Собственные значения и собственные векторы

В линейной алгебре , собственный вектор ( / aɪ ɡ ə п ˌ об ɛ к т ər / ) или характеристическому вектор о наличии линейного преобразования ненулевого вектор , который изменяется по большей мере с помощью скалярного множителя при том , что линейное преобразование применяется к нему. Соответствующее собственное значение , часто обозначается , ^[1] является фактором , с помощью которого масштабируется собственный вектор.${\displaystyle \lambda }$

Геометрически собственный вектор, соответствующий действительному ненулевому собственному значению, указывает в направлении, в котором он растягивается преобразованием, а собственное значение является фактором, на который он растягивается. Если собственное значение отрицательное, направление меняется на противоположное. ^[2] Грубо говоря, в многомерном векторном пространстве собственный вектор не поворачивается.

Формальное определение [ править ]

Если T является линейным преобразованием из векторного пространства V над полем F в себя и v является ненулевым вектором в V , то v является собственным вектором T, если T ( v ) является скалярным кратным v . Это можно записать как

${\displaystyle T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} ,}$

где λ - скаляр в F , известный как собственное значение , характеристическое значение или характеристический корень, связанный с v .

Существует прямая соответствие между п матрицей с размерностью п квадратных матрицами и линейными преобразованиями из п - мерного векторного пространства в себя, учитывая любой базис векторного пространства. Следовательно, в конечномерном векторном пространстве это эквивалентно определению собственных значений и собственных векторов, используя либо язык матриц , либо язык линейных преобразований. ^{[3] [4]}

Если V конечномерно, приведенное выше уравнение эквивалентно ^[5]

${\displaystyle A\mathbf {u} =\lambda \mathbf {u} .}$

где A - матричное представление T, а u - координатный вектор v .

Обзор [ править ]

Собственные значения и собственные векторы занимают важное место при анализе линейных преобразований. Приставка собственный заимствовано из немецкого слова Эйгена ( родственно с английским словом собственного ) для «собственно», «характеристика», «собственный». ^{[6] [7]} Первоначально используется для изучения главных осей вращательного движения твердых тел , собственные значения и собственные векторы имеют широкий диапазон применений, например , в анализе устойчивости , анализа вибрации , атомных орбиталей , распознавания лиц , а такжедиагонализация матрицы .

По сути, собственный вектор v линейного преобразования T - это ненулевой вектор, который при применении к нему T не меняет направления. Применение T к собственному вектору масштабирует только собственный вектор на скалярное значение λ , называемое собственным значением. Это условие можно записать в виде уравнения

${\displaystyle T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} ,}$

называется уравнением собственного значения или eigenequation . В общем случае λ может быть любым скаляром . Например, λ может быть отрицательным, и в этом случае собственный вектор меняет направление на противоположное как часть масштабирования, или он может быть нулевым или комплексным .

Джоконда пример изображенный здесь обеспечивает простой пример. Каждую точку на картине можно представить как вектор, указывающий от центра картины к этой точке. Линейное преобразование в этом примере называется отображением сдвига . Точки в верхней половине перемещаются вправо, а точки в нижней половине - влево, пропорционально тому, насколько они удалены от горизонтальной оси, проходящей через середину рисунка. Таким образом, векторы, указывающие на каждую точку исходного изображения, наклоняются вправо или влево и в результате преобразования становятся длиннее или короче. Точки вдольгоризонтальная ось вообще не перемещается, когда применяется это преобразование. Следовательно, любой вектор, который указывает прямо вправо или влево без вертикального компонента, является собственным вектором этого преобразования, поскольку отображение не меняет своего направления. Более того, все эти собственные векторы имеют собственное значение, равное единице, потому что отображение также не меняет их длину.

Линейные преобразования могут принимать множество различных форм, отображая векторы в различных векторных пространствах, поэтому собственные векторы также могут принимать разные формы. Например, линейное преобразование может быть дифференциальным оператором, например , в этом случае собственные векторы - это функции, называемые собственными функциями , которые масштабируются этим дифференциальным оператором, например${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{\lambda x}=\lambda e^{\lambda x}.}$

В качестве альтернативы линейное преобразование может принимать форму матрицы n на n , и в этом случае собственные векторы - это матрицы n на 1. Если линейное преобразование выражается в форме матрицы A размером n на n , то уравнение на собственные значения для линейного преобразования выше можно переписать как матричное умножение

${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,}$

где собственный вектор v представляет собой матрицу размером n на 1. Для матрицы собственные значения и собственные векторы могут использоваться для разложения матрицы, например, путем ее диагонализации .

Собственные значения и собственные векторы порождают множество тесно связанных математических понятий, и префикс eigen- широко применяется при их именовании:

• Набор всех собственных векторов линейного преобразования, каждый из которых соединен со своим соответствующим собственным значением, называется собственной системой этого преобразования. ^{[8] [9]}
• Множество всех собственных векторов T , соответствующих одному и тому же собственному значению, вместе с нулевым вектором, называется собственное подпространство , или характерное пространство из Т , связанное с этим собственным значением. ^[10]
• Если набор собственных векторов T образует основу области определения T , то этот базис называется собственным базисом .

История [ править ]

Собственные значения часто вводятся в контексте линейной алгебры или теории матриц . Однако исторически они возникли при изучении квадратных форм и дифференциальных уравнений .

В 18 веке Леонард Эйлер изучил вращательное движение твердого тела и обнаружил важность главных осей . ^[a] Жозеф-Луи Лагранж понял, что главные оси являются собственными векторами матрицы инерции. ^[11]

В начале 19 века Огюстен-Луи Коши увидел, как их работа может быть использована для классификации квадратичных поверхностей , и обобщил ее на произвольные размеры. ^[12] Коши также ввел термин racine caractéristique (характеристический корень) для того, что теперь называется собственным значением ; его член сохраняется в характеристическом уравнении . ^[b]

Позже Жозеф Фурье использовал работу Лагранжа и Пьера-Симона Лапласа для решения уравнения теплопроводности путем разделения переменных в своей знаменитой книге 1822 года « Аналитическая теория шалера» . ^[13] Шарль-Франсуа Штурм развил идеи Фурье и привлек к ним внимание Коши, который объединил их со своими собственными идеями и пришел к тому факту, что реальные симметричные матрицы имеют действительные собственные значения. ^[12] Это было распространено Чарльзом Эрмитом в 1855 году на то, что сейчас называется эрмитовыми матрицами . ^[14]

Примерно в то же время, Франческо Бриоши доказал , что собственные значения ортогональных матриц лежат на единичной окружности , ^[12] и Клебш нашел соответствующий результат для кососимметрических матриц . ^[14] Наконец, Карл Вейерштрасс прояснил важный аспект теории устойчивости, начатой ​​Лапласом, осознав, что дефектные матрицы могут вызывать нестабильность. ^[12]

Тем временем Джозеф Лиувилль изучал задачи на собственные значения, аналогичные задачам Штурма; дисциплина, выросшая из их работы, теперь называется теорией Штурма – Лиувилля . ^[15] Шварц изучил первое собственное значение уравнения Лапласа в общих областях к концу XIX века, а Пуанкаре изучил уравнение Пуассона несколькими годами позже. ^[16]

