Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Эта статья про раздел математики. Для использования в других целях, см Теория множеств (значения) .
Диаграмма Венна , иллюстрирующая пересечение двух множеств .

Теория множеств - это раздел математической логики , изучающий множества , которые неформально представляют собой совокупности объектов. Хотя любой тип объекта может быть собран в набор, теория множеств чаще всего применяется к объектам, имеющим отношение к математике. Язык теории множеств можно использовать для определения почти всех математических объектов .

Современное исследование теории множеств было начато Георгом Кантором и Ричардом Дедекиндом в 1870-х годах. После открытия парадоксов в наивной теории множеств , таких как парадокс Рассела , в начале двадцатого века были предложены многочисленные системы аксиом , из которых наиболее известными являются аксиомы Цермело – Френкеля , с аксиомой выбора или без нее .

Теория множеств обычно используется в качестве фундаментальной системы математики , особенно в форме теории множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора. [1] Помимо своей основополагающей роли, теория множеств - это самостоятельный раздел математики с активным исследовательским сообществом. Современные исследования в области теории множеств включают разнообразную коллекцию тем, начиная от структуры вещественного числа линии к изучению последовательности из больших кардиналов .

История [ править ]

Георг Кантор .

Математические темы обычно возникают и развиваются в результате взаимодействия между многими исследователями. Теория множеств, однако, была основана на единственной статье 1874 года Георга Кантора : « Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел ». [2] [3]

Начиная с V века до нашей эры, начиная с греческого математика Зенона Элейского на Западе и первых индийских математиков на Востоке, математики боролись с концепцией бесконечности . Особенно примечательны работы Бернара Больцано первой половины 19 века. [4] Современное понимание бесконечности началось в 1870–1874 годах и было мотивировано работой Кантора в области реального анализа . [5] Встреча 1872 года между Кантором и Ричардом Дедекиндом повлияла на мышление Кантора и завершилась его статьей 1874 года.

Работа Кантора изначально поляризовала математиков его времени. В то время как Карл Вейерштрасс и Дедекинд поддерживали Кантора, Леопольд Кронекер , который теперь считается основателем математического конструктивизма , не поддержал . Канторовская теория множеств в конечном итоге получила широкое распространение благодаря полезности канторовских понятий, таких как взаимно-однозначное соответствие между множествами, его доказательство того, что вещественных чисел больше, чем целых, и «бесконечность бесконечностей» (« рай Кантора »). в результате работы силовой установки . Эта полезность теории множеств привела к статье «Mengenlehre», опубликованной в 1898 году Артуром Шенфлисом для Кляйна.энциклопедия.

Следующая волна ажиотажа в теории множеств пришла примерно в 1900 году, когда было обнаружено, что некоторые интерпретации канторовской теории множеств породили несколько противоречий, названных антиномиями или парадоксами . Бертран Рассел и Эрнст Цермело независимо друг от друга обнаружили простейший и наиболее известный парадокс, который теперь называется парадоксом Рассела : рассмотрите «множество всех множеств, которые не являются членами самих себя», что приводит к противоречию, поскольку оно должно быть членом самого себя, а не член самого себя. В 1899 году Кантор сам задал вопрос: «Какое кардинальное число?множества всех множеств? », и получил связанный с этим парадокс. Рассел использовал этот парадокс в качестве темы в своем обзоре континентальной математики 1903 года в своих « Основах математики » .

В 1906 году английские читатели получили книгу « Теория множеств точек» [6] мужа и жены Уильяма Генри Янга и Грейс Чизхолм Янг , опубликованную издательством Cambridge University Press .

Импульс теории множеств был таков, что обсуждение парадоксов не привело к отказу от нее. Работа Цермело в 1908 году и работа Абрахама Френкеля и Торальфа Сколема в 1922 году привели к набору аксиом ZFC , который стал наиболее часто используемым набором аксиом для теории множеств. Работа аналитиков , таких как Анри Лебег , продемонстрировала огромную математическую полезность теории множеств, которая с тех пор стала неотъемлемой частью современной математики. Теория множеств обычно используются в качестве основополагающей системы, хотя в некоторых областях, такие как алгебраическая геометрия и алгебраическая топология - категория теории считается предпочтительным основанием.

