Квадратный корень из матрицы 2 на 2

Квадратный корень из 2 × 2 матрицы M является еще 2 × 2 матрицы R такое , что М = R ² , где R ² обозначает для матричного произведения в R с самим собой. В общем, может быть ноль, две, четыре или даже бесконечное множество матриц квадратного корня . Во многих случаях такую ​​матрицу R можно получить по явной формуле.

Квадратные корни, не являющиеся матрицей из нулей, попадают попарно: если R является квадратным корнем из M , то - R также является квадратным корнем из M , поскольку (- R ) (- R ) = (−1) (- 1) ( ОР ) = R ² = М . Матрица 2 × 2 с двумя отличными от нуля собственными значениями имеет четыре квадратных корня. Положительно определенная матрица имеет ровно один положительный определенный квадратный корень.

Общая формула [ править ]

Следующая общая формула применима почти к любой матрице 2 × 2. ^{[1] [2]} Пусть заданная матрица

${\ displaystyle M = {\ begin {pmatrix} A&B \\ C&D \ end {pmatrix}},}$

где A , B , C и D могут быть действительными или комплексными числами. Кроме того, пусть τ = + D быть след из М , и δ = AD - БК быть ее определитель . Пусть s таково, что s ² = δ , и t таково, что t ² = τ + 2 s . То есть,

${\ displaystyle s = \ pm {\ sqrt {\ delta}}, \ qquad t = \ pm {\ sqrt {\ tau + 2s}}.}.$

Тогда, если t ≠ 0, квадратный корень из M равен

${\ displaystyle R = {\ frac {1} {t}} {\ begin {pmatrix} A + s & B \\ C & D + s \ end {pmatrix}} = {\ frac {1} {t}} \ left (M + sI \ right).}$

Действительно, квадрат R равен

${\ displaystyle {\ begin {align} R ^ {2} & = {\ frac {1} {t ^ {2}}} {\ begin {pmatrix} A ^ {2} + BC + 2sA + s ^ {2 } & AB + BD + 2sB \\ CA + DC + 2sC & CB + D ^ {2} + 2sD + s ^ {2} \ end {pmatrix}} \\ [1ex] & = {\ frac {1} {t ^ { 2}}} {\ begin {pmatrix} A ^ {2} + BC + 2sA + AD-BC & AB + BD + 2sB \\ AC + CD + 2sC & BC + D ^ {2} + 2sD + AD-BC \ end {pmatrix }} \\ [1ex] & = {\ frac {1} {A + D + 2s}} {\ begin {pmatrix} A (A + D + 2s) & B (A + D + 2s) \\ C (A + D + 2s) & D (A + D + 2s) \ end {pmatrix}} = M. \ end {align}}}$

Обратите внимание, что R может иметь комплексные элементы, даже если M - вещественная матрица; так будет, в частности, если определитель δ отрицателен.

Общий случай этой формулы - это когда δ не равно нулю, а τ ² ≠ 4 δ , и в этом случае s отличен от нуля, а t отличен от нуля для любого выбора знака s . Тогда приведенная выше формула даст четыре различных квадратных корня R , по одному для каждого выбора знаков для s и t .

Частные случаи формулы [ править ]

Если определитель δ равен нулю, но след τ отличен от нуля, общая формула выше даст только два различных решения, соответствующих двум знакам t . А именно,

${\displaystyle R=\pm {\frac {1}{t}}{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\pm {\frac {1}{t}}M,}$

где t - любой квадратный корень из следа τ .

Формула также дает только два различных решения, если δ не равно нулю и τ ² = 4 δ (случай повторяющихся собственных значений ), и в этом случае один из вариантов s сделает знаменатель t равным нулю. В этом случае два корня

${\displaystyle R=\pm {\frac {1}{t}}{\begin{pmatrix}A+s&B\\C&D+s\end{pmatrix}}=\pm {\frac {1}{t}}\left(M+sI\right),}$

где s - квадратный корень из δ , делающий τ  - 2 s ненулевым, а t - любой квадратный корень из τ  - 2 s .

Вышеупомянутая формула полностью неверна, если оба δ и τ равны нулю; то есть, если D = - A и A ² = - BC , так что след и определитель матрицы равны нулю. В этом случае, если M - нулевая матрица (с A = B = C = D = 0), то нулевая матрица также является квадратным корнем из M , как и любая матрица

${\displaystyle R={\begin{pmatrix}0&0\\c&0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad R={\begin{pmatrix}0&b\\0&0\end{pmatrix}},}$

где b и c - произвольные действительные или комплексные значения. В противном случае M не имеет квадратного корня.

Формулы для специальных матриц [ править ]

Идемпотентная матрица [ править ]

Если M - идемпотентная матрица , что означает, что MM = M , то, если это не единичная матрица, ее определитель равен нулю, а ее след равен ее рангу , который (исключая нулевую матрицу) равен 1. Тогда в приведенной выше формуле s = 0 и τ = 1, что дает М и - М в виде двух квадратных корней М .

Экспоненциальная матрица [ править ]

Если матрица M может быть выражен как реальные кратному экспонент некоторой матрицы А , , то два из его квадратных корней . В этом случае квадратный корень действительный. ^[3]${\displaystyle M=r\exp(A)}$${\displaystyle \pm {\sqrt {r}}\exp \left({\tfrac {1}{2}}A\right)}$

Диагональная матрица [ править ]

Если M диагональный (то есть B = C = 0), можно использовать упрощенную формулу

${\displaystyle R={\begin{pmatrix}a&0\\0&d\end{pmatrix}},}$

где = ± √ , и d = & plusmn ; √ D . Это для различных вариантов выбора знака дает четыре, две или одну различные матрицы, если ни одна из них, только одна из или обе A и D равны нулю, соответственно.

Матрица идентичности [ править ]

Поскольку у нее есть повторяющиеся собственные значения , единичная матрица 2 × 2 имеет бесконечное количество симметричных рациональных квадратных корней, заданных формулой ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {1}{t}}{\begin{pmatrix}s&r\\r&-s\end{pmatrix}}{\text{ and }}{\begin{pmatrix}\pm 1&0\\0&\pm 1\end{pmatrix}},}$

где ( r , s , t ) - любые комплексные числа такие, что ^[4]${\displaystyle r^{2}+s^{2}=t^{2}.}$

Матрица с одним недиагональным нулем [ править ]

Если B равно нулю, но A и D оба не равны нулю, можно использовать

${\displaystyle R={\begin{pmatrix}a&0\\{\frac {C}{a+d}}&d\end{pmatrix}}.}$

Эта формула предоставит два решения, если A = D, или A = 0, или D = 0, и четыре в противном случае. Аналогичная формула может использоваться, когда C равно нулю, но A и D не равны нулю.

Ссылки [ править ]