Линейный континуум

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Найти источники: «Линейный континуум» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( май 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В математической области теории порядка , континуум или линейный континуум является обобщением реальной линии .

Формально линейный континуум - это линейно упорядоченное множество S из более чем одного элемента, которое плотно упорядочено , т. Е. Между любыми двумя различными элементами есть еще один (и, следовательно, бесконечно много других), и полное , т. Е. В котором «отсутствуют пробелы» в в том смысле, что каждое непустое подмножество с верхней границей имеет точную верхнюю границу . Более символично:

S имеет свойство наименьшей верхней границы , и
Для каждого x в S и каждого y в S с x < y существует z в S такое, что x < z < y

Множество имеет верхнюю грань свойства, если каждое непустое подмножество множества , что ограничен сверху имеет верхнюю грань. Линейные континуумами особенно важны в области топологии , где они могут быть использованы для проверки ли упорядоченное множество с учетом топологии порядка будет подключен или нет. ^[1]

В отличие от стандартной вещественной прямой, линейный континуум может быть ограничен с любой стороны: например, любой (реальный) отрезок является линейным континуумом.

Примеры [ править ]

Упорядоченное множество действительных чисел , R , с его обычными порядка представляет собой линейный континуум, и является архетипическим примером. Свойство б) тривиально, а свойство а) просто переформулировка аксиомы полноты .

Примеры в дополнение к реальным числам:

наборы, которые по порядку изоморфны множеству действительных чисел, например, реальный открытый интервал , и то же самое с полуоткрытыми промежутками (обратите внимание, что это не промежутки в вышеупомянутом смысле)
аффинно расширенная система действительного числа и порядок изоморфных множества, например, единичный интервал
набор действительных чисел с добавлением только + ∞ или только −∞, а также наборы, изоморфные по порядку, например, полуоткрытый интервал
длинная линия
Множество I × I (где × обозначает декартово произведение, а I = [0, 1]) в лексикографическом порядке является линейным континуумом. Свойство б) тривиально. Чтобы проверить свойство а), определим отображение π ₁ : I × I → I следующим образом:

π ₁ ( х , у ) = х

Эта карта называется картой проекции . Отображение проекции непрерывно (относительно топологии произведения на I × I ) и сюръективно . Пусть A - непустое ограниченное сверху подмножество I × I. Рассмотрим π ₁ ( A ). Поскольку A ограничена сверху, π ₁ ( A ) также должна быть ограничена сверху. Поскольку π ₁ ( A ) является подмножеством I , оно должно иметь точную верхнюю границу (поскольку Iимеет свойство наименьшей верхней границы). Следовательно, мы можем считать b точной верхней границей π ₁ ( A ). Если б принадлежит тг ₁ ( А ), то б × I пересекутся А на скажем б × с для некоторого с ∈ I . Обратите внимание , что , поскольку б × I имеет тот же тип заказа в I , множество ( б × I ) ∩ действительно будет иметь минимум верхней границыб × с» , который желаемое верхней границей для A .

Если b не принадлежит π ₁ ( A ), то b × 0 - наименьшая верхняя граница A , поскольку если d < b и d × e - верхняя граница A , то d будет меньшей верхней границей π ₁ ( A ), чем b , что противоречит единственному свойству b .

Не примеры [ править ]

Упорядоченное множество Q из рациональных чисел не является линейным континуум. Даже если свойство b) выполняется, свойство a) - нет. Рассмотрим подмножество

A = { x ∈ Q | х < √ 2 }

множества рациональных чисел. Несмотря на то, что это множество ограничено сверху любым рациональным числом, большим, чем √ 2 (например, 3), оно не имеет точной верхней границы в рациональных числах. ^[2] (В частности, для любой рациональной верхней границы r > √ 2 , r / 2 + 1 / r является более близкой рациональной верхней границей; подробности в Методах вычисления квадратных корней § Вавилонский метод .)

Упорядоченный набор неотрицательных целых чисел с его обычным порядком не является линейным континуумом. Свойство а) выполняются (пусть подмножество множества неотрицательных целых чисел, которая ограничена сверху. Тогда является конечным , так что имеет максимум, и этот максимум является искомое верхней границы A ). С другой стороны, свойство b) - нет. В самом деле, 5 является неотрицательным целым числом, как и 6, но не существует неотрицательного целого числа, лежащего строго между ними.
Упорядоченный набор A ненулевых действительных чисел

А = (−∞, 0) ∪ (0, + ∞)

не является линейным континуумом. Свойство б) тривиально выполняется. Однако, если B - это набор отрицательных действительных чисел:

В = (−∞, 0)

Затем B представляет собой подмножество A , которое ограничено сверху (на любой элемент из А больше 0; к примеру 1), но не имеет верхнюю грань в B . Обратите внимание , что 0 не связан на B , поскольку 0 не является элементом А .

