Полуторалинейная форма

В математике , полуторалинейная форма является обобщением билинейной формы , что, в свою очередь, является обобщением понятия скалярного произведения в евклидовом пространстве . Билинейная форма линейна по каждому из своих аргументов, но полуторалинейная форма позволяет одному из аргументов «скручивать» полулинейным образом, отсюда и название; который происходит от латинского числового префикса sesqui-, означающего «полтора». Основная концепция скалярного произведения - создание скаляра. из пары векторов - можно обобщить, допустив более широкий диапазон скалярных значений и, возможно, одновременно, расширив определение вектора.

Мотивирующий частный случай является полуторалинейной формой на комплексное векторное пространстве , V . Это отображение V × V → C , которое линейно по одному аргументу и "скручивает" линейность другого аргумента комплексным сопряжением (называемое антилинейным по другому аргументу). Этот случай естественным образом возникает в приложениях математической физики. Другой важный случай позволяет скалярам происходить из любого поля, а поворот обеспечивается полевым автоморфизмом .

Применение в проективной геометрии требует, чтобы скаляры исходить от деления кольца (перекос поля), K , а это означает , что «векторы» должны быть заменены элементами K - модуль . В очень общей постановке, полуторалинейные формы могут быть определены над R -модулями для произвольного кольца R .

Неформальное введение [ править ]

Полулинейные формы абстрагируют и обобщают основное понятие эрмитовой формы на комплексном векторном пространстве . Эрмитовы формы обычно рассматриваются в физике как внутренний продукт в сложном гильбертовом пространстве . В таких случаях стандартная эрмитова форма на C ⁿ имеет вид

${\ displaystyle \ langle w, z \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ overline {w}} _ {i} z_ {i}.}$

где обозначает комплексно - сопряженное из этого продукта может быть обобщен на ситуацию , когда один не работают с ортонормированным для C ^п , или даже какая - либо основы на всех. Добавляя в произведение дополнительный множитель , получаем косоэрмитову форму , более точно определенную ниже. Нет особой причины ограничивать определение комплексными числами; его можно определить для произвольных колец, несущих антиавтоморфизм , неформально понимаемый как обобщенное понятие «комплексного сопряжения» для кольца.${\ displaystyle {\ overline {w}} _ {i}}$${\ displaystyle w_ {i} ~.}$${\ displaystyle i}$

Соглашение [ править ]

Существуют разные мнения относительно того, какой аргумент должен быть линейным. В коммутативном случае мы будем считать первый линейным, как это принято в математической литературе, за исключением раздела, посвященного полуторалинейным формам на комплексных векторных пространствах. Здесь мы используем другое соглашение и считаем первый аргумент сопряженно-линейным (т. Е. Антилинейным), а второй - линейным. Это соглашение используется в основном физики ^[1] и берет свое начало в дираковской Бра и кет в квантовой механике .

В более общей некоммутативной ситуации, с правыми модулями мы считаем второй аргумент линейным, а с левыми модулями мы принимаем первый аргумент линейным.

Сложные векторные пространства [ править ]

Предположение : в этом разделе полуторалинейные формы антилинейны по своему первому аргументу и линейны по второму.

Над комплексным векторным пространством V отображение φ  : V × V → C является полуторалинейным, если

${\ displaystyle {\ begin {align} & \ varphi (x + y, z + w) = \ varphi (x, z) + \ varphi (x, w) + \ varphi (y, z) + \ varphi (y , w) \\ & \ varphi (ax, by) = {\ overline {a}} b \, \ varphi (x, y) \ end {align}}}$

для всех х , у , г , ш в V и всех а , Ь в С . a - комплексное сопряжение с a .

Сложную полуторалинейную форму можно также рассматривать как сложную билинейную карту.