В начале 20 века Дэвид Гильберт изучал собственные значения интегральных операторов , рассматривая операторы как бесконечные матрицы. ^[17] Он был первым, кто использовал немецкое слово « собственный» , что означает «собственный», ^[7] для обозначения собственных значений и собственных векторов в 1904 году, ^[c] хотя он, возможно, следовал подобному использованию Германа фон Гельмгольца . Некоторое время стандартным термином на английском языке было «собственное значение», но сегодня стандартом является более характерный термин «собственное значение». ^[18]

Первый численный алгоритм для вычисления собственных значений и собственных векторов появился в 1929 году, когда Ричард фон Мизес опубликовал степенной метод . Один из самых популярных сегодня методов, QR-алгоритм , был независимо предложен Джоном Фрэнсисом ^[19] и Верой Кублановской ^[20] в 1961 году. ^{[21] [22]}

Собственные значения и собственные векторы матриц [ править ]

Собственные значения и собственные векторы часто знакомятся со студентами в контексте курсов линейной алгебры, посвященных матрицам. ^{[23] [24]} Кроме того, линейные преобразования в конечномерном векторном пространстве могут быть представлены с использованием матриц, ^{[25] [4],} что особенно часто встречается в численных и вычислительных приложениях. ^[26]

Рассмотрим n -мерные векторы, которые сформированы как список из n скаляров, например трехмерные векторы

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}1\\-3\\4\end{bmatrix}}\quad {\mbox{and}}\quad \mathbf {y} ={\begin{bmatrix}-20\\60\\-80\end{bmatrix}}.}$

Эти векторы называются скалярными, кратными друг другу, параллельными или коллинеарными , если существует такой скаляр λ , что

${\displaystyle \mathbf {x} =\lambda \mathbf {y} .}$

В этом случае .${\displaystyle \lambda =-1/20}$

Теперь рассмотрим линейное преобразование n -мерных векторов, заданных матрицей A n на n ,

${\displaystyle A\mathbf {v} =\mathbf {w} ,}$

или же

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nn}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}}$

где для каждой строки

${\displaystyle w_{i}=A_{i1}v_{1}+A_{i2}v_{2}+\cdots +A_{in}v_{n}=\sum _{j=1}^{n}A_{ij}v_{j}.}$

Если оказывается, что v и w являются скалярными кратными, то есть если

${\displaystyle A\mathbf {v} =\mathbf {w} =\lambda \mathbf {v} ,}$

( 1 )

тогда v - собственный вектор линейного преобразования A, а масштабный коэффициент λ - собственное значение, соответствующее этому собственному вектору. Уравнение ( 1 ) представляет собой уравнение на собственные значения для матрицы A .

Уравнение ( 1 ) может быть записано эквивалентно как

${\displaystyle \left(A-\lambda I\right)\mathbf {v} =\mathbf {0} ,}$

( 2 )

где I - единичная матрица n на n, а 0 - нулевой вектор.

Собственные значения и характеристический многочлен [ править ]

Уравнение ( 2 ) имеет ненулевое решение v тогда и только тогда, когда определитель матрицы ( A - λI ) равен нулю. Следовательно, собственные значения A - это значения λ, которые удовлетворяют уравнению

${\displaystyle |A-\lambda I|=0}$

( 3 )

Используя правило Лейбница для определителя, то левая часть уравнения ( 3 ) является многочленом функция переменной Х и степень этого многочлена п , то порядок матрицы А . Его коэффициенты зависят от элементов A , за исключением того, что его член степени n всегда равен (−1) ⁿ λ ⁿ . Этот многочлен называется характеристическим многочленом от А . Уравнение ( 3 ) называется характеристическим уравнением или уравнениемсекулярное уравнение из A .

Основная теорема алгебры следует , что характеристический многочлен не давало ˝n˝ матрицы с размерностью п матрицей А , будучи многочленом степени п , может быть учтен в произведение п линейных членов,

${\displaystyle |A-\lambda I|=(\lambda _{1}-\lambda )(\lambda _{2}-\lambda )\cdots (\lambda _{n}-\lambda ),}$

( 4 )

где каждый λ _i может быть действительным, но в общем случае является комплексным числом. Числа Х ₁ , λ ₂ , ..., Х _п , что не все могут иметь различные значения, являются корнями многочлена и собственные значения А .

В качестве краткого примера, который более подробно описан в разделе примеров ниже, рассмотрим матрицу

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.}$

Взяв определитель ( A - λI ) , характеристический многочлен A равен

${\displaystyle |A-\lambda I|={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}=3-4\lambda +\lambda ^{2}.}$

Установка характеристический полином равен нулю, то имеет корни при l = 1 и l = 3 , которые являются два собственных значения A . Собственные векторы, соответствующие каждому собственному значению, можно найти, решив компоненты v в уравнении . В этом примере собственные векторы - это любые ненулевые скалярные числа, кратные${\displaystyle \left(A-\lambda I\right)\mathbf {v} =\mathbf {0} }$

${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda =3}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}.}$

Если все элементы матрицы A являются действительными числами, то коэффициенты характеристического полинома также будут действительными числами, но собственные значения могут по-прежнему иметь ненулевые мнимые части. Следовательно, элементы соответствующих собственных векторов также могут иметь ненулевые мнимые части. Точно так же собственные значения могут быть иррациональными числами, даже если все элементы A являются рациональными числами или даже если все они являются целыми числами. Однако, если все элементы A являются алгебраическими числами , которые включают рациональные числа, собственные значения являются комплексными алгебраическими числами.

Неверные корни действительного многочлена с действительными коэффициентами могут быть сгруппированы в пары комплексно сопряженных , а именно с двумя членами каждой пары, имеющими мнимые части, которые отличаются только знаком, и одинаковую действительную часть. Если степень нечетная, то по теореме о промежуточном значении хотя бы один из корней действительный. Следовательно, любая вещественная матрица с нечетным порядком имеет по крайней мере одно действительное собственное значение, тогда как вещественная матрица с четным порядком может не иметь никаких реальных собственных значений. Собственные векторы, связанные с этими комплексными собственными значениями, также являются комплексными и также входят в комплексно сопряженные пары.