Обозначим через Z _- множество отрицательных целых чисел и пусть A = (0, 5) ∪ (5, + ∞). Позволять

S = Z _- ∪ .

Тогда S не удовлетворяет ни свойству а), ни свойству б). Доказательство аналогично предыдущим примерам.

Топологические свойства [ править ]

Хотя линейные континуумы важны при изучении упорядоченных множеств , у них есть приложения в математической области топологии . На самом деле, мы докажем , что упорядоченное множество в топологии порядка будет подключен , если и только если оно является линейным континуумом. Мы докажем одно утверждение, а другое оставим в качестве упражнения. (Мункрес объясняет вторую часть доказательства в ^[3] )

Теорема

Пусть X - упорядоченное множество в порядковой топологии. Если X связно, то X - линейный континуум.

Доказательство:

Предположим, что x и y - элементы X с x < y . Если не существует такого z в X , что x < z < y , рассмотрим множества:

А = (−∞, у )

В = ( х , + ∞)

Эти множества не пересекаются (если a находится в A , a < y, так что если a находится в B , a > x и a < y, что невозможно по предположению), непустыми ( x находится в A, а y находится в B ) и открытыми (в топологии порядка), и их объединение является X . Это противоречит связности X .

Теперь докажем свойство наименьшей верхней оценки. Если С является подмножество X , которая не ограничена сверху и не минимум до верхней границы, пусть D объединение всех открытых лучей вида ( Ь , + ∞) , где Ь верхнюю границы для C . Тогда D открыта (так как оно является объединением открытых множеств), и закрытым (если не в D , то < Ь для всех верхних граней Ь из С , так что мы можем выбрать д > таким образом, что д в С(если такого q не существует, a - наименьшая верхняя граница C ), тогда может быть выбран открытый интервал, содержащий a , который не пересекает D ). Поскольку D непусто (существует более одной верхней границы D, поскольку, если бы была ровно одна верхняя граница s , s была бы наименьшей верхней границей. Тогда, если b ₁ и b ₂ - две верхние границы D с b ₁ < b ₂ , b ₂ будет принадлежать D), Д и его дополнение вместе образуют разделение на X . Это противоречит связности X .

Приложения теоремы [ править ]

Поскольку упорядоченное множество A = (−∞, 0) U (0, + ∞) не является линейным континуумом, оно несвязно.
Из применения только что доказанной теоремы следует связность R. Фактически любой интервал (или луч) в R также связан.
Набор целых чисел не является линейным континуумом и поэтому не может быть связан.
Фактически, если упорядоченное множество в топологии порядка является линейным континуумом, оно должно быть связным. Поскольку любой интервал в этом множестве также является линейным континуумом, это означает, что это пространство локально связно, поскольку оно имеет базис, полностью состоящий из связных множеств.
Для примера топологического пространства, которое является линейным континуумом, см. Длинную строку .

См. Также [ править ]

Аксиома Кантора-Дедекинда
Топология заказа
Свойство с наименьшей верхней границей
Общий заказ

Ссылки [ править ]

^ Манкрес, Джеймс (2000). Топология, 2-е изд . Pearson Education . С. 31, 153. ISBN 0-13-181629-2.
^ Харди, GH (1952). Курс чистой математики, 10-е изд . Издательство Кембриджского университета . С. 11–15, 24–31. ISBN 0-521-09227-2.
^ Манкрес, Джеймс (2000). Топология, 2-е изд . Pearson Education. С. 153–154. ISBN 0-13-181629-2.

[1] Манкрес, Джеймс (2000). Топология, 2-е изд . Pearson Education . С. 31, 153. ISBN 0-13-181629-2.

[2] Харди, GH (1952). Курс чистой математики, 10-е изд . Издательство Кембриджского университета . С. 11–15, 24–31. ISBN 0-521-09227-2.

[3] Манкрес, Джеймс (2000). Топология, 2-е изд . Pearson Education. С. 153–154. ISBN 0-13-181629-2.

[1]