Число Алеф

Алеф-ноль, алеф-ноль или алеф-ноль, наименьшее бесконечное кардинальное число

В математике , особенно в теории множеств , числа алеф - это последовательность чисел, используемая для представления мощности (или размера) бесконечных множеств, которые могут быть хорошо упорядочены . Они были введены математиком Георгом Кантором ^[1] и названы в честь символа, который он использовал для их обозначения, еврейской буквы алеф ( ). ^{[2] [3]}${\ displaystyle \ aleph}$

(Хотя в старых книгах по математике буква «алеф» часто случайно печатается в перевернутом виде ^{[nb 1]} отчасти из-за того, что матрица монотипии для алеф была ошибочно построена неправильно). ^[4]

Мощность натуральных чисел равна (читайте aleph-naught или aleph-zero ; иногда также используется термин aleph-null ), следующая большая мощность хорошо упорядочиваемого набора - aleph-one , затем и так далее. Продолжая таким образом, можно определить кардинальное число для каждого порядкового числа , как описано ниже.${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$${\ displaystyle \ aleph _ {2}}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ alpha}$

Понятие и обозначения обусловлены Georg Cantor , ^[5] , который определил понятие мощности и понял , что бесконечные множества могут иметь разные значения мощности .

Числа алефов отличаются от бесконечности ( ), обычно встречающейся в алгебре и исчислении, тем, что алефы измеряют размеры множеств, в то время как бесконечность обычно определяется либо как крайний предел линии действительного числа (применяется к функции или последовательности, которая " расходится до бесконечности »или« неограниченно возрастает »), или как крайняя точка расширенной линии действительных чисел .${\ displaystyle \ infty}$

Алеф-ничто [ править ]

${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$(aleph-naught, также aleph-zero или aleph-null) - мощность множества всех натуральных чисел и является бесконечным кардиналом . Множество всех конечных ординалов , называемых или (где - строчная греческая буква омега ), имеет мощность . Множество имеет мощность тогда и только тогда, когда оно счетно бесконечно , то есть существует взаимно однозначное соответствие между ним и натуральными числами. Примеры таких наборов:${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega _ {0}}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

• набор всех целых чисел ,
• любое бесконечное подмножество целых чисел, такое как набор всех квадратных чисел или набор всех простых чисел ,
• набор всех рациональных чисел ,
• множество всех конструктивных чисел (в геометрическом смысле),
• набор всех алгебраических чисел ,
• множество всех вычислимых чисел ,
• набор всех двоичных строк конечной длины, и
• множество всех конечных подмножеств любого данного счетно бесконечного множества.

Эти бесконечные порядковые: , , , , и являются одними из счетных множеств. ^[6] Например, последовательность (с порядком ω · 2) всех положительных нечетных целых чисел, за которыми следуют все положительные четные целые числа${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega +1}$${\ displaystyle \ omega \ cdot 2}$${\ displaystyle \ omega ^ {2}}$${\ displaystyle \ omega ^ {\ omega}}$ ε 0 {\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}

${\ displaystyle \ {1,3,5,7,9, ..., 2,4,6,8,10, ... \}}$

является упорядочением множества (с мощностью ) натуральных чисел.${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

Если выполняется аксиома счетного выбора (более слабая версия аксиомы выбора ), то она меньше любого другого бесконечного кардинала.${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

Алеф-он [ править ]

${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$- мощность множества всех счетных порядковых чисел , называемых или иногда . Это само по себе является порядковым числом больше всех счетных единиц, так что это несчетное множество . Следовательно, отличается от . Из определения следует (в ZF, теории множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора), что никакое кардинальное число не находится между и . Если использовать аксиому выбора , можно дополнительно доказать, что класс кардинальных чисел полностью упорядочен и, следовательно,${\ displaystyle \ omega _ {1}}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ omega _ {1}}$${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$- второе по величине бесконечное кардинальное число. Используя аксиому выбора, можно показать одно из наиболее полезных свойств множества : любое счетное подмножество имеет верхнюю границу в (Это следует из того факта, что объединение счетного числа счетных множеств само является счетным - одним из наиболее распространенные применения аксиомы выбора.) Этот факт аналогичен ситуации в : каждый конечный набор натуральных чисел имеет максимум, который также является натуральным числом, и конечные объединения конечных наборов конечны.${\ displaystyle \ omega _ {1}}$${\ displaystyle \ omega _ {1}}$${\ displaystyle \ omega _ {1}.}$${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

