Единичная матрица

Матрица идентичности 3x3

В линейной алгебре , то единичная матрица (иногда называется двусмысленно единичная матрица ) размера п является п × п квадратной матрицы с единицами на главной диагонали и нулями в других местах. Он обозначается I _n или просто I, если размер несущественен или может быть тривиально определен контекстом. ^{[1] [2]} В некоторых областях, таких как теория групп или квантовая механика , единичная матрица иногда обозначается жирным шрифтом, 1, или называется «id» (сокращение от identity); в противном случае он идентичен I . Реже в некоторых книгах по математике U или E используются для обозначения единичной матрицы, что означает «единичную матрицу» ^[3] и немецкое слово Einheitsmatrix соответственно. ^[4]

${\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$

Когда является м × п , это свойство умножения матриц , что

${\displaystyle I_{m}A=AI_{n}=A.}$

В частности, единичная матрица служит в качестве единицы кольца все п × п матриц, а также в качестве единичного элемента из общей линейной группы GL ( п ) (группы , состоящих из все обратимого п × п матриц). В частности, единичная матрица обратима, причем обратная ей является в точности сама .

Если матрицы размера n × n используются для представления линейных преобразований из n- мерного векторного пространства в само себя, I _n представляет функцию идентичности , независимо от базиса .

Я й столбец единичной матрицы является единичным вектором е _я (вектор которого я й запись равно 1 и 0 в других местах) Отсюда следует , что определитель единичной матрицы равен 1, а след является  п .

Используя обозначения, которые иногда используются для краткого описания диагональных матриц , мы можем написать

${\displaystyle I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,\dots ,1).}$

Единичную матрицу также можно записать с использованием дельта- записи Кронекера : ^[4]

${\displaystyle (I_{n})_{ij}=\delta _{ij}.}$

Когда единичная матрица является продуктом двух квадратных матриц, две матрицы называются обратными друг другу.

Единичная матрица - единственная идемпотентная матрица с ненулевым определителем. То есть это единственная матрица, такая что:

1. При умножении на себя результат сам
2. Все его строки и столбцы линейно независимы .

Главный квадратный корень единичной матрицы - это она сама, и это ее единственный положительно определенный квадратный корень. Однако каждая единичная матрица, содержащая не менее двух строк и столбцов, имеет бесконечное количество симметричных квадратных корней. ^[5]

См. Также [ править ]

• Двоичная матрица ( матрица нуля или единицы)
• Элементарная матрица
• Матрица обмена
• Матрица единиц
• Матрицы Паули (единичная матрица - нулевая матрица Паули)
• Квадратный корень из единичной матрицы 2 на 2
• Унитарная матрица
• Нулевая матрица

Примечания [ править ]