Нечеткая логика

В нечеткой математики , нечеткая логика является формой многозначной логики , в которой истинные значения переменных может быть любым действительным числом между 0 и 1 , как включительно. Он используется для обработки концепции частичной истины, где истинное значение может варьироваться от полностью истинного до полностью ложного. ^[1] Напротив, в булевой логике истинные значения переменных могут быть только целочисленными значениями 0 или 1.

Термин нечеткая логика была введена с 1965 года предложение теории нечетких множеств по Лютфи Заде . ^{[2] [3]} Нечеткая логика, однако, изучалась с 1920-х годов как бесконечнозначная логика, особенно Лукасевичем и Тарским . ^[4]

Нечеткая логика основана на наблюдении, что люди принимают решения на основе неточной и нечисловой информации. Нечеткие модели и наборы математических средства репрезентации расплывчатости и информации неточной (отсюда термин нечеткий). Эти модели обладают способностью распознавать, представлять, манипулировать, интерпретировать и использовать данные и информацию, которые являются расплывчатыми и недостоверными. ^[5]

Нечеткая логика применялась во многих областях, от теории управления до искусственного интеллекта .

Обзор [ править ]

Классическая логика допускает только правильные или ложные выводы. Однако есть также предложения с переменными ответами, которые можно найти, когда просят группу людей определить цвет. В таких случаях истина появляется в результате рассуждений, основанных на неточных или частичных знаниях, в которых выборочные ответы нанесены на спектр. ^[6]

Обе степени истины и вероятность в диапазоне от 0 до 1 , и , следовательно , может показаться похожим на первом, но нечеткая логика использует степени истины в качестве математической модели на нечеткость , а вероятность является математической моделью незнанию . ^[7]

Применение ценностей истины [ править ]

Базовое приложение может характеризовать различные поддиапазоны непрерывной переменной . Например, измерение температуры для антиблокировочной системы тормозов может иметь несколько отдельных функций принадлежности, определяющих определенные температурные диапазоны, необходимые для правильного управления тормозами. Каждая функция отображает одно и то же значение температуры на истинное значение в диапазоне от 0 до 1. Эти значения истинности затем можно использовать для определения того, как следует контролировать тормоза. ^[8] Теория нечетких множеств предоставляет средства для представления неопределенности.

Лингвистические переменные [ править ]

В то время как переменные в математике обычно принимают числовые значения, в приложениях нечеткой логики часто используются нечисловые значения для облегчения выражения правил и фактов. ^[9]

Лингвистическая переменная, такая как возраст, может принимать такие значения, как молодой и ее антоним старый . Поскольку естественные языки не всегда содержат достаточно терминов, чтобы выразить нечеткую шкалу ценностей, обычной практикой является изменение лингвистических значений прилагательными или наречиями . Например, мы можем использовать живые изгороди скорее и в некоторой степени, чтобы построить дополнительные ценности, довольно старые или несколько молодые .

Операции фаззификации могут отображать математические входные значения в нечеткие функции принадлежности. И противоположные операции дефаззификации могут использоваться для преобразования нечеткой выходной функции принадлежности в «четкое» выходное значение, которое затем можно использовать для принятия решений или целей управления.

Процесс [ править ]

1. Преобразуйте все входные значения в нечеткие функции принадлежности.
2. Выполните все применимые правила в базе правил, чтобы вычислить нечеткие выходные функции.
3. Устраните фаззи в функциях нечеткого вывода, чтобы получить "четкие" выходные значения.

Фаззификация [ править ]

Фаззификация - это процесс присвоения числового ввода системы нечетким множествам с некоторой степенью принадлежности. Эта степень членства может быть где угодно в интервале [0,1]. Если он равен 0, то значение не принадлежит данному нечеткому набору, а если оно равно 1, то значение полностью принадлежит нечеткому набору. Любое значение от 0 до 1 представляет степень неопределенности того, что значение принадлежит набору. Эти нечеткие множества обычно описываются словами, и поэтому, назначая входные данные системы нечетким множествам, мы можем рассуждать с лингвистической естественностью.

