Аксиоматическая система

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Март 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике и логике , аксиомой система является любой набор из аксиом , из которых некоторые или все аксиомы могут быть использованы в сочетании с логически вытекают теоремы . Теория является последовательной , относительно-самодостаточной совокупностью знаний , которые , как правило , содержит аксиоматическую систему и все его производные теоремы. ^[1] Полностью описанная аксиоматическая система - это особый вид формальной системы . Формальная теория - это аксиоматическая система (обычно формулируемая в рамках теории моделей).), который описывает набор предложений, замкнутый с точки зрения логической импликации. ^[2] Формальное доказательство является полным исполнением в математическом доказательстве в формальной системе.

Свойства [ править ]

Аксиоматическая система называется непротиворечивой, если в ней нет противоречий . То есть невозможно вывести как утверждение, так и его отрицание из аксиом системы. Последовательность - ключевое требование для большинства аксиоматических систем, поскольку наличие противоречия позволяет доказать любое утверждение ( принцип взрыва ).

В аксиоматической системе аксиома называется независимой, если это не теорема, которую можно вывести из других аксиом системы. Система называется независимой, если каждая из лежащих в ее основе аксиом независима. В отличие от согласованности, независимость не является необходимым требованием для функционирующей аксиоматической системы, хотя обычно ее стремятся минимизировать количество аксиом в системе.

Аксиоматическая система называется полной, если для каждого утверждения либо сама по себе, либо его отрицание выводятся из аксиом системы (эквивалентно, каждое утверждение может быть доказано как истинное или ложное). ^[3]

Относительная согласованность [ править ]

Помимо согласованности, относительная согласованность также является признаком стоящей системы аксиом. Это описывает сценарий, в котором неопределенные термины первой системы аксиом предоставляются определениями из второй, так что аксиомы первой системы являются теоремами второй.

Хороший пример - относительная непротиворечивость абсолютной геометрии по отношению к теории действительной системы счисления . Линии и точки являются неопределенными терминами (также называемыми примитивными понятиями ) в абсолютной геометрии, но им присваиваются значения в теории действительных чисел способом, совместимым с обеими системами аксиом. ^{[ необходима цитата ]}

Модели [ править ]

Модель для аксиоматической системы является четко определенным набором , который присваивает значение для неопределенных терминов , представленных в системе, таким образом , что является правильным с отношениями , определенных в системе. Существование модели бетона доказывает согласованность системы ^{[ спорной - обсудить ]} . Модель называется конкретной, если присвоенные значения являются объектами и отношениями из реального мира ^{[ требуется пояснение ]} , в отличие от абстрактной модели, основанной на других аксиоматических системах.

Модели также можно использовать, чтобы показать независимость аксиомы в системе. Построив допустимую модель для подсистемы без конкретной аксиомы, мы покажем, что опущенная аксиома независима, если ее правильность не обязательно следует из подсистемы.

Две модели называются изоморфными, если между их элементами может быть найдено взаимно однозначное соответствие таким образом, чтобы сохранялась их взаимосвязь. ^[4] Аксиоматическая система, для которой каждая модель изоморфна другой, называется категориальной (иногда категориальной ). Свойство категоричности (категоричность) обеспечивает полноту системы, однако обратное неверно: полнота не гарантирует категоричность (категоричность) системы, поскольку две модели могут различаться по свойствам, которые не могут быть выражены семантикой модели. система.

Пример [ править ]

В качестве примера рассмотрим следующую аксиоматическую систему, основанную на логике первого порядка с дополнительной семантикой следующего счетного бесконечного числа добавленных аксиом (их можно легко формализовать как схему аксиом ):

${\displaystyle \exists x_{1}:\exists x_{2}:\lnot (x_{1}=x_{2})}$ (неформально существует два разных предмета).

${\displaystyle \exists x_{1}:\exists x_{2}:\exists x_{3}:\lnot (x_{1}=x_{2})\land \lnot (x_{1}=x_{3})\land \lnot (x_{2}=x_{3})}$ (неформально существует три разных предмета).

${\displaystyle ...}$

Неформально этот бесконечный набор аксиом утверждает, что существует бесконечно много разных предметов. Однако понятие бесконечного множества не может быть определено в рамках системы, не говоря уже о мощности такого множества.

Система имеет как минимум две разные модели: одна - натуральные числа (изоморфные любому другому счетно бесконечному множеству), а другая - действительные числа (изоморфные любому другому множеству с мощностью континуума ). Фактически, у него есть бесконечное количество моделей, по одной на каждую мощность бесконечного множества. Однако отличительной чертой этих моделей является их мощность - свойство, которое не может быть определено в рамках системы. Таким образом, система не категориальна. Однако можно показать, что он завершен.

Аксиоматический метод [ править ]

Формулировка определений и предложений таким образом, чтобы каждый новый термин мог быть формально исключен ранее введенными терминами, требует примитивных понятий (аксиом), чтобы избежать бесконечного регресса . Этот способ заниматься математикой называется аксиоматическим методом . ^[5]

Распространенное отношение к аксиоматическому методу - логицизм . В своей книге Principia Mathematica , Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел попытались показать , что все математические теории могут быть сведены к некоторому набору аксиом. В более общем плане сведение совокупности предложений к определенному набору аксиом лежит в основе исследовательской программы математика. Это было очень заметно в математике двадцатого века, особенно в предметах, основанных на гомологической алгебре .

