Идентичность (математика)

Визуальное доказательство тождества Пифагора : для любого угла точка лежит на единичной окружности , которая удовлетворяет уравнению . Таким образом, .${\ displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle (х, у) = (\ соз \ тета, \ грех \ тета)}$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$${\ Displaystyle \ соз ^ {2} \ тета + \ грех ^ {2} \ тета = 1}$

В математике , идентичность является равенство , относящееся одно математического выражение А  в другой математическую экспрессии  B , таким образом, что и Б (которые могут содержать некоторые переменные ) производят одинаковое значение для всех значений переменных в пределах определенного диапазона действия. ^{[1] [2]} Другими словами, A  =  B является тождеством, если A и B определяют одни и те же функции , а тождество - это равенство между функциями, которые определены по-разному. Например, и${\ displaystyle (a + b) ^ {2} = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}}$${\ Displaystyle \ соз ^ {2} \ тета + \ грех ^ {2} \ тета = 1}$идентичности. ^[2] идентичности иногда обозначаются тройник символом ≡ вместо = , то знака равенства . ^[3]

Общие личности [ править ]

Алгебраические тождества [ править ]

Некоторые тождества, такие как и , образуют основу алгебры ^[4], тогда как другие тождества, такие как и , могут быть полезны для упрощения алгебраических выражений и их расширения. ^[5]${\ Displaystyle а + 0 = а}$${\ Displaystyle а + (- а) = 0}$${\ displaystyle (a + b) ^ {2} = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}}$${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$

Тригонометрические тождества [ править ]

С геометрической точки зрения , тригонометрические тождества - это тождества, включающие определенные функции одного или нескольких углов . ^[6] Они отличаются от тождеств треугольника , которые представляют собой тождества, включающие как углы, так и длины сторон треугольника . В этой статье рассматриваются только первые.

Эти тождества полезны, когда необходимо упростить выражения, включающие тригонометрические функции. Другим важным приложением является интеграция нетригонометрических функций: распространенный метод, который включает в себя сначала использование правила подстановки с тригонометрической функцией , а затем упрощение итогового интеграла с помощью тригонометрического тождества.

Один из наиболее ярких примеров тригонометрических тождеств включает уравнение, которое справедливо для всех комплексных значений (поскольку комплексные числа образуют область синуса и косинуса). С другой стороны, уравнение${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \cos \theta =1}$

верно только для определенных значений , а не для всех (или для всех значений в окрестности ). Например, это уравнение верно, когда, но ложно, когда .${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta =0,}$${\displaystyle \theta =2}$

Другая группа тригонометрических тождеств касается так называемых формул сложения / вычитания (например, тождество двойного угла , формула сложения для ), ^{[3] [1],} которые могут использоваться для разбивки выражений больших углов на те, которые имеют меньшие составляющие. .${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta }$${\displaystyle \tan(x+y)}$

Экспоненциальные идентичности [ править ]

Следующие тождества выполняются для всех целочисленных показателей, при условии, что основание не равно нулю:

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{m+n}&=b^{m}\cdot b^{n}\\(b^{m})^{n}&=b^{m\cdot n}\\(b\cdot c)^{n}&=b^{n}\cdot c^{n}\end{aligned}}}$

В отличие от сложения и умножения, возведение в степень не коммутативно . Например, 2 + 3 = 3 + 2 = 5 и 2 · 3 = 3 · 2 = 6 , но 2 ³ = 8 , тогда как 3 ² = 9 .

И, в отличие от сложения и умножения, возведение в степень тоже не ассоциативно . Например, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 и (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24 , но 2 ³ к 4 равно 8 ⁴ (или 4096), а 2 к 3 ⁴ - 2 ⁸¹ (или 2 417 851 639 229 258 349 412 352). Без круглых скобок для изменения порядка вычислений, по соглашению порядок идет сверху вниз, а не снизу вверх:

${\displaystyle b^{p^{q}}=b^{(p^{q})}\neq (b^{p})^{q}=b^{(p\cdot q)}=b^{p\cdot q}.}$

Логарифмические тождества [ править ]

Несколько важных формул, иногда называемых логарифмическими тождествами или логарифмическими законами , связывают логарифмы друг с другом. ^[7]

Продукт, частное, мощность и корень [ править ]

Логарифм произведения - это сумма логарифмов умножаемых чисел; логарифм отношения двух чисел - это разность логарифмов. Логарифм p -й степени числа равен p, умноженному на логарифм самого числа; Логарифм корня p -й степени - это логарифм числа, деленного на p . В следующей таблице перечислены эти удостоверения с примерами. Каждое из тождеств может быть получено после подстановки определений логарифма x = b ^{log _b (x)} и / или y = b ^{log _b (y)} в левые части.

	Формула	Пример
товар	${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)}$	${\displaystyle \log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3=5}$
частное	${\displaystyle \log _{b}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}$	${\displaystyle \log _{2}(16)=\log _{2}\!\left({\frac {64}{4}}\right)=\log _{2}(64)-\log _{2}(4)=6-2=4}$
мощность	${\displaystyle \log _{b}(x^{p})=p\log _{b}(x)}$	${\displaystyle \log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6}$
корень	${\displaystyle \log _{b}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}(x)}{p}}}$	${\displaystyle \log _{10}{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1.5}$

Смена базы [ править ]

Логарифм log _b ( x ) может быть вычислен из логарифмов x и b относительно произвольного основания k, используя следующую формулу:

${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{k}(x)}{\log _{k}(b)}}.}$

Типичные научные калькуляторы вычисляют логарифмы с основанием 10 и е . ^[8] Логарифмы по основанию b могут быть определены с использованием любого из этих двух логарифмов по предыдущей формуле:

${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{10}(x)}{\log _{10}(b)}}={\frac {\log _{e}(x)}{\log _{e}(b)}}.}$

Для числа x и его логарифма log _b ( x ) с неизвестным основанием b основание задается следующим образом:

${\displaystyle b=x^{\frac {1}{\log _{b}(x)}}.}$

Тождества гиперболических функций [ править ]

Гиперболические функции удовлетворяют многим тождествам, все они по форме похожи на тригонометрические тождества . Фактически, правило Осборна ^[9] гласит, что можно преобразовать любое тригонометрическое тождество в гиперболическое, полностью расширив его с точки зрения интегральных степеней синусов и косинусов, изменив синус на sinh и косинус на cosh и поменяв знак каждого члена который содержит произведение 2, 6, 10, 14, ... shs. ^[10]

Функция Гудермана дает прямую связь между круговыми функциями и гиперболическими функциями, не использующими комплексные числа.

Логика и универсальная алгебра [ править ]

В математической логике и универсальной алгебре тождество определяется как формула вида « ∀ x ₁ , ..., x _n . S = t », где s и t - термы без других свободных переменных, кроме x ₁ , ..., х _п . Префикс квантора («∀ x ₁ , ..., x _n .») Часто остается неявным, особенно в универсальной алгебре. Например, аксиомы из моноидачасто задаются как тождественный набор

{   ∀ x , y , z . х * ( у * г ) = ( х * у ) * г   ,   ∀ х . х * 1 = х   ,   ∀ х . 1 * х = х   },

или, сокращенно, как

{   x * ( y * z ) = ( x * y ) * z   ,   x * 1 = x   ,   1 * x = x   }.

Некоторые авторы используют название «уравнение», а не «идентичность». ^{[11] [12]}

См. Также [ править ]

• Бухгалтерский учет
• Список математических тождеств

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с идентификацией (математикой) .

• The Encyclopedia of Equation Online энциклопедия математических тождеств (в архиве)
• Коллекция алгебраических тождеств