Определенная симметричная матрица

В линейной алгебре , А симметрична реальная матрица называется положительно определенной , если скалярный строго положительна для любого ненулевого столбца вектора из действительных чисел. Здесь обозначает транспонирование о . ^[1] При интерпретации в качестве выхода оператора, , что действует на входе, , свойство положительной определенности означает , что выходной сигнал всегда имеет положительное скалярное произведение с входом, как это часто наблюдается в физических процессах. Другими словами, это в общем направлении${\ Displaystyle п \ раз п}$ ${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle Z ^ {\textf {T}} Mz}$ ${\ displaystyle z}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle Z ^ {\textf {T}}}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle Mz}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle Mz}$${\ displaystyle z}$(в пределах угла от ).${\ displaystyle \ pi / 2}$${\ displaystyle z}$

В целом, комплекс эрмитова матрица называется положительно определенным , если скалярное строго положительны для каждого вектора ненулевого столбца из комплексных чисел. Здесь обозначает сопряженное транспонирование о . Обратите внимание, что это автоматически реально, поскольку является эрмитовым.${\ Displaystyle п \ раз п}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle z ^ {*} Mz}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle z ^ {*}}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z ^ {*} Mz}$${\ displaystyle M}$

Положительные полуопределенные матрицы определяются аналогично, за исключением того, что указанные выше скаляры или должны быть положительными или нулевыми (т. Е. Неотрицательными). Аналогично определяются отрицательно-определенные и отрицательно-полуопределенные матрицы. Матрица, которая не является положительно полуопределенной и не отрицательной полуопределенной, называется неопределенной .${\ Displaystyle Z ^ {\textf {T}} Mz}$${\ displaystyle z ^ {*} Mz}$

Матрица положительно определена тогда и только тогда , когда билинейная форма является положительно определенной (и аналогично для положительно определенной формы полуторалинейной в комплексном случае). Это координатная реализация скалярного продукта в векторном пространстве . ^[2]${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle \ langle z, w \ rangle = z ^ {\textf {T}} Mw}$

Некоторые авторы используют более общие определения определенности, включая некоторые несимметричные вещественные матрицы или неэрмитовы комплексные.

Определения [ править ]

В следующих определениях, является транспонированием , является сопряженной транспозицией от и обозначает п - мерный вектор нулевого.${\ Displaystyle \ mathbf {х} ^ {\textf {T}}}$${\ displaystyle \ mathbf {x}}$${\ Displaystyle \ mathbf {х} ^ {*}}$${\ displaystyle \ mathbf {x}}$${\ displaystyle \ mathbf {0}}$

Определения для вещественных матриц [ править ]

Симметричная вещественная матрица называется положительно определенной , если для всех ненулевых в . Формально,${\ Displaystyle п \ раз п}$${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle \ mathbf {x} ^ {\textf {T}} M \ mathbf {x}> 0}$${\ displaystyle \ mathbf {x}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Симметричная вещественная матрица называется неотрицательно или неотрицательно определенной , если для всех в . Формально,${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{\textsf {T}}M\mathbf {x} \geq 0}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Симметричная вещественная матрица называется отрицательно определенной , если для всех ненулевых в . Формально,${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{\textsf {T}}M\mathbf {x} <0}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Симметричная вещественная матрица называется отрицательным полуопределенным или без положительной определенности , если для всех в . Формально,${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x^{\textsf {T}}Mx\leq 0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Симметричная вещественная матрица , которая не является ни положительным , ни полуопределенной полуотрицательно называется неопределенным .${\displaystyle n\times n}$

Определения для сложных матриц [ править ]

Все следующие определения включают этот термин . Обратите внимание, что это всегда действительное число для любой квадратной эрмитовой матрицы .${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}M\mathbf {x} }$${\displaystyle M}$

Эрмитова комплексная матрица называется положительно определенной , если для всех ненулевых в . Формально,${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}M\mathbf {x} >0}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Эрмитова комплексная матрица называется положительной полуопределенная или неотрицательно определенной , если для всех в . Формально,${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x^{*}Mx\geq 0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Эрмитова комплексная матрица называется отрицательно определенной , если для всех ненулевых в . Формально,${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}M\mathbf {x} <0}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Эрмитова комплексная матрица называется отрицательной полуопределенная или без положительной определенности , если для всех в . Формально,${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}M\mathbf {x} \leq 0}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Эрмитова комплексная матрица , которая не является ни положительным , ни полуопределенной полуотрицательно называется неопределенным .${\displaystyle n\times n}$

Согласованность между реальными и сложными определениями [ править ]

Поскольку каждая вещественная матрица также является комплексной матрицей, определения «определенности» для этих двух классов должны согласовываться.

