В математике , то реальная линия , или реальный номер строки является строка , чьи точки являются вещественными числами . То есть, реальная линия является множество R всех действительных чисел, рассматривать как геометрическое пространство , а именно евклидово пространства в размерности один. Его можно рассматривать как векторное пространство (или аффинное пространство ), метрическое пространство , топологическое пространство , пространство меры или линейный континуум .
Как и набор действительных чисел, реальная линия обычно обозначается символом R (или, альтернативно,, буква « R » жирным шрифтом ). Однако иногда его обозначают R 1 , чтобы подчеркнуть его роль как первого евклидова пространства.
В этой статье рассматриваются аспекты R как геометрического пространства в топологии , геометрии и реальном анализе . Действительные числа также играют важную роль в алгебре как поле , но в этом контексте R редко называют линией. Для получения дополнительной информации о R во всех его проявлениях см. Действительное число .
Как линейный континуум
Реальная линия представляет собой линейный континуум при стандартном порядке < . В частности, реальная прямая линейно упорядочена по < , и этот порядок является плотным и имеет свойство наименьшей верхней границы .
В дополнение к указанным выше свойствам реальная линия не имеет максимального или минимального элемента . Он также имеет счетное плотное подмножество , а именно множество рациональных чисел . Это теорема, что любой линейный континуум со счетным плотным подмножеством и без максимального или минимального элемента изоморфен по порядку вещественной прямой.
Реальная линия также удовлетворяет счетное условию цепи : каждый набор взаимно пересекающихся , непустых открытых интервалов в R счетно. В теории порядка , известный Суслин проблема задает каждый линейный континуум , удовлетворяющий условию счетной цепи , которая не имеет максимальную или минимальный элемента , является ли обязательно порядком-изоморфной R . Было показано, что это утверждение не зависит от стандартной аксиоматической системы теории множеств, известной как ZFC .
Как метрическое пространство
Реальная линия образует метрическое пространство с функцией расстояния, заданной абсолютной разностью:
Метрический тензор явно 1-мерной евклидовой метрикой . Так как п - мерное евклидово метрика может быть представлена в матричной форме в качестве ˝n˝ матрицы с размерностью п единичной матрицы, метрика на вещественном прямом, просто матрица 1-на-1 идентичность, то есть 1.
Если р ∈ R и ε > 0 , то ε - шар в R с центром в точке р просто открытый интервал ( р - ε , р + ε ) .
Эта реальная линия имеет несколько важных свойств как метрическое пространство:
- Реальная прямая - это полное метрическое пространство в том смысле, что любая последовательность точек Коши сходится.
- Вещественная линия линейно связана и является одним из простейших примеров геодезического метрического пространства .
- Хаусдорфову вещественной прямой равен единице.
Как топологическое пространство
Реальная линия имеет стандартную топологию , которую можно ввести двумя разными эквивалентными способами. Во-первых, поскольку действительные числа полностью упорядочены , они несут топологию порядка . Во-вторых, действительные числа наследуют метрическую топологию от метрики, определенной выше. Порядковая топология и метрическая топология на R одинаковы. Как топологическое пространство вещественная прямая гомеоморфна открытому интервалу (0, 1) .
Реальная линия тривиальная топологическое многообразие в размерности 1 . С точностью до гомеоморфизма это одно из двух различных связных 1-многообразий без границы , второе - окружность . На нем также есть стандартная дифференцируемая структура, что делает его дифференцируемым многообразием . (С точностью до диффеоморфизма существует только одна дифференцируемая структура, поддерживаемая топологическим пространством.)
Вещественная прямая - это локально компактное пространство и паракомпактное пространство , а также счётное и нормальное пространство . Он также подключен по пути и, следовательно, также подключен , хотя его можно отключить, удалив любую точку. Вещественная прямая также стягиваема , и поэтому все ее гомотопические группы и редуцированные группы гомологий равны нулю.
Как локально компактное пространство реальная линия может быть компактифицирована несколькими способами. Одна точки компактификация из R представляет собой круг (а именно, вещественная проективная линию ), и дополнительный пункт можно рассматривать как беззнаковую бесконечность. В качестве альтернативы вещественная прямая имеет два конца , и результирующая компактификация концов - это расширенная вещественная прямая [−∞, + ∞] . Также существует компактификация Стоуна – Чеха реальной прямой, которая включает добавление бесконечного числа дополнительных точек.
В некоторых случаях полезно размещать другие топологии на множестве действительных чисел, например топологию нижнего предела или топологию Зариски . Для действительных чисел последнее совпадает с топологией конечного дополнения .
Как векторное пространство
Действительная линия - это векторное пространство над полем R действительных чисел (то есть над собой) размерности 1 . Он имеет обычное умножение как внутренний продукт , что делает его евклидовым векторным пространством . Норма , определяемая это внутреннее произведение является просто абсолютным значением .
Как мера пространства
Действительная прямая несет каноническую меру , а именно меру Лебега . Эта мера может быть определена как завершение в виде борелевской меры , определенной на R , где мера любого интервала является длиной интервала.
Мера Лебега на вещественной прямой - один из простейших примеров меры Хаара на локально компактной группе .
В реальных алгебрах
Реальная линия представляет собой одномерное подпространство в А вещественной алгебре где R ⊂ . [ требуется пояснение ] Например, в комплексной плоскости z = x + i y подпространство { z : y = 0} является вещественной линией. Аналогично алгебра кватернионов
- q = w + x i + y j + z k
имеет вещественную прямую в подпространстве { q : x = y = z = 0}.
Когда действительная алгебра представляет собой прямую сумму то сопряжение на A вводится отображениемиз подпространства V . Таким образом, реальная линия состоит из неподвижных точек сопряжения.
Смотрите также
- Аксиома Кантора – Дедекинда
- Гиперреальная числовая линия
- Воображаемая линия (математика)
- Линия (геометрия)
- Проективно расширенная действительная линия
- Реальная проекционная линия
Рекомендации
- Мункрес, Джеймс (1999). Топология (2-е изд.). Прентис Холл . ISBN 0-13-181629-2.
- Рудин, Вальтер (1966). Реальный и комплексный анализ . Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-100276-6.