треугольника может быть записана как любое из:

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}b(c\sin A)={\frac {1}{2}}c(a\sin B)={\frac {1}{2}}a(b\sin C)\,.}$

Умножая их на 2/abc дает

${\displaystyle {\frac {2T}{abc}}={\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}\,.}$

Неоднозначный случай треугольного решения [ править ]

При использовании закона синусов для определения стороны треугольника возникает неоднозначный случай, когда из предоставленных данных могут быть построены два отдельных треугольника (т. Е. Существует два различных возможных решения треугольника). В случае, показанном ниже, это треугольники ABC и AB′C ′ .

Для общего треугольника должны быть выполнены следующие условия, чтобы случай был неоднозначным:

• Единственная известная информация о треугольнике - это угол A и стороны a и c .
• Угол является острым (т.е. <90 °).
• Сторона короче , чем на стороне с (то есть, < гр ).
• Сторона длиннее высоты ч от угла B , где H = C грех A (то есть, > ч ).

Если все вышеперечисленные условия верны, то каждый из углов C и C ′ дает правильный треугольник, что означает, что выполняются оба следующих условия :

${\displaystyle C'=\arcsin {\frac {c\sin A}{a}}{\text{ or }}C=\pi -\arcsin {\frac {c\sin A}{a}}.}$

Отсюда мы можем найти соответствующие B и b или B ′ и b ′, если требуется, где b - сторона, ограниченная углами A и C, и b ′, ограниченная A и C ′ .

Без дополнительной информации невозможно решить, какой именно треугольник запрашивается.

Примеры [ править ]

Ниже приведены примеры того, как решить проблему с помощью закона синусов.

Пример 1 [ править ]

Дано: сторона a = 20 , сторона c = 24 и угол C = 40 ° . Угол A желателен.

Используя закон синусов, заключаем, что

${\displaystyle {\frac {\sin A}{20}}={\frac {\sin 40^{\circ }}{24}}.}$

${\displaystyle A=\arcsin \left({\frac {20\sin 40^{\circ }}{24}}\right)\approx 32.39^{\circ }.}$

Обратите внимание, что потенциальное решение A = 147,61 ° исключается, потому что это обязательно даст A + B + C > 180 ° .

Пример 2 [ править ]

Если длины двух сторон треугольника a и b равны x , третья сторона имеет длину c , а углы, противоположные сторонам с длинами a , b и c, равны A , B и C соответственно, тогда

${\displaystyle {\begin{aligned}&A=B={\frac {180^{\circ }-C}{2}}=90^{\circ }-{\frac {C}{2}}\\[6pt]&\sin A=\sin B=\sin \left(90^{\circ }-{\frac {C}{2}}\right)=\cos \left({\frac {C}{2}}\right)\\[6pt]&{\frac {c}{\sin C}}={\frac {a}{\sin A}}={\frac {x}{\cos \left({\frac {C}{2}}\right)}}\\[6pt]&{\frac {c\cos \left({\frac {C}{2}}\right)}{\sin C}}=x\end{aligned}}}$

Отношение к описанной окружности [ править ]

В личности

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}},}$

общее значение трех дробей на самом деле является диаметром описанной окружности треугольника . Этот результат восходит к Птолемею . ^{[6] [7]}

Доказательство [ править ]

Как показано на рисунке, пусть будут круг с надписью , а другие письмена , которая проходит через центр окружности O . Имеет центральный угол в и таким образом . Поскольку это прямоугольный треугольник,${\displaystyle \bigtriangleup ABC}$${\displaystyle \bigtriangleup ADB}$${\displaystyle \angle AOD}$${\displaystyle 180^{\circ }}$${\displaystyle \angle ABD=90^{\circ }}$${\displaystyle \bigtriangleup ABD}$

${\displaystyle \sin D={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {c}{2R}},}$

где - радиус описывающей окружности треугольника. ^[7] Углы и имеют один и тот же центральный угол , таким образом , они одинаковы: . Следовательно,${\displaystyle R}$${\displaystyle \angle C}$${\displaystyle \angle D}$${\displaystyle \angle C=\angle D}$

${\displaystyle \sin D=\sin C={\frac {c}{2R}}.}$

Переставляем урожайность

${\displaystyle 2R={\frac {c}{\sin C}}.}$

Повторение процесса создания с другими точками дает${\displaystyle \bigtriangleup ADB}$

Отношение к площади треугольника [ править ]

Площадь треугольника определяется выражением , где - угол между сторонами длины a и b . Подстановка закона синуса в это уравнение дает${\displaystyle T={\frac {1}{2}}ab\sin \theta }$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}ab\cdot {\frac {c}{2R}}.}$

Принимая в качестве описывающего радиуса, ^[8]${\displaystyle R}$

Также можно показать, что из этого равенства следует

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {abc}{2T}}&={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[6pt]&={\frac {2abc}{\sqrt {{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}},\end{aligned}}}$

где T - площадь треугольника, а s - полупериметр. ${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}.}$

Второе равенство выше легко упрощается до формулы Герона для площади.