Для сложных матриц наиболее распространенное определение гласит, что « положительно определен, если и только если он действительный и положительный для всех ненулевых комплексных векторов-столбцов ». Это условие означает, что оно эрмитово (т. Е. Его транспонирование совпадает со своим сопряженным). Чтобы убедиться в этом, рассмотрим матрицы и , чтобы и . Матрицы и эрмитовы, поэтому и индивидуально реально. Если реально, то для всех должно быть ноль . Тогда - нулевая матрица и , что доказывает, эрмитова.${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbf {z} }$${\displaystyle M}$${\textstyle A={\frac {1}{2}}\left(M+M^{*}\right)}$${\textstyle B={\frac {1}{2i}}\left(M-M^{*}\right)}$${\displaystyle M=A+iB}$${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} =\mathbf {z} ^{*}A\mathbf {z} +i\mathbf {z} ^{*}B\mathbf {z} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}A\mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}B\mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}B\mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbf {z} }$${\displaystyle B}$${\displaystyle M=A}$${\displaystyle M}$

По этому определению положительно определенная вещественная матрица эрмитова, следовательно, симметрична; и положительный для всех ненулевых действительных векторов-столбцов . Однако одного последнего условия недостаточно для того, чтобы быть положительно определенным. Например, если${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {z} ^{\textsf {T}}M\mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbf {z} }$${\displaystyle M}$

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}},}$

то для любого действительного вектора с элементами, а у нас есть , что всегда положительно, если не равно нулю. Однако, если это сложный вектор с элементами и , получается${\displaystyle \mathbf {z} }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \mathbf {z} ^{\textsf {T}}M\mathbf {z} =\left(a+b\right)a+\left(-a+b\right)b=a^{2}+b^{2}}$${\displaystyle \mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbf {z} }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} ={\begin{bmatrix}1&-i\end{bmatrix}}M{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+i&1-i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}}=2+2i}$

что не реально. Следовательно, не является положительно-определенным.${\displaystyle M}$

С другой стороны, для симметричной вещественной матрицы , условие « для всех ненулевых вещественных векторов » это означает , что положительно определена в комплексном смысле.${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {z} ^{\textsf {T}}M\mathbf {z} >0}$${\displaystyle \mathbf {z} }$${\displaystyle M}$

Обозначение [ править ]

Если эрмитова матрица положительно полуопределенная, иногда пишут, а если положительно определенную - пишут . Для обозначения отрицательного полуопределенного пишут, а для обозначения отрицательно-определенного пишут .${\displaystyle M}$${\displaystyle M\succeq 0}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M\succ 0}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M\preceq 0}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M\prec 0}$

Это понятие пришло из функционального анализа, в котором положительные полуопределенные матрицы определяют положительные операторы .

Общая альтернатива обозначение , , и для положительных полуопределенных и положительно определенных, отрицательно полуопределенных и отрицательных определенных матриц, соответственно. Это может сбивать с толку, так как иногда неотрицательные матрицы (соответственно, неположительные матрицы) также обозначаются таким образом.${\displaystyle M\geq 0}$${\displaystyle M>0}$${\displaystyle M\leq 0}$${\displaystyle M<0}$

Примеры [ править ]

Собственные значения [ править ]

Позвольте быть эрмитовой матрицей . Это означает, что все его собственные значения действительны.${\displaystyle M}$${\displaystyle n\times n}$

• ${\displaystyle M}$ положительно определен тогда и только тогда, когда все его собственные значения положительны.
• ${\displaystyle M}$ положительно полуопределено тогда и только тогда, когда все его собственные значения неотрицательны.
• ${\displaystyle M}$ отрицательно определен тогда и только тогда, когда все его собственные значения отрицательны
• ${\displaystyle M}$ отрицательно полуопределено тогда и только тогда, когда все его собственные значения неположительны.
• ${\displaystyle M}$ неопределенно тогда и только тогда, когда у него есть как положительные, так и отрицательные собственные значения.

