Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
"противоположный номер" перенаправляется сюда. Для использования в других целях см. Аналог и аналог .

В математике добавок обратные из числа а это число , которое, когда добавляются к , дает нуль . Это число также известно как противоположное (число), [1] изменение знака , [2] и отрицание . [3] Для действительного числа он меняет знак : аддитивное обратное (противоположное число) положительного числа отрицательно, а аддитивное обратное отрицательное число положительно. Ноль - это аддитивная инверсия самого себя.

Аддитивный обратный к a обозначается унарным минусом : - a (см. Также § Связь с вычитанием ниже). [4] [5] Например, аддитивная обратная величина 7 равна −7, потому что 7 + (−7) = 0, а аддитивная обратная величина −0,3 равна 0,3, поскольку -0,3 + 0,3 = 0.

Точно так же аддитивная величина, обратная a - b, - это - ( a - b ), которую можно упростить до b - a . is Аддитивная величина, обратная 2 x - 3, равна 3 - 2x, потому что 2 x - 3 + 3 - 2x = 0. [6]

Аддитивная инверсия определяется как ее обратный элемент при бинарной операции сложения (см. Также § Формальное определение ниже), что позволяет сделать широкое обобщение на математические объекты, отличные от чисел. Как и любая обратная операция, двойная аддитивная обратная операция не имеет чистого эффекта : - (- x ) = x .

Эти комплексные числа, два из восьми значений 8 √ 1 , взаимно противоположны.

Общие примеры [ править ]

Для числа (и вообще в любом кольце ) аддитивная обратная величина может быть вычислена с помощью умножения на -1 ; то есть - n = −1 ×  n  . Примерами колец чисел являются целые числа , рациональные числа , действительные числа и комплексные числа .

Отношение к вычитанию [ править ]

Аддитивное обратное тесно связано с вычитанием , которое можно рассматривать как дополнение противоположного:

а - Ь  =  а + (- Ь ) .

И наоборот, аддитивное обратное можно рассматривать как вычитание из нуля:

- а  = 0 - а .

Следовательно, унарное обозначение со знаком минус можно рассматривать как сокращение для вычитания (с опущенным символом «0»), хотя в правильной типографии после унарного «-» не должно быть пробелов .

Другие свойства [ править ]

В дополнение к тождествам, перечисленным выше, отрицание обладает следующими алгебраическими свойствами:

  • - (- a ) = a , это операция инволюции
  • - ( а + б ) = (- а ) + (- б )
  • - ( а - б ) = б - а
  • а - (- Ь ) = а + Ь
  • (- а ) ×  Ь = а  × (- Ь ) = - ( а  ×  Ь )
  • (- а ) × (- б ) = а × б
    в частности, (- a ) 2 = a 2

Формальное определение [ править ]

Обозначение + обычно зарезервировано для коммутативных бинарных операций (операций, где x + y = y + x для всех x ,  y ). Если такая операция допускает единичный элемент o (такой, что x + o (= o + x  ) = x для всех x ), то этот элемент уникален (  o ′ = o ′ + o = o  ). Для данного x  , если существует x ′такое, что x + x ′ (= x ′ + x  ) = o  , то x ′ называется аддитивным обратным к x .

Если + ассоциативно ( (  x  +  y  ) + z = x + (  y  +  z  ) для всех x ,  y ,  z ), то аддитивный обратный элемент уникален. Чтобы убедиться в этом, пусть x ′ и x ″ являются аддитивными обратными x ; тогда

x ′ = x ′ + o = x ′ + ( x + x ″ ) = ( x ′ + x ) + x ″ = o + x ″ = x ″ .

Например, поскольку сложение действительных чисел ассоциативно, каждое действительное число имеет уникальную аддитивную инверсию.

Другие примеры [ править ]

Все следующие примеры на самом деле являются абелевыми группами :

  • Комплексные числа : - ( a + bi ) = (- a ) + (- b ) i . На комплексной плоскости эта операция поворачивает комплексное число на 180 градусов вокруг начала координат (см. Изображение выше ).
  • Сложение действительных и комплексных функций: здесь аддитивная обратная функция к функции f - это функция - f, определенная формулой (- f  ) ( x ) = - f  ( x )  для всех x , таких что f + (- f  ) = o  , нулевая функция (  o ( x ) = 0 для всех x  ).
  • В более общем плане то, что предшествует, применяется ко всем функциям со значениями в абелевой группе («ноль» означает единичный элемент этой группы):
  • Последовательности , матрицы и сети также являются особыми видами функций.
  • В векторном пространстве аддитивное обратное - v часто называют вектором, противоположным v ; он имеет ту же величину, что и исходный, и противоположное направление. Аддитивная инверсия соответствует скалярному умножению на -1. Для евклидова пространства это точечное отражение в начале координат. Векторы в точно противоположных направлениях (умноженные на отрицательные числа) иногда называют антипараллельными .
    • функции со значениями в векторном пространстве (не обязательно линейные),
  • В модульной арифметике , то модульные аддитивные обратный из й также определенно: это числа таким образом, что + х ≡ 0 ( по модулю п ) . Эта аддитивная инверсия существует всегда. Например, 3 по модулю 11 равно 8, потому что это решение 3 + x ≡ 0 (mod 11) .

Не примеры [ править ]

Натуральные числа , кардинальные числа и порядковые числа не имеют аддитивных обратных чисел в соответствующих наборах . Таким образом, можно сказать, что , например, натуральные числа действительно имеют аддитивные инверсии, а потому , что эти добавки не являются обратными самими натуральными числами, множество натуральных чисел , не закрыто при принятии аддитивных обратимо.

См. Также [ править ]

  • −1
  • Абсолютное значение (связано через тождество | - x  | = |  x  |  ).
  • Аддитивная идентичность
  • Обратная функция
  • Инволюция (математика)
  • Мультипликативный обратный
  • Симметрия отражения

Примечания и ссылки [ править ]

  1. ^ Тусси, Алан; Густафсон, Р. (2012), Элементарная алгебра (5-е изд.), Cengage Learning, стр. 40, ISBN 9781133710790.
  2. ^ Brase, Корринн Пеллильо; Brase, Чарльз Генри (1976). Основы алгебры для студентов колледжей . Хоутон Миффлин. п. 54. ISBN 978-0-395-20656-0. ... чтобы взять аддитивную инверсию члена, мы меняем знак числа.
  3. ^ Термин « отрицание » имеет отношение к отрицательным числам , что может ввести в заблуждение, потому что аддитивная инверсия отрицательного числа положительна.
  4. ^ «Сборник математических символов» . Математическое хранилище . 2020-03-01 . Проверено 27 августа 2020 .
  5. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Аддитивная инверсия» . mathworld.wolfram.com . Проверено 27 августа 2020 .
  6. ^ "Аддитивная инверсия" . www.learnalberta.ca . Проверено 27 августа 2020 .