Алгебраическая множественность [ править ]

Пусть λ _i - собственное значение матрицы A размером n на n . Алгебраическая кратность μ _A ( λ _я ) собственного значения является его кратность как корня характеристического полинома, то есть наибольшее целое число K такие , что ( λ - λ _я ) ^K делит равномерно , что многочлен. ^{[10] [27] [28]}

Предположим, что матрица A имеет размерность n и d ≤ n различных собственных значений. В то время как уравнение ( 4 ) делит характеристический многочлен A на произведение n линейных членов с некоторыми потенциально повторяющимися членами, характеристический многочлен вместо этого может быть записан как произведение d членов, каждое из которых соответствует отдельному собственному значению и возведено в степень алгебраическая кратность,

${\displaystyle |A-\lambda I|=(\lambda _{1}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{1})}(\lambda _{2}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{2})}\cdots (\lambda _{d}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{d})}.}$

Если d = n, то правая часть является произведением n линейных членов, и это то же самое, что и в уравнении ( 4 ). Размер алгебраической кратности каждого собственного значения связан с размерностью n следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}1&\leq \mu _{A}(\lambda _{i})\leq n,\\\mu _{A}&=\sum _{i=1}^{d}\mu _{A}\left(\lambda _{i}\right)=n.\end{aligned}}}$

Если μ _A ( λ _i ) = 1, то λ _i называется простым собственным значением . ^[28] Если μ _A ( λ _i ) равна геометрической кратности λ _i , γ _A ( λ _i ), определенной в следующем разделе, то λ _i называется полупростым собственным значением .

Собственные подпространства, геометрическая кратность и собственный базис для матриц [ править ]

Учитывая конкретное собственное значение λ матрицы A размером n на n , определите множество E как все векторы v, которые удовлетворяют уравнению ( 2 ),

${\displaystyle E=\left\{\mathbf {v} :\left(A-\lambda I\right)\mathbf {v} =\mathbf {0} \right\}.}$

С одной стороны, это множество является в точности ядром или нулевым пространством матрицы ( A - λI ). С другой стороны, по определению, любой ненулевой вектор, удовлетворяющий этому условию, является собственным вектором A, связанным с λ . Итак, множество E представляет собой объединение нулевого вектора с множеством всех собственных векторов A, связанных с λ , и E равно нулевому пространству ( A - λI ). Е называется подпространством или характерным пространством из А , связанное сλ . ^{[29] [10]} В общем случае λ - комплексное число, а собственные векторы представляют собой комплексные матрицы размером n на 1. Свойство нулевого пространства состоит в том, что оно является линейным подпространством , поэтому E является линейным подпространством ℂ ⁿ .

Поскольку собственное подпространство E является линейным подпространством, оно замкнуто при сложении. То есть, если два вектора u и v принадлежат множеству E , записанному u , v ∈ E , то ( u + v ) ∈ E или, что то же самое, A ( u + v ) = λ ( u + v ) . Это можно проверить, используя свойство дистрибутивности умножения матриц. Аналогично, поскольку E- линейное подпространство, замкнутое относительно скалярного умножения. То есть, если v ∈ E и α комплексное число, ( α v ) ∈ E или, что то же самое, A ( α v ) = λ ( α v ) . Это можно проверить, отметив, что умножение комплексных матриц на комплексные числа коммутативно . Пока u + v и α v не равны нулю, они также являются собственными векторами матрицы A, ассоциированной с λ .

Размерность собственного подпространства E, связанного с λ , или, что эквивалентно, максимальное количество линейно независимых собственных векторов, связанных с λ , называется геометрической кратностью собственного значения γ _A ( λ ). Поскольку E также является нулевым пространством ( A - λI ), геометрическая кратность λ - это размерность нулевого пространства ( A - λI ), также называемая нулевым пространством ( A - λI ), которое относится к размерности и рангу ( А -λI ) как

${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )=n-\operatorname {rank} (A-\lambda I).}$

Из-за определения собственных значений и собственных векторов геометрическая кратность собственного значения должна быть по крайней мере один, то есть каждое собственное значение имеет по крайней мере один связанный собственный вектор. Кроме того, геометрическая кратность собственного значения не может превышать его алгебраическую кратность. Кроме того, напомним, что алгебраическая кратность собственного значения не может превышать n .

${\displaystyle 1\leq \gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda )\leq n}$

Чтобы доказать неравенство , рассмотрим, как из определения геометрической кратности следует существование ортонормированных собственных векторов , таких что . Таким образом, мы можем найти (унитарную) матрицу , первые столбцы которой являются этими собственными векторами, а остальные столбцы могут быть любым ортонормированным набором векторов, ортогональных этим собственным векторам матрицы . Тогда имеет полный ранг и, следовательно, обратим, и с матрицей, верхний левый блок которой является диагональной матрицей . Это означает, что . Другими словами, аналогично , что подразумевает это . Но из определения мы знаем, что содержит фактор${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda )}$${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )}$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1},\,\ldots ,\,{\boldsymbol {v}}_{\gamma _{A}(\lambda )}}$${\displaystyle A{\boldsymbol {v}}_{k}=\lambda {\boldsymbol {v}}_{k}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )}$${\displaystyle n-\gamma _{A}(\lambda )}$${\displaystyle A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle AV=VD}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \lambda I_{\gamma _{A}(\lambda )}}$${\displaystyle (A-\xi I)V=V(D-\xi I)}$${\displaystyle A-\xi I}$${\displaystyle D-\xi I}$${\displaystyle \det(A-\xi I)=\det(D-\xi I)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \det(D-\xi I)}$${\displaystyle (\xi -\lambda )^{\gamma _{A}(\lambda )}}$, что означает, что алгебраическая кратность должна удовлетворять .${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu _{A}(\lambda )\geq \gamma _{A}(\lambda )}$

Предположим, что имеет различные собственные значения , где геометрическая кратность равна . Общая геометрическая кратность ,${\displaystyle A}$${\displaystyle d\leq n}$${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{d}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda _{i})}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{A}&=\sum _{i=1}^{d}\gamma _{A}(\lambda _{i}),\\d&\leq \gamma _{A}\leq n,\end{aligned}}}$

- размерность суммы всех собственных подпространств собственных значений, или, что эквивалентно, максимальное количество линейно независимых собственных векторов . Если , то${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \gamma _{A}=n}$

• Прямая сумма собственных подпространств всех собственных значений - это все векторное пространство .${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• Базис может быть составлен из линейно независимых собственных векторов ; такой базис называется собственным базисом.${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$
• Любой вектор в может быть записан как линейная комбинация собственных векторов .${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle A}$

Дополнительные свойства собственных значений [ править ]

Позвольте быть произвольной матрицей комплексных чисел с собственными значениями . Каждое собственное значение появляется в этом списке несколько раз, где - алгебраическая кратность собственного значения. Ниже приведены свойства этой матрицы и ее собственных значений:${\displaystyle A}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$${\displaystyle \mu _{A}(\lambda _{i})}$${\displaystyle \mu _{A}(\lambda _{i})}$

• След от , определяются как сумма ее диагональных элементов, является также суммой всех собственных значений, ^{[30] [31] [32]}${\displaystyle A}$

  ${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}.}$

• Определитель из является произведением всех его собственных значений, ^{[30] [33] [34]}${\displaystyle A}$