Пусть быть eigendecomposition из , где представляет собой унитарную матрицу сложной , столбцы которой содержит ортогональный базис из собственных векторов из , и является реальной диагональной матрицей , чья главной диагональ содержит соответствующие собственные значения . Матрицу можно рассматривать как диагональную матрицу , которая была повторно выражена в координатах базиса (собственных векторов) . Другими словами, применение M к некоторому вектору z в нашей системе координат ( M z ) аналогично${\displaystyle PDP^{-1}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle P}$${\displaystyle M}$${\displaystyle D}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle D}$${\displaystyle P}$изменение базиса нашего z на систему координат собственного вектора с использованием P ⁻¹ ( P ⁻¹ z ), применение к нему растягивающего преобразования D ( DP ⁻¹ z ), а затем изменение базиса обратно в нашу систему с помощью P ( PDP ^{- 1} з ).

Имея это в виду, однозначное изменение переменной показывает, что она действительна и положительна для любого комплексного вектора тогда и только тогда, когда она действительна и положительна для любого ; другими словами, если положительно определено. Для диагональной матрицы это верно, только если каждый элемент главной диагонали, то есть каждое собственное значение , положителен. Поскольку спектральная теорема гарантирует, что все собственные значения эрмитовой матрицы будут действительными, положительность собственных значений может быть проверена с помощью правила чередования знаков Декарта, когда доступен характеристический многочлен реальной симметричной матрицы .${\displaystyle \mathbf {y} =P\mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbf {y} ^{*}D\mathbf {y} }$${\displaystyle y}$${\displaystyle D}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

Разложение [ править ]

Позвольте быть эрмитовой матрицей . положительно полуопределено тогда и только тогда, когда оно может быть разложено как произведение${\displaystyle M}$${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle M=B^{*}B}$

матрицы с сопряженным транспонированием .${\displaystyle B}$

Когда реально, также может быть реальным, и разложение можно записать как ${\displaystyle M}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle M=B^{\textsf {T}}B.}$

${\displaystyle M}$положительно определено тогда и только тогда, когда такое разложение существует с обратимым . В более общем смысле, положительно полуопределенный с рангом тогда и только тогда, когда существует разложение с матрицей полного ранга строки (т. Е. Ранга ). Кроме того, для любого разложения , . ^[3]${\displaystyle B}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k\times n}$${\displaystyle B}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M=B^{*}B}$${\displaystyle \operatorname {rank} (M)=\operatorname {rank} (B)}$

Колонны из можно рассматривать как векторы в комплексном или вещественном векторном пространстве , соответственно. Тогда элементы являются внутренними продуктами (то есть скалярными произведениями , в реальном случае) этих векторов${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle M_{ij}=\langle b_{i},b_{j}\rangle .}$

Другими словами, эрмитова матрица положительно полуопределенная тогда и только тогда, когда она является матрицей Грама некоторых векторов . Она положительно определена тогда и только тогда, когда она является матрицей Грама некоторых линейно независимых векторов. В общем, ранг матрицы векторов Грама равен размерности пространства, натянутого на эти векторы. ^[4]${\displaystyle M}$${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$

Уникальность с точностью до унитарных преобразований [ править ]

Разложение не однозначно: если для некоторой матрицы и если - любая унитарная матрица (смысл ), то для .${\displaystyle M=B^{*}B}$${\displaystyle k\times n}$${\displaystyle B}$${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle k\times k}$${\displaystyle Q^{*}Q=QQ^{*}=I}$${\displaystyle M=B^{*}B=B^{*}Q^{*}QB=A^{*}A}$${\displaystyle A=QB}$