Основные понятия и обозначения [ править ]

Основные статьи: Набор (математика) и алгебра множеств

Теория множеств начинается с фундаментальным бинарным отношением между объектом O и множеством A . Если О является членом (или элемент ) из A , обозначение O ∈ A используется. [7] Набор описывается перечислением элементов, разделенных запятыми, или характеристическим свойством его элементов в фигурных скобках {}. [8] Поскольку множества являются объектами, отношение принадлежности также может связывать множества.

Производное бинарное отношение между двумя наборами - это отношение подмножества, также называемое включением множества . Если все члены множества А также являются членами множества B , то является подмножеством из B , обозначаемый ⊆ B . [7] Например, {1, 2} является подмножеством {1, 2, 3} , и поэтому {2}, но {1, 4} - нет. Как следует из этого определения, набор - это подмножество самого себя. Для случаев, когда такая возможность не подходит или имеет смысл отвергнуть, определяется термин « собственное подмножество» . Аназывается собственное подмножество из B , если и только если является подмножеством B , но не равно B . Кроме того, 1, 2 и 3 являются членами (элементами) набора {1, 2, 3} , но не являются его подмножествами; и, в свою очередь, подмножества, такие как {1}, не являются членами набора {1, 2, 3}.

Так же, как арифметика включает двоичные операции над числами , теория множеств использует двоичные операции над наборами. [9] Ниже приводится их неполный список:

  • Объединение множеств A и B , обозначенное A ∪ B , [7] - это набор всех объектов, которые являются членами A или B , или обоих. [10] Например. объединение {1, 2, 3} и {2, 3, 4} - это набор {1, 2, 3, 4} .
  • Пересечение множеств A и B , обозначается A ∩ B , [7] представляет собой совокупность всех объектовкоторые являются членами как A и B . Например, пересечение {1, 2, 3} и {2, 3, 4} - это набор {2, 3} .
  • Установить различие в U и A , обозначим U \ , есть множество всех членов U , которые не являются членами A . Разность множеств {1, 2, 3} \ {2, 3, 4} равна {1} , в то время как, наоборот, разность множеств {2, 3, 4} \ {1, 2, 3} равна {4} . Когдаявляется подмножеством U , множество разность U \ также называется дополнением из А в U . В этом случае, если выбор Uясно из контекста, обозначение A c иногда используется вместо U \ A , особенно если U - универсальное множество, как при изучении диаграмм Венна .
  • Симметричная разность множеств A и B , обозначенная A △ B или A ⊖ B , [7] - это множество всех объектов, которые являются членами ровно одного из A и B (элементы, которые находятся в одном из множеств, но не в обе). Например, для наборов {1, 2, 3} и {2, 3, 4} набор симметричных разностей равен {1, 4} . Это разность множеств объединения и пересечения, ( A ∪ B ) \ ( A ∩ B ) или (А \ В ) ∪ ( В \ А ) .
  • Декартово произведение из A и B , обозначенный × B , [7] является множество, членами которого являются все возможные упорядоченные пары ( , б ) , гдеявляется членом A и B является членом B . Например, декартово произведение {1, 2} и {красный, белый} равно {(1, красный), (1, белый), (2, красный), (2, белый)}.
  • Мощность набор из множества А , обозначается, [7] является множество, членами которого являются все возможные подмножества A . Например, набор степеней {1, 2} равен {{}, {1}, {2}, {1, 2}} .

Некоторые основные наборы, имеющие центральное значение, - это набор натуральных чисел , набор действительных чисел и пустой набор - уникальный набор, не содержащий элементов. Пустое множество также иногда называется множество нуля , [11] , хотя это название неоднозначно и может привести к ряду интерпретаций.

Некоторая онтология [ править ]

Основная статья: вселенная фон Неймана
Начальный сегмент иерархии фон Неймана.