${\ displaystyle \ omega _ {1}}$на самом деле полезная концепция, хотя и звучит несколько экзотично. Пример приложения "закрывается" по отношению к счетным операциям; например, попытка явно описать -алгебру, порожденную произвольным набором подмножеств (см., например, иерархию Бореля ). Это сложнее, чем большинство явных описаний «генерации» в алгебре ( векторные пространства , группы и т. Д.), Потому что в этих случаях нам нужно закрыть только относительно конечных операций - сумм, произведений и т. Д. Процесс включает определение для каждого счетного ординала с помощью трансфинитной индукции набора путем «добавления» всех возможных счетных объединений и дополнений и взятия объединения всего этого по всему . σ {\displaystyle \sigma } ${\displaystyle \omega _{1}}$

Каждое несчетное коаналитическое подмножество польского пространства имеет мощность или . ^[7]${\displaystyle X}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$

Гипотеза континуума [ править ]

Мощность множества действительных чисел ( мощность континуума ) является . Невозможно определить с помощью ZFC ( теория множеств Цермело – Френкеля с выбранной аксиомой ), где это число точно соответствует иерархии чисел алеф, но из ZFC следует, что гипотеза континуума, CH , эквивалентна тождеству${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$

${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$ ^[8]

СН утверждает, что не существует множества, мощность которого строго находится между целыми и действительными числами. ^[9] CH не зависит от ZFC: его нельзя ни доказать, ни опровергнуть в контексте этой системы аксиом (при условии, что ZFC непротиворечива ). То, что CH согласуется с ZFC, было продемонстрировано Куртом Гёделем в 1940 году, когда он показал, что его отрицание не является теоремой ZFC. То, что она не зависит от ZFC, было продемонстрировано Полом Коэном в 1963 году, когда он показал, наоборот, что сама CH не является теоремой ZFC - с помощью (тогда нового) метода принуждения . ^[8]

Алеф-омега [ править ]

Алеф-омега - это

${\displaystyle \aleph _{\omega }=\sup\{\aleph _{n}:n\in \omega \}=\sup\{\aleph _{n}:n\in \left\{\,0,1,2,\dots \,\right\}\,\}}$

где наименьший бесконечный ординал обозначен ω. То есть кардинальное число - это наименьшая верхняя граница${\displaystyle \aleph _{\omega }}$

${\displaystyle \left\{\,\aleph _{n}:n\in \left\{\,0,1,2,\dots \,\right\}\,\right\}}$.

${\displaystyle \aleph _{\omega }}$является первым несчетным кардинальным числом, которое в рамках теории множеств Цермело – Френкеля может быть продемонстрировано, что оно не равно мощности множества всех действительных чисел ; для любого положительного целого числа n мы можем последовательно предполагать это , и, более того, можно предположить, что оно настолько велико, насколько нам нравится. Мы только вынуждены избегать установки его для определенных специальных кардиналов с конфинальностью , что означает, что существует неограниченная функция от до него (см . Теорему Истона ).${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{n}}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$

Алеф - для общего ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$[ править ]

Чтобы определить для произвольного порядкового числа , мы должны определить последующую кардинальную операцию , которая присваивает любому кардинальному числу следующий больший хорошо упорядоченный кардинал (если выполняется аксиома выбора , это следующий больший кардинал).${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho ^{+}}$

Затем мы можем определить числа алеф следующим образом:

${\displaystyle \aleph _{0}=\omega }$

${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}=\aleph _{\alpha }^{+}}$

и X, бесконечный предел порядковый ,

${\displaystyle \aleph _{\lambda }=\bigcup _{\beta <\lambda }\aleph _{\beta }.}$

Α-й бесконечные начальные порядковым записываются . Записана его мощность . В ZFC функция алеф - это биекция порядковых чисел в бесконечные кардиналы. ^[10]${\displaystyle \omega _{\alpha }}$${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ ${\displaystyle \aleph }$

Неподвижные точки омеги [ править ]

Для любого ординала α имеем

${\displaystyle \alpha \leq \omega _{\alpha }.}$

Во многих случаях строго больше, чем α. Например, для любого последующего ординала α это верно. Однако есть некоторые предельные ординалы, которые являются неподвижными точками омега-функции из -за леммы о неподвижной точке для нормальных функций . Первый из них - это предел последовательности${\displaystyle \omega _{\alpha }}$

${\displaystyle \omega ,\ \omega _{\omega },\ \omega _{\omega _{\omega }},\ \ldots .}$

Любой слабо недоступный кардинал также является фиксированной точкой функции алеф. ^[11] Это можно отобразить в ZFC следующим образом. Допустим , это слабодоступный кардинал. Если бы был порядковый преемник , то он был бы кардиналом-преемником и, следовательно, не был бы слабо недоступным. Если бы предельный порядковый номер был меньше чем , то его конфинальность (и, следовательно, конфинальность ) была бы меньше, и поэтому не была бы регулярной и, следовательно, не была бы слабо недоступной. Таким образом и, следовательно, что делает его неподвижной точкой.${\displaystyle \kappa =\aleph _{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \aleph _{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \aleph _{\lambda }}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \lambda \geq \kappa }$${\displaystyle \lambda =\kappa }$

Роль аксиомы выбора [ править ]

Мощность любого бесконечного порядкового числа - это число алеф. Каждый алеф - это мощность некоторого ординала. Наименьшее из них - его начальный порядковый номер . Любой набор, мощность которого является алефом, равнозначен порядковому номеру и, следовательно, хорошо упорядочен .

Каждое конечное множество хорошо упорядочивается, но не имеет алеф в качестве его мощности.

Предположение, что мощность каждого бесконечного множества является алеф-числом, эквивалентно над ZF существованию хорошего упорядочения каждого набора, что, в свою очередь, эквивалентно выбранной аксиоме . Теория множеств ZFC, которая включает аксиому выбора, подразумевает, что каждое бесконечное множество имеет число алеф в качестве его мощности (т.е. равнозначно своему начальному порядковому номеру), и, таким образом, начальные порядковые числа чисел алефа служат классом представителей для всех возможные бесконечные кардинальные числа.

Когда мощность изучается в ZF без аксиомы выбора, уже невозможно доказать, что каждое бесконечное множество имеет некоторое число алеф в качестве мощности; множества, мощность которых является алеф-числом, - это в точности бесконечные множества, которые можно упорядочить. Метод уловки Скотта иногда используется как альтернативный способ построения представителей для количественных чисел в установке ZF. Например, можно определить карту ( S ) как набор множеств с той же мощностью, что и S, минимально возможного ранга. Это имеет свойство card ( S ) = card ( T ) тогда и только тогда, когда S и T имеют одинаковую мощность. (Установленная карта ( S) не имеет той же мощности, что и S, в общем, но все его элементы имеют.)

См. Также [ править ]

• Число Бет
• Функция Гимеля
• Обычный кардинал
• Трансфинитное число
• Порядковый номер

Заметки [ править ]

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

• Серпинский, Вацлав (1958), Кардинальные и порядковые номера , Polska Akademia Nauk Monografie Matematyczne, 34 , Варшава: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, MR  0095787

Внешние ссылки [ править ]

• "Алеф-ноль" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Алеф-0» . MathWorld .