Однако это единственный способ, которым два разложения могут различаться: разложение уникально с точностью до унитарных преобразований . Более формально, если это матрица и является матрицей , такими , что , то есть матрица с ортонормирован- столбцами (смысловой ) такие , что . ^[5] Когда это означает является унитарной .${\displaystyle A}$${\displaystyle k\times n}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \ell \times n}$${\displaystyle A^{*}A=B^{*}B}$${\displaystyle \ell \times k}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q^{*}Q=I_{k\times k}}$${\displaystyle B=QA}$${\displaystyle \ell =k}$${\displaystyle Q}$

Это утверждение имеет интуитивно понятную геометрическую интерпретацию в реальном случае: пусть столбцы и будут векторами и in . Реальная унитарная матрица - это ортогональная матрица , которая описывает жесткое преобразование (изометрию евклидова пространства ), сохраняющее нулевую точку (то есть повороты и отражения без сдвигов). Следовательно, скалярные произведения и равны тогда и только тогда, когда какое-то жесткое преобразование преобразует векторы в (и 0 в 0).${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle a_{i}\cdot a_{j}}$${\displaystyle b_{i}\cdot b_{j}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$

Квадратный корень [ править ]

Матрица является положительно полуопределенной тогда и только тогда, когда существует положительно полуопределенная матрица (в частности , эрмитова, поэтому ) удовлетворяющая . Эта матрица уникальна, ^[6] называется неотрицательным квадратным корнем из и обозначается значком . Когда положительно определено, так и есть , поэтому его также называют положительным квадратным корнем из .${\displaystyle M}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B^{*}=B}$${\displaystyle M=BB}$${\displaystyle B}$${\displaystyle M}$${\displaystyle B=M^{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M^{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle M}$

Неотрицательный квадратный корень не следует путать с другими разложениями . Некоторые авторы используют имя квадратный корень и для любого такого разложения, или, в частности, для разложения Холецкого или любого разложения формы ; другие используют его только для неотрицательного квадратного корня.${\displaystyle M=B^{*}B}$${\displaystyle M^{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle M=BB}$

Если тогда .${\displaystyle M>N>0}$${\displaystyle M^{\frac {1}{2}}>N^{\frac {1}{2}}>0}$

Разложение Холецкого [ править ]

Положительная полуопределенная матрица может быть записана как , где - нижний треугольник с неотрицательной диагональю (эквивалентно где - верхний треугольник); это разложение Холецкого . Если положительно определен, то диагональ положительна и разложение Холецкого единственно. Разложение Холецкого особенно полезно для эффективных численных расчетов. Разложение тесно связано это разложение ЛНП , где диагоналей и находится ниже унитреугольная .${\displaystyle M}$${\displaystyle M=LL^{*}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle M=B^{*}B}$${\displaystyle B=L^{*}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle L}$${\displaystyle M=LDL^{*}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle L}$

Другие характеристики [ править ]

Позвольте быть эрмитовой матрицей . Следующие свойства эквивалентны положительной определенности:${\displaystyle M}$${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M}$

Соответствующая полуторалинейная форма является внутренним продуктом.

Полуторалинейная форма определяется функция от , чтобы таким образом, что для всех и в , где сопряженном транспонированном . Для любой комплексной матрицы эта форма линейна по и полулинейна по . Следовательно, форма является внутренним продуктом в том и только в том случае, если она действительна и положительна для всех ненулевых ; то есть тогда и только тогда, когда положительно определен. (Фактически, каждое внутреннее произведение на возникает таким образом из эрмитовой положительно определенной матрицы.)${\displaystyle M}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \langle x,y\rangle :=y^{*}Mx}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle y^{*}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \langle z,z\rangle }$${\displaystyle z}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Все ведущие основные несовершеннолетние положительные

К - й ведущий главный минор матрицы является определяющим фактором его верхнего левого подматрицы. Оказывается, матрица положительно определена тогда и только тогда, когда все эти определители положительны. Это условие известно как критерий Сильвестра и обеспечивает эффективную проверку положительной определенности симметричной вещественной матрицы. А именно, матрица сводится к верхнетреугольной матрице с использованием элементарных операций со строками , как в первой части метода исключения Гаусса , заботясь о сохранении знака ее определителя во время процесса поворота . Поскольку k${\displaystyle M}$${\displaystyle k\times k}$-й ведущий главный минор треугольной матрицы является произведением ее диагональных элементов до строки , критерий Сильвестра эквивалентен проверке, все ли ее диагональные элементы положительны. Это условие можно проверять каждый раз, когда получается новая строка треугольной матрицы.${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