Набор является чистым, если все его члены являются наборами, все члены его членов являются наборами и так далее. Например, набор {{}}, содержащий только пустой набор, является непустым чистым набором. В современной теории множеств принято ограничивать внимание универсумом фон Неймана чистых множеств, и многие системы аксиоматической теории множеств предназначены для аксиоматизации только чистых множеств. У этого ограничения есть много технических преимуществ, и теряется небольшая общность, потому что практически все математические концепции могут быть смоделированы с помощью чистых множеств. Множества во вселенной фон Неймана организованы в совокупную иерархию в зависимости от того, насколько глубоко вложены их элементы, элементы членов и т. Д. Каждому набору в этой иерархии назначается (трансфинитная рекурсия ) порядковый номер , известный как его ранг . Ранг чистого множества определяется как наименьшая верхняя граница всех последователей рангов членов . Например, пустому набору присваивается ранг 0, тогда как набору {{}}, содержащему только пустой набор, назначается ранг 1. Для каждого порядкового номера набор определяется как состоящий из всех чистых множеств с рангом меньше . Обозначается вся вселенная фон Неймана  .

Аксиоматическая теория множеств [ править ]

Теорию элементарных множеств можно изучать неформально и интуитивно, и поэтому ее можно преподавать в начальной школе с использованием диаграмм Венна . Интуитивный подход неявно предполагает, что набор может быть сформирован из класса всех объектов, удовлетворяющих любому конкретному определяющему условию. Это предположение приводит к парадоксам, самый простой и самый известный из которых парадокс Рассела и парадокс Burali-Форти . Аксиоматическая теория множеств была первоначально разработана для того, чтобы избавить теорию множеств от таких парадоксов. [примечание 1]

Наиболее широко изучаемые системы аксиоматической теории множеств подразумевают, что все множества образуют совокупную иерархию . Такие системы бывают двух видов , онтология которых состоит из:

  • Наборы в одиночку . Это включает в себя наиболее распространенных аксиоматической теории множеств, Заболоцкого ermelo- F raenkel теорию множеств с аксиомой C hoice (ZFC). Фрагменты ZFC включают:
    • Теории множеств Цермело , которая заменяет схема преобразования с тем, что из отделения ;
    • Общая теория множеств , небольшой фрагмент теории множеств Цермело, достаточный для аксиом Пеано и конечных множеств ;
    • Теория множеств Крипке – Платека , которая опускает аксиомы бесконечности, степенного набора и выбора и ослабляет схемы аксиом разделения и замены .
  • Наборы и собственные классы . К ним относятся теория множеств фон Неймана-Бернейса-Гёделя , которая имеет такую ​​же силу, как ZFC для теорем только о множествах, а также теорию множеств Морса-Келли и теорию множеств Тарского-Гротендика , обе из которых сильнее ZFC.

Вышеупомянутые системы могут быть изменены, чтобы разрешить элементы , объекты, которые могут быть членами наборов, но сами не являются наборами и не имеют никаких членов.

В новых основах системы NFU (позволяющий праэлементами ) и NF (не хватает их) не основаны на кумулятивной иерархии. NF и NFU включают «набор всего», относительно которого каждый набор имеет дополнение. В этих системах элементы имеют значение, потому что NF, но не NFU, производит множества, для которых аксиома выбора не выполняется.

Системы конструктивной теории множеств , такие как CST, CZF и IZF, включают свои аксиомы множеств в интуиционистскую, а не в классическую логику . Тем не менее, другие системы принимают классическую логику, но имеют нестандартные отношения принадлежности. Они включают в себя грубую теорию множеств и нечеткой теории множеств , в которых значение в атомарной формулы , воплощающей отношение членства является не просто Правда или Ложь . В булевозначных модели из ZFC является связанным с предметом.

Расширение ZFC, называемое теорией внутренних множеств, было предложено Эдвардом Нельсоном в 1977 году.

Приложения [ править ]

Многие математические концепции можно точно определить, используя только теоретико-множественные концепции. Например, такие разнообразные математические структуры, как графы , многообразия , кольца и векторные пространства, могут быть определены как множества, удовлетворяющие различным (аксиоматическим) свойствам. Отношения эквивалентности и порядка повсеместно используются в математике, а теория математических отношений может быть описана в теории множеств.

Теория множеств - также многообещающая основополагающая система для большей части математики. С момента публикации первого тома Principia Mathematica утверждалось, что большинство (или даже все) математические теоремы могут быть получены с использованием удачно разработанного набора аксиом теории множеств, дополненного множеством определений, с использованием логики первого или второго порядка. . Например, свойства натуральных и действительных чисел могут быть получены в рамках теории множеств, поскольку каждая система счисления может быть идентифицирована с набором классов эквивалентности при подходящем отношении эквивалентности , поле которого представляет собой некоторое бесконечное множество .