  ${\displaystyle \det(A)=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.}$

• Собственные значения степени ^-й степени ; т.е. собственные значения для любого положительного целого числа равны .${\displaystyle k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \lambda _{1}^{k},\ldots ,\lambda _{n}^{k}}$
• Матрица является обратимым тогда и только тогда , когда каждое собственное значение равно нулю.${\displaystyle A}$
• Если обратим, то собственные значения являются и геометрическая кратность совпадает каждое собственное в. Более того, поскольку характеристический многочлен обратного является обратным многочленом оригинала, собственные значения имеют одинаковую алгебраическую кратность.${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{-1}}$${\textstyle {\frac {1}{\lambda _{1}}},\ldots ,{\frac {1}{\lambda _{n}}}}$
• Если равно его сопряженное транспонирование , или , что эквивалентно , если это эрмитово , то каждое собственное значение является реальным. То же самое верно для любой симметричной вещественной матрицы.${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle A}$
• Если является не только эрмитовым, но и положительно-определенным , положительно-полуопределенным, отрицательно-определенным или отрицательно-полуопределенным, то каждое собственное значение будет соответственно положительным, неотрицательным, отрицательным или неположительным.${\displaystyle A}$
• Если это унитарное , каждое собственное значение имеет абсолютное значение .${\displaystyle A}$${\displaystyle |\lambda _{i}|=1}$
• если - матрица и ее собственные значения, то собственные значения матрицы (где - единичная матрица) . Более того, если собственные значения равны . В более общем смысле, для полинома собственные значения матрицы равны .${\displaystyle A}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \{\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}\}}$${\displaystyle I+A}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \{\lambda _{1}+1,\ldots ,\lambda _{k}+1\}}$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$${\displaystyle \alpha I+A}$${\displaystyle \{\lambda _{1}+\alpha ,\ldots ,\lambda _{k}+\alpha \}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P(A)}$${\displaystyle \{P(\lambda _{1}),\ldots ,P(\lambda _{k})\}}$

Левый и правый собственные векторы [ править ]

Многие дисциплины традиционно представляют векторы как матрицы с одним столбцом, а не как матрицы с одной строкой. По этой причине слово «собственный вектор» в контексте матриц почти всегда относится к правому собственному вектору , а именно вектору- столбцу, который умножает вправо матрицу в определяющем уравнении, уравнении ( 1 ),${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} .}$

Проблема собственных значений и собственных векторов также может быть определена для векторов- строк, которые оставили матрицу умножения . В этой формулировке определяющее уравнение имеет вид${\displaystyle A}$

${\displaystyle \mathbf {u} A=\kappa \mathbf {u} ,}$

где - скаляр, а - матрица. Любой вектор - строки , удовлетворяющий это уравнение, называется левым собственным вектором из и является связанным с ним собственным значением. Транспонируя это уравнение,${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle u}$${\displaystyle 1\times n}$${\displaystyle u}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle A^{\textsf {T}}\mathbf {u} ^{\textsf {T}}=\kappa \mathbf {u} ^{\textsf {T}}.}$

Сравнивая это уравнение с уравнением ( 1 ), сразу следует, что левый собственный вектор такой же, как транспонированный правый собственный вектор с тем же собственным значением. Кроме того, поскольку характеристический многочлен для такой же, как и характеристический многочлен для , собственные значения левых собственных векторов такие же, как собственные значения правых собственных векторов .${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\textsf {T}}}$${\displaystyle A^{\textsf {T}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\textsf {T}}}$

Диагонализация и собственное разложение [ править ]

Предположим, что собственные векторы A образуют базис или, что то же самое, A имеет n линейно независимых собственных векторов v ₁ , v ₂ ,…, v _n с соответствующими собственными значениями λ ₁ , λ ₂ ,…, λ _n . Собственные значения не обязательно должны быть разными. Определим квадратную матрицу Q , столбцы которой являются n линейно независимыми собственными векторами матрицы A ,

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}.}$

Поскольку каждый столбец Q является собственным вектором A , правое умножение A на Q масштабирует каждый столбец Q на соответствующее собственное значение,

${\displaystyle AQ={\begin{bmatrix}\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}&\lambda _{2}\mathbf {v} _{2}&\cdots &\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}.}$

С учетом этого, определим диагональную матрицу Л , где каждый диагональный элемент Λ _II является собственным значением , связанный с я - й колонке Q . потом

${\displaystyle AQ=Q\Lambda .}$

Поскольку столбцы Q линейно независимы, Q обратим. Умножая обе части уравнения справа на Q ⁻¹ ,

${\displaystyle A=Q\Lambda Q^{-1},}$

или вместо этого умножая обе части слева на Q ⁻¹ ,

${\displaystyle Q^{-1}AQ=\Lambda .}$

Следовательно, A можно разложить на матрицу, состоящую из его собственных векторов, диагональную матрицу с собственными значениями по диагонали и матрицу, обратную матрице собственных векторов. Это называется собственным разложением и является преобразованием подобия . Такая матрица A называется подобной диагональной матрице Λ или диагонализуемой . Матрица Q представляет собой замену базовой матрицы преобразования подобия. По сути, матрицы A и Λ представляют собой одно и то же линейное преобразование, выраженное в двух разных базах. Собственные векторы используются в качестве основы при представлении линейного преобразования как Λ.

Наоборот, предположим, что матрица A диагонализуема. Пусть P будет невырожденная квадратная матрица , такая , что P ^-1 AP некоторая диагональная матрица D . Слева умножая оба на P , AP = PD . Каждый столбец P , следовательно , должен быть собственным вектором A , чье собственное значение соответствующей диагональный элемент D . Поскольку столбцы Р должны быть линейно независимы для Р , чтобы быть обратимым, существуют п линейно независимых собственных векторов А . Отсюда следует, что собственные векторы матрицыA образуют базис тогда и только тогда, когда A диагонализуема.

Не диагонализуемая матрица называется дефектной . Для дефектных матриц понятие собственных векторов обобщается на обобщенные собственные векторы, а диагональная матрица собственных значений обобщается до жордановой нормальной формы . Над алгебраически замкнутым полем любая матрица A имеет жорданову нормальную форму и, следовательно, допускает базис из обобщенных собственных векторов и разложение на обобщенные собственные подпространства .

Вариационная характеристика [ править ]

В эрмитовом случае собственным значениям можно дать вариационную характеристику. Наибольшее собственное значение - это максимальное значение квадратичной формы . Значение , реализующее этот максимум, является собственным вектором.${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\textsf {T}}H\mathbf {x} /\mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$

Примеры матриц [ править ]

Пример двумерной матрицы [ править ]

Матрица преобразования = сохраняет направление пурпурных векторов , параллельных V _{λ = 1} = [1 -1] ^T и синие векторы параллельны v _{λ = 3} = [1 1] ^T . Красные векторы не параллельны ни одному из собственных векторов, поэтому их направления меняются в результате преобразования. Длины фиолетовых векторов не изменяются после преобразования (из-за их собственного значения 1), в то время как синие векторы в три раза больше длины оригинала (из-за их собственного значения 3). См. Также: Расширенная версия, показывающая все четыре квадранта .${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&1\\1&2\end{smallmatrix}}\right]}$

Рассмотрим матрицу

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.}$

На рисунке справа показано влияние этого преобразования на координаты точки на плоскости. Собственные векторы v этого преобразования удовлетворяют уравнению ( 1 ), а значения λ, для которых определитель матрицы ( A  -  λI ) равен нулю, являются собственными значениями.