Положительно полуопределенная матрица положительно определена тогда и только тогда, когда она обратима . ^[7] Матрица отрицательна (полу) определена тогда и только тогда, когда она положительна (полу) определена.${\displaystyle M}$${\displaystyle -M}$

Квадратичные формы [ править ]

(Чисто) квадратичная форма, связанная с вещественной матрицей, - это функция, такая что для всех . можно считать симметричным, заменив его на .${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle Q:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle Q(x)=x^{\textsf {T}}Mx}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(M+M^{\textsf {T}}\right)}$

Симметричная матрица положительно определена тогда и только тогда, когда ее квадратичная форма является строго выпуклой функцией .${\displaystyle M}$

В более общем смысле, любая квадратичная функция от до может быть записана как где - симметричная матрица, - действительный вектор и действительная константа. Эта квадратичная функция строго выпукла и, следовательно, имеет единственный конечный глобальный минимум тогда и только тогда, когда она положительно определена. По этой причине положительно определенные матрицы играют важную роль в задачах оптимизации .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle x^{\textsf {T}}Mx+x^{\textsf {T}}b+c}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$${\displaystyle c}$${\displaystyle M}$

Одновременная диагонализация [ править ]

Симметричная матрица и другая симметричная и положительно определенная матрица могут быть одновременно диагонализованы , хотя и не обязательно с помощью преобразования подобия . Этот результат не распространяется на случай трех и более матриц. В этом разделе мы пишем для реального случая. Немедленное распространение на сложный случай.

Позвольте быть симметричной и симметричной и положительно определенной матрицы. Напишите обобщенное уравнение на собственные значения как там, где мы налагаем нормировку, т . Е. Теперь мы используем разложение Холецкого, чтобы записать обратное к as . Умножая на и позволяя , мы получаем , что можно переписать как где . Манипуляция теперь дает где - матрица, имеющая в качестве столбцов обобщенные собственные векторы, а - диагональная матрица обобщенных собственных значений. Теперь предварительное умножение на дает окончательный результат: и${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \left(M-\lambda N\right)\mathbf {x} =0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{\textsf {T}}N\mathbf {x} =1}$${\displaystyle N}$${\displaystyle Q^{\textsf {T}}Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \mathbf {x} =Q^{\textsf {T}}\mathbf {y} }$${\displaystyle Q\left(M-\lambda N\right)Q^{\textsf {T}}\mathbf {y} =0}$${\displaystyle \left(QMQ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {y} =\lambda \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {y} ^{\textsf {T}}\mathbf {y} =1}$${\displaystyle MX=NX\Lambda }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle X^{\textsf {T}}}$${\displaystyle X^{\textsf {T}}MX=\Lambda }$${\displaystyle X^{\textsf {T}}NX=I}$, но обратите внимание, что это больше не ортогональная диагонализация по отношению к внутреннему произведению где . Фактически, мы диагонализовали относительно внутреннего продукта, индуцированного . ^[8]${\displaystyle \mathbf {y} ^{\textsf {T}}\mathbf {y} =1}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$

Обратите внимание, что этот результат не противоречит тому, что сказано об одновременной диагонализации в статье « Диагонализируемая матрица» , которая относится к одновременной диагонализации посредством преобразования подобия. Наш результат здесь больше похож на одновременную диагонализацию двух квадратичных форм и полезен для оптимизации одной формы при условиях другой.