Например, на изображении ниже значения выражений холодный , теплый и горячий.представлены функциями, отображающими температурную шкалу. Точка на этой шкале имеет три «истинностных значения» - по одному для каждой из трех функций. Вертикальная линия на изображении представляет конкретную температуру, которую измеряют три стрелки (значения истинности). Поскольку красная стрелка указывает на ноль, эту температуру можно интерпретировать как «не горячую»; т.е. эта температура имеет нулевую принадлежность к нечеткому множеству «горячих». Оранжевая стрелка (указывающая на 0,2) может описать его как «слегка теплый», а синяя стрелка (указывающая на 0,8) «довольно холодная». Следовательно, эта температура имеет принадлежность 0,2 к нечеткому набору «теплый» и 0,8 к нечеткому набору «холодный». Степень принадлежности, присвоенная каждому нечеткому множеству, является результатом нечеткости.

Нечеткие множества часто определяются как треугольные или трапециевидные кривые, поскольку каждое значение будет иметь наклон, в котором значение увеличивается, пик, когда значение равно 1 (которое может иметь длину 0 или больше), и наклон, при котором значение значение уменьшается. ^{[ необходима цитата ]} Они также могут быть определены с помощью сигмовидной функции . ^[10] Одним из распространенных случаев является стандартная логистическая функция, определяемая как

${\displaystyle S(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}}$

который обладает следующим свойством симметрии

$${\displaystyle S(x)+S(-x)=1}$$

Из этого следует, что

$${\displaystyle (S(x)+S(-x))\cdot (S(y)+S(-y))\cdot (S(z)+S(-z))=1}$$

Операторы нечеткой логики [ править ]

Нечеткая логика работает со значениями принадлежности таким образом, чтобы имитировать логику логики . Для этого должны быть доступны замены для основных операторов AND, OR, NOT. Для этого есть несколько способов. Распространенная замена называется операторами Заде :

Для TRUE / 1 и FALSE / 0 нечеткие выражения дают тот же результат, что и логические выражения.

Также могут применяться другие операторы, более лингвистические по своей природе, называемые хеджами . Обычно это наречия, такие как очень или несколько , которые изменяют значение набора с помощью математической формулы . ^{[ необходима цитата ]}

Однако таблица произвольного выбора не всегда определяет функцию нечеткой логики. В статье ^[11] был сформулирован критерий для распознавания того, определяет ли данная таблица выбора функцию нечеткой логики, и был предложен простой алгоритм синтеза функции нечеткой логики, основанный на введенных концепциях составляющих минимума и максимума. Функция нечеткой логики представляет собой дизъюнкцию составляющих минимума, где составляющая минимума - это конъюнкция переменных текущей области, которая больше или равна значению функции в этой области (справа от значения функции в неравенстве, включая значение функции).

Другой набор операторов И / ИЛИ основан на умножении, где

х И у = х * уНЕ х = 1 - хСледовательно, x ИЛИ y = НЕ (И (НЕ (x), НЕ (y)))x ИЛИ y = НЕ (И (1-x, 1-y))x ИЛИ y = НЕ ((1-x) * (1-y))x ИЛИ y = 1- (1-x) * (1-y)

Учитывая любые два из И / ИЛИ / НЕ, можно получить третье. Обобщение оператора AND известно как t-норма .

IF-THEN правила [ править ]

Правила IF-THEN сопоставляют входные или вычисленные значения истинности с желаемыми выходными значениями истинности. Пример:

ЕСЛИ температура очень низкая, ТО fan_speed остановленЕСЛИ температура низкая, ТО fan_speed медленнаяЕСЛИ температура теплая, ТО fan_speed умереннаяЕСЛИ температура высока, ТО fan_speed высокая

При определенной температуре нечеткая переменная hot имеет определенное значение истинности, которое копируется в переменную high .

Если выходная переменная встречается в нескольких частях THEN, тогда значения из соответствующих частей IF объединяются с использованием оператора OR.