${\ displaystyle {\ overline {V}} \ times V \ to \ mathbf {C}}$

где V представляет собой комплексно сопряженное векторное пространство к V . К универсальному свойству из тензорных произведений они находятся во взаимно однозначного соответствия с комплексными линейными картами

${\displaystyle {\overline {V}}\otimes V\to \mathbf {C} .}$

При фиксированном z в V отображение w ↦ φ ( z , w ) является линейным функционалом на V (т. Е. Элементом двойственного пространства V ^∗ ). Кроме того, отображение ш ↦ ф ( ш , г ) представляет собой конъюгат-линейный функционал на V .

Для любой комплексной полуторалинейной формы φ на V мы можем определить вторую комплексную полуторалинейную форму ψ с помощью сопряженного транспонирования :

${\displaystyle \psi (w,z)={\overline {\varphi (z,w)}}.}$

В общем случае ψ и φ будут разными. Если они совпадают, то ф называется эрмитовым . Если они противоположны друг другу, то φ называется косоэрмитовым . Каждую полуторалинейную форму можно записать как сумму эрмитовой формы и косоэрмитовой формы.

Матричное представление [ править ]

Если V является конечно-мерным комплексным векторным пространством, то по отношению к какому - либо основе { е _я } из V , полуторалинейная форма представлена матрицей Ф , ш вектора колонки ш и г в колонке вектор г :

${\displaystyle \varphi (w,z)=\varphi \left(\sum _{i}w_{i}e_{i},\sum _{j}z_{j}e_{j}\right)=\sum _{i}\sum _{j}{\overline {w_{i}}}z_{j}\varphi (e_{i},e_{j})={\overline {\mathbf {w} }}^{\mathrm {T} }\mathbf {\Phi } \mathbf {z} .}$

Компоненты Φ задаются формулой Φ _ij = φ ( e _i , e _j ) .

Эрмитская форма [ править ]

Термин эрмитова форма может также относиться к другому понятию, чем объясненное ниже: он может относиться к определенной дифференциальной форме на эрмитовом многообразии .

Комплексная эрмитова форма (также называемая симметричной полуторалинейной формой ) - это полуторалинейная форма h  : V × V → C такая, что

${\displaystyle h(w,z)={\overline {h(z,w)}}.}$

Стандартная эрмитова форма на C ⁿ задается (опять же, используя «физическое» соглашение о линейности по второй и сопряженной линейности по первой переменной) следующим образом:

${\displaystyle \langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\overline {w}}_{i}z_{i}.}$

В более общем смысле, скалярное произведение в любом комплексном гильбертовом пространстве является эрмитовой формой.

Знак минус вводится в эрмитовой форме     для определения группы SU (1,1) .${\displaystyle ww^{*}-zz^{*}}$

Векторное пространство с эрмитовой формой ( V , h ) называется эрмитовым пространством .

Матричное представление сложной эрмитовой формы является эрмитовой матрицей .

Сложная эрмитова форма, примененная к одному вектору

${\displaystyle |z|_{h}=h(z,z)}$

всегда реально . Можно показать , что сложная форма полуторалинейных эрмиты тогда и только тогда , когда ассоциированная квадратичная форма является реальной для всех г ∈ V .

Косоэрмитова форма [ править ]

Комплексная косоэрмитова форма (также называемая антисимметричной полуторалинейной формой ) - это сложная полуторалинейная форма s  : V × V → C такая, что

${\displaystyle s(w,z)=-{\overline {s(z,w)}}.}$

Всякая сложная косоэрмитова форма может быть записана как i раз эрмитова форма.

Матричное представление комплексной косоэрмитовой формы является косоэрмитовой матрицей .

Сложная косоэрмитова форма, примененная к одному вектору

${\displaystyle |z|_{s}=s(z,z)}$

всегда чисто воображаемый .

Над кольцом [ править ]

Этот раздел относится неизменным , когда деление кольца К является коммутативной . Тогда также применима более конкретная терминология: тело - это поле, антиавтоморфизм также является автоморфизмом, а правый модуль - это векторное пространство. Следующее относится к левому модулю с подходящей перестановкой выражений.