Взяв определитель, чтобы найти характеристический многочлен A ,

${\displaystyle {\begin{aligned}|A-\lambda I|&=\left|{\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right|={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}\\[6pt]&=3-4\lambda +\lambda ^{2}.\end{aligned}}}$

Установка характеристический полином равен нулю, то имеет корни при Х = 1 и Х = 3 , которые являются два собственных значения A .

При λ = 1 уравнение ( 2 ) принимает вид

${\displaystyle (A-I)\mathbf {v} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle 1v_{1}+1v_{2}=0}$; ${\displaystyle 1v_{1}+1v_{2}=0}$

Любой ненулевой вектор с v ₁ = - v ₂ решает это уравнение. Следовательно,

${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}v_{1}\\-v_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}}$

является собственным вектором A, соответствующим λ = 1, как и любое скалярное кратное этого вектора.

При λ = 3 уравнение ( 2 ) принимает вид

${\displaystyle {\begin{aligned}(A-3I)\mathbf {v} _{\lambda =3}&={\begin{bmatrix}-1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}\\-1v_{1}+1v_{2}&=0;\\1v_{1}-1v_{2}&=0\end{aligned}}}$

Любой ненулевой вектор с v ₁ = v ₂ решает это уравнение. Следовательно,

${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda =3}={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$

является собственным вектором A, соответствующим λ = 3, как и любое скалярное кратное этого вектора.

Таким образом, векторы v _{λ = 1} и v _{λ = 3} являются собственными векторами матрицы A, ассоциированными с собственными значениями λ = 1 и λ = 3 соответственно.

Общая формула для собственных значений двумерной матрицы [ править ]

Собственные значения вещественной матрицы равны ^[d]${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{2}}(a+d)\pm {\sqrt {\left({\frac {1}{2}}(a-d)\right)^{2}+bc}}={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {tr} (A)\pm {\sqrt {\left(\operatorname {tr} (A)^{2}\right)-4\det(A)}}\right).}$

Обратите внимание, что собственные значения всегда действительны, если b и c имеют один и тот же знак, поскольку величина под радикалом должна быть положительной.

Пример трехмерной матрицы [ править ]

Рассмотрим матрицу

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&0&0\\0&3&4\\0&4&9\end{bmatrix}}.}$

Характеристический многочлен A равен

${\displaystyle {\begin{aligned}|A-\lambda I|&=\left|{\begin{bmatrix}2&0&0\\0&3&4\\0&4&9\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\right|={\begin{vmatrix}2-\lambda &0&0\\0&3-\lambda &4\\0&4&9-\lambda \end{vmatrix}},\\[6pt]&=(2-\lambda ){\bigl [}(3-\lambda )(9-\lambda )-16{\bigr ]}=-\lambda ^{3}+14\lambda ^{2}-35\lambda +22.\end{aligned}}}$

Корни характеристического полинома 2, 1 и 11, которые являются только три собственные значения A . Эти собственные значения соответствуют собственным векторам , , и , или любое ненулевое кратное их.${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&-2&1\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1&2\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$

Пример трехмерной матрицы с комплексными собственными значениями [ править ]

Рассмотрим матрицу циклической перестановки

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}.}$

Эта матрица сдвигает координаты вектора вверх на одну позицию и перемещает первую координату вниз. Его характеристический многочлен 1 -  λ ³ , корни которого равны

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=1\\\lambda _{2}&=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\lambda _{3}&=\lambda _{2}^{*}=-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{aligned}}}$

где - мнимая единица с .${\displaystyle i}$${\displaystyle i^{2}=-1}$

Для вещественного собственного значения λ ₁ = 1 любой вектор с тремя равными ненулевыми элементами является собственным вектором. Например,

${\displaystyle A{\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}=1\cdot {\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}.}$

Для комплексно сопряженной пары мнимых собственных значений

${\displaystyle \lambda _{2}\lambda _{3}=1,\quad \lambda _{2}^{2}=\lambda _{3},\quad \lambda _{3}^{2}=\lambda _{2}.}$

потом

${\displaystyle A{\begin{bmatrix}1\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{2}\\\lambda _{3}\\1\end{bmatrix}}=\lambda _{2}\cdot {\begin{bmatrix}1\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{bmatrix}},}$

а также

${\displaystyle A{\begin{bmatrix}1\\\lambda _{3}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{3}\\\lambda _{2}\\1\end{bmatrix}}=\lambda _{3}\cdot {\begin{bmatrix}1\\\lambda _{3}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}.}$

Таким образом, две другие собственные векторы А являются сложными и и с собственными значениями Х ₂ и Х ₃ , соответственно. Два комплексных собственных вектора также входят в комплексно сопряженную пару:${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda _{2}}={\begin{bmatrix}1&\lambda _{2}&\lambda _{3}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda _{3}}={\begin{bmatrix}1&\lambda _{3}&\lambda _{2}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda _{2}}=\mathbf {v} _{\lambda _{3}}^{*}.}$

Пример диагональной матрицы [ править ]

Матрицы с элементами только по главной диагонали называются диагональными матрицами . Собственные значения диагональной матрицы - это сами диагональные элементы. Рассмотрим матрицу

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}}.}$

Характеристический многочлен A равен

${\displaystyle |A-\lambda I|=(1-\lambda )(2-\lambda )(3-\lambda ),}$

имеющий корни λ ₁ = 1 , λ ₂ = 2 и λ ₃ = 3 . Эти корни диагональные элементы, а также собственные  значения A .

Каждый диагональный элемент соответствует собственному вектору, единственный ненулевой компонент которого находится в той же строке, что и этот диагональный элемент. В этом примере собственные значения соответствуют собственным векторам,

${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda _{1}}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{2}}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{3}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},}$

соответственно, а также скалярные кратные этих векторов.

Пример треугольной матрицы [ править ]

Матрица, все элементы которой над главной диагональю равны нулю, называется нижней треугольной матрицей , а матрица, все элементы которой ниже главной диагонали равны нулю, называется верхней треугольной матрицей . Как и в случае диагональных матриц, собственные значения треугольных матриц являются элементами главной диагонали.

Рассмотрим нижнюю треугольную матрицу,

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&0\\1&2&0\\2&3&3\end{bmatrix}}.}$

Характеристический многочлен A равен

${\displaystyle |A-\lambda I|=(1-\lambda )(2-\lambda )(3-\lambda ),}$

имеющий корни λ ₁ = 1 , λ ₂ = 2 и λ ₃ = 3 . Эти корни диагональные элементы, а также собственные  значения A .

Эти собственные значения соответствуют собственным векторам,

${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda _{1}}={\begin{bmatrix}1\\-1\\{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{2}}={\begin{bmatrix}0\\1\\-3\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{3}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},}$

соответственно, а также скалярные кратные этих векторов.