Дефаззификация [ править ]

Цель состоит в том, чтобы получить непрерывную переменную из нечетких значений истинности. ^{[ необходима цитата ]}

Это было бы легко, если бы выходные значения истинности были в точности такими, как получилось при фаззификации заданного числа. Однако, поскольку все выходные значения истинности вычисляются независимо, в большинстве случаев они не представляют такой набор чисел. ^{[ необходимая цитата ]} Затем нужно выбрать число, которое лучше всего соответствует «намерению», закодированному в значении истинности. Например, для нескольких значений истинности fan_speed необходимо найти фактическую скорость, которая наилучшим образом соответствует вычисленным значениям истинности переменных «медленный», «умеренный» и т. Д. ^{[ необходима цитата ]}

Для этого нет единого алгоритма.

Общий алгоритм

1. Для каждого значения истинности сократите функцию принадлежности на этом значении.
2. Объедините полученные кривые с помощью оператора ИЛИ
3. Найдите центр тяжести области под кривой
4. Положение этого центра по оси x является окончательным результатом.

Формирование консенсуса входных данных и нечетких правил [ править ]

Поскольку выходные данные нечеткой системы представляют собой консенсус всех входов и всех правил, системы с нечеткой логикой могут хорошо себя вести, когда входные значения недоступны или не заслуживают доверия. К каждому правилу в базе правил можно при желании добавить веса, и веса можно использовать для регулирования степени, в которой правило влияет на выходные значения. Эти веса правил могут быть основаны на приоритете, надежности или согласованности каждого правила. Эти веса правил могут быть статическими или могут изменяться динамически, даже на основе выходных данных других правил.

Ранние заявки [ править ]

Многие из первых успешных приложений нечеткой логики были реализованы в Японии. Первое заметное приложение было в поезде метро в Сендае , в котором нечеткая логика смогла повысить экономичность, комфорт и точность поездки ^{[ необходима цитата ]} . Он также использовался для распознавания рукописных символов.в карманных компьютерах Sony, помощь в полете для вертолетов, управление системами метро для повышения комфорта вождения, точности остановки и экономии энергии, улучшенный расход топлива для автомобилей, однокнопочное управление стиральными машинами, автоматическое управление двигателем для пылесосов с распознавание состояния поверхности и степени загрязнения, а также системы прогнозирования для раннего распознавания землетрясений через Бюро метеорологии Института сейсмологии, Япония. ^[12]

Текущие приложения [ править ]

При принятии медицинских решений [ править ]

Нечеткая логика - важное понятие, когда дело доходит до принятия медицинских решений. Поскольку медицинские и медицинские данные могут быть субъективными или нечеткими, приложения в этой области имеют большой потенциал для получения больших преимуществ за счет использования подходов, основанных на нечеткой логике. Одна из распространенных областей применения нечеткой логики - это компьютерная диагностика (CAD) в медицине. ^[13]CAD - это компьютеризированный набор взаимосвязанных инструментов, которые можно использовать для помощи врачам в принятии диагностических решений. Например, когда врач обнаруживает патологическое поражение, но все еще находится на очень ранней стадии развития, он / она может использовать метод ИБС, чтобы охарактеризовать поражение и диагностировать его природу. Нечеткая логика может быть очень подходящей для описания ключевых характеристик этого поражения. Нечеткую логику можно использовать во многих различных аспектах в рамках САПР. Такие аспекты включают в себя анализ медицинских изображений, анализ биомедицинских сигналов, сегментацию изображений или сигналов и выделение / выбор признаков изображений или сигналов, как описано, например, в ^{[14] [15] [16] [17]} и. ^[18]

Самый большой вопрос в этой области приложения - сколько полезной информации можно получить при использовании нечеткой логики. Основная проблема заключается в том, как получить необходимые нечеткие данные. Это становится еще более сложной задачей, когда нужно получить такие данные от людей (обычно от пациентов). Как сказано в нем, «границы того, что может быть достигнуто и чего не может быть достигнуто в медицинской диагностике, по иронии судьбы, само по себе нечеткое» [Seven Challenges, 2019]. Как выявить нечеткие данные и как проверить точность данных - все еще постоянные усилия, тесно связанные с применением нечеткой логики. Проблема оценки качества нечетких данных - сложная. Вот почему нечеткая логика - очень многообещающая возможность в области приложений САПР, но все же требует дополнительных исследований для реализации своего полного потенциала. ^[19] Хотя концепции использования нечеткой логики в САПР интересны, все еще существует ряд проблем, с которыми нечеткие подходы сталкиваются в рамках САПР.

