Гипотеза континуума

В математике , то гипотеза континуума (сокращенно СН ) гипотеза о возможных размерах бесконечных множеств . Говорится:

Не существует набора, мощность которого строго находится между целыми и действительными числами .

В теории множеств Цермело-Френкеля с аксиомой выбора (ZFC), это эквивалентно следующему уравнению алеф чисел : .${\ Displaystyle 2 ^ {\ Алеф _ {0}} = \ Алеф _ {1}}$

Гипотеза континуума была выдвинута Георгом Кантором в 1878 году, и установление ее истинности или ложности - первая из 23 проблем Гильберта, представленных в 1900 году. Ответ на эту проблему не зависит от ZFC, так что можно добавить либо гипотезу континуума, либо ее отрицание. в качестве аксиомы теории множеств ZFC, причем результирующая теория согласована тогда и только тогда, когда ZFC согласована. Эта независимость была доказана в 1963 году Полом Коэном , дополнив более раннюю работу Курта Гёделя в 1940 году.

Название гипотезы происходит от термина «континуум» для действительных чисел.

История [ править ]

Кантор считал, что гипотеза континуума верна, и в течение многих лет тщетно пытался ее доказать ( Dauben 1990 ). Он стал первым в списке важных открытых вопросов Давида Гильберта, который был представлен на Международном конгрессе математиков в 1900 году в Париже. Теория аксиоматических множеств на тот момент еще не была сформулирована. Курт Гёдель доказал в 1940 г., что отрицание гипотезы континуума, т. Е. Существование множества промежуточной мощности, не может быть доказано в стандартной теории множеств. Вторая половина независимости гипотезы континуума - то есть недоказуемость отсутствия множества промежуточных размеров - была доказана в 1963 году Полом Коэном .

Мощность бесконечных множеств [ править ]

Говорят, что два множества имеют одинаковую мощность или кардинальное число, если между ними существует взаимно однозначное соответствие ( взаимно однозначное соответствие). Интуитивно, если два множества S и T имеют одинаковую мощность, это означает, что можно «спаривать» элементы S с элементами T таким образом, чтобы каждый элемент S был спарен ровно с одним элементом T, и наоборот. наоборот. Следовательно, множество {банан, яблоко, груша} имеет ту же мощность, что и {желтый, красный, зеленый}.

С бесконечными наборами, такими как набор целых или рациональных чисел , существование биекции между двумя наборами становится труднее продемонстрировать. Рациональные числа, по-видимому, образуют контрпример к гипотезе континуума: целые числа образуют собственное подмножество рациональных чисел, которые сами образуют собственное подмножество действительных чисел, поэтому интуитивно понятно, что рациональных чисел больше, чем целых, и больше реальных чисел, чем рациональных чисел. Однако этот интуитивный анализ ошибочен; он не принимает во внимание тот факт, что все три набора бесконечны . Оказывается, рациональные числа на самом деле можно поставить во взаимно однозначное соответствие с целыми числами, и, следовательно, множество рациональных чисел имеет тот же размер ( мощность) как множество целых чисел: оба они являются счетными множествами .

Кантор дал два доказательства того, что мощность множества целых чисел строго меньше множества действительных чисел (см первого несчетность доказательства Кантора и диагональный аргумент Кантора ). Его доказательства, однако, не указывают, насколько мощность целых чисел меньше, чем мощность действительных чисел. Кантор предложил гипотезу континуума как возможное решение этого вопроса.

