В абстрактной алгебре , А деление кольца , также называемый перекос поле , является кольцо , в котором разделение возможно. В частности, это ненулевое кольцо [1], в котором каждый ненулевой элемент a имеет мультипликативный обратный , т. Е. Элемент x с a · x = x · a = 1. Иными словами, кольцо является телом тогда и только тогда, когда группа единиц равно множество всех элементов отличных от нуля. Телесное кольцо - это тип некоммутативного кольца.в более свободном определении, где некоммутативное кольцо относится к кольцам, которые не обязательно являются коммутативными.
Кольца с делением отличаются от полей только тем, что их умножение не обязательно должно быть коммутативным . Однако по малой теореме Веддерберна все конечные тела коммутативны и, следовательно, конечны . Исторически разделительные кольца иногда назывались полями, а поля назывались «коммутативными полями». [5]
Все делительные кольца простые, т.е. не имеют двустороннего идеала, кроме нулевого идеала и самого себя.
| Алгебраические структуры |
|---|
Связь с полями и линейной алгеброй [ править ]
Все поля являются делительными кольцами; более интересными примерами являются некоммутативные тела. Наиболее известным примером является кольцом кватернионов H . Если мы допустим только рациональные вместо действительных коэффициентов в конструкциях кватернионов, мы получим другое тело. В общем, если R представляет собой кольцо , и S представляет собой простой модуль над R , то в силу леммы Шура , то кольцо эндоморфизмов из S является телом; [6] каждое тело возникает таким образом из некоторого простого модуля.
Большая часть линейной алгебры может быть сформулирована и остается правильной для модулей над телом D вместо векторных пространств.над полем. При этом необходимо указать, рассматриваются ли правые или левые модули, и необходимо соблюдать осторожность при правильном различении левого и правого в формулах. Работая в координатах, элементы конечномерного правого модуля могут быть представлены векторами-столбцами, которые могут быть умножены справа на скаляры, а слева - на матрицы (представляющие линейные карты); для элементов конечномерного левого модуля должны использоваться векторы-строки, которые можно умножать слева на скаляры, а справа - на матрицы. Двойник правого модуля - это левый модуль, и наоборот. Транспонирование матрицы должно рассматриваться как матрица по противоположному телу D op, чтобы правило ( AB ) T = BT A T, чтобы оставаться в силе.
Каждый модуль над телом свободен ; т. е. имеет основу, и все базы модуля имеют одинаковое количество элементов . Линейные отображения между конечномерными модулями над телом можно описать матрицами ; тот факт, что линейные отображения по определению коммутируют со скалярным умножением, наиболее удобно представить в обозначениях, написав их на противоположной стороне векторов, как скаляры. Гауссаалгоритм остается применимым. Ранг столбца матрицы - это размер правого модуля, сгенерированного столбцами, а ранг строки - это размер левого модуля, сгенерированного строками; то же доказательство, что и для случая векторного пространства, может использоваться, чтобы показать, что эти ранги одинаковы, и определить ранг матрицы.
На самом деле , обратное также верно и это дает характеристику разделения колец через их модуль категории: унитальной кольцо R является телом тогда и только тогда , когда каждый R- модуль является свободным . [7]
Центр по телу коммутативности и поэтому поле. [8] Таким образом, каждое тело является алгеброй с делением над своим центром. Делительные кольца можно грубо классифицировать в зависимости от того, конечномерны они или бесконечномерны над своими центрами. Первые называются центрально-конечными, а вторые - центрально-бесконечными . Конечно, каждое поле одномерно над своим центром. Кольцо гамильтоновых кватернионов образует 4-мерную алгебру над своим центром, которая изоморфна действительным числам.
Примеры [ править ]
- Как отмечалось выше, все поля являются делительными кольцами.
- В кватернионах образуют кольцо некоммутативного деления.
- Подмножество кватернионов a + bi + cj + dk , таких что a , b , c и d принадлежат фиксированному подполю действительных чисел , является некоммутативным телом. Когда это подполе является полем рациональных чисел , это тело рациональных кватернионов .