Теория множеств как основа математического анализа , топологии , абстрактной алгебры и дискретной математики также бесспорна; математики признают (в принципе), что теоремы в этих областях могут быть выведены из соответствующих определений и аксиом теории множеств. Однако остается, что формально подтверждено лишь несколько полных выводов сложных математических теорем из теории множеств, поскольку такие формальные выводы часто намного длиннее, чем обычно представляемые математиками доказательства на естественном языке. Один проект проверки, Metamath , включает написанные человеком, проверенные компьютером выводы более чем 12 000 теорем, начиная с теории множеств ZFC ,Логика первого порядка и логика высказываний .

Направления обучения [ править ]

Теория множеств - важная область математических исследований с множеством взаимосвязанных областей.

Комбинаторная теория множеств [ править ]

Основная статья: Бесконечная комбинаторика

Комбинаторная теория множеств касается расширений конечной комбинаторики на бесконечные множества. Это включает изучение кардинальной арифметики и изучение расширений теоремы Рамсея, таких как теорема Эрдеша – Радо .

Теория описательных множеств [ править ]

Основная статья: дескриптивная теория множеств

Описательная теория множеств - это изучение подмножеств вещественной прямой и, в более общем смысле, подмножеств польских пространств . Он начинается с изучения классов точек в иерархии Бореля и расширяется до изучения более сложных иерархий, таких как проективная иерархия и иерархия Уэджа . Многие свойства борелевских множеств могут быть установлены в ZFC, но для доказательства этих свойств для более сложных множеств требуются дополнительные аксиомы, связанные с определенностью и большими кардиналами.

Область эффективной описательной теории множеств находится между теорией множеств и теорией рекурсии . Он включает в себя изучение классов точек со световыми гранями и тесно связан с теорией гиперарифметики . Во многих случаях результаты классической описательной теории множеств имеют эффективные версии; в некоторых случаях новые результаты получают, сначала доказывая эффективную версию, а затем расширяя («релятивизируя») ее, чтобы сделать ее более широко применимой.

Недавняя область исследований касается борелевских отношений эквивалентности и более сложных определимых отношений эквивалентности . Это имеет важные приложения к изучению инвариантов во многих областях математики.

Теория нечетких множеств [ править ]

Основная статья: теория нечетких множеств

В теории множеств, как определил Кантор и аксиоматизировали Цермело и Френкель, объект либо является членом множества, либо нет. В теории нечетких множеств это условие было ослаблено Лотфи А. Заде, чтобы объект имел степень принадлежности к множеству, число от 0 до 1. Например, степень принадлежности человека к множеству «высоких людей» является более гибким, чем простой ответ да или нет, и может быть действительным числом, например 0,75.

Теория внутренней модели [ править ]

Основная статья: Теория внутренней модели

Внутренняя модель теории множеств Цермело-Френкеля (ZF) является переходным классом , который включает в себя все порядковые и удовлетворяет всем аксиомам ZF. Канонический пример - конструктивная вселенная L, разработанная Геделем. Одна из причин, по которой исследование внутренних моделей представляет интерес, заключается в том, что его можно использовать для доказательства согласованности результатов. Например, можно показать, что независимо от того, удовлетворяет ли модель V из ZF гипотезе континуума или аксиоме выбора , внутренняя модель Lпостроенная внутри исходной модели будет удовлетворять как обобщенную гипотезу континуума, так и аксиому выбора. Таким образом, предположение, что ZF согласован (имеет по крайней мере одну модель), означает, что ZF вместе с этими двумя принципами согласован.

Изучение внутренних моделей является обычным делом при изучении детерминированности и больших кардиналов , особенно при рассмотрении таких аксиом, как аксиома определенности, которые противоречат аксиоме выбора. Даже если фиксированная модель теории множеств удовлетворяет выбранной аксиоме, внутренняя модель может не удовлетворять выбранной аксиоме. Например, существование достаточно больших кардиналов подразумевает, что существует внутренняя модель, удовлетворяющая аксиоме детерминированности (и, следовательно, не удовлетворяющая аксиоме выбора). [12]

Крупные кардиналы [ править ]

Основная статья: Большая кардинальная собственность

Большой кардинал является кардинальным числом с дополнительным свойством. Изучаются многие такие свойства, в том числе недоступные кардиналы , измеримые кардиналы и многие другие. Эти свойства обычно подразумевают, что кардинальное число должно быть очень большим, а существование кардинала с указанным свойством недоказуемо в теории множеств Цермело-Френкеля .

