В математической дисциплины теории порядка , А дополняемыми решетка является ограниченным решеткой (с наименьшим элементом 0 и наибольший элемент 1), в которой каждый элемент имеет дополнение , то есть элемент б , удовлетворяющий а ∨ Ь = 1 и ∧ Ь = 0. Дополнения не обязательно должны быть уникальными.
Относительно дополнена решетка является решеткой , так что каждый интервал [ с , d ], рассматривается как ограниченная решетка в своем собственном праве, является дополняемыми решетками.
Orthocomplementation на дополняемому решетки является инволюцией , которая является порядком реверсирования и отображает каждый элемент в дополнение. Решетка с ортодополнениями, удовлетворяющая слабой форме модулярного закона , называется ортомодулярной решеткой .
В дистрибутивных решетках дополнения уникальны. Каждая дополняемая дистрибутивная решетка имеет уникальное ортодополнение и фактически является булевой алгеброй .
Определение и основные свойства [ править ]
Дополняемыми решетка является ограниченным решеткой (с наименьшим элементом 0 и наибольший элемент 1), в которой каждый элемент имеет дополнение , то есть элемент Ь таким образом, что
- a ∨ b = 1 и a ∧ b = 0.
Как правило, элемент может иметь более одного дополнения. Однако в (ограниченной) дистрибутивной решетке каждый элемент будет иметь не более одного дополнения. [1] Решетка, в которой каждый элемент имеет ровно одно дополнение, называется решеткой с однозначным дополнением [2]
Решетка, обладающая свойством дополняемости каждого интервала (рассматриваемого как подрешетка), называется относительно дополняемой решеткой . Другими словами, относительно дополняемая решетка характеризуется тем свойством, что для каждого элемента a в интервале [ c , d ] существует такой элемент b , что
- a ∨ b = d и a ∧ b = c .
Такой элемент b называется дополнением элемента a относительно интервала.
Дистрибутивная решетка дополняема тогда и только тогда, когда она ограничена и относительно дополняема. [3] [4] Решетка подпространств векторного пространства представляет собой пример решетки с дополнениями, которая, вообще говоря, не является дистрибутивной.
Ортодополнение [ править ]
 | Этот раздел требует дополнительных ссылок для проверки . ( август 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон ) |
 | Эта статья может потребовать очистки, чтобы соответствовать стандартам качества Википедии . Конкретная проблема заключается в следующем: в литературе встречаются различные конкурирующие определения «ортодополнения». ( Август 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
Orthocomplementation на ограниченную решетке является функцией , которая отображает каждый элемент а , к «ортодополнению» в ⊥ таким образом , что следующие аксиомы: [5]
- Закон дополнения
- a ⊥ ∨ a = 1 и a ⊥ ∧ a = 0.
- Закон инволюции
- а ⊥⊥ = а .
- Реверсирование заказа
- если a ≤ b, то b ⊥ ≤ a ⊥ .
Orthocomplemented решетки или ortholattice ограниченная решетка , которая оснащена orthocomplementation. Решетка подпространств внутреннего пространства продукта и операция ортогонального дополнения представляют собой пример решетки с ортодополнением, которая, в общем, не является дистрибутивной. [6]
- Некоторые дополненные решетки
В решетке пятиугольника N 5 узел справа имеет два дополнения.
Алмазная решетка M 3 не допускает ортодополнения.
Решетка M 4 допускает 3 ортодополнения.
Решетка шестиугольника допускает однозначное ортодополнение, но не однозначно дополняется.
Булевы алгебры - это частный случай решеток с ортодополнениями, которые, в свою очередь, являются частным случаем решеток с дополнениями (с дополнительной структурой). В ortholattices наиболее часто используются в квантовой логике , где замкнутые подпространства из в сепарабельном гильбертовом пространстве представляют собой квантовые предложения и вести себя как orthocomplemented решетки.
Решетки с ортодополнениями, как и булевы алгебры, удовлетворяют законам де Моргана :
- ( a ∨ b ) ⊥ = a ⊥ ∧ b ⊥
- ( a ∧ b ) ⊥ = a ⊥ ∨ b ⊥ .
Ортомодулярные решетки [ править ]
Решетка называется модульной, если для всех элементов a , b и c импликация
- если a ≤ c , то a ∨ ( b ∧ c ) = ( a ∨ b ) ∧ c
держит. Это слабее, чем распределенность ; например, показанная выше решетка М 3 является модульной, но не распределительной. Дальнейшее естественное ослабление этого условия для решеток с ортодополнениями, необходимое для приложений в квантовой логике, состоит в том, чтобы потребовать его только в частном случае b = a ⊥ . Ортомодулярные решетки , таким образом , определяются как orthocomplemented решетки таким образом, что для любых двух элементов импликации
- если a ≤ c , то a ∨ ( a ⊥ ∧ c ) = c
держит.
Решетки этой формы имеют решающее значение для изучения квантовой логики , так как они являются частью axiomisation в пространстве Гильберта формулировки в квантовой механике . Гаррет Биркгоф и Джон фон Нейман заметили, что исчисление высказываний в квантовой логике «формально неотличимо от исчисления линейных подпространств [гильбертова пространства] в отношении произведений множеств, линейных сумм и ортогональных дополнений», соответствующих ролям и , или а не в булевых решетках. Это замечание вызвало интерес к замкнутым подпространствам гильбертова пространства, которые образуют ортомодулярную решетку. [7]
См. Также [ править ]
- Решетка с псевдодополнениями
Заметки [ править ]
- ^ Гратцер (1971), лемма I.6.1, стр. 47. Резерфорд (1965), теорема 9.3 с. 25.
- ^ Стерн, Манфред (1999), Полумодулярные решетки: теория и приложения , Энциклопедия математики и ее приложений, Cambridge University Press, стр. 29, ISBN 9780521461054.
- ^ Гратцер (1971), лемма I.6.2, стр. 48. Этот результат верен в более общем случае для модульных решеток, см. Упражнение 4, с. 50.
- ^ Биркгоф (1961), следствие IX.1, стр. 134
- ^ Стерн (1999) , стр. 11.
- ^ Непростительный математик: ортогональные дополнения и решетка подпространств .
- ↑ Ранганатан Падманабхан; Серджиу Рудяну (2008). Аксиомы для решеток и булевых алгебр . World Scientific. п. 128. ISBN 978-981-283-454-6.
Ссылки [ править ]
- Биркгоф, Гарретт (1961). Теория решеток . Американское математическое общество.
- Гретцер, Джордж (1971). Теория решеток: первые концепции и распределительные решетки . WH Freeman and Company. ISBN 978-0-7167-0442-3.
- Гретцер, Джордж (1978). Общая теория решеток . Базель, Швейцария: Birkhäuser. ISBN 978-0-12-295750-5.
- Резерфорд, Дэниел Эдвин (1965). Введение в теорию решеток . Оливер и Бойд.
Внешние ссылки [ править ]
|
- «Дополненная решетка» . PlanetMath .
- «Относительное дополнение» . PlanetMath .
- «Уникально дополненная решетка» . PlanetMath .
- «Ортодополненная решетка» . PlanetMath .
