Из Википедии, свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике , алгебра Де Моргана (названный в честь Августа Де Моргана , британский математик и логик) представляет собой структуру = (A, ∨, ∧, 0, 1, ¬), что:

В алгебре Де Моргана законы

не всегда держат. При наличии законов Де Моргана один из законов влечет за собой другой, и алгебра, которая им удовлетворяет, становится булевой алгеброй .

Замечание: Отсюда следует, что ¬ (x ∨ y) = ¬x ∧ ¬y, ¬1 = 0 и ¬0 = 1 (например, ¬1 = ¬1 ∨ 0 = ¬1 ∨ ¬¬0 = ¬ (1 ∧ ¬0 ) = ¬¬0 = 0). Таким образом, ¬ является дуальным автоморфизмом к ( A , ∨, ∧, 0, 1).

Если вместо этого решетка определяется в терминах порядка, то есть (A, ≤) является ограниченным частичным порядком с наименьшей верхней границей и наибольшей нижней границей для каждой пары элементов, а операции соединения и соединения, определенные таким образом, удовлетворяют закону распределения , то дополнение также можно определить как инволютивный антиавтоморфизм, то есть структуру A = (A, ≤, ¬) такую, что:

Алгебры Де Моргана были введены Григорем Мойсилом [1] [2] примерно в 1935 году, [2] хотя и без ограничения наличия 0 и 1. [3] Затем в польской школе их по-разному называли квазибулевыми алгебрами , например по Rasiowa , а также распределительным я -сеток по JA Кальмана . [2] ( i -решетка - это сокращение от решетки с инволюцией). Они изучались в аргентинской школе алгебраической логики Антонио Монтейро . [1] [2]

Алгебры Де Моргана важны для изучения математических аспектов нечеткой логики . Стандартная нечеткая алгебра F = ([0, 1], max ( x ,  y ), min ( x ,  y ), 0, 1, 1 -  x ) является примером алгебры Де Моргана, где законы исключенного среднего и непротиворечивость не имеет места.

Другой пример - четырехзначная логика Данна , в которой ложь < ни-истина-ни-ложь < истина и ложь < как-истина-и-ложь < истина , тогда как ни-истина-ни-ложь и оба-истина- и-ложь несопоставимы. [2]

Алгебра Клини [ править ]

Если алгебра Де Моргана дополнительно удовлетворяет условию x ¬ ¬ x ≤ y ¬ ¬ y , она называется алгеброй Клини . [1] [3] (Это понятие не следует путать с другой алгеброй Клини, обобщающей регулярные выражения .) Это понятие Калман также назвал нормальной i -решеткой .

Примеры Клини алгебр в определенном выше смысле включают в себя: структурно упорядоченных групп , почтовые алгебры и Лукасевичем алгебры . [3] Булевы алгебры также соответствуют этому определению алгебры Клини. Простейшая небулева алгебра Клини - это трехзначная логика Клини K 3 . [4] K 3 впервые появился в книге Клини « Об обозначениях порядковых чисел» (1938). [5] Алгебра была названа в честь Клини Бриньоле и Монтейро. [6]

Связанные понятия [ править ]

Алгебры Де Моргана - не единственный возможный способ обобщения булевых алгебр. Другой способ - сохранить ¬ x  ∧  x = 0 (т. Е. Закон непротиворечия), но отказаться от закона исключенной середины и закона двойного отрицания. Этот подход (называемый полудополнением ) хорошо определен даже для (встречной) полурешетки ; если набор полудополнений имеет наибольший элемент, его обычно называют псевдодополнением . Если псевдодополнение удовлетворяет закону исключенного третьего, результирующая алгебра также булева. Однако, если требуется только более слабый закон ¬ x  ∨ ¬¬ x = 1, это приводит к алгебрам Стоуна .[1] В более общем плане алгебры Де Моргана и Стоуна являются собственными подклассами алгебр Оккама .

