Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . ( декабрь 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
В математике , равенство является соотношение между двумя величинами или, в более общем плане двух математических выражений , утверждать , что величины имеют то же значение, или что выражения представляют собой один и тот же математический объект . Равенство между A и B записывается A = B , и выраженный равен B . [1] [2] Символ « = » называется « знаком равенства ». Два не равных объекта называются различными .
Например:
- означает, что x и y обозначают один и тот же объект. [3]
- В идентичности означает , что если х представляет собой любое число, то эти два выражения имеют одинаковое значение. Это также можно интерпретировать как утверждение, что две стороны знака равенства представляют одну и ту же функцию .
- тогда и только тогда, когда Это утверждение, которое использует нотацию построителя множеств , означает, что если элементы, удовлетворяющие свойству, такие же, как элементы, удовлетворяющие, тогда два использования нотации построителя множеств определяют один и тот же набор. Это свойство часто выражается как «два набора, которые имеют одинаковые элементы, равны». Это одна из обычных аксиом теории множеств , называемая аксиомой экстенсиональности . [4]
Этимология [ править ]
Этимологию этого слова от латинского aequālis ( «равно», «как», «сопоставимы», «подобные») от aequus ( «равный», «уровень», «ярмарка», «просто»).
Основные свойства [ править ]
- Свойство замещения : для любых величин a и b и любого выражения F ( x ), если a = b , то F ( a ) = F ( b ) (при условии, что обе стороны правильно сформированы ).
Вот некоторые конкретные примеры этого:
- Для любых действительных чисел a , b и c , если a = b , то a + c = b + c (здесь F ( x ) - это x + c );
- Для любых действительных чисел a , b и c , если a = b , то a - c = b - c (здесь F ( x ) - это x - c );
- Для любых действительных чисел a , b и c , если a = b , то ac = bc (здесь F ( x ) - это xc );
- Для любых действительных чисел a , b и c , если a = b и c не равно нулю , то a / c = b / c (здесь F ( x ) - это x / c ).
- Отражающее свойство : Для любой величины a , a = a .
- Симметричное свойство : для любых величин a и b , если a = b , то b = a .
- Переходное свойство : для любых величин a , b и c , если a = b и b = c , то a = c . [5]
Эти три свойства превращают равенство в отношение эквивалентности . Первоначально они были включены в аксиомы Пеано для натуральных чисел. Хотя симметричные и транзитивные свойства часто рассматриваются как фундаментальные, их можно вывести из свойств замещения и рефлексивных свойств.
Равенство как предикат [ править ]
Когда A и B не определены полностью или зависят от некоторых переменных , равенство является утверждением , которое может быть истинным для некоторых значений и ложным для других значений. Равенство - это бинарное отношение (т.е. предикат с двумя аргументами ), которое может производить значение истинности ( ложное или истинное ) из своих аргументов. В компьютерном программировании его вычисление из двух выражений известно как сравнение .
Личности [ править ]
Когда A и B можно рассматривать как функции некоторых переменных, тогда A = B означает, что A и B определяют одну и ту же функцию. Такое равенство функций иногда называют тождеством . Пример: ( x + 1) 2 = x 2 + 2 x + 1. Иногда, но не всегда, тождество записывается с тройной чертой : ( x + 1) 2 ≡ x 2 + 2 x + 1.
Уравнения [ править ]
Уравнение является задачей нахождения значений некоторых переменных, называемого неизвестными , для которых указанного равенство верно. Термин «уравнение» может также относиться к равенству отношения , которое выполняется только для значений переменных , что один заинтересован в. Так , например, х 2 + у 2 = 1 является уравнением из единичной окружности .
Не существует стандартной нотации, которая отличает уравнение от тождества или другого использования отношения равенства: нужно угадывать подходящую интерпретацию из семантики выражений и контекста. Утверждается, что идентичность истинна для всех значений переменных в данной области. «Уравнение» иногда может означать идентичность, но чаще всего оно определяет подмножество пространства переменных как подмножество, в котором уравнение истинно.
Конгруэнции [ править ]
В некоторых случаях можно рассматривать как равные два математических объекта, эквивалентных только по рассматриваемым свойствам. В геометрии, например, две геометрические формы считаются равными, если одну можно перемещать, чтобы она совпадала с другой. Слово конгруэнтность (и связанный с ним символ [6] ) также используется для этого вида равенства.
Примерное равенство [ править ]
Есть некоторые логические системы , в которых нет понятия равенства. Это отражает неразрешимость равенства двух действительных чисел , определяемого формулами, включающими целые числа , основные арифметические операции , логарифм и экспоненциальную функцию . Другими словами, не может быть никакого алгоритма для определения такого равенства.
Бинарное отношение « примерно равно » (обозначается символом [1] ) между действительными числами или другими вещами, даже если более точно определена, не является транзитивным (так как многие небольшие различия могут добавить до что - то большое). Однако, равенство почти всюду является транзитивным.
Проверяемое сомнительное равенство можно обозначить символом.
