Принцип взрыва

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Принцип взрыва»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( август 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В классической логике , интуиционистской логике и подобных логических системах принцип взрыва ( латынь : ex falso [sequitur] quodlibet , «из лжи [следует]»; или ex contravemente [sequitur] quodlibet , «из противоречия, что угодно [следует] ] '), или принцип Псевдо-Скота , - это закон, согласно которому любое утверждение может быть доказано из противоречия . ^[1] То есть, как только противоречие было утверждено, любое предложение (включая их отрицания ) может быть выведено из него; это известно как дедуктивный взрыв. ^{[2] [3]}

Доказательство этого принципа было впервые дано французским философом XII века Вильгельмом Суассонским . ^[4] Из-за принципа взрыва существование противоречия ( несогласованности ) в формальной аксиоматической системе губительно; поскольку любое утверждение может быть доказано, оно упрощает понятия истины и ложности. ^[5] Примерно на рубеже 20-го века открытие противоречий, таких как парадокс Рассела в основаниях математики, таким образом, поставило под угрозу всю структуру математики. Математики, такие как Готлоб Фреге , Эрнст Цермело , Абрахам Френкель и Торальф Сколемприложили много усилий для пересмотра теории множеств, чтобы устранить эти противоречия, что привело к созданию современной теории множеств Цермело – Френкеля .

В качестве демонстрации принципа рассмотрим два противоречащих друг другу утверждения - «Все лимоны желтые» и «Не все лимоны желтые» - и предположим, что оба они верны. Если это так, то можно доказать что угодно, например, утверждение, что « единороги существуют», используя следующий аргумент:

1. Мы знаем, что «не все лимоны желтые», как это предполагалось.
2. Мы знаем, что «все лимоны желтые», как это предполагалось.
3. Следовательно, утверждение, состоящее из двух частей: «Все лимоны желтые ИЛИ единороги существуют» также должно быть верным, поскольку верна первая часть.
4. Однако, поскольку мы знаем, что «Не все лимоны желтые» (как это предполагалось), первая часть ложна, и, следовательно, вторая часть должна быть верной, то есть единороги существуют.

В другом решении этих проблем несколько математиков изобрели альтернативные теории логики, названные паранепротиворечивой логикой , которые устраняют принцип взрыва. ^[5] Это позволяет доказать некоторые противоречивые утверждения, не затрагивая другие доказательства.

Символическое представление [ править ]

В символической логике принцип взрыва можно схематично выразить следующим образом:

${\ displaystyle P, \ lnot P \ vdash Q}$ Для любых утверждений P и Q , если P и не- P истинны, то логически следует, что Q истинно.

Доказательство [ править ]

Ниже приводится формальное доказательство принципа с использованием символической логики.

Шаг	Предложение	Вывод
1	${\ displaystyle P}$	Предположение
2	${\ displaystyle \ neg P}$	Предположение
3	${\ Displaystyle P \ lor Q}$	Введение в дизъюнкцию (1)
4	${\ displaystyle Q}$	Дизъюнктивный силлогизм (3,2)

Это всего лишь символическая версия неформального аргумента, приведенного во введении, где «все лимоны желтые» и «единороги существуют». Начнем с предположения, что (1) все лимоны желтые и (2) не все лимоны желтые. Из утверждения, что все лимоны желтые, мы заключаем, что (3) либо все лимоны желтые, либо единороги существуют. Но затем из этого, а также из того факта, что не все лимоны желтые, мы заключаем, что (4) единороги существуют по дизъюнктивному силлогизму.${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$

Семантический аргумент [ править ]

Альтернативный аргумент в пользу этого принципа проистекает из теории моделей . Предложение является семантическим следствием набора предложений только в том случае, если каждая модель является моделью . Однако модели противоречивого множества нет . Тем более не существует модели , не являющейся образцом . Таким образом, каждая модель бессодержательно является образцом . Таким образом , это семантическое следствие .${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle P}$${\ Displaystyle (P \ клин \ lnot P)}$${\ Displaystyle (P \ клин \ lnot P)}$${\ displaystyle Q}$${\ Displaystyle (P \ клин \ lnot P)}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle Q}$${\ Displaystyle (P \ клин \ lnot P)}$

Параконсистентная логика [ править ]

Была разработана паранепротиворечивая логика , допускающая субпротиворечивые операторы формирования. Теоретико-модельные паранепротиворечивые логики часто отрицают предположение об отсутствии модели и разрабатывают семантические системы, в которых такие модели существуют. С другой стороны, они отвергают идею о том, что предложения можно классифицировать как истинные или ложные. Теоретико-доказательная паранепротиворечивая логика обычно отрицает обоснованность одного из шагов, необходимых для получения взрыва, обычно включающего дизъюнктивный силлогизм , введение дизъюнкции и сокращение до абсурда .${\ Displaystyle \ {\ phi, \ lnot \ phi \}}$

Использование [ править ]

Метаматематическое значение принципа взрыва является то , что для любой логической системы , в которой этот принципе имеет место, любые полученные теории , которая доказывает ⊥ (или эквивалентная форму, ) ничего не стоит , потому что все его заявления стали бы теоремами , что делают его невозможно отличить правду от лжи . Иными словами, принцип взрыва является аргументом в пользу закона непротиворечивости в классической логике, потому что без него все утверждения истины становятся бессмысленными. ${\ displaystyle \ phi \ land \ lnot \ phi}$

Снижение стойкости логики без ex falso обсуждается в минимальной логике .

См. Также [ править ]

• Consequentia mirabilis - Закон Клавия
• Диалетеизм - вера в существование истинных противоречий
• Закон исключенной середины - каждое утверждение истинно или ложно
• Закон непротиворечивости - никакое утверждение не может быть одновременно истинным и ложным
• Параконсистентная логика - семейство логик, используемых для разрешения противоречий.
• Парадокс следствия - кажущийся парадокс, вытекающий из принципа взрыва.
• Reductio ad absurdum - заключение, что предложение ложно, потому что оно порождает противоречие
• Тривиализм - вера в то, что все утверждения формы «П и не-П» верны.

Ссылки [ править ]