В математической логике , независимость является недоказуемостью в предложении от других предложений.
Предложение σ является независимым от заданного первого порядка теории Т , если Т ни доказывает , ни опровергает сг; то есть невозможно доказать σ из T , а также невозможно доказать из T, что σ ложно. Иногда σ говорят (как синонимы) неразрешимой из T ; это не то же самое значение " разрешимости ", что и в проблеме принятия решения .
Теория Т является независимым , если каждая аксиома в T не выводима из остальных аксиом в Т . Теория, для которой существует независимый набор аксиом, является независимо аксиоматизируемой .
Примечание об использовании [ править ]
Некоторые авторы говорят, что σ не зависит от T, когда T просто не может доказать σ, и не обязательно утверждают этим, что T не может опровергнуть σ. Эти авторы иногда говорят, что «σ не зависит от T и согласуется с ним », чтобы указать, что T не может ни доказать, ни опровергнуть σ.
Независимость приводит к теории множеств [ править ]
Многие интересные утверждения теории множеств не зависят от теории множеств Цермело – Френкеля (ZF). Известно, что следующие утверждения теории множеств не зависят от ZF в предположении, что ZF непротиворечива:
Следующие утверждения (ни одно из которых не было доказано, ложное) не могут быть доказаны в ZFC (теория множеств Цермело-Френкеля плюс аксиома выбора) как независимые от ZFC при добавленной гипотезе о том, что ZFC непротиворечиво.
- Существование сильно недоступных кардиналов
- Существование крупных кардиналов
- Несуществование Kurepa деревьев
Следующие утверждения несовместимы с аксиомой выбора и, следовательно, с ZFC. Однако они, вероятно, не зависят от ZF в смысле, соответствующем вышесказанному: они не могут быть доказаны в ZF, и немногие теоретики рабочих множеств надеются найти опровержение в ZF. Однако ZF не может доказать, что они независимы от ZF, даже с добавленной гипотезой о том, что ZF непротиворечива.
Приложения к физической теории [ править ]
С 2000 года логическая независимость стала пониматься как имеющая решающее значение в основах физики. [1] [2]
См. Также [ править ]
Заметки [ править ]
- ^ Патерек, Т .; Kofler, J .; Prevedel, R .; Klimek, P .; Aspelmeyer, M .; Цайлингер, А .; Брукнер, Ч. (2010), «Логическая независимость и квантовая случайность», New Journal of Physics , 12 : 013019, arXiv : 0811.4542 , Bibcode : 2010NJPh ... 12a3019P , doi : 10.1088 / 1367-2630 / 12/1/013019
- ^ Секели, Гергей (2013), «Существование сверхсветовых частиц согласуется с кинематикой специальной теории относительности Эйнштейна», Reports on Mathematical Physics , 72 (2): 133–152, arXiv : 1202.5790 , Bibcode : 2013RpMP .. .72..133S , DOI : 10.1016 / S0034-4877 (13) 00021-9
Ссылки [ править ]
- Мендельсон, Эллиотт (1997), Введение в математическую логику (4-е изд.), Лондон: Chapman & Hall , ISBN 978-0-412-80830-2
- Монк, Дж. Дональд (1976), Математическая логика , Тексты для выпускников по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90170-1
- Stabler, Эдвард Рассел (1948), Введение в математическую мысль , Reading, Massachusetts: Addison-Wesley