Гипотеза континуума утверждает, что набор действительных чисел имеет минимально возможную мощность, которая больше, чем мощность набора целых чисел. То есть, каждый набор, S , действительных чисел либо может быть сопоставлен один-к-одному в целых или действительных числа могут быть сопоставлены один-к-одному в S . Как реальные цифры equinumerous с Powerset целых чисел, и континуум - гипотеза утверждает , что не существует множество , для которого .${\ displaystyle | \ mathbb {R} | = 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle \ Алеф _ {0} <| S | <2 ^ {\ Алеф _ {0}}}$

Если принять аксиому выбора , существует наименьшее кардинальное число, большее чем , а гипотеза континуума, в свою очередь, эквивалентна равенству ( Goldrei 1996 ).${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$${\ Displaystyle 2 ^ {\ Алеф _ {0}} = \ Алеф _ {1}}$

Независимость от ZFC [ править ]

Независимость гипотезы континуума (CH) от теории множеств Цермело – Френкеля (ZF) следует из совместной работы Курта Гёделя и Пола Коэна .

Гёдель (1940) показал, что CH не может быть опровергнуто из ZF, даже если принять аксиому выбора (AC) (создание ZFC). Доказательство Гёделя показывает, что как CH, так и AC справедливы в конструктивной вселенной L, внутренней модели теории множеств ZF, предполагающей только аксиомы ZF. Существование внутренней модели ZF, в которой выполняются дополнительные аксиомы, показывает, что дополнительные аксиомы согласованы с ZF при условии, что сама ZF согласована. Последнее условие не может быть доказано в самой ZF из-за теорем Гёделя о неполноте , но широко считается верным и может быть доказано в более сильных теориях множеств.

Коэн ( 1963 , 1964 ) показал, что CH не может быть доказан с помощью аксиом ZFC, завершив общее доказательство независимости. Чтобы доказать свой результат, Коэн разработал метод принуждения , который стал стандартным инструментом в теории множеств. По сути, этот метод начинается с модели ZF, в которой выполняется CH, и создает другую модель, которая содержит больше множеств, чем исходная, таким образом, что CH не выполняется в новой модели. Коэн был награжден медалью Филдса в 1966 году за доказательство.

Только что описанное доказательство независимости показывает, что CH не зависит от ZFC. Дальнейшие исследования показали, что CH не зависит от всех известных больших кардинальных аксиом в контексте ZFC. ( Феферман (1999) ) Более того, было показано, что мощность континуума может быть любой кардинальной, согласованной с теоремой Кенига . Результат Соловея, доказанный вскоре после результата Коэна о независимости гипотезы континуума, показывает, что в любой модели ZFC, если есть кардинал несчетной конфинальности , то существует принудительное расширение, в котором . Однако, согласно теореме Кенига, не соответствует предположить это или или любой кардинал с конфинальностью .${\ displaystyle \ kappa}$${\ Displaystyle 2 ^ {\ Алеф _ {0}} = \ каппа}$${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$${\ displaystyle \ aleph _ {\ omega}}$${\ displaystyle \ aleph _ {\ omega _ {1} + \ omega}}$${\ displaystyle \ omega}$

Гипотеза континуума тесно связана со многими положениями анализа , точечной топологии и теории меры . В результате его независимости многие существенные гипотезы в этих областях впоследствии оказались независимыми.

Независимость от ZFC означает, что доказательство или опровержение CH в ZFC невозможно. Однако отрицательные результаты Гёделя и Коэна не повсеместно признаются как устранение всякого интереса к гипотезе континуума. Проблема Гильберта остается активной темой исследований; см. Woodin ( 2001a , 2001b ) и Koellner (2011a) для обзора текущего состояния исследований.

Гипотеза континуума была не первым утверждением, независимым от ZFC. Непосредственным следствием теоремы Гёделя о неполноте , опубликованной в 1931 году, является то, что существует формальное утверждение (по одному для каждой подходящей схемы нумерации Гёделя ), выражающее согласованность ZFC, которая не зависит от ZFC, при условии, что ZFC согласован. Гипотеза континуума и выбранная аксиома были одними из первых математических утверждений, которые оказались независимыми от теории множеств ZF.