Пример матрицы с повторяющимися собственными значениями [ править ]

Как и в предыдущем примере, нижняя треугольная матрица

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&0&0&0\\1&2&0&0\\0&1&3&0\\0&0&1&3\end{bmatrix}},}$

имеет характеристический многочлен, который является произведением его диагональных элементов,

${\displaystyle |A-\lambda I|={\begin{vmatrix}2-\lambda &0&0&0\\1&2-\lambda &0&0\\0&1&3-\lambda &0\\0&0&1&3-\lambda \end{vmatrix}}=(2-\lambda )^{2}(3-\lambda )^{2}.}$

Корни этого многочлена и, следовательно, собственные значения равны 2 и 3. Алгебраическая кратность каждого собственного значения равна 2; другими словами, они оба являются двойными корнями. Сумма алгебраических кратностей всех различных собственных значений μ = 4 = п , порядок характеристического полинома и размерность A .

С другой стороны, геометрическая кратность собственного значения 2 равна всего 1, потому что его собственное подпространство охватывает только один вектор и, следовательно, является одномерным. Точно так же геометрическая кратность собственного значения 3 равна 1, потому что его собственное подпространство охватывает только один вектор . Полная геометрическая кратность γ _A равна 2, что является наименьшим возможным значением для матрицы с двумя различными собственными значениями. Геометрические множественности определены в следующем разделе.${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1&-1&1\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0&1\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$

Тождество собственного вектора и собственного значения [ править ]

Для эрмитовой матрицы квадрат нормы j- го компонента нормализованного собственного вектора может быть вычислен с использованием только собственных значений матрицы и собственных значений соответствующей минорной матрицы ,

${\displaystyle |v_{i,j}|^{2}={\frac {\prod _{k}{(\lambda _{i}-\lambda _{k}(M_{j}))}}{\prod _{k\neq i}{(\lambda _{i}-\lambda _{k})}}},}$

где - подматрица, образованная удалением j- й строки и столбца из исходной матрицы. ^{[35] [36] [37]}${\textstyle M_{j}}$

Собственные значения и собственные функции дифференциальных операторов [ править ]

Определения собственного значения и собственных векторов линейного преобразования T остаются в силе, даже если лежащее в основе векторное пространство является бесконечномерным гильбертовым или банаховым пространством . Широко используемый класс линейных преобразований, действующих на бесконечномерные пространства, - это дифференциальные операторы на функциональных пространствах . Пусть D - линейный дифференциальный оператор на пространстве C ^∞ бесконечно дифференцируемых вещественных функций вещественного аргумента t . Уравнение на собственные значения для D - это дифференциальное уравнение

${\displaystyle Df(t)=\lambda f(t)}$

Функции, удовлетворяющие этому уравнению, являются собственными векторами D и обычно называются собственными функциями .

Пример производного оператора [ править ]

Рассмотрим производный оператор с уравнением на собственные значения${\displaystyle {\tfrac {d}{dt}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(t)=\lambda f(t).}$

Это дифференциальное уравнение можно решить, умножив обе части на dt / f ( t ) и проинтегрировав. Ее решение - экспоненциальная функция

${\displaystyle f(t)=f(0)e^{\lambda t},}$

- собственная функция производного оператора. В этом случае собственная функция сама является функцией связанного с ней собственного значения. В частности, при λ = 0 собственная функция f ( t ) является постоянной.

В основной статье о собственных функциях приводятся другие примеры.

Общее определение [ править ]

Понятие собственных значений и собственных векторов естественным образом распространяется на произвольные линейные преобразования в произвольных векторных пространствах. Пусть V любое векторное пространство над некоторым полем K из скаляров , и пусть Т линейное отображение преобразование V в V ,

${\displaystyle T:V\to V.}$

Будем говорить , что ненулевой вектор v ∈ V является собственным вектором из Т тогда и только тогда , когда существует скаляр А , ∈ K такое , что

${\displaystyle T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} .}$

( 5 )

Это уравнение называется уравнением на собственные значения для T , и скаляр λ является собственным значением из Т , соответствующий собственному вектору V . T ( v ) - результат применения преобразования T к вектору v , а λ v - произведение скаляра λ на v . ^{[38] [39]}

Собственные подпространства, геометрическая кратность и собственный базис [ править ]

Для собственного значения λ рассмотрим множество

${\displaystyle E=\left\{\mathbf {v} :T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} \right\},}$

который представляет собой объединение нулевого вектора с множеством всех собственных векторов, связанных с  λ . Е называется подпространством или характерным пространством из Т , связанное с  Й .

По определению линейного преобразования

${\displaystyle {\begin{aligned}T(\mathbf {x} +\mathbf {y} )&=T(\mathbf {x} )+T(\mathbf {y} ),\\T(\alpha \mathbf {x} )&=\alpha T(\mathbf {x} ),\end{aligned}}}$

для х ,  у  ∈ V и & alpha ;  ∈ K . Следовательно, если u и v - собственные векторы матрицы T, связанные с собственным значением λ , а именно u ,  v  ∈ E , то

${\displaystyle {\begin{aligned}T(\mathbf {u} +\mathbf {v} )&=\lambda (\mathbf {u} +\mathbf {v} ),\\T(\alpha \mathbf {v} )&=\lambda (\alpha \mathbf {v} ).\end{aligned}}}$

Таким образом, и u + v, и α v являются либо нулевыми, либо собственными векторами T, связанными с λ , а именно u + v , α v ∈ E , и E замкнут относительно сложения и скалярного умножения. Подпространство Е , связанные с Й , следовательно , является линейным подпространством V . ^[40] Если это подпространство имеет размерность 1, его иногда называют собственной линией . ^[41]

Геометрическая кратность γ _Т ( Х ) собственное значение λ есть размерность собственного подпространства , связанное с Й , то есть максимальным числом линейно независимых собственных векторов , связанных с этим собственным значением. ^{[10] [28]} По определению собственных значений и собственных векторов γ _T ( λ ) ≥ 1, поскольку каждое собственное значение имеет хотя бы один собственный вектор.

Собственные подпространства T всегда образуют прямую сумму . Как следствие, собственные векторы различных собственных значений всегда линейно независимы. Следовательно, сумма размерностей собственных подпространств не может превышать размерности n векторного пространства, в котором работает T , и не может быть более n различных собственных значений. ^[e]

Любое подпространство , натянутое на собственных векторах Т представляет собой инвариантное подпространство в Т , и сужение Т на такое подпространство диагонализируемо. Более того, если все векторное пространство V может быть покрыто собственными векторами T , или, что то же самое, если прямая сумма собственных подпространств, связанных со всеми собственными значениями T, является всем векторным пространством V , то базис V, называемый собственным базисом, может быть формируется из линейно независимых собственных векторов Т . Когда T допускает собственный базис, T диагонализуем.

Нулевой вектор как собственный вектор [ править ]

Хотя определение собственного вектора, используемое в этой статье, исключает нулевой вектор , можно определить собственные значения и собственные векторы так, чтобы нулевой вектор был собственным вектором. ^[42]

Рассмотрим снова уравнение на собственные значения, Уравнение ( 5 ). Определим собственное значение как любой скаляр λ ∈ K такой, что существует ненулевой вектор v ∈ V, удовлетворяющий уравнению ( 5 ). Важно, чтобы в этой версии определения собственного значения указывается, что вектор не равен нулю, иначе по этому определению нулевой вектор позволит любому скаляру в K быть собственным значением. Определим собственный вектор v, связанный с собственным значением λ, как любой вектор, который при заданном λ удовлетворяет уравнению ( 5). Учитывая собственное значение, нулевой вектор входит в число векторов, удовлетворяющих уравнению ( 5 ), поэтому нулевой вектор включается в число собственных векторов этим альтернативным определением.