Правило синусов можно также использовать при выводе следующей формулы для площади треугольника: Обозначив полусумму синусов углов как , мы имеем ^[9]${\displaystyle S={\frac {\sin A+\sin B+\sin C}{2}}}$

где это радиус окружности: .${\displaystyle R}$${\displaystyle 2R={\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}}$

Кривизна [ править ]

Закон синусов принимает аналогичную форму при наличии кривизны.

Сферический корпус [ править ]

В сферическом случае формула:

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.}$

Здесь a , b и c - большие дуги (стороны) треугольника (и, поскольку это единичная сфера, они равны углам в центре сферы, образованным этими дугами). A , B и C - это сферические углы, противоположные их соответствующим дугам (то есть двугранные углы между их большими окружностями).

Векторное доказательство [ править ]

Рассмотрим единичную сферу с тремя единичными векторами OA , OB и OC, проведенными от начала координат к вершинам треугольника. Таким образом, углы α , β и γ являются углами a , b и c соответственно. Дуга BC образует в центре угол величиной a . Введем декартово базис с OA вдоль оси z и OB в плоскости xz, образующей угол c с осью z . Вектор OCпроекты в положение ON в ху плоскости , а угол между ON а х -Axis является . Следовательно, у трех векторов есть компоненты:

${\displaystyle \mathbf {OA} ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OB} ={\begin{pmatrix}\sin c\\0\\\cos c\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OC} ={\begin{pmatrix}\sin b\cos A\\\sin b\sin A\\\cos b\end{pmatrix}}.}$

Смешанное произведение , ОА · ( О.Б. × OC ) представляет собой объем параллелепипеда , образованный векторами положения вершин сферического треугольника ОА , ОВ и ОС . Этот объем инвариантен к конкретной системе координат, используемой для представления OA , OB и OC . Значение скалярного тройного произведения OA · ( OB × OC ) является определителем 3 × 3 с OA , OB и OC.как его ряды. При оси z вдоль OA квадрат этого определителя равен

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl (}\mathbf {OA} \cdot (\mathbf {OB} \times \mathbf {OC} ){\bigr )}^{2}&={\bigl (}\det(\mathbf {OA} ,\mathbf {OB} ,\mathbf {OC} ){\bigr )}^{2}\\[4pt]&=\left({\begin{vmatrix}0&0&1\\\sin c&0&\cos c\\\sin b\cos A&\sin b\sin A&\cos b\end{vmatrix}}\right)^{2}=\left(\sin b\sin c\sin A\right)^{2}.\end{aligned}}}$

Повторение этого вычисления с осью z вдоль OB дает (sin c sin a sin B ) ² , а с осью z вдоль OC это (sin a sin b sin C ) ² . Приравнивая эти выражения и разделяя их на (sin a sin b sin c ) ^2, получаем

${\displaystyle {\frac {\sin ^{2}A}{\sin ^{2}a}}={\frac {\sin ^{2}B}{\sin ^{2}b}}={\frac {\sin ^{2}C}{\sin ^{2}c}}={\frac {V^{2}}{\sin ^{2}a\sin ^{2}b\sin ^{2}c}},}$

где V - объем параллелепипеда, образованный вектором положения вершин сферического треугольника. Следовательно, результат следует.

Легко увидеть, как для маленьких сферических треугольников, когда радиус сферы намного больше, чем стороны треугольника, эта формула становится плоской формулой в пределе, поскольку

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {\sin a}{a}}=1}$

и то же самое для греха b и греха c .

Геометрическое доказательство [ править ]

Рассмотрим единичную сферу с:

${\displaystyle OA=OB=OC=1}$

Постройте точку и точку так , чтобы${\displaystyle D}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \angle ADO=\angle AEO=90^{\circ }}$

Построить точку так , чтобы${\displaystyle A'}$${\displaystyle \angle A'DO=\angle A'EO=90^{\circ }}$

Таким образом, можно видеть, что и${\displaystyle \angle ADA'=B}$${\displaystyle \angle AEA'=C}$

Обратите внимание, что это проекция на плоскость . Следовательно${\displaystyle A'}$${\displaystyle A}$${\displaystyle OBC}$${\displaystyle \angle AA'D=\angle AA'E=90^{\circ }}$

По базовой тригонометрии мы имеем:

${\displaystyle AD=\sin c}$

${\displaystyle AE=\sin b}$

Но ${\displaystyle AA'=AD\sin B=AE\sin C}$

Объединяя их, мы получаем:

${\displaystyle \sin c\sin B=\sin b\sin C}$

${\displaystyle {\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}}$

Применяя аналогичные рассуждения, получаем сферический закон синуса:

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}}$

Другие доказательства [ править ]

Чисто алгебраическое доказательство может быть построено из сферического закона косинусов . Из тождества и явного выражения для сферического закона косинусов${\displaystyle \sin ^{2}A=1-\cos ^{2}A}$${\displaystyle \cos A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\!A&=1-\left({\frac {\cos a-\cos b\,\cos c}{\sin b\,\sin c}}\right)^{2}\\&={\frac {(1-\cos ^{2}\!b)(1-\cos ^{2}\!c)-(\cos a-\cos b\,\cos c)^{2}}{\sin ^{2}\!b\,\sin ^{2}\!c}}\\{\frac {\sin A}{\sin a}}&={\frac {[1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}}.\end{aligned}}}$

Поскольку правая часть инвариантна относительно циклической перестановки сферических синусов, сразу следует правило.${\displaystyle a,\;b,\;c}$

Рисунок, использованный в приведенном выше геометрическом доказательстве, используется Банерджи ^[10], а также представлен в нем (см. Рисунок 3 в этой статье) для вывода закона синуса с использованием элементарной линейной алгебры и матриц проекций.

Гиперболический случай [ править ]

В гиперболической геометрии, когда кривизна равна -1, закон синусов принимает вид

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}}\,.}$

В частном случае, когда B - прямой угол, получается

${\displaystyle \sin C={\frac {\sinh c}{\sinh b}}}$

который является аналогом формулы в евклидовой геометрии, выражающей синус угла как противоположную сторону, разделенную гипотенузой.

См. Также гиперболический треугольник .

Единая формулировка [ править ]

Определите обобщенную синусоидальную функцию, зависящую также от реального параметра K :

${\displaystyle \sin _{K}x=x-{\frac {Kx^{3}}{3!}}+{\frac {K^{2}x^{5}}{5!}}-{\frac {K^{3}x^{7}}{7!}}+\cdots .}$

Закон синусов постоянной кривизны K читается как ^[1]

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin _{K}a}}={\frac {\sin B}{\sin _{K}b}}={\frac {\sin C}{\sin _{K}c}}\,.}$

Подставляя K = 0 , K = 1 и K = −1 , мы получаем соответственно евклидов, сферический и гиперболический случаи закона синусов, описанного выше.

Пусть р _К ( г ) указывают на окружности круга радиуса г в пространстве постоянной кривизны К . Тогда p _K ( r ) = 2π sin _K r . Следовательно, закон синусов можно также выразить как:

${\displaystyle {\frac {\sin A}{p_{K}(a)}}={\frac {\sin B}{p_{K}(b)}}={\frac {\sin C}{p_{K}(c)}}\,.}$

Эта формулировка была открыта Яношом Бойяи . ^[11]

Высшие измерения [ править ]

Для того п - мерного симплекса (т.е. треугольника ( п = 2 ), тетраэдра ( п = 3 ), пентатопа ( п = 4 ), и т.д.) в п - мерное евклидово пространство , то абсолютное значение от полярного синуса ( psin ) из нормальных векторов этих граней , которые встречаются на вершине , деленной на гиперплощади фаски напротив вершины не зависят от выбора вершины. Написание Vдля гиперобъема n- мерного симплекса и P для произведения гиперпространств его ( n - 1) -мерных граней общее отношение равно

${\displaystyle {\frac {(nV)^{n-1}}{(n-1)!P}}.}$

Например, тетраэдр имеет четыре треугольные грани. Абсолютное значение полярного синуса векторов нормали к трем граням, которые имеют общую вершину, деленное на площадь четвертой грани, не будет зависеть от выбора вершины:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {{\bigl |}\operatorname {psin} (\mathbf {n_{2}} ,\mathbf {n_{3}} ,\mathbf {n_{4}} ){\bigr |}}{\mathrm {Area} _{1}}}={\frac {{\bigl |}\operatorname {psin} (\mathbf {n_{1}} ,\mathbf {n_{3}} ,\mathbf {n_{4}} ){\bigr |}}{\mathrm {Area} _{2}}}={\frac {{\bigl |}\operatorname {psin} (\mathbf {n_{1}} ,\mathbf {n_{2}} ,\mathbf {n_{4}} ){\bigr |}}{\mathrm {Area} _{3}}}={\frac {{\bigl |}\operatorname {psin} (\mathbf {n_{1}} ,\mathbf {n_{2}} ,\mathbf {n_{3}} ){\bigr |}}{\mathrm {Area} _{4}}}\\[4pt]={}&{\frac {(3\operatorname {Volume} _{\mathrm {tetrahedron} })^{2}}{2!~\mathrm {Area} _{1}\mathrm {Area} _{2}\mathrm {Area} _{3}\mathrm {Area} _{4}}}\,.\end{aligned}}}$

См. Также [ править ]

• Герсонид
• Формула половинной стороны  - для решения сферических треугольников
• Закон косинусов
• Закон касательных
• Закон котангенсов
• Формула Моллвейде  - для проверки решений треугольников
• Решение треугольников
• Геодезия

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• "Теорема синусов" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Закон синуса в разорванном узле
• Степень кривизны
• Нахождение синуса 1 степени
• Обобщенный закон синусов для высших измерений
• Закон синуса - ProofWiki