Аргументы за и против гипотезы континуума [ править ]

Гёдель считал, что CH ложна, и что его доказательство того, что CH согласуется с ZFC, только показывает, что аксиомы Цермело – Френкеля неадекватно характеризуют универсум множеств. Гёдель был платоником и поэтому не имел проблем с утверждением истинности или ложности утверждений независимо от их доказуемости. Коэн, хотя и был формалистом ( Goodman 1979 ), также был склонен отвергать CH.

Исторически сложилось так, что математики, которые отдавали предпочтение «богатой» и «большой» вселенной множеств, были против CH, в то время как те, кто предпочитал «аккуратную» и «управляемую» вселенную, поддерживали CH. Параллельные аргументы были сделаны за и против аксиомы конструктивности , из которой следует CH. Совсем недавно Мэтью Форман указал, что онтологический максимализм может фактически использоваться для аргументации в пользу CH, потому что среди моделей, которые имеют одинаковые действительные числа, модели с «большим количеством» наборов действительных чисел имеют больше шансов удовлетворить CH ( Maddy 1988 , с. 500).

Другая точка зрения состоит в том, что концепция множества недостаточно конкретна, чтобы определить, является ли CH истинным или ложным. Эта точка зрения была высказана Сколемом еще в 1923 году , еще до первой теоремы Гёделя о неполноте. Сколем спорил на основе того, что сейчас известно как парадокс Сколема , и позже он был поддержан независимостью CH от аксиом ZFC, поскольку этих аксиом достаточно, чтобы установить элементарные свойства множеств и мощностей. Чтобы возразить против этой точки зрения, было бы достаточно продемонстрировать новые аксиомы, поддерживаемые интуицией, и разрешить СН в том или ином направлении. Хотя аксиома конструктивностидействительно разрешает CH, это обычно не считается интуитивно истинным, как и CH обычно считается ложным ( Kunen 1980 , p. 171).

Были предложены, по крайней мере, две другие аксиомы, которые имеют значение для гипотезы континуума, хотя в настоящее время эти аксиомы не нашли широкого признания в математическом сообществе. В 1986 году Крис Фрейлинг представил аргумент против CH, показав, что отрицание CH эквивалентно аксиоме симметрии Фрейлинга , утверждению, основанному на доводах определенных интуиций о вероятностях . Фрейлинг считает, что эта аксиома «интуитивно верна», но другие не согласны. Сложный аргумент против СН, разработанный У. Хью Вудином , привлекает значительное внимание с 2000 года (Woodin  2001a , 2001b ). Форман (2003) не отвергает аргумент Вудина полностью, но призывает к осторожности.

Соломон Феферман (2011) утверждал, что CH не является определенной математической проблемой. Он предлагает теорию «определенности», используя полуинтуиционистскую подсистему ZF, которая принимает классическую логику для ограниченных кванторов, но использует интуиционистскую логику для неограниченных, и предполагает, что суждение является математически «определенным», если полуинтуиционистская теория может быть доказана . Он предполагает, что CH не определен в соответствии с этим понятием, и предлагает, таким образом, считать, что CH не имеет истинностного значения. Питер Коеллнер (2011b) написал критический комментарий к статье Фефермана.${\ displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle (\ фи \ лор \ нег \ фи)}$

Не Джоэл Дэвид Хамкинс предлагает мультивселенную подход к теории множеств и утверждает , что «континуум гипотеза осела на мультивселенном зрении нашего обширного знания о том , как он ведет себя в мультивселенном, и, как следствие, она больше не может быть решена в порядке раньше надеялись. " ( Хэмкинс 2012 ). В аналогичном ключе Сахарон Шелах написал, что он «не согласен с чисто платонической точкой зрения, что интересные проблемы в теории множеств могут быть решены, что нам просто нужно открыть дополнительную аксиому. Я мысленно представляю, что у нас есть много возможных множеств. теории, все соответствующие ZFC ". ( Шелах 2003 ).

