В математике , функция тождества , также называется отношением идентичности или тождественные или тождественное преобразование , является функцией , которая всегда возвращает то же значение, которое используют в качестве аргумента. То есть, если f является тождественным, равенство f ( x ) = x выполняется для всех x .
Определение [ править ]
Формально, если M является набором , тождественная функция f на M определяется как функция с областью и областью области M, которая удовлетворяет
- е ( х ) = х для всех элементов х в М . [1]
Другими словами, значение функции F ( х ) в М (то есть, кообласть) всегда тот же входной элемент х из М ( в настоящее время рассматривается в качестве домена). Тождественная функция на M , очевидно, является инъективной функцией, а также сюръективной функцией , поэтому она также биективна . [2]
Функция тождества F на М часто обозначается идентификатором М .
В теории множеств , где функция определяется как особый вид бинарного отношения , функция тождества задается соотношением идентичности или диагонали из М . [3]
Алгебраические свойства [ править ]
Если f : M → N - любая функция, то мы имеем f ∘ id M = f = id N ∘ f (где «∘» обозначает композицию функций ). В частности, идентификатор М представляет собой единичный элемент в моноиде всех функций из М в М .
Поскольку единичный элемент моноида уникален , [4] можно альтернативно определить единичную функцию на M как этот единичный элемент. Такое обобщающее определение к понятию морфизма идентичности в теории категорий , где эндоморфизмы из М не должны быть функциями.
Свойства [ править ]
- В применении к векторным пространствам функция идентичности является линейным оператором . [5]
- Функция идентичности положительных целых чисел - это полностью мультипликативная функция (по существу, умножение на 1), рассматриваемая в теории чисел . [6]
- В n- мерном векторном пространстве единичная функция представлена единичной матрицей I n , независимо от базиса . [7]
- В метрическом пространстве тождество тривиально является изометрией . Объект без какой-либо симметрии имеет в качестве группы симметрии тривиальную группу, содержащую только эту изометрию (тип симметрии C 1 ). [8]
- В топологическом пространстве функция тождества всегда непрерывна. [9]
- Функция идентичности идемпотентна . [10]
См. Также [ править ]
- Карта включения
Ссылки [ править ]
- ^ Кнапп, Энтони В. (2006), Основная алгебра , Springer, ISBN 978-0-8176-3248-9
- ^ Карта, Sadhan Кумар (7 апреля 2014). Высшая алгебра абстрактная и линейная (11-е изд.). Книжный Дом Сарат. п. 36. ISBN 978-93-80663-24-1.
- ^ Труды симпозиумов по чистой математике . Американское математическое общество. 1974. с. 92. ISBN 978-0-8218-1425-3.
... тогда диагональное множество, определяемое M, является тождественным отношением ...
- ^ Rosales, JC; Гарсиа-Санчес, Пенсильвания (1999). Конечно порожденные коммутативные моноиды . Nova Publishers. п. 1. ISBN 978-1-56072-670-8.
Элемент 0 обычно называют элементом идентичности, и если он существует, то он уникален.
- ^ Антон, Ховард (2005), Элементарная линейная алгебра (версия приложений) (9-е изд.), Wiley International
- ^ Д. Маршалл; Э. Оделл; М. Старберд (2007). Теория чисел через расследование . Учебники математической ассоциации Америки. Математическая ассоциация амер. ISBN 978-0883857519.
- ^ TS Shores (2007). Прикладная линейная алгебра и матричный анализ . Тексты для бакалавриата по математике. Springer. ISBN 978-038-733-195-9.
- ^ Джеймс У. Андерсон , Гиперболическая геометрия , Springer 2005, ISBN 1-85233-934-9
- ^ Коновер, Роберт А. (2014-05-21). Первый курс топологии: введение в математическое мышление . Курьерская корпорация. п. 65. ISBN 978-0-486-78001-6.
- ^ Конференции, лето инженерного дела Мичиганского университета (1968). Основы инженерии информационных систем .
мы видим, что единичный элемент полугруппы идемпотентен.