Спектральная теория [ править ]

Если λ - собственное значение оператора T , то оператор ( T - λI ) не взаимно однозначен, и поэтому его обратный ( T - λI ) ⁻¹ не существует. Обратное верно для конечномерных векторных пространств, но не для бесконечномерных векторных пространств. В общем случае оператор ( T - λI ) может не иметь обратного, даже если λ не является собственным значением.

По этой причине в функциональном анализе собственные значения могут быть обобщены на спектр линейного оператора T как множество всех скаляров λ, для которых оператор ( T - λI ) не имеет ограниченного обратного. Спектр оператора всегда содержит все его собственные значения, но не ограничивается ими.

Ассоциативные алгебры и теория представлений [ править ]

Можно обобщить алгебраический объект, действующий в векторном пространстве, заменив единственный оператор, действующий в векторном пространстве, представлением алгебры - ассоциативной алгеброй, действующей на модуль . Изучение таких действий - область теории представлений .

Представление-теоретическое понятие веса является аналогом собственных значений, в то время как весовые векторы и весовые пространства являются аналогами собственных векторов и собственных подпространств, соответственно.

Динамические уравнения [ править ]

Простейшие разностные уравнения имеют вид

${\displaystyle x_{t}=a_{1}x_{t-1}+a_{2}x_{t-2}+\cdots +a_{k}x_{t-k}.}$

Решение этого уравнения относительно x через t находится с помощью его характеристического уравнения

${\displaystyle \lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{k-1}-a_{2}\lambda ^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda -a_{k}=0,}$

которые могут быть найдены путем объединения в матрицу, образуют набор уравнений, состоящий из вышеуказанного разностного уравнения и k  - 1 уравнений, дающих k- мерную систему первого порядка в суммированном векторе переменных с точки зрения его значения с однократным запаздыванием, взяв характеристическое уравнение матрицы этой системы. Это уравнение дает k характеристических корней для использования в решении уравнения${\displaystyle x_{t-1}=x_{t-1},\ \dots ,\ x_{t-k+1}=x_{t-k+1},}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{t}&\cdots &x_{t-k+1}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \lambda _{1},\,\ldots ,\,\lambda _{k},}$

${\displaystyle x_{t}=c_{1}\lambda _{1}^{t}+\cdots +c_{k}\lambda _{k}^{t}.}$

Аналогичная процедура используется для решения дифференциального уравнения вида

${\displaystyle {\frac {d^{k}x}{dt^{k}}}+a_{k-1}{\frac {d^{k-1}x}{dt^{k-1}}}+\cdots +a_{1}{\frac {dx}{dt}}+a_{0}x=0.}$

Расчет [ править ]

Вычисление собственных значений и собственных векторов - это тема, в которой теория, представленная в учебниках элементарной линейной алгебры, часто очень далека от практики.

Классический метод [ править ]

Классический метод состоит в том, чтобы сначала найти собственные значения, а затем вычислить собственные векторы для каждого собственного значения. В некоторых отношениях он плохо подходит для неточной арифметики, такой как вычисления с плавающей запятой .

Собственные значения [ править ]

Собственные значения матрицы можно определить, найдя корни характеристического полинома. Для матриц это легко , но сложность быстро увеличивается с увеличением размера матрицы.${\displaystyle A}$${\displaystyle 2\times 2}$

Теоретически коэффициенты характеристического полинома можно вычислить точно, поскольку они являются суммами произведений матричных элементов; и есть алгоритмы, которые могут найти все корни многочлена произвольной степени с любой требуемой точностью . ^[43] Однако этот подход нежизнеспособен на практике, потому что коэффициенты будут загрязнены неизбежными ошибками округления , а корни полинома могут быть чрезвычайно чувствительной функцией коэффициентов (как показано на примере полинома Уилкинсона ). ^[43] Даже для матриц, элементы которых являются целыми числами, вычисление становится нетривиальным, потому что суммы очень длинные; постоянный член - это определитель , который для${\displaystyle n\times n}$представляет собой сумму различных продуктов. ^[f]${\displaystyle n!}$

Явные алгебраические формулы для корней многочлена существуют, только если степень 4 или меньше. Согласно теореме Абеля – Руффини не существует общей, явной и точной алгебраической формулы для корней многочлена степени 5 или выше. (Общность имеет значение, потому что любой многочлен со степенью является характеристическим многочленом некоторой сопутствующей матрицы порядка .) Следовательно, для матриц порядка 5 или более собственные значения и собственные векторы не могут быть получены с помощью явной алгебраической формулы и поэтому должны быть вычислены приближенно численные методы . Даже точная формула для корней полинома 3-й степени нецелесообразна в числовом отношении.${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Собственные векторы [ править ]

Как только (точное) значение собственного значения известно, соответствующие собственные векторы могут быть найдены путем нахождения ненулевых решений уравнения на собственные значения, которое становится системой линейных уравнений с известными коэффициентами. Например, если известно, что 6 - собственное значение матрицы

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}4&1\\6&3\end{bmatrix}}}$

мы можем найти его собственные векторы, решив уравнение , то есть${\displaystyle Av=6v}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}4&1\\6&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=6\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$

Это матричное уравнение эквивалентно двум линейным уравнениям

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}4x+y&=6x\\6x+3y&=6y\end{aligned}}\right.}$      это      ${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}-2x+y&=0\\6x-3y&=0\end{aligned}}\right.}$

Оба уравнения сводятся к одному линейному уравнению . Следовательно, любой вектор формы для любого ненулевого действительного числа является собственным вектором с собственным значением .${\displaystyle y=2x}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&2a\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda =6}$

Матрица выше имеет другое собственное значение . Подобный расчет показывает, что соответствующие собственные векторы являются ненулевыми решениями , то есть любого вектора формы для любого ненулевого действительного числа .${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda =1}$${\displaystyle 3x+y=0}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}b&-3b\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$${\displaystyle b}$

Простые итерационные методы [ править ]

Обратный подход, когда сначала ищут собственные векторы, а затем определяют каждое собственное значение по собственному вектору, оказывается гораздо более приемлемым для компьютеров. Самый простой алгоритм здесь состоит из выбора произвольного начального вектора и последующего многократного умножения его на матрицу (при желании нормализация вектора для сохранения его элементов разумного размера); это заставляет вектор сходиться к собственному вектору. Вариант состоит в том, чтобы вместо этого умножить вектор на ; это заставляет его сходиться к собственному вектору собственного значения, ближайшего к .${\displaystyle (A-\mu I)^{-1}}$${\displaystyle \mu \in \mathbb {C} }$

Если это (хорошее приближение) собственный вектор , то соответствующее собственное значение может быть вычислено как${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \lambda ={\frac {\mathbf {v} ^{*}A\mathbf {v} }{\mathbf {v} ^{*}\mathbf {v} }}}$

где обозначает сопряженное транспонирование о .${\displaystyle \mathbf {v} ^{*}}$${\displaystyle \mathbf {v} }$

Современные методы [ править ]

Эффективные и точные методы вычисления собственных значений и собственных векторов произвольных матриц не были известны до тех пор, пока в 1961 году не был разработан QR-алгоритм. ^[43] Объединение преобразования Хаусхолдера с LU-разложением приводит к алгоритму с лучшей сходимостью, чем QR-алгоритм. ^{[ Править ]} Для больших эрмитовых разреженных матриц , то Ланцош алгоритм является одним из примеров эффективного итерационного метода для вычисления собственных значений и собственных векторов, среди нескольких других возможностей. ^[43]

Большинство числовых методов, которые вычисляют собственные значения матрицы, также определяют набор соответствующих собственных векторов как побочный продукт вычислений, хотя иногда разработчики предпочитают отбрасывать информацию о собственном векторе, как только она больше не нужна.