Гипотеза обобщенного континуума [ править ]

Обобщенная гипотеза континуума (ОСИ) утверждает , что если мощностные лежит бесконечное множество в том , что между бесконечным множеством S , и что из множества мощности из S , то она имеет ту же мощность , как либо S или . То есть для любого бесконечного кардинала не существует такого кардинала , что . GCH эквивалентен:${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (S)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (S)}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ kappa}$${\displaystyle \lambda <\kappa <2^{\lambda }}$

${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}=2^{\aleph _{\alpha }}}$для каждого порядкового номера ( Goldrei 1996 ) (иногда называемая гипотезой алеф Кантора ).${\displaystyle \alpha }$

В числе Beth обеспечивает альтернативную запись для этого условия: для каждого порядкового . Гипотеза континуума - частный случай кардинала . GCH был впервые предложен Журденом  ( 1905 ). (О ранней истории GCH см. Moore 2011 ).${\displaystyle \aleph _{\alpha }=\beth _{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha =0}$

Подобно CH, GCH также не зависит от ZFC, но Серпинский доказал, что ZF + GCH подразумевает аксиому выбора (AC) (и, следовательно, отрицание аксиомы детерминированности , AD), поэтому выбор и GCH не независимы в ZF; нет моделей ZF, в которых GCH держится, а AC выходит из строя. Чтобы доказать это, Серпинский показал, что GCH подразумевает, что каждая мощность n меньше некоторого числа алеф и, следовательно, может быть упорядочена. Это делается путем демонстрации того, что n меньше, чем его собственное число Хартогса - при этом используется равенство ; полное доказательство см. в Gillman ( 2002 ).${\displaystyle 2^{\aleph _{0}+n}}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}+n}\,=\,2\cdot \,2^{\aleph _{0}+n}}$

Курт Гёдель показал, что GCH является следствием ZF + V = L (аксиома о том, что каждое множество конструктивно относительно ординалов) и, следовательно, согласуется с ZFC. Поскольку GCH подразумевает CH, модель Коэна, в которой CH выходит из строя, является моделью, в которой GCH не работает, и, таким образом, GCH не может быть доказан с помощью ZFC. В. Б. Истон использовал метод принуждения, разработанный Коэном, для доказательства теоремы Истона , которая показывает, что она совместима с ZFC для произвольно больших кардиналов, которые не могут удовлетворить . Много позже Форман и Вудин доказали, что (в предположении согласованности очень больших кардиналов) оно непротиворечиво и справедливо для каждого бесконечного кардинала . Позже Вудин расширил это, показав последовательность${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$${\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}}$${\displaystyle 2^{\kappa }>\kappa ^{+}}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle 2^{\kappa }=\kappa ^{++}}$для каждого . Карми Меримович ( 2007 ) показал, что для каждого n  ≥ 1, согласно ZFC, для каждого κ, 2 ^κ является n- м преемником κ. С другой стороны, Ласло Патай ( 1930 ) доказал, что если γ - ординал и для каждого бесконечного кардинала κ, 2 ^κ является γ-м преемником κ, то γ конечно.${\displaystyle \kappa }$

Для любых бесконечных множеств А и В, если существует инъекция от А до В , то существует инъекция из подмножеств А до подмножеств В. Таким образом для любых бесконечных кардиналов А и В, . Если A и B конечны, выполняется более сильное неравенство . Из GCH следует, что это строгое более сильное неравенство выполняется как для бесконечных кардиналов, так и для конечных кардиналов.${\displaystyle A<B\to 2^{A}\leq 2^{B}}$${\displaystyle A<B\to 2^{A}<2^{B}}$

Последствия GCH для кардинального возведения в степень [ править ]

Хотя обобщенная гипотеза континуума напрямую относится только к кардинальному возведению в степень с 2 в качестве основы, из нее можно вывести значения кардинального возведения в степень во всех случаях. GCH подразумевает, что ( Hayden & Kennison 1968 ):${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}}$

${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\beta +1}}$когда α ≤ β +1;