Связь с эквивалентностью и изоморфизмом [ править ]
Рассматриваемое как отношение, равенство является архетипом более общей концепции отношения эквивалентности на множестве: тех бинарных отношений, которые являются рефлексивными , симметричными и транзитивными . Отношение тождества - это отношение эквивалентности. Наоборот, пусть R - отношение эквивалентности, и обозначим через x R класс эквивалентности x , состоящий из всех элементов z, таких что x R z . Тогда отношение x R y эквивалентно равенству x R = y R. Отсюда следует, что равенство является наилучшим отношением эквивалентности на любом множестве S в том смысле, что это отношение имеет наименьшие классы эквивалентности (каждый класс сводится к одному элементу).
В некоторых контекстах равенство резко отличается от эквивалентности или изоморфизма . [7] Например, можно отличать дроби от рациональных чисел , последние являются классами эквивалентности дробей: дроби и различаются как дроби (как разные строки символов), но они «представляют» одно и то же рациональное число ( одна и та же точка на числовая строка). Это различие дает начало понятию факторного множества .
Аналогично множества
- и
не являются равными наборами - первое состоит из букв, а второе - из чисел - но оба они представляют собой наборы из трех элементов и, следовательно, изоморфны, что означает, что между ними существует взаимно однозначное соответствие . Например
Однако есть и другие варианты изоморфизма, например
и эти множества нельзя идентифицировать, не сделав такого выбора - любое утверждение, которое их идентифицирует, «зависит от выбора идентификации». Это различие между равенством и изоморфизмом имеет фундаментальное значение в теории категорий и является одной из причин развития теории категорий.
Логические определения [ править ]
Лейбниц охарактеризовал понятие равенства следующим образом:
- Для любых x и y , x = y тогда и только тогда , когда для любого предиката P , P ( x ) тогда и только тогда, когда P ( y ).
Равенство в теории множеств [ править ]
Равенство множеств аксиоматизируется в теории множеств двумя разными способами, в зависимости от того, основаны ли аксиомы на языке первого порядка с равенством или без него.
Установите равенство на основе логики первого порядка с помощью равенства [ править ]
В логике первого порядка с равенством аксиома протяженности утверждает, что два набора, содержащие одинаковые элементы, являются одним и тем же набором. [8]
- Аксиома логики: x = y ⇒ ∀ z , ( z ∈ x ⇔ z ∈ y )
- Аксиома логики: x = y ⇒ ∀ z , ( x ∈ z ⇔ y ∈ z )
- Аксиома теории множеств: (∀ z , ( z ∈ x ⇔ z ∈ y )) ⇒ x = y
Включение половины работы в логику первого порядка можно рассматривать как простое удобство, как отмечает Леви.
- «Причина, по которой мы беремся за исчисление предикатов первого порядка с равенством, заключается в удобстве; тем самым мы экономим труд по определению равенства и доказательству всех его свойств; теперь это бремя ложится на логику». [9]
Установите равенство на основе логики первого порядка без равенства [ править ]
В логике первого порядка без равенства, два набора определяются равными , если они содержат одни и те же элементы. Тогда аксиома экстенсиональности утверждает, что два равных множества содержатся в одних и тех же множествах. [10]
- Определение теории множеств: « x = y » означает ∀ z , ( z ∈ x ⇔ z ∈ y )
- Аксиома теории множеств: x = y ⇒ ∀ z , ( x ∈ z ⇔ y ∈ z )
См. Также [ править ]
- Расширяемость
- Теория гомотопического типа
- Неравенство
- Список математических символов
- Логическое равенство
- Пропорциональность (математика)
Заметки [ править ]
- ^ a b «Сборник математических символов» . Математическое хранилище . 1 марта 2020 . Дата обращения 1 сентября 2020 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Равенство» . mathworld.wolfram.com . Дата обращения 1 сентября 2020 .
- ^ Россер 2008 , стр. 163.
- ^ Леви 2002 , стр. 13, 358. Mac Lane & Birkhoff 1999 , стр. 2. Мендельсон 1964 , с. 5.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Равный" . mathworld.wolfram.com . Дата обращения 1 сентября 2020 .
- ^ «Список символов геометрии и тригонометрии» . Математическое хранилище . 17 апреля 2020 . Дата обращения 1 сентября 2020 .
- ^ ( Мазур 2007 )
- Перейти ↑ Kleene 2002 , p. 189. Леви 2002 , стр. 13. Шенфилд 2001 , стр. 239.
- ↑ Леви, 2002 , с. 4.
- Перейти ↑ Mendelson 1964 , pp. 159–161. Россер 2008 , стр. 211–213
Ссылки [ править ]
- Клини, Стивен Коул (2002) [1967]. Математическая логика . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42533-7.
- Леви, Азриэль (2002) [1979]. Основная теория множеств . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42079-0.
- Мак Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гаррет (1999) [1967]. Алгебра (Третье изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество.
- Мазур, Барри (12 июня 2007 г.), Когда одно может равняться другому? (PDF)
- Мендельсон, Эллиотт (1964). Введение в математическую логику . Нью-Йорк: Ван Ностранд Рейнхольд.
- Россер, Джон Баркли (2008) [1953]. Логика для математиков . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publication. ISBN 978-0-486-46898-3.
- Шенфилд, Джозеф Роберт (2001) [1967]. Математическая логика (2-е изд.). А.К. Петерс . ISBN 978-1-56881-135-2.
Внешние ссылки [ править ]
- "Аксиомы равенства" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]