Приложения [ править ]

Собственные значения геометрических преобразований [ править ]

В следующей таблице представлены некоторые примеры преобразований на плоскости вместе с их матрицами 2 × 2, собственными значениями и собственными векторами.

	Масштабирование	Неравномерное масштабирование	Вращение	Горизонтальный сдвиг	Гиперболическое вращение
Иллюстрация
Матрица	${\displaystyle {\begin{bmatrix}k&0\\0&k\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}k_{1}&0\\0&k_{2}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}c&-s\\s&c\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle c=\cos \theta }$ ${\displaystyle s=\sin \theta }$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}c&s\\s&c\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle c=\cosh \varphi }$ ${\displaystyle s=\sinh \varphi }$
Характеристический полином	${\displaystyle \ (\lambda -k)^{2}}$	${\displaystyle (\lambda -k_{1})(\lambda -k_{2})}$	${\displaystyle \lambda ^{2}-2c\lambda +1}$	${\displaystyle \ (\lambda -1)^{2}}$	${\displaystyle \lambda ^{2}-2c\lambda +1}$
Собственные значения, ${\displaystyle \lambda _{i}}$	${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=k}$	${\displaystyle \lambda _{1}=k_{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}=k_{2}}$	${\displaystyle \lambda _{1}=e^{i\theta }=c+si}$ ${\displaystyle \lambda _{2}=e^{-i\theta }=c-si}$	${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=1}$	${\displaystyle \lambda _{1}=e^{\varphi }}$ ${\displaystyle \lambda _{2}=e^{-\varphi }}$,
Алгебраический мульт. , ${\displaystyle \mu _{i}=\mu (\lambda _{i})}$	${\displaystyle \mu _{1}=2}$	${\displaystyle \mu _{1}=1}$ ${\displaystyle \mu _{2}=1}$	${\displaystyle \mu _{1}=1}$ ${\displaystyle \mu _{2}=1}$	${\displaystyle \mu _{1}=2}$	${\displaystyle \mu _{1}=1}$ ${\displaystyle \mu _{2}=1}$
Геометрический мульт. , ${\displaystyle \gamma _{i}=\gamma (\lambda _{i})}$	${\displaystyle \gamma _{1}=2}$	${\displaystyle \gamma _{1}=1}$ ${\displaystyle \gamma _{2}=1}$	${\displaystyle \gamma _{1}=1}$ ${\displaystyle \gamma _{2}=1}$	${\displaystyle \gamma _{1}=1}$	${\displaystyle \gamma _{1}=1}$ ${\displaystyle \gamma _{2}=1}$
Собственные векторы	Все ненулевые векторы	${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\\\mathbf {u} _{2}&={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&={\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}}\\\mathbf {u} _{2}&={\begin{bmatrix}1\\+i\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$	${\displaystyle \mathbf {u} _{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}\\\mathbf {u} _{2}&={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Характеристическое уравнение для вращения - это квадратное уравнение с дискриминантом , которое является отрицательным числом, если θ не является целым числом, кратным 180 °. Следовательно, за исключением этих частных случаев, два собственных значения являются комплексными числами ,; и все собственные векторы имеют ненастоящие элементы. В самом деле, за исключением этих особых случаев, вращение изменяет направление любого ненулевого вектора на плоскости.${\displaystyle D=-4(\sin \theta )^{2}}$${\displaystyle \cos \theta \pm i\sin \theta }$

Линейное преобразование, которое преобразует квадрат в прямоугольник той же площади ( отображение сжатия ), имеет обратные собственные значения.

Уравнение Шредингера [ править ]

В волновые функции , связанные с связанными состояниями в качестве электрона в атоме водорода можно рассматривать как собственные векторы атома водорода Гамильтона , а также от оператора углового момента . Они связаны с собственными значениями, интерпретируемыми как их энергия (возрастающая вниз:) и угловой момент (увеличивающаяся через: s, p, d,…). На рисунке показан квадрат абсолютного значения волновых функций. Более яркие области соответствуют более высокой плотности вероятности измерения местоположения . В центре каждой фигуры находится атомное ядро , протон${\displaystyle n=1,\,2,\,3,\,\ldots }$.

Примером уравнения на собственные значения, в котором преобразование представлено в терминах дифференциального оператора, является не зависящее от времени уравнение Шредингера в квантовой механике :${\displaystyle T}$

${\displaystyle H\psi _{E}=E\psi _{E}\,}$

где , то гамильтониан , является вторым порядком дифференциального оператора , и , то волновая функция , является одним из его собственных функций , соответствующих собственного значения , интерпретируемых в качестве энергии .${\displaystyle H}$${\displaystyle \psi _{E}}$${\displaystyle E}$

Однако в случае, когда вас интересуют только решения для связанных состояний уравнения Шредингера, его ищут в пространстве функций, интегрируемых с квадратом . Поскольку это пространство является гильбертовым пространством с четко определенным скалярным произведением , можно ввести базисный набор, в котором и могут быть представлены как одномерный массив (т. Е. Вектор) и матрица соответственно. Это позволяет представить уравнение Шредингера в матричной форме.${\displaystyle \psi _{E}}$${\displaystyle \psi _{E}}$${\displaystyle H}$

В этом контексте часто используется обозначение бюстгальтера . Вектор, который представляет состояние системы, в гильбертовом пространстве функций, интегрируемых с квадратом, представлен как . В этих обозначениях уравнение Шредингера имеет вид:${\displaystyle |\Psi _{E}\rangle }$

${\displaystyle H|\Psi _{E}\rangle =E|\Psi _{E}\rangle }$

где это собственное состояние из и представляет собой собственное значение. является наблюдаемым самосопряженным оператором , бесконечномерным аналогом эрмитовых матриц. Как и в случае с матрицей, в приведенном выше уравнении понимается вектор, полученный преобразованием в .${\displaystyle |\Psi _{E}\rangle }$${\displaystyle H}$${\displaystyle E}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H|\Psi _{E}\rangle }$${\displaystyle H}$${\displaystyle |\Psi _{E}\rangle }$