${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\alpha }}$когда β +1 < α и , где cf - операция конфинальности ; и${\displaystyle \aleph _{\beta }<\operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })}$

${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\alpha +1}}$когда β +1 < α и .${\displaystyle \aleph _{\beta }\geq \operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })}$

Первое равенство (при α ≤ β +1) следует из:

${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}\leq \aleph _{\beta +1}^{\aleph _{\beta }}=(2^{\aleph _{\beta }})^{\aleph _{\beta }}=2^{\aleph _{\beta }\cdot \aleph _{\beta }}=2^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\beta +1}}$ , пока:

${\displaystyle \aleph _{\beta +1}=2^{\aleph _{\beta }}\leq \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}}$ ;

Третье равенство (при β +1 < α и ) следует из:${\displaystyle \aleph _{\beta }\geq \operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })}$

${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}\geq \aleph _{\alpha }^{\operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })}>\aleph _{\alpha }}$, по теореме Кенига , а:

${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}\leq \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\alpha }}\leq (2^{\aleph _{\alpha }})^{\aleph _{\alpha }}=2^{\aleph _{\alpha }\cdot \aleph _{\alpha }}=2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}}$

Где для каждого γ GCH используется для приравнивания и ; используется как эквивалент аксиомы выбора .${\displaystyle 2^{\aleph _{\gamma }}}$${\displaystyle \aleph _{\gamma +1}}$${\displaystyle \aleph _{\gamma }^{2}=\aleph _{\gamma }}$

См. Также [ править ]

• Число Бет
• Мощность
• Ω-логика
• Проблема Ветцеля

Ссылки [ править ]