Свойства [ править ]

Вызванное частичное упорядочивание [ править ]

Для произвольных квадратных матриц , мы пишем , если есть, является положительным полуопределенным. Это определяет частичный порядок на множестве всех квадратных матриц. Аналогичным образом можно определить строгий частичный порядок . Заказ называется заказом Лёвнера .${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M\geq N}$${\displaystyle M-N\geq 0}$${\displaystyle M-N}$${\displaystyle M>N}$

Инверсия положительно определенной матрицы [ править ]

Любая положительно определенная матрица обратима, и ее обратная матрица также положительно определена. ^[9] Если тогда . ^[10] Более того, по теореме min-max , k- е наибольшее собственное значение для больше, чем k- е наибольшее собственное значение .${\displaystyle M\geq N>0}$${\displaystyle N^{-1}\geq M^{-1}>0}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$

Масштабирование [ править ]

Если положительно определено и является действительным числом, то положительно определено. ^[11]${\displaystyle M}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle rM}$

Дополнение [ править ]

• Если и положительно определены, то сумма также положительно определена. ^[11]${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M+N}$
• Если и положительно-полуопределенные, то и положительно-полуопределенная сумма .${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M+N}$
• Если положительно определен и положительно полуопределен, то сумма также положительно определена.${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M+N}$

Умножение [ править ]

• Если и положительно определены, то произведения и также положительно определены. Если , то также положительно определено.${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle MNM}$${\displaystyle NMN}$${\displaystyle MN=NM}$${\displaystyle MN}$
• Если положительно полуопределенный, то положительно полуопределенный для любой (возможно, прямоугольной) матрицы . Если положительно определен и имеет полный ранг столбца, то положительно определен. ^[12]${\displaystyle M}$${\displaystyle A^{*}MA}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{*}MA}$

Подматрицы [ править ]

Каждая главная подматрица положительно определенной матрицы положительно определена.

След [ править ]

Диагональные элементы положительно-полуопределенной матрицы действительны и неотрицательны. Как следствие этого , след , . Кроме того, ^[13], поскольку каждая главная подматрица (в частности, 2 на 2) положительно полуопределенная,${\displaystyle m_{ii}}$${\displaystyle \operatorname {tr} (M)\geq 0}$

${\displaystyle \left|m_{ij}\right|\leq {\sqrt {m_{ii}m_{jj}}}\quad \forall i,j}$

и, таким образом, когда ,${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle \max _{i,j}\left|m_{ij}\right|\leq \max _{i}m_{ii}}$

Эрмитова матрица положительно определена , если она удовлетворяет следующие неравенства следовых: ^[14]${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \operatorname {tr} (M)>0\quad \mathrm {and} \quad {\frac {(\operatorname {tr} (M))^{2}}{\operatorname {tr} (M^{2})}}>n-1.}$

Другой важный результат состоит в том, что для любых и положительно-полуопределенных матриц${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \operatorname {tr} (MN)\geq 0}$

Произведение Адамара [ править ]

Если , хотя это и не обязательно, положительно полуопределенное произведение, произведение Адамара будет (этот результат часто называют теоремой Шура о произведении ). ^[15]${\displaystyle M,N\geq 0}$${\displaystyle MN}$${\displaystyle M\circ N\geq 0}$

Что касается Адамара двух положительных полуопределенных матриц , есть два заметных неравенства:${\displaystyle M=(m_{ij})\geq 0}$${\displaystyle N\geq 0}$

• Неравенство Оппенгейма: ^[16]${\displaystyle \det(M\circ N)\geq \det(N)\prod \nolimits _{i}m_{ii}.}$
• ${\displaystyle \det(M\circ N)\geq \det(M)\det(N)}$. ^[17]

Продукт Кронекера [ править ]

Если , хотя и не обязательно, положительно полуопределенное произведение Кронекера .${\displaystyle M,N\geq 0}$${\displaystyle MN}$ ${\displaystyle M\otimes N\geq 0}$

Продукт Фробениуса [ править ]

Если , хотя и не обязательно, положительно полуопределенное произведение, произведение Фробениуса (Ланкастер – Тисменецкий, Теория матриц , стр. 218).${\displaystyle M,N\geq 0}$${\displaystyle MN}$ ${\displaystyle M:N\geq 0}$

Выпуклость [ править ]

Множество положительно полуопределенных симметрических матриц выпукло . То есть, если и положительно полуопределены, то для любого между 0 и 1 также положительно полуопределены. Для любого вектора :${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha M+\left(1-\alpha \right)N}$${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\textsf {T}}\left(\alpha M+\left(1-\alpha \right)N\right)\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x} ^{\textsf {T}}M\mathbf {x} +(1-\alpha )\mathbf {x} ^{\textsf {T}}N\mathbf {x} \geq 0.}$

Это свойство гарантирует, что задачи полуопределенного программирования сходятся к глобально оптимальному решению.