Определение [ править ]

A сг -sesquilinear формы над правой K - модуля M является би-аддитивное отображение φ  : M × M → K с соответствующим антиавтоморфизмом сг о наличии деления кольца K такое , что для всех х , у в М и всех & alpha ; , β в K ,

${\displaystyle \varphi (x\alpha ,y\beta )=\sigma (\alpha )\,\varphi (x,y)\,\beta .}$

Ассоциированный антиавтоморфизм σ для любой ненулевой полуторалинейной формы φ однозначно определяется функцией φ .

Ортогональность [ править ]

Учитывая полуторалинейный вид ф над модулем М и подпространством ( подмодуль ) W из М , в ортогональном дополнении в W с относительно φ является

${\displaystyle W^{\perp }=\{\mathbf {v} \in M\mid \varphi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0,\ \forall \mathbf {w} \in W\}.}$

Точно так же, х ∈ М является ортогональным к у ∈ M относительно ф , написанная х ⊥ _ф у (или просто х ⊥ у , если ф может быть выведено из контекста), когда ф ( х , у ) = 0 . Это отношение не обязательно должно быть симметричным , т. Е. Из x y y не следует y ⊥ x (но см. § Рефлексивность ниже).

Рефлексивность [ править ]

Форма полуторалинейной φ является рефлексивным , если для всех х , у в М ,

${\displaystyle \varphi (x,y)=0}$ подразумевает ${\displaystyle \varphi (y,x)=0.}$

То есть полуторалинейная форма является рефлексивной именно тогда, когда производное отношение ортогональности симметрично.

Эрмитские вариации [ править ]

Σ -sesquilinear форма φ называется ( σ , ε ) -эрмитова , если существует ε в K такое , что для всех х , у в М ,

${\displaystyle \varphi (x,y)=\sigma (\varphi (y,x))\,\varepsilon .}$

Если ε = 1 , форма называется σ - эрмитовой , а если ε = −1 , она называется σ - антиэрмитовой . (Когда подразумевается σ , соответственно просто эрмитово или антиэрмитово .)

Для ненулевой ( σ , ε ) -эрмитова форма, то отсюда следует , что для всех & alpha ; в K ,

${\displaystyle \sigma (\varepsilon )=\varepsilon ^{-1}}$

${\displaystyle \sigma (\sigma (\alpha ))=\varepsilon \alpha \varepsilon ^{-1}.}$

Отсюда также следует, что φ ( x , x ) - неподвижная точка отображения α ↦ σ ( α ) ε . Неподвижные точки этой карты из подгруппы из аддитивной группы из K .

( Σ , ε ) -эрмитова форма рефлексивная, и каждый рефлексивный σ -sesquilinear формы ( σ , ε ) -эрмитов для некоторых х . ^{[2] [3] [4] [5]}

В частном случае, когда σ - тождественное отображение (т. Е. Σ = id ), K коммутативно, φ - билинейная форма и ε ² = 1 . Тогда при ε = 1 билинейная форма называется симметричной , а при ε = -1 - кососимметричной . ^[6]

Пример [ править ]

Пусть V - трехмерное векторное пространство над конечным полем F = GF ( q ² ) , где q - степень простого числа . Относительно стандартного базиса мы можем записать x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) и y = ( y ₁ , y ₂ , y ₃ ) и определить отображение φ следующим образом:

${\displaystyle \varphi (x,y)=x_{1}y_{1}{}^{q}+x_{2}y_{2}{}^{q}+x_{3}y_{3}{}^{q}.}$

Отображение σ  : T ↦ т ^д является инволютивная автоморфизм F . Отображение φ тогда является σ -есквилинейной формой. Матрица M _φ, связанная с этой формой, является единичной матрицей . Это эрмитовская форма.

В проективной геометрии [ править ]

Предположение : в этом разделе полуторалинейные формы антилинейны (соответственно линейны ) по второму (соответственно первому) аргументу.

В проективной геометрии G , A перестановка δ из подпространств, инвертирует включение, т.е.

S ⊆ T ⇒ T ^δ ⊆ S ^δ для всех подпространств S , T в G ,

называется корреляцией . Результат Биркгофа и фон Неймана (1936) ^[7] показывает, что корреляции дезарговых проективных геометрий соответствуют невырожденным полуторалинейным формам на нижележащем векторном пространстве. ^[5] полуторалинейной форма φ является невырожденной , если φ ( х , у ) = 0 для всех у в V (тогда и) только тогда , когда х = 0 .

Чтобы достичь полной общности этого утверждения и поскольку каждая дезаргова проективная геометрия может быть скоординирована телом , Райнхольд Бэр расширил определение полуторалинейной формы на тело, что требует замены векторных пространств на R -модули . ^[8] (В геометрической литературе они все еще называются левыми или правыми векторными пространствами над телами.) ^[9]

По произвольным кольцам [ править ]

Специализация приведенного выше раздела на телесных полях была следствием применения к проективной геометрии, а не внутренним характером полуторалинейных форм. Только незначительные изменения, необходимые для учета некоммутативности умножения, необходимы для обобщения произвольной полевой версии определения на произвольные кольца.

Пусть R быть кольцо , V R - модуль и сг в антиавтоморфизм из R .

Отображение φ  : V × V → R является σ -есквилинейным, если

${\displaystyle \varphi (x+y,z+w)=\varphi (x,z)+\varphi (x,w)+\varphi (y,z)+\varphi (y,w)}$

${\displaystyle \varphi (cx,dy)=c\,\varphi (x,y)\,\sigma (d)}$

для всех х , у , г , ш в V и все с , г в R .

Элемент х есть ортогональна к другому элементу у относительно вида полуторалинейной ф (написанной х ⊥ у ) , если φ ( х , у ) = 0 . Это отношение не обязательно должно быть симметричным, т. Е. Из x ⊥ y не следует, что y ⊥ x .

Форма полуторалинейной φ  : V × V → R является рефлексивной (или orthosymmetric ) , если ф ( х , у ) = 0 означает , φ ( у , х ) = 0 для всех х , у в V .

Полуторалинейная форма φ  : V × V → R называется эрмитовой, если существует такое σ , что ^{[10] : 325}

${\displaystyle \varphi (x,y)=\sigma (\varphi (y,x))}$

для всех х , у в V . Эрмитова форма обязательно рефлексивна, и если она отлична от нуля, ассоциированный антиавтоморфизм σ является инволюцией (т. Е. Порядка 2).

Поскольку для антиавтоморфизма σ мы имеем σ ( st ) = σ ( t ) σ ( s ) для всех s , t в R , если σ = id , то R должен быть коммутативным, а φ - билинейной формой. В частности, если в этом случае R - тело, то R - поле, а V - векторное пространство с билинейной формой.

Антиавтоморфизм σ  : R → R также можно рассматривать как изоморфизм R → R ^оп , где R ^оп является противоположным кольцом из R , который имеет тот же базовый набор и то же дополнение, но чьи умножение операция ( * ) определяются * б = ба , где произведение справа есть произведение в R . Отсюда следует, что правый (левый) R -модуль V можно превратить в левый (правый) R ^op-модуль, V ^o . ^[11] Таким образом, полуторалинейная форма φ  : V × V → R можно рассматривать как билинейной формы ф ': V × V ^ö → R .

См. Также [ править ]

• *-звенеть

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Дембовски, Питер (1968), Конечные геометрии , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, MR  0233275
• Грюнберг, KW; Weir, AJ (1977), Linear Geometry (2-е изд.), Springer, ISBN 0-387-90227-9
• Джейкобсон, Натан Дж. (2009) [1985], Основная алгебра I (2-е изд.), Довер, ISBN 978-0-486-47189-1

Внешние ссылки [ править ]

• "Полулинейная форма" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]