• Коэн, Пол Джозеф (2008) [1966]. Теория множеств и гипотеза континуума . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46921-8.
• Коэн, Пол Дж. (15 декабря 1963 г.). «Независимость гипотезы континуума» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 50 (6): 1143–1148. Bibcode : 1963PNAS ... 50.1143C . DOI : 10.1073 / pnas.50.6.1143 . JSTOR  71858 . PMC  221287 . PMID  16578557 .
• Коэн, Пол Дж. (15 января 1964 г.). "Независимость гипотезы континуума, II" . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 51 (1): 105–110. Bibcode : 1964PNAS ... 51..105C . DOI : 10.1073 / pnas.51.1.105 . JSTOR  72252 . PMC  300611 . PMID  16591132 .
• Dales, HG; Вудин, WH (1987). Введение в независимость для аналитиков . Кембридж.
• Даубен, Джозеф Уоррен (1990). Георг Кантор: его математика и философия бесконечности . Издательство Принстонского университета. стр.  134 -137. ISBN 9780691024479.
• Эндертон, Герберт (1977). Элементы теории множеств . Академическая пресса.
• Феферман, Соломон (февраль 1999 г.). «Нужны ли математике новые аксиомы?». Американский математический ежемесячник . 106 (2): 99–111. CiteSeerX  10.1.1.37.295 . DOI : 10.2307 / 2589047 .
• Феферман, Соломон (2011). «Является ли гипотеза континуума определенной математической проблемой?» (PDF) . Изучение границ независимости (цикл лекций в Гарварде) .
• Форман, Мэтт (2003). «Была ли принята гипотеза о континууме?» (PDF) . Проверено 25 февраля 2006 года .
• Фрейлинг, Крис (1986). «Аксиомы симметрии: метание дротиков в линию действительных чисел». Журнал символической логики . Ассоциация символической логики. 51 (1): 190–200. DOI : 10.2307 / 2273955 . JSTOR  2273955 .
• Гёдель, К. (1940). Непротиворечивость гипотезы континуума . Издательство Принстонского университета.
• Гиллман, Леонард (2002). «Два классических сюрприза относительно аксиомы выбора и гипотезы континуума» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 109 . DOI : 10.2307 / 2695444 .
• Гёдель, К .: Что такое проблема континуума Кантора? , перепечатано в сборнике Бенацеррафа и Патнэма « Философия математики» , 2-е изд., Cambridge University Press, 1983. Обзор аргументов Гёделя против CH.
• Голдрей, Дерек (1996). Классическая теория множеств . Чепмен и Холл .
• Гудман, Николас Д. (1979). «Математика как объективная наука». Американский математический ежемесячник . 86 (7): 540–551. DOI : 10.2307 / 2320581 . Руководство по ремонту  0542765 . Этот взгляд часто называют формализмом. Более или менее подобные позиции можно найти у Хаскелла Карри [5], Авраама Робинсона [17] и Пола Коэна [4].
• Хэмкинс, Джоэл Дэвид (2012). "Теоретико-множественная мультивселенная". Rev. Symb. Журнал . 5 (3): 416–449.
• Хайден, Сеймур; Кеннисон, Джон Ф. (1968). Теория множеств Цермело-Френкеля . Колумбус, Огайо: издательство Charles E. Merrill Publishing Company. п. 147, упражнение 76.
• Журден, Филипп EB (1905). «О трансфинитных числах экспоненциальной формы» . Философский журнал . Серия 6. 9 : 42–56. DOI : 10.1080 / 14786440509463254 .
• Кельнер, Питер (2011a). "Гипотеза континуума" (PDF) . Изучение границ независимости (цикл лекций в Гарварде) .
• Коеллнер, Питер (2011b). "Феферман О неопределенности CH" (PDF) .
• Кунен, Кеннет (1980). Теория множеств: введение в доказательства независимости . Амстердам: Северная Голландия. ISBN 978-0-444-85401-8.
• Мэдди, Пенелопа (июнь 1988). «Веря аксиомам, я». Журнал символической логики . Ассоциация символической логики. 53 (2): 481–511. DOI : 10.2307 / 2274520 . JSTOR  2274520 .
• Мартин, Д. (1976). «Первая проблема Гильберта: гипотеза континуума», в « Математические разработки, вытекающие из проблем Гильберта», Труды симпозиумов по чистой математике XXVIII, Ф. Браудер, редактор. Американское математическое общество, 1976, стр. 81–92. ISBN 0-8218-1428-1 
• Макгоф, Нэнси. «Гипотеза континуума» .
• Меримович, Карми (2007). «Степенная функция с фиксированной конечной щелью всюду». Журнал символической логики . 72 (2): 361–417. arXiv : математика / 0005179 . DOI : 10.2178 / JSL / 1185803615 . Руководство по ремонту  2320282 .
• Мур, Грегори Х. (2011). «Ранняя история гипотезы обобщенного континуума: 1878–1938». Вестник символической логики . 17 (4): 489–532. DOI : 10.2178 / BSL / 1318855631 . Руководство по ремонту  2896574 .
• Шелах, Сахарон (2003). «Логические мечты». Бык. Амер. Математика. Soc. (NS) . 40 (2): 203–228. arXiv : математика / 0211398 . DOI : 10,1090 / s0273-0979-03-00981-9 .
• Вудин, В. Хью (2001a). "Гипотеза континуума, часть I" (PDF) . Уведомления AMS . 48 (6): 567–576.
• Вудин, У. Хью (2001b). "Гипотеза континуума, часть II" (PDF) . Уведомления AMS . 48 (7): 681–690.

Немецкая литература

• Кантор, Георг (1878). "Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre" . Журнал für die Reine und Angewandte Mathematik . 84 (84): 242–258. DOI : 10,1515 / crll.1878.84.242 .
• Патай, Л. (1930). "Untersuchungen über die-reihe". Mathematische und naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn . 37 : 127–142.

Источники [ править ]

• Эта статья включает материал из гипотезы Обобщенного континуума на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License . Архивировано 8 февраля 2017 года в Wayback Machine.

Внешние ссылки [ править ]

• Судзик, Мэтью и Вайсштейн, Эрик В. "Гипотеза континуума" . MathWorld .