Связь с косинусом [ править ]

Положительная определенность матрицы выражает то, что угол между любым вектором и его изображением всегда равен :${\displaystyle A}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle A\mathbf {x} }$${\displaystyle -\pi /2<\theta <+\pi /2}$

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {x} ^{T}A\mathbf {x} }{\lVert \mathbf {x} \rVert \lVert A\mathbf {x} \rVert }}={\frac {\langle \mathbf {x} ,A\mathbf {x} \rangle }{\lVert \mathbf {x} \rVert \lVert A\mathbf {x} \rVert }},\theta =\theta (\mathbf {x} ,A\mathbf {x} )={\widehat {\mathbf {x} ,A\mathbf {x} }}={\text{the angle between }}\mathbf {x} {\text{ and }}A\mathbf {x} }$

Другие свойства [ править ]

1. Если это симметричная матрица Теплица , т.е. записи приведены в зависимости от их абсолютных разностей индексов: и строгое неравенство имеет место, то есть строго положительно определена.${\displaystyle M}$${\displaystyle m_{ij}}$${\displaystyle m_{ij}=h(|i-j|)}$${\textstyle \sum _{j\neq 0}\left|h(j)\right|<h(0)}$${\displaystyle M}$
2. Пусть и эрмитовски. Если (соответственно ), то (соответственно ). ^[18]${\displaystyle M>0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle MN+NM\geq 0}$${\displaystyle MN+NM>0}$${\displaystyle N\geq 0}$${\displaystyle N>0}$
3. Если реально, то существует такое, что , где - единичная матрица .${\displaystyle M>0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle M>\delta I}$${\displaystyle I}$
4. Если обозначает ведущий минор, это k- й стержень во время разложения LU .${\displaystyle M_{k}}$${\displaystyle k\times k}$${\displaystyle \det \left(M_{k}\right)/\det \left(M_{k-1}\right)}$
5. Матрица является отрицательно определенной, если ее ведущий главный минор k- го порядка отрицательный, когда он нечетный, и положительный, когда четный.${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

Эрмитова матрица положительно полуопределенная тогда и только тогда, когда все ее главные миноры неотрицательны. Однако недостаточно рассматривать только главные главные миноры, как это проверяется на диагональной матрице с элементами 0 и −1.

Матрицы блоков [ править ]

Положительная матрица также может быть определена блоками :${\displaystyle 2n\times 2n}$

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}$

где каждый блок . Применяя условие положительности, сразу следует, что и являются эрмитовыми, и .${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C=B^{*}}$

У нас есть это для всего комплекса , и в частности для . потом${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \geq 0}$${\displaystyle \mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbf {z} =[\mathbf {v} ,0]^{\textsf {T}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {v} ^{*}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&B\\B^{*}&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {v} \\0\end{bmatrix}}=\mathbf {v} ^{*}A\mathbf {v} \geq 0.}$

Аналогичный аргумент может быть применен к , и, таким образом, мы заключаем, что обе и также должны быть положительно определенными матрицами.${\displaystyle D}$${\displaystyle A}$${\displaystyle D}$

Обратные результаты могут быть доказаны с помощью более сильных условий на блоки, например, с использованием дополнения Шура .

Локальные экстремумы [ править ]

Общая квадратичная форма от вещественных переменных всегда может быть записана как где - вектор-столбец с этими переменными и является симметричной вещественной матрицей. Следовательно, положительно определенная матрица означает, что она имеет единственный минимум (ноль), когда она равна нулю, и строго положительна для любого другого .${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{\textsf {T}}M\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$

В более общем смысле, дважды дифференцируемая вещественная функция от вещественных переменных имеет локальный минимум в аргументах, если ее градиент равен нулю, а ее гессиан (матрица всех вторых производных) положительно полуопределен в этой точке. Аналогичные утверждения можно сделать для отрицательно определенных и полуопределенных матриц.${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

Ковариация [ править ]

В статистике , то ковариационная матрица из многомерного распределения вероятностей всегда положительно полуопределенная; и он положительно определен, если одна переменная не является точной линейной функцией других. И наоборот, каждая положительно полуопределенная матрица является ковариационной матрицей некоторого многомерного распределения.