Решительность [ править ]

Основная статья: Решительность

Детерминированность относится к тому факту, что при соответствующих допущениях определенные игры с идеальной информацией для двух игроков определяются с самого начала в том смысле, что один игрок должен иметь выигрышную стратегию. Существование этих стратегий имеет важные последствия для описательной теории множеств, поскольку предположение о том, что определен более широкий класс игр, часто подразумевает, что более широкий класс множеств будет обладать топологическим свойством. Аксиома детерминированности (AD) является важным объектом изучения; хотя это и несовместимо с выбранной аксиомой, AD подразумевает, что все подмножества действительной прямой имеют хорошее поведение (в частности, измеримы и обладают свойством идеального множества). AD можно использовать для доказательства элегантной структуры степеней Вэджа .

Принуждение [ править ]

Основная статья: Принуждение (математика)

Пол Коэн изобрел метод принуждения при поиске модели из ZFC , в которой гипотеза континуума терпит неудачу, или модели ZF , в которой аксиома терпит неудачу. Принуждение присоединяется к некоторой данной модели теории множеств дополнительных наборов, чтобы создать более крупную модель со свойствами, определяемыми (то есть «принудительными») конструкцией и исходной моделью. Например, конструкция Коэна присоединяет дополнительные подмножества натуральных чисел без изменения каких-либо количественных чисел исходной модели. Принуждение также является одним из двух методов доказательства относительной непротиворечивости с помощью финитистических методов.Булевозначные модели .

Кардинальные инварианты [ править ]

Основная статья: Кардинальные характеристики континуума

Кардинальный инвариант является свойством реальной линии , измеренной с помощью кардинального числа. Например, хорошо изученный инвариант - это наименьшая мощность набора скудных наборов вещественных чисел, объединение которых представляет собой целую вещественную прямую. Это инварианты в том смысле, что любые две изоморфные модели теории множеств должны давать одинаковый кардинал для каждого инварианта. Многие кардинальные инварианты были изучены, и отношения между ними часто сложны и связаны с аксиомами теории множеств.

Теоретико-множественная топология [ править ]

Основная статья: Теоретико-множественная топология

Теоретико-множественная топология изучает вопросы общей топологии, которые имеют теоретико-множественный характер или требуют передовых методов теории множеств для своего решения. Многие из этих теорем не зависят от ZFC, и для их доказательства требуются более сильные аксиомы. Известной проблемой является вопрос о нормальном пространстве Мура , вопрос общей топологии, который был предметом интенсивных исследований. В конечном итоге было доказано, что ответ на обычный вопрос о пространстве Мура не зависит от ZFC.

Возражения против теории множеств как основы математики [ править ]

С самого начала теории множеств некоторые математики возражали против ее использования как основы математики . Наиболее частое возражение против теории множеств, которое Кронекер высказал в первые годы существования теории множеств, начинается с конструктивистской точки зрения, согласно которой математика слабо связана с вычислениями. Если эта точка зрения будет подтверждена, то рассмотрение бесконечных множеств, как в наивной, так и в аксиоматической теории множеств, вводит в математику методы и объекты, которые невозможно вычислить даже в принципе. Возможность конструктивизма в качестве замены основы математики была значительно увеличена благодаря влиятельной книге Эрретта Бишопа « Основы конструктивного анализа» .[13]

Другое возражение, выдвинутое Анри Пуанкаре, состоит в том, что определение множеств с использованием схем аксиом спецификации и замены , а также аксиомы множества степеней вводит непредсказуемость , тип округлости в определения математических объектов. Возможности основанной на предикативной математике математики, хотя и меньше, чем у общепринятой теории Цермело-Френкеля, намного больше, чем у конструктивной математики, до такой степени, что Соломон Феферман сказал, что «весь научно применимый анализ может быть разработан [с использованием предикативной методы] ". [14]