- Позвольте быть автоморфизм поля . Позвольте обозначить кольцо формальных рядов Лорана с комплексными коэффициентами, в котором умножение определяется следующим образом: вместо того, чтобы просто позволить коэффициентам коммутировать непосредственно с неопределенными , для , определить для каждого индекса . Если - нетривиальный автоморфизм комплексных чисел (например, сопряжение ), то результирующее кольцо рядов Лорана является строго некоммутативным телом, известным как кольцо косых рядов Лорана ; [9] если σ = id, то в немстандартное умножение формальных рядов . Это понятие может быть обобщено на кольцо рядов Лорана над любым фиксированным полем при наличии нетривиального -автоморфизма .
Основные теоремы [ править ]
Маленькая теорема Веддерберна : все конечные тела коммутативны и, следовательно, конечны . ( Эрнст Витт дал простое доказательство.)
Теорема Фробениуса : единственными конечномерными ассоциативными алгебрами с делением над действительными числами являются сами числа , комплексные числа и кватернионы .
Связанные понятия [ править ]
Кольца деления раньше назывались «полями». Во многих языках слово, означающее «тело», используется для делительных колец, в некоторых языках обозначает коммутативные или некоммутативные делительные кольца, в то время как в других специально обозначает коммутативные делительные кольца (то, что мы теперь называем полями на английском языке). Более полное сравнение можно найти в статье Поле (математика) .
Имя "Skew field" имеет интересную семантическую особенность: модификатор (здесь "skew") расширяет область действия базового термина (здесь "field"). Таким образом, поле представляет собой особый тип тела, и не все тела являются полями.
В то время как рассматриваемые здесь тела кольца и алгебры предполагаются ассоциативным умножением, неассоциативные алгебры с делением, такие как октонионы , также представляют интерес.
Ближнее поле - это алгебраическая структура, подобная телу, за исключением того, что она имеет только один из двух законов распределения .
Примечания [ править ]
- ^ В этой статье кольца имеют цифру 1.
- ^ 1948, Кольца и идеалы. Нортгемптон, Массачусетс, Математическая ассоциация Америки
- ↑ Артин, Эмиль, 1965: Сборник статей. Под редакцией Сержа Ланга, Джона Т. Тейта. Нью-Йорк и др .: Springer
- ^ Брауэра, Ричард, 1932: Über умереть algebraische Struktur фон Schiefkörpern. Journal für die reine und angewandte Mathematik 166.4, 103-252
- ^ В области английского языка термины «тело» и «sfield» были упомянуты в 1948 году Нилом МакКоем [2] как «иногда используемые в литературе», а с 1965 года термин «тело» фигурирует в OED . Немецкий термин Schiefkörper [ де ] документирована, как предложение по в.д. Варден , в 1927 тексте Е. Артин , [3] и был использован Э. Нётер как название лекции в 1928 году [4]
- ^ Лам (2001), Лемма Шура , стр. 33, в Google Книгах .
- ^ Grillet, Пьер Антуан. Абстрактная алгебра. Vol. 242. Springer Science & Business Media, 2007; доказательство можно найти здесь
- ^ Простые коммутативные кольца - это поля. См. Лам (2001), простые коммутативные кольца , стр. 39, в Google Книгах и упражнение 3.4 , стр. 45, в Google Книгах .
- ^ Лам (2001), стр. 10
См. Также [ править ]
- Личность Хуа
Ссылки [ править ]
- Лам, Цит-Юэн (2001). Первый курс некоммутативных колец . Тексты для выпускников по математике . 131 (2-е изд.). Springer. ISBN 0-387-95183-0. Zbl 0980.16001 .
Дальнейшее чтение [ править ]
- Кон, П.М. (1995). Искаженные поля. Теория общих делительных колец . Энциклопедия математики и ее приложений. 57 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-43217-0. Zbl 0840.16001 .
Внешние ссылки [ править ]
- Доказательство теоремы Веддерберна в Planet Math
- Абстрактная алгебра Грийе, раздел VIII.5, характеризация тел с помощью их свободных модулей.
