Порядковый изоморфизм

В математической области теории порядка , порядок изоморфизм является особым видом монотонной функции , что представляет собой подходящее понятие изоморфизма для частично упорядоченных множеств (Posets). Когда два множества изоморфны по порядку, они могут считаться «по существу одинаковыми» в том смысле, что любой из порядков может быть получен из другого просто путем переименования элементов. Два строго более слабых понятия, относящихся к изоморфизму порядка, - это вложения порядка и связности Галуа . ^[1]

Определение [ править ]

Формально, учитывая два Posets и , порядковый изоморфизм из к является биективной функцией от к с тем свойством , что для каждого и в , если и только если . То есть это биективное вложение порядка . ^[2]${\ Displaystyle (S, \ leq _ {S})}$${\ Displaystyle (Т, \ leq _ {T})}$${\ Displaystyle (S, \ leq _ {S})}$${\ Displaystyle (Т, \ leq _ {T})}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle х \ leq _ {S} у}$${\ Displaystyle е (х) \ leq _ {T} е (у)}$

Также возможно определить изоморфизм порядка как сюръективное вложение порядка. Двух предположений, охватывающих все элементы и сохраняющих порядок, достаточно, чтобы гарантировать, что это также взаимно однозначно, поскольку если бы тогда (по предположению, которое сохраняет порядок), это следовало бы, и , исходя из определения частичного порядка, что .${\ displaystyle f}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle е (х) = е (у)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x \ leq y}$${\ displaystyle y \ leq x}$${\ displaystyle x = y}$

Еще одна характеристика изоморфизмов порядка состоит в том, что они являются в точности монотонными биекциями , имеющими монотонный обратный. ^[3]

Порядковый изоморфизм частично упорядоченного множества в себя называется порядковым автоморфизмом . ^[4]

Когда на множества и накладывается дополнительная алгебраическая структура , функция от до должна удовлетворять дополнительным свойствам, чтобы ее можно было рассматривать как изоморфизм. Например, если две частично упорядоченные группы (РО-группы) и , An изоморфизм PO-групп из , чтобы на порядок изоморфизм, также изоморфизм групп , а не только взаимно однозначное соответствие, что это заказ вложение . ^[5]${\ Displaystyle (S, \ leq _ {S})}$${\ Displaystyle (Т, \ leq _ {T})}$${\ Displaystyle (S, \ leq _ {S})}$${\ Displaystyle (Т, \ leq _ {T})}$${\ Displaystyle (G, \ leq _ {G})}$${\ displaystyle (H, \ leq _ {H})}$${\ Displaystyle (G, \ leq _ {G})}$${\ displaystyle (H, \ leq _ {H})}$

Примеры [ править ]

• Функция идентичности на любом частично упорядоченном множестве всегда является порядковым автоморфизмом.
• Отрицание - это изоморфизм порядка от до (где - множество действительных чисел и обозначает обычное числовое сравнение), поскольку - x ≥ - y тогда и только тогда, когда x ≤ y . ^[6]${\ Displaystyle (\ mathbb {R}, \ leq)}$${\ Displaystyle (\ mathbb {R}, \ geq)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\displaystyle \leq }$
• Открытый интервал (опять же , упорядоченный численно) не имеет изоморфизм порядка или из замкнутого интервала : замкнутый интервал имеет наименьший элемент, но открытый интервал не делает, и изоморфизмы порядка должны сохранить существование наименьших элементов. ^[7]${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Типы заказов [ править ]

Если - изоморфизм порядка, то и обратная ему функция - тоже . Кроме того , если есть порядок изоморфизм , чтобы и на порядок изоморфизм к , то функция композиции из и сам по себе является порядковым изоморфизмом, от до . ^[8]${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (S,\leq _{S})}$${\displaystyle (T,\leq _{T})}$${\displaystyle g}$${\displaystyle (T,\leq _{T})}$${\displaystyle (U,\leq _{U})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle (S,\leq _{S})}$${\displaystyle (U,\leq _{U})}$

Два частично упорядоченных множества называются изоморфными по порядку, если существует изоморфизм по порядку от одного к другому. ^[9] Функции тождества, обратные функции и композиции функций соответствуют трем определяющим характеристикам отношения эквивалентности : рефлексивности , симметрии и транзитивности . Следовательно, изоморфизм порядка является отношением эквивалентности. Класс частично упорядоченных множеств может быть разделен им на классы эквивалентности , семейства частично упорядоченных множеств, которые все изоморфны друг другу. Эти классы эквивалентности называются типами заказов .

См. Также [ править ]

• Шаблон перестановки, перестановка, изоморфная по порядку подпоследовательности другой перестановки

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Блох, Итан Д. (2011), Доказательства и основы: первый курс абстрактной математики , тексты для бакалавриата по математике (2-е изд.), Springer, стр. 276–277, ISBN 9781441971265.
• Чесельски, Кшиштоф (1997), Теория множеств для работающего математика , Тексты студентов Лондонского математического общества, 39 , Cambridge University Press, стр. 38–39, ISBN 9780521594653.
• Шредер, Бернд Зигфрид Вальтер (2003), Упорядоченные множества: Введение , Springer, стр. 11, ISBN 9780817641283.
• Fuchs, Laszlo (1963), частично упорядоченные алгебраические системы , Dover Publications; Репринтное издание (5 марта 2014 г.), стр. 2–3, ISBN 0486483878.