См. Также [ править ]

  • ортодополненная решетка

Ссылки [ править ]

  1. ^ а б в г Блит, ТС; Варле, JC (1994). Алгебры Оккама . Издательство Оксфордского университета. С.  4–5 . ISBN 978-0-19-859938-8.CS1 maint: ref = harv ( ссылка )
  2. ^ a b c d e Безио, Жан-Ив (2012). «История истинных ценностей». В Габбае, Дов М .; Пеллетье, Фрэнсис Джеффри; Вудс, Джон (ред.). Логика: история ее центральных понятий . Северная Голландия (отпечаток Эльзевьера). С. 280–281. ISBN 978-0-08-093170-8.CS1 maint: ref = harv ( ссылка )
  3. ^ a b c Cignoli, Роберто (1975). "Инъективные алгебры де Моргана и Клини" (PDF) . Труды Американского математического общества . 47 (2): 269–278. DOI : 10.1090 / S0002-9939-1975-0357259-4 . JSTOR 2039730 .  CS1 maint: ref = harv ( ссылка )
  4. ^ Каарли, Калле; Пиксли, Олден Ф. (21 июля 2000 г.). Полиномиальная полнота в алгебраических системах . CRC Press. С. 297–. ISBN 978-1-58488-203-9.
  5. Перейти ↑ Kleene, SC (1938). «Об обозначении порядковых чисел». Журнал символической логики . 3 (4): 150–155. DOI : 10.2307 / 2267778 . JSTOR 2267778 . 
  6. ^ Brignole, D .; Монтейро, А. (1964). "Характеризация жизни Нельсона по принципу равенства". Notas de Logica Matematica . Instituto de Matematica Universidad del sur Bahia Blanca. 20 .Версия этой статьи (возможно, сокращенная) появилась позже в Proceedings of the Japan Academy : «Caracterisation des algèbres de Nelson par des egalités, I» . DOI : 10,3792 / PJA / 1195521624 , Цитировать журнал требует |journal=( помощь ) "Характеризация algèbres de Nelson par des egalités, II" . DOI : 10.3792 / PJA / 1195521625 . Цитировать журнал требует |journal=( помощь )

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Бальбес, Раймонд; Двинджер, Филипп (1975). «Глава IX. Алгебры Де Моргана и алгебры Лукасевича». Распределительные решетки . Университет Миссури Пресс. ISBN 978-0-8262-0163-8.
  • Биркгоф, Г. (1936). "Обзоры: Moisil Gr. C .. Recherches sur l'algèbre de la logique. Annales scientifiques de l'Université de Jassy, ​​vol. 22 (1936), pp. 1–118 ". Журнал символической логики . 1 (2): 63. DOI : 10,2307 / 2268551 . JSTOR  2268551 .
  • Батыршин, И.З. (1990). «О фаззинестических мерах энтропии на алгебрах Клини». Нечеткие множества и системы . 34 (1): 47–60. DOI : 10.1016 / 0165-0114 (90) 90126-Q .
  • Кальман, JA (1958). «Решетки с инволюцией» (PDF) . Труды Американского математического общества . 87 (2): 485–491. DOI : 10.1090 / S0002-9947-1958-0095135-X . JSTOR  1993112 .
  • Пальяни, Пьеро; Чакраборти, Михир (2008). Геометрия приближения: грубая теория множеств: логика, алгебра и топология концептуальных паттернов . Springer Science & Business Media. Часть II. Глава 6. Основные логико-алгебраические структуры, стр. 193–210. ISBN 978-1-4020-8622-9.
  • Каттанео, Дж .; Чуччи, Д. (2009). Решетки с внутренними операторами и операторами замыкания и пространства абстрактной аппроксимации . Конспект лекций по информатике 67–116. DOI : 10.1007 / 978-3-642-03281-3_3 .
  • Герке, М .; Уокер, С .; Уокер, Э. (2003). "Нечеткая логика, возникающая из строгих систем Де Моргана". В Родабо, ЮВ; Клемент, Е.П. (ред.). Топологические и алгебраические структуры в нечетких множествах: Справочник последних достижений в математике нечетких множеств . Springer. ISBN 978-1-4020-1515-1.
  • Далла Кьяра, Мария Луиза ; Джунтини, Роберто; Гречи, Ричард (2004). Рассуждения в квантовой теории: четкая и нечеткая квантовая логика . Springer. ISBN 978-1-4020-1978-4.