Объяснение конкретных аксиом, используемых в теории, может помочь прояснить подходящий уровень абстракции, с которым математик хотел бы работать. Например, математики решили, что кольца не обязательно должны быть коммутативными , что отличалось от первоначальной формулировки Эмми Нётер . Математики решили рассмотреть топологические пространства в более общем смысле без аксиомы разделения , которое Хаусдорф первоначально сформулированная.

В аксиомы Цермело-Френкеля , результат аксиоматического метода применительно к теории множеств, позволило «правильный» постановку задач теории множеств и позволило избежать парадоксов наивной теории множеств . Одной из таких проблем была гипотеза континуума . Теория множеств Цермело – Френкеля с включенной исторически противоречивой аксиомой выбора обычно обозначается аббревиатурой ZFC , где «C» означает «выбор». Многие авторы используют ZF для ссылки на аксиомы теории множеств Цермело – Френкеля с исключенной аксиомой выбора. ^[6] Сегодня ZFC - это стандартная форма аксиоматической теории множеств и как таковая наиболее распространенная основа математики..

История [ править ]

Математические методы до некоторой степени изощренно развились в Древнем Египте, Вавилоне, Индии и Китае, по-видимому, без использования аксиоматического метода.

Евклид из Александрии автором самой ранней из дошедших до нас аксиоматическое изложение евклидовой геометрии и теории чисел . ^[7] Многие системы хрестоматийные были разработаны в девятнадцатом веке, в том числе и неевклидовой геометрии , основ реального анализа , Кантор «s теория множеств , Фреге » работа s на фундаментах и Гильберта «s„новый“использование аксиоматического метода , как инструмент исследования. Например, теория групп была впервые поставлена ​​на аксиоматическую основу в конце того же века. Как только аксиомы были прояснены ( обратные элементыможет потребоваться, например), субъект может продолжить работу автономно, без ссылки на происхождение группы трансформации этих исследований.

Проблемы [ править ]

Не каждый непротиворечивый корпус предложений может быть описан набором аксиом. В теории рекурсии набор аксиом называется рекурсивным, если компьютерная программа может распознать, является ли данное предложение на языке теоремой. Первая теорема Гёделя о неполнотезатем говорит нам, что существуют определенные непротиворечивые тела предложений без рекурсивной аксиоматизации. Как правило, компьютер может распознать аксиомы и логические правила для вывода теорем, и компьютер может распознать, действительно ли доказательство, но определить, существует ли доказательство для утверждения, разрешимо, только «ожидая» доказательства или опровержения. сгенерировано. В результате вы не будете знать, какие утверждения являются теоремами, и аксиоматический метод не сработает. Примером такого набора предложений является теория натуральных чисел , которая лишь частично аксиоматизируется аксиомами Пеано (описанными ниже).

На практике не все доказательства восходят к аксиомам. Иногда даже неясно, к какому набору аксиом обращается доказательство. Например, теоретико-числовое утверждение может быть выражено на языке арифметики (то есть на языке аксиом Пеано), и может быть дано доказательство, которое обращается к топологии или комплексному анализу . Возможно, не сразу станет ясно, можно ли найти другое доказательство, основанное исключительно на аксиомах Пеано.

Любая более или менее произвольно выбранная система аксиом является основой некоторой математической теории, но такая произвольная аксиоматическая система не обязательно будет свободна от противоречий, и даже если это так, она вряд ли прольет свет на что-либо. Философы математики иногда утверждают, что математики выбирают аксиомы «произвольно», но не исключено, что, хотя они могут показаться произвольными, если рассматривать их только с точки зрения канонов дедуктивной логики, такое появление связано с ограничением целей, которые дедуктивная логика логика служит.

Пример: аксиоматизация натуральных чисел Пеано [ править ]

Математическая система натуральных чисел 0, 1, 2, 3, 4, ... основана на аксиоматической системе, впервые разработанной математиком Джузеппе Пеано в 1889 году. Он выбрал аксиомы на языке единственного унарного функционального символа S (сокращение от « преемник »), чтобы набор натуральных чисел был:

• Есть натуральное число 0.
• Каждое натуральное число имеет преемника, обозначаемый Sa .
• Не существует натурального числа, чьим преемником является 0.
• У различных натуральных чисел есть разные последователи: если a ≠ b , то Sa ≠ Sb .
• Если свойством обладает 0, а также наследник каждого натурального числа, которым он обладает, то им обладают все натуральные числа (« аксиома индукции »).

Аксиоматизация [ править ]

В математике , аксиоматизация является процесс принятия тела знания и работать в обратном направлении ее аксиом. ^[8] Это формулировка системы утверждений (т. Е. Аксиом ), которые связывают ряд примитивных терминов - для того, чтобы согласованный корпус предложений мог быть дедуктивно выведен из этих утверждений. После этого доказательство любого предложения, в принципе, должно быть прослежено до этих аксиом.

См. Также [ править ]

В Викицитатнике есть цитаты, связанные с: Аксиоматическая система

• Список логических систем
• Схема аксиомы
• Формализм
• Теорема Гёделя о неполноте
• Система дедукции в стиле Гильберта
• Логика
• Теория множеств Цермело – Френкеля , аксиоматическая система теории множеств и наиболее распространенная на сегодняшний день основа математики.

Ссылки [ править ]

• "Аксиоматический метод" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Эрик В. Вайсштейн, Аксиоматическая система , из MathWorld - веб-ресурс Wolfram. Mathworld.wolfram.com и Answers.com