Логический анализ [ править ]

В математической логике существует несколько формальных систем «нечеткой логики», большинство из которых относятся к семейству нечетких логик с t-нормой .

Пропозициональная нечеткая логика [ править ]

Наиболее важные пропозициональные нечеткие логики:

• Моноидальная основанная на t-норме пропозициональная нечеткая логика MTL - это аксиоматизация логики, в которой конъюнкция определяется непрерывной слева t-нормой, а импликация определяется как остаток t-нормы. Его модели соответствуют MTL-алгебрам, которые являются предлинейными коммутативными ограниченными целочисленными решетками с аппроксимацией .
• Базовая пропозициональная нечеткая логика BL является расширением логики MTL, где конъюнкция определяется непрерывной t-нормой, а импликация также определяется как остаток t-нормы. Его модели соответствуют BL-алгебрам.
• Нечеткая логика Лукасевича - это расширение базовой нечеткой логики BL, где стандартная конъюнкция является t-нормой Лукасевича. В нем есть аксиомы базовой нечеткой логики плюс аксиома двойного отрицания, а его модели соответствуют MV-алгебрам.
• Нечеткая логика Гёделя - это расширение базовой нечеткой логики BL, где конъюнкция - это гёделевская t-норма. В нем есть аксиомы BL плюс аксиома идемпотентности конъюнкции, а его модели называются G-алгебрами.
• Нечеткая логика продукта - это расширение базовой нечеткой логики BL, где конъюнкция - это t-норма продукта. В нем есть аксиомы BL плюс еще одна аксиома сокращаемости конъюнкции, а его модели называются алгебрами произведений.
• Нечеткая логика с оцененным синтаксисом (иногда также называемая логикой Павла), обозначаемая как EVŁ, является дальнейшим обобщением математической нечеткой логики. Хотя вышеуказанные виды нечеткой логики имеют традиционный синтаксис и многозначную семантику, в EVŁ также оценивается синтаксис. Это означает, что каждая формула имеет оценку. Аксиоматизация EVŁ проистекает из нечеткой логики Лукашевича. Обобщение классической теоремы Гёделя о полноте доказуемо в EVŁ ^{[ ссылка ]} .

Нечеткая логика предикатов [ править ]

Они расширяют вышеупомянутую нечеткую логику, добавляя универсальные и экзистенциальные кванторы аналогично тому, как логика предикатов создается из логики высказываний . Семантика универсального квантора в нечеткой логике t-нормы - это нижняя грань степеней истинности экземпляров квантифицированной подформулы, в то время как семантика экзистенциального квантора - верхняя грань того же самого.

Проблемы разрешимости нечеткой логики [ править ]

Понятия «разрешимое подмножество» и « рекурсивно перечислимое подмножество» являются базовыми для классической математики и классической логики . Таким образом, вопрос о подходящем расширении их для теории нечетких множеств является ключевым. Первое предложение в этом направлении было сделано Е. С. Сантосом с помощью понятий нечеткой машины Тьюринга , нормального нечеткого алгоритма Маркова и нечеткой программы (см. Santos 1970). Последовательно Л. Бачино и Дж. Герла утверждали, что предложенные определения весьма сомнительны. Например, в ^[20]один показывает, что нечеткие машины Тьюринга не подходят для теории нечетких языков, поскольку существуют естественные нечеткие языки, интуитивно вычислимые, которые не могут быть распознаны нечеткой машиной Тьюринга. Затем они предложили следующие определения. Обозначим через Ü множество рациональных чисел в [0,1]. Тогда нечеткое подмножество s  : S [0,1] множества S рекурсивно перечислимо, если существует рекурсивное отображение h  : S × