Тригонометрия

Тригонометрия
Контур История использование Функции  ( обратные ) Обобщенная тригонометрия
Ссылка
Идентичности Точные константы Столы Единичный круг
Законы и теоремы
Синусы Косинусы Касательные Котангенсы теорема Пифагора
Исчисление
Тригонометрическая замена Интегралы  ( обратные функции ) Производные
v т е

Тригонометрия (от греческого trigōnon , «треугольника» и Metron , «меры» ^[1] ) является ветвью математики , которая изучает взаимосвязь между длинами сторон и углами зрения треугольников . Эта область возникла в эллинистическом мире в III веке до нашей эры из приложений геометрии к астрономическим исследованиям . ^[2] Греки сосредоточились на вычислении хорд , в то время как математики в Индии создали самые ранние известные таблицы значений для тригонометрических отношений (также называемых тригонометрическими функциями ), такие каксинус . ^[3]

На протяжении всей истории тригонометрия применялась в таких областях, как геодезия , геодезия , небесная механика и навигация . ^[4]

Тригонометрия известна своей индивидуальностью . Эти тригонометрические тождества ^{[5] [6]} обычно используются для переписывания тригонометрических выражений с целью упростить выражение, найти более полезную форму выражения или решить уравнение . ^[7]

История

Шумерские астрономы изучали измерение углов, используя разделение окружностей на 360 градусов. ^[9] Они, а позже и вавилоняне , изучили отношения сторон подобных треугольников и обнаружили некоторые свойства этих соотношений, но не превратили это в систематический метод нахождения сторон и углов треугольников. В древних нубийцев использовали подобный метод. ^[10]

В III веке до нашей эры эллинистические математики, такие как Евклид и Архимед, изучали свойства хорд и вписанных углов в окружности, и они доказали теоремы, эквивалентные современным тригонометрическим формулам, хотя они представили их геометрически, а не алгебраически. В 140 г. до н.э. Гиппарх (из Никеи , Малая Азия) дал первые таблицы аккордов, аналогичные современным таблицам значений синусов , и использовал их для решения задач тригонометрии и сферической тригонометрии . ^[11] Во 2 веке нашей эры греко-египетский астроном Птолемей(из Александрии, Египет) построил подробные тригонометрические таблицы ( таблица аккордов Птолемея ) в Книге 1, главе 11 своего Альмагеста . ^[12] Птолемей использовал длину хорды для определения своих тригонометрических функций, что является незначительным отличием от синусоидального соглашения, которое мы используем сегодня. ^[13] (Значение, которое мы называем sin (θ), можно найти, посмотрев длину хорды для удвоенного угла интереса (2θ) в таблице Птолемея, а затем разделив это значение на два.) Прошли столетия, прежде чем были составлены более подробные таблицы. и трактат Птолемея продолжал использоваться для выполнения тригонометрических вычислений в астрономии в течение следующих 1200 лет в средневековой византийской , исламской, а затем и западноевропейские миры.

Современное синусоидальное соглашение впервые засвидетельствовано в Сурья-сиддханте , а его свойства были дополнительно задокументированы индийским математиком и астрономом 5-го века (н.э.) Арьябхатой . ^[14] Эти греческие и индийские труды были переведены и дополнены средневековыми исламскими математиками . К 10 веку исламские математики использовали все шесть тригонометрических функций, составили таблицы своих значений и применяли их к задачам сферической геометрии . ^{[15] [16]} персидский эрудит Насир ад-Дин ат-Туси был описан как создатель тригонометрии как математической дисциплины в своем собственном праве.^{[17] [18] [19]} Насир ад-Дин ат-Туси был первым, кто стал рассматривать тригонометрию как математическую дисциплину, независимую от астрономии, и развил сферическую тригонометрию в ее нынешней форме. ^[20] Он перечислил шесть различных случаев прямоугольного треугольника в сферической тригонометрии, а в своей работе « О секторном рисунке» сформулировал закон синусов для плоских и сферических треугольников, открыл закон касательных для сферических треугольников и представил доказательства обоих этих законов. ^[21] Знания о тригонометрических функциях и методах достигли Западной Европы благодаря латинским переводам греческого Альмагеста Птолемея.а также работы персидских и арабских астрономов, таких как Аль Баттани и Насир ад-Дин ат-Туси . ^[22] Одна из самых ранних работ по тригонометрии по северной европейской математике является De Triangulis в 15 - м веке немецкого математик Regiomontanus , который поощрял к записи, и снабженная копией Альмагеста , по византийскому греческому ученому кардиналу Виссарион Никейского с которым он прожил несколько лет. ^[23] В то же время критяне завершили еще один перевод Альмагеста с греческого на латынь.Георгий Трапезундский . ^[24] Тригонометрия была еще так мало известна в Северной Европе 16-го века, что Николай Коперник посвятил две главы De Revolutionibus orbium coelestium объяснению ее основных понятий.

Тригонометрия, движимая требованиями навигации и растущей потребностью в точных картах больших географических областей, превратилась в важный раздел математики. ^[25] Варфоломей Питискус был первым, кто использовал это слово, опубликовав свою « Тригонометрию» в 1595 году. ^[26] Джемма Фризиус впервые описала метод триангуляции, который до сих пор используется в топографической съемке. Это был Leonhard Euler , которые полностью включены в комплексные числа в тригонометрии. Работы шотландских математиков Джеймса Грегори в 17 веке и Колина Маклоренав 18 веке оказали влияние на развитие тригонометрических рядов . ^[27] Также в 18 веке Брук Тейлор определил общий ряд Тейлора . ^[28]

Тригонометрические отношения

Тригонометрические отношения - это отношения между сторонами прямоугольного треугольника. Эти соотношения задаются следующими тригонометрическими функциями известного угла A , где a , b и c относятся к длинам сторон на прилагаемом рисунке:

• Функция синуса (sin), определяемая как отношение стороны, противоположной углу, к гипотенузе .

${\ displaystyle \ sin A = {\ frac {\ textrm {напротив}} {\ textrm {hypotenuse}}} = {\ frac {a} {c}}.}$

• Функция косинуса (cos), определяемая как отношение соседнего катета (стороны треугольника, соединяющей угол с прямым углом) к гипотенузе.

${\ displaystyle \ cos A = {\ frac {\ textrm {смежный}} {\ textrm {hypotenuse}}} = {\ frac {b} {c}}.}$

• Функция касания (тангенс), определяемая как отношение противоположного участка к соседнему участку.

${\ displaystyle \ tan A = {\ frac {\ textrm {напротив}} {\ textrm {смежный}}} = {\ frac {a} {b}} = {\ frac {a / c} {b / c} } = {\ frac {\ sin A} {\ cos A}}.}$

Гипотенузой является стороной , противоположной углом 90 градусов в прямоугольном треугольнике; это самая длинная сторона треугольника и одна из двух сторон , примыкающих к углу А . Смежно нога другая сторона , которая находится рядом с углом А . Сторона , противоположная сторона , которая находится напротив угла А . Термины « перпендикуляр» и « основание» иногда используются для обозначения противоположных и смежных сторон соответственно. См. Ниже в разделе « Мнемоника» .

Так как любые два прямоугольных треугольников с одинаковым острым углом А являются похожи , ^[29] значение коэффициента тригонометрического зависит только от угла A .

В обратных этих функциях названы косеканс (CSC), секущие (сек) и котангенс (раскладушка), соответственно:

${\ displaystyle \ csc A = {\ frac {1} {\ sin A}} = {\ frac {\ textrm {hypotenuse}} {\ textrm {напротив}}} = {\ frac {c} {a}}, }$

${\displaystyle \sec A={\frac {1}{\cos A}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {c}{b}},}$

${\displaystyle \cot A={\frac {1}{\tan A}}={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {opposite}}}={\frac {\cos A}{\sin A}}={\frac {b}{a}}.}$

Косинус, котангенс и косеканс названы так, потому что они соответственно являются синусом, тангенсом и секансом дополнительного угла, сокращенного до «со-». ^[30]

С помощью этих функций можно ответить практически на все вопросы о произвольных треугольниках, используя закон синусов и закон косинусов . ^[31] Эти законы могут быть использованы для вычисления оставшихся углов и сторон любого треугольника, если известны две стороны и их угол, или два угла, и сторона, или три стороны.

Мнемоника

Мнемоника обычно используется для запоминания фактов и взаимосвязей в тригонометрии. Например, отношения синуса , косинуса и тангенса в прямоугольном треугольнике можно запомнить, представив их и соответствующие им стороны в виде цепочек букв. Например, мнемоника SOH-CAH-TOA: ^[32]

S ине = O pposite ÷ Н ypotenuse

C osine = A djacent ÷ H ypotenuse

Т angent = O pposite ÷ djacent

Один из способов запомнить буквы, чтобы звук их фонетически (т.е. SOH-CAH-TOA , которое произносится «так KÀ- носком -uh» / s oʊ к æ т oʊ ə / ). Другой способ заключается в расширении буквы в предложении, такие как « S OMe O LD Н ippie С нечто ругой Н ippie Т rippin' О п ИДС». ^[33]

Единичный круг и общие тригонометрические значения

Тригонометрические отношения также могут быть представлены с помощью единичной окружности , которая представляет собой окружность радиуса 1 с центром в начале координат на плоскости. ^[34] В этой настройке конечная сторона угла A, помещенного в стандартное положение, будет пересекать единичную окружность в точке (x, y), где и . ^[34] Это представление позволяет вычислять обычно встречающиеся тригонометрические значения, например, указанные в следующей таблице: ^[35]${\displaystyle x=\cos A}$${\displaystyle y=\sin A}$

Функция	0	${\displaystyle \pi /6}$	${\displaystyle \pi /4}$	${\displaystyle \pi /3}$	${\displaystyle \pi /2}$	${\displaystyle 2\pi /3}$	${\displaystyle 3\pi /4}$	${\displaystyle 5\pi /6}$	${\displaystyle \pi }$
синус	0	${\displaystyle 1/2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$	1	${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle 1/2}$	0
косинус	1	${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle 1/2}$	0	${\displaystyle -1/2}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}/2}$	-1
касательная	0	${\displaystyle {\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	неопределенный	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}/3}$	0
секущий	1	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	неопределенный	${\displaystyle -2}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle -2{\sqrt {3}}/3}$	-1
косеканс	неопределенный	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}/3}$	1	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	неопределенный
котангенс	неопределенный	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/3}$	0	${\displaystyle -{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	неопределенный

Тригонометрические функции действительных или комплексных переменных

Используя единичный круг , можно расширить определения тригонометрических отношений на все положительные и отрицательные аргументы ^[36] (см. Тригонометрическую функцию ).

Графики тригонометрических функций

В следующей таблице приведены свойства графиков шести основных тригонометрических функций: ^{[37] [38]}

Функция	Период	Домен	Классифицировать	График
синус	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle [-1,1]}$
косинус	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle [-1,1]}$
касательная	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle x\neq \pi /2+n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$
секущий	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle x\neq \pi /2+n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,\infty )}$
косеканс	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle x\neq n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,\infty )}$
котангенс	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle x\neq n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

Обратные тригонометрические функции

Поскольку шесть основных тригонометрических функций периодичны, они не инъективны (или 1 к 1) и, следовательно, не обратимы. Однако, ограничив область определения тригонометрической функции, их можно сделать обратимыми. ^{[39] : 48ff}

Имена обратных тригонометрических функций вместе с их областями определения и диапазоном можно найти в следующей таблице: ^{[39] : 48ff [40] : 521ff}

Представления степенного ряда

Если рассматривать тригонометрические отношения как функции действительной переменной, их можно представить бесконечным рядом . Например, синус и косинус имеют следующие представления: ^[41]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}}$

С помощью этих определений тригонометрические функции могут быть определены для комплексных чисел . ^[42] При расширении как функции действительных или комплексных переменных для комплексной экспоненты справедлива следующая формула :

${\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y).}$

Эта сложная экспоненциальная функция, записанная в терминах тригонометрических функций, особенно полезна. ^{[43] [44]}

Расчет тригонометрических функций

Тригонометрические функции были одними из первых применений математических таблиц . ^[45] Такие таблицы были включены в учебники математики, и студентов учили искать значения и как интерполировать между перечисленными значениями, чтобы получить более высокую точность. ^{[46] У} правил скольжения были специальные шкалы для тригонометрических функций. ^[47]

В научных калькуляторах есть кнопки для вычисления основных тригонометрических функций (sin, cos, tan, а иногда и cis и их обратные). ^[48] Большинство из них позволяют выбирать методы измерения углов: градусы , радианы, а иногда и градиенты . Большинство языков программирования предоставляют библиотеки функций, которые включают тригонометрические функции. ^[49] модуль с плавающей запятой аппаратных средств включены в микропроцессорных чипов , используемых в большинстве персональных компьютеров имеет встроенные инструкции для вычисления тригонометрических функций. ^[50]

Другие тригонометрические функции

В дополнение к шести коэффициентам, перечисленным ранее, существуют дополнительные тригонометрические функции, которые имели историческое значение, хотя сегодня редко используются. К ним относятся аккорд ( crd ( θ ) = 2 sin (θ/2) ) версина ( versin ( θ ) = 1 - cos ( θ ) = 2 sin ² (θ/2) ) (который появился в самых ранних таблицах ^[51] ), покрывающая синусоида ( охватывает ( θ ) = 1 - sin ( θ ) = versin (π/2- θ ) ) гаверсинус ( haversin ( θ ) =1/2versin ( θ ) = sin ² (θ/2) ), ^[52] exsecant ( exsec ( θ ) = с ( θ ) - 1 ), а также excosecant ( excsc ( θ ) = exsec (π/2- θ ) = csc ( θ ) - 1 ). См. Список тригонометрических тождеств для получения дополнительных сведений о взаимосвязях между этими функциями.

Приложения

Астрономия

На протяжении веков сферическая тригонометрия использовалась для определения положения Солнца, Луны и звезд ^[53], предсказания затмений и описания орбит планет. ^[54]

В наше время метод триангуляции используется в астрономии для измерения расстояния до ближайших звезд ^[55], а также в системах спутниковой навигации . ^[16]

Навигация

Исторически тригонометрия использовалась для определения широты и долготы парусных судов, построения курсов и расчета расстояний во время навигации. ^[56]

Тригонометрия по-прежнему используется в навигации с помощью таких средств, как глобальная система позиционирования и искусственный интеллект для автономных транспортных средств . ^[57]

Геодезия

При топографической съемке тригонометрия используется для расчета длин, площадей и относительных углов между объектами. ^[58]

В более крупном масштабе тригонометрия используется в географии для измерения расстояний между ориентирами. ^[59]

Периодические функции

Функция ( выделена красным) - это сумма шести синусоидальных функций разных амплитуд и гармонически связанных частот. Их суммирование называется рядом Фурье. Преобразование Фурье (выделено синим цветом), которое отображает зависимость амплитуды от частоты, выявляет 6 частот ( в нечетных гармониках ) и их амплитуды ( 1 / нечетное число ).${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle S(f)}$

Функции синус и косинус имеют основополагающее значение для теории периодических функций , ^[60] , таких , как те , которые описывают звук и световые волны. Фурье обнаружил , что каждая непрерывная , периодическая функция может быть описана как бесконечная сумма тригонометрических функций.

Даже непериодические функции могут быть представлены в виде интеграла синусов и косинусов с помощью преобразования Фурье . Это имеет приложения, помимо прочего, в квантовой механике ^[61] и коммуникации ^[62] .

Оптика и акустика

Тригонометрия полезно во многих физических науках , ^[63] в том числе акустика , ^[64] и оптика . ^[64] В этих областях они используются для описания звуковых и световых волн , а также для решения проблем, связанных с границами и передачей. ^[65]

Другие приложения

Другие области, которые используют тригонометрию или тригонометрические функции, включают теорию музыки , ^[66] геодезию , синтез звука , ^[67] архитектуру , ^[68] электронику , ^[66] биологию , ^[69] медицинскую визуализацию ( компьютерную томографию и ультразвук ), ^[70] химия , ^[71] теория чисел (и, следовательно, криптология ), ^[72] сейсмология , ^[64] метеорология , ^[73] океанография , ^[74] сжатие изображений , ^[75] фонетика , ^[76] экономика , ^[77] электротехника , машиностроение , гражданское строительство , ^[66] компьютерная графика , ^[78] картография , ^[66] кристаллография ^[79] и разработка игр . ^[78]

Идентичности

Тригонометрия известна своими многочисленными идентичностями, то есть уравнениями, которые верны для всех возможных входных данных. ^[80]

Тождества, включающие только углы, известны как тригонометрические тождества . Другие уравнения, известные как треугольник идентичностей , ^[81] касаются обеих сторон и углов данного треугольника.

Тождества треугольников

В следующих тождествах A , B и C - это углы треугольника, а a , b и c - длины сторон треугольника, противоположные соответствующим углам (как показано на диаграмме). ^[82]

Закон синусов

Закон синусов (также известный как «синус правила») для произвольного треугольника состояний: ^[83]

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R={\frac {abc}{2\Delta }},}$

где - площадь треугольника, а R - радиус описанной окружности треугольника:${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}}.}$

Закон косинусов

Закон косинусов (известно как формула косинуса, или «совы правило») является продолжением теоремы Пифагора на произвольные треугольниках: ^[83]

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,}$

или эквивалентно:

${\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.}$

Закон касательных

Закон касательных , разработанный Вьют , является альтернативой косинусов при решении по неизвестным краям треугольника, обеспечивая простые вычисления при использовании тригонометрических таблиц. ^[84] Это определяется:

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A-B)\right]}{\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A+B)\right]}}}$

Площадь

Учитывая две стороны a и b и угол между сторонами C , площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон и синуса угла между двумя сторонами: ^[83]

Формула Герона - еще один метод, который можно использовать для вычисления площади треугольника. Эта формула утверждает, что если треугольник имеет стороны длиной a , b и c , и если полупериметр равен

${\displaystyle s={\frac {1}{2}}(a+b+c),}$

тогда площадь треугольника равна: ^[85]

${\displaystyle {\mbox{Area}}=\Delta ={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}={\frac {abc}{4R}}}$,

где R - радиус описанной окружности треугольника.

${\displaystyle {\mbox{Area}}=\Delta ={\frac {1}{2}}ab\sin C.}$

Тригонометрические тождества

Пифагорейские тождества

Следующие тригонометрические тождества связаны с теоремой Пифагора и верны для любого значения: ^[86]

${\displaystyle \sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1\ }$

${\displaystyle \tan ^{2}A+1=\sec ^{2}A\ }$

${\displaystyle \cot ^{2}A+1=\csc ^{2}A\ }$

Формула Эйлера

Формула Эйлера , которая гласит , дает следующие аналитические тождества для синуса, косинуса и тангенса в терминах e и мнимой единицы i :${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \tan x={\frac {i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}}.}$

Другие тригонометрические тождества

Другие часто используемые тригонометрические тождества включают тождества половинного угла, тождества суммы углов и разностей, а также тождества произведения к сумме. ^[29]

Смотрите также

Рекомендации

Библиография

• Бойер, Карл Б. (1991). История математики (второе изд.). ISBN компании John Wiley & Sons, Inc. 978-0-471-54397-8.
• Нильсен, Кай Л. (1966). Логарифмические и тригонометрические таблицы до пяти знаков (2-е изд.). Нью-Йорк: Barnes & Noble . LCCN  61-9103 .
• Терстон, Хью (1996). Ранняя астрономия . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-94822-5.

дальнейшее чтение

• "Тригонометрические функции" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Линтон, Кристофер М. (2004). От Евдокса до Эйнштейна: история математической астрономии . Издательство Кембриджского университета.
• Вайсштейн, Эрик В. «Тригонометрические формулы сложения» . MathWorld .

внешняя ссылка

• Khan Academy: тригонометрия, бесплатные микролекции онлайн
• Тригонометрия Альфреда Монро Кеньона и Луи Ингольда, компания Macmillan, 1914. На изображениях представлен полный текст.
• Тригонометрическая головоломка Бенджамина Баннекера при конвергенции
• Краткий курс Дэйва по тригонометрии Дэвида Джойса из Университета Кларка
• Тригонометрия, Майкл Коррал, Охватывает элементарную тригонометрию, Распространяется под лицензией GNU Free Documentation License