Расширение для неэрмитовых квадратных матриц [ править ]

Определение положительно определенной можно обобщить, обозначив любую комплексную матрицу (например, действительную несимметричную) как положительно определенную, если для всех ненулевых комплексных векторов , где обозначает действительную часть комплексного числа . ^[19] Только эрмитова часть определяет, является ли матрица положительно определенной, и оценивается в более узком смысле выше. Точно так же, если и являются действительными, мы имеем для всех вещественных ненулевых векторов тогда и только тогда, когда симметричная часть положительно определена в более узком смысле. Сразу видно , что нечувствителен к транспозиции М .${\displaystyle M}$${\displaystyle \Re \left(\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \right)>0}$${\displaystyle \mathbf {z} }$${\displaystyle \Re (c)}$${\displaystyle c}$${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(M+M^{*}\right)}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{\textsf {T}}M\mathbf {x} >0}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(M+M^{\textsf {T}}\right)}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{\textsf {T}}M\mathbf {x} =x_{i}M_{ij}x_{j}}$

Следовательно, несимметричная вещественная матрица только с положительными собственными значениями не обязательно должна быть положительно определенной. Например, матрица имеет положительные собственные значения, но не является положительно определенной; в частности, при выборе получается отрицательное значение (которое является собственным вектором, связанным с отрицательным собственным значением симметричной части ).${\displaystyle M=\left[{\begin{smallmatrix}4&9\\1&4\end{smallmatrix}}\right]}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{\textsf {T}}M\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} =\left[{\begin{smallmatrix}-1\\1\end{smallmatrix}}\right]}$${\displaystyle M}$

Таким образом, различие между действительным и комплексным случаями состоит в том, что ограниченный положительный оператор в комплексном гильбертовом пространстве обязательно эрмитов или самосопряжен. Общее утверждение можно аргументировать, используя поляризационное тождество . В действительности это уже не так.

Приложения [ править ]

Матрица теплопроводности [ править ]

Закон теплопроводности Фурье, определяющий тепловой поток в терминах градиента температуры, записывается для анизотропных сред как , в котором - симметричная матрица теплопроводности . Отрицание вставлено в закон Фурье, чтобы отразить ожидание того, что тепло всегда будет течь от горячего к холодному. Другими словами, поскольку температурный градиент всегда направлен от холодного к горячему, ожидается , что тепловой поток будет иметь отрицательный внутренний продукт с таким образом . Подстановка закона Фурье дает это ожидание как , подразумевая, что матрица проводимости должна быть положительно определенной.${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle \mathbf {g} =\nabla T}$${\displaystyle \mathbf {q} =-K\mathbf {g} }$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbf {g} }$${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle \mathbf {g} }$${\displaystyle \mathbf {q} ^{\textsf {T}}\mathbf {g} <0}$${\displaystyle \mathbf {g} ^{\textsf {T}}K\mathbf {g} >0}$

См. Также [ править ]

• Ковариационная матрица
• М-матрица
• Положительно определенная функция
• Положительно определенное ядро
• Дополнение Шура
• Критерий сильвестра
• Числовой диапазон

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (2013). Матричный анализ (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-54823-6.
• Бхатия, Раджендра (2007). Положительно определенные матрицы . Принстонская серия по прикладной математике. ISBN 978-0-691-12918-1.
• Бернштейн, Б .; Тупен, Р.А. (1962). «Некоторые свойства матрицы Гессе строго выпуклой функции». Journal für die reine und angewandte Mathematik . 210 : 67–72. DOI : 10,1515 / crll.1962.210.65 .

Внешние ссылки [ править ]

• "Положительно-определенная форма" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Wolfram MathWorld: положительно определенная матрица