Людвиг Витгенштейн философски осудил теорию множеств за ее коннотации к математическому платонизму . [15] Он писал, что «теория множеств ошибочна», поскольку она строится на «бессмыслице» фиктивного символизма, имеет «пагубные идиомы», и что бессмысленно говорить о «всех числах». [16] Витгенштейн отождествлял математику с алгоритмической человеческой дедукцией; [17] потребность в надежном фундаменте математики казалась ему бессмысленной. [18] Более того, поскольку человеческие усилия обязательно конечны, философия Витгенштейна требовала онтологической приверженности радикальному конструктивизму и конечности.. Мета-математические утверждения, которые, по Витгенштейну, включали в себя любое утверждение, количественно оценивающее бесконечные области, и, следовательно, почти вся современная теория множеств, не являются математикой. [19] Немногие современные философы приняли взгляды Витгенштейна после зрелищной ошибки в « Замечаниях об основах математики» : Витгенштейн попытался опровергнуть теоремы Гёделя о неполноте , прочитав только аннотацию. Как отмечали рецензенты Крайзель , Бернейс , Даммит и Гудштейн , многие из его критических замечаний не относились к статье в полной мере. Только недавно такие философы, как Криспин Райтначал реабилитировать аргументы Витгенштейна. [20]

Теоретики категорий предложили теорию топоса в качестве альтернативы традиционной аксиоматической теории множеств. Теория Топоса может интерпретировать различные альтернативы этой теории, такие как конструктивизм , теория конечных множеств и теория вычислимых множеств. [21] [22] Топои также предоставляют естественную среду для принуждения и обсуждения независимости выбора от ZF, а также обеспечивают основу для бессмысленной топологии и пространств Стоуна . [23]

Активное направление исследований - однолистные основы и связанные с ними теории гомотопических типов . В рамках теории гомотопических типов множество можно рассматривать как гомотопический 0-тип с универсальными свойствами множеств, возникающими из индуктивных и рекурсивных свойств высших индуктивных типов . Такие принципы, как аксиома выбора и закон исключенного третьегомогут быть сформулированы способом, соответствующим классической формулировке теории множеств, или, возможно, спектром различных способов, уникальных для теории типов. Некоторые из этих принципов могут оказаться следствием других принципов. Разнообразие формулировок этих аксиоматических принципов позволяет провести подробный анализ формулировок, необходимых для получения различных математических результатов. [24] [25]

Теория множеств в математическом образовании [ править ]

Поскольку теория множеств приобрела популярность в качестве основы современной математики, появилась поддержка идеи введения базовой теории или наивной теории множеств на ранних этапах математического образования .

В США в 1960-х годах эксперимент « Новая математика» был направлен на преподавание базовой теории множеств, среди других абстрактных понятий, учащихся начальных классов, но был встречен большой критикой. Учебные программы по математике в европейских школах следовали этой тенденции и в настоящее время включают предметы на разных уровнях во всех классах.

Теория множеств используется для ознакомления студентов с логическими операторами (НЕ, И, ИЛИ) и семантическим описанием или описанием правил (технически интенсиональное определение [26] ) множеств (например, «месяцы, начинающиеся с буквы А »). Это может быть полезно при изучении компьютерного программирования , поскольку множества и логическая логика являются основными строительными блоками многих языков программирования.

Множества обычно упоминаются при обучении различным типам чисел ( N , Z , R , ...), а также при определении математических функций как отношения между двумя наборами.

См. Также [ править ]

  • Глоссарий теории множеств
  • Класс (теория множеств)
  • Список тем теории множеств
  • Реляционная модель  - заимствует из теории множеств

Примечания [ править ]

  1. ↑ В 1925 году Джон фон Нейман заметил, что «теория множеств в своей первой,« наивной »версии, из-за Кантора, привела к противоречиям. Это хорошо известные антиномии множества всех множеств, которые не содержат самих себя (Рассел ), множества всех трансфинитных порядковых чисел (Бурали-Форти) и множества всех конечно определимых действительных чисел (Ричард) ". Далее он отмечает, что две «тенденции» пытались «реабилитировать» теорию множеств. О первых усилиях, примером которых являются Бертран Рассел , Юлиус Кениг , Герман Вейль и Л.Е.фон Нейман назвал «общий эффект их деятельности ... разрушительным». Что касается аксиоматического метода, используемого второй группой, состоящей из Цермело, Френкеля и Шенфлиса, фон Нейман беспокоился о том, что «мы видим только то, что известные способы вывода, ведущие к антиномиям, терпят неудачу, но кто знает, где нет других?» и он поставил задачу «в духе второй группы» «произвести с помощью конечного числа чисто формальных операций ... все множества, которые мы хотим видеть сформированными», но не допуская антиномий . (Все цитаты из фон Неймана 1925 г. перепечатаны в van Heijenoort, Jean (1967, третье издание 1976 г.), From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 , Harvard University Press, Cambridge MA,ISBN  0-674-32449-8(PBK). Краткий обзор истории, написанный ван Хейенуртом, можно найти в комментариях, предшествующих статье фон Неймана 1925 года.

Ссылки [ править ]

  1. ^ Kunen 1980 , стр. xi: «Теория множеств - основа математики. Все математические концепции определены в терминах примитивных понятий множества и принадлежности. В аксиоматической теории множеств мы формулируем несколько простых аксиом об этих примитивных понятиях в попытке уловить основные», очевидно истинные «теоретико-множественные принципы. Из таких аксиом может быть выведена вся известная математика».
  2. ↑ Cantor, Georg (1874), «Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes Aller reellen algebraischen Zahlen» , Journal für die reine und angewandte Mathematik (на немецком языке), 77 : 258–262, doi : 10.1515 / crll.1874.77.258
  3. ^ Джонсон, Филип (1972), История теории множеств , Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-154-6
  4. ↑ Bolzano, Bernard (1975), Berg, Jan (ed.), Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre , Bernard-Bolzano-Gesamtausgabe, под редакцией Эдуарда Винтера и др., Vol. II, A, 7, Штутгарт, Бад-Каннштатт: Фридрих Фромманн Верлаг, стр. 152, ISBN 3-7728-0466-7
  5. ^ Dauben, Джозеф (1979), Георг Кантор: Его математика и философия Бесконечного , Harvard University Press, стр 30-54,. ISBN 0-674-34871-0.
  6. ^ Янг, Уильям ; Янг, Грейс Чизхолм (1906), Теория множеств точек , Cambridge University Press
  7. ^ a b c d e f g "Исчерпывающий список символов теории множеств" . Математическое хранилище . 2020-04-11 . Проверено 20 августа 2020 .
  8. ^ «Введение в наборы» . www.mathsisfun.com . Проверено 20 августа 2020 .
  9. ^ Колмогоров, АН ; Фомин, С.В. (1970), Введение в реальный анализ (Rev. English ed.), Нью-Йорк: Dover Publications, стр.  2–3 , ISBN 0486612260, OCLC  1527264
  10. ^ "Теория множеств | Основы, примеры и формулы" . Британская энциклопедия . Проверено 20 августа 2020 .
  11. ^ Bagaria, Joan (2020), Залта, Эдвард Н. (ред.), "Теория множеств" , Стэнфорд энциклопедия философии (весна 2020 -е изд.), Метафизика Research Lab Стэнфордского университета , извлекаться 2020-08-20
  12. ^ Jech, Thomas (2003), Теория множеств , Монографии Springer по математике (изд. Третьего тысячелетия), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 642, ISBN 978-3-540-44085-7, Zbl  1007,03002
  13. ^ Епископ, Errett (1967), Основы конструктивного анализа , Нью - Йорк: Academic Press, ISBN 4-87187-714-0
  14. ^ Феферман, Solomon (1998), в свете логики , Нью - Йорк: Oxford University Press, стр 280-283, 293-294,. ISBN 0195080300
  15. ^ Rodych, Виктор (31 января 2018). "Философия математики Витгенштейна" . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии (издание весна 2018 г.).
  16. ^ Витгенштейн, Людвиг (1975), Философские замечания, §129, §174 , Оксфорд: Бэзил Блэквелл, ISBN 0631191305
  17. ^ Rodych 2018 , п.2.1:. «Когда мы доказываем теорему или решить предложение, мы работаем в чисто формальной, синтаксической манере При этом математики, мы не открываем уже существующие истиныкоторые были„там уже не один знающим“( PG 481) - мы изобретаем математику постепенно ». Обратите внимание, однако, что Витгенштейн не отождествляет такую ​​дедукцию с философской логикой ; ср Родыч § 1, пп. 7-12.
  18. ^ Rodych 2018 , §3.4: «Учитываячто математика является„ пестрый методов доказательства“(RFM III, §46), он не требует фундамента (RFM VII, § 16)и это не может быть дано самоочевидной фундамент (PR §160; WVC 34 и 62; RFM IV, §3). Поскольку теория множеств была изобретена, чтобы дать математике основу, в ней, как минимум, нет необходимости ».
  19. ^ Rodych 2018 , §2.2: «Выражение, выражающее количественную оценку в бесконечной области, никогда не является значимым предложением, даже если мы доказали, например, что конкретное число n обладает определенным свойством».
  20. ^ Rodych 2018 , §3.6.
  21. ^ Ферро, Альфредо; Omodeo, Eugenio G .; Шварц, Джейкоб Т. (сентябрь 1980), "Decision Процедура элементарных подъязыков теории множества I. Multi-Level силлогистического и некоторые обобщения." Коммуникация по чистой и прикладной математике , 33 (5): 599-608, DOI : 10.1002 /cpa.3160330503
  22. ^ Кантоне, Доменико; Ферро, Альфредо; Омодео, Эухенио Г. (1989), Теория вычислимых множеств , Международная серия монографий по информатике, Oxford Science Publications, Оксфорд, Великобритания: Clarendon Press , стр.  Xii, 347 , ISBN 0-19-853807-3
  23. ^ Мак-Лейн, Сондерс ; Moerdijk, leke (1992), Пучки в геометрии и логике: первое введение в теорию Топоса , Springer-Verlag, ISBN 9780387977102
  24. ^ теория гомотопического типа в nLab
  25. ^ Теория гомотопического типа: однолистные основы математики . Программа Univalent Foundation. Институт перспективных исследований .
  26. ↑ Франк Руда (6 октября 2011 г.). Чернь Гегеля: Исследование философии права Гегеля . Bloomsbury Publishing. п. 151. ISBN. 978-1-4411-7413-0.

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Девлин, Кейт (1993), Радость множеств (2-е изд.), Springer Verlag, ISBN 0-387-94094-4
  • Феррейрос, Хосе (2007), Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в современной математике , Базель: Биркхойзер, ISBN 978-3-7643-8349-7
  • Джонсон, Филип (1972), История теории множеств , Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-154-6
  • Кунен, Кеннет (1980), Теория множеств: Введение в доказательства независимости , Северная Голландия, ISBN 0-444-85401-0
  • Поттер, Майкл (2004), Теория множеств и ее философия: критическое введение , Oxford University Press
  • Плитка, Мэри (2004), Философия теории множеств: историческое введение в рай Кантора , Dover Publications , ISBN 978-0-486-43520-6
  • Смуллян, Раймонд М .; Фиттинг, Мелвин (2010), теория множеств и проблема континуума , Dover Publications , ISBN 978-0-486-47484-7
  • Монк, Дж. Дональд (1969), Введение в теорию множеств , McGraw-Hill Book Company, ISBN 978-0898740066

Внешние ссылки [ править ]

  • Дэниел Каннингем, статья по теории множеств в Интернет-энциклопедии философии .
  • Хосе Феррейрос, статья «Раннее развитие теории множеств» в [Стэнфордской энциклопедии философии] .
  • Форман, Мэтью , Акихиро Канамори , ред. Справочник по теории множеств. 3 тома, 2010. В каждой главе рассматриваются некоторые аспекты современных исследований в области теории множеств. Не распространяется на установленную теорию элементарных множеств, о которой см. Devlin (1993).
  • "Аксиоматическая теория множеств" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
  • "Теория множеств" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
  • Schoenflies, Артур (1898). Mengenlehre в энциклопедии Кляйна .
  • Электронные книги и библиотечные ресурсы в вашей и других библиотеках по теории множеств
  • Рудин, Вальтер Б. (6 апреля 1990 г.). «Теория множеств: порождение анализа» . Марден Лекция по математике . Университет Висконсин-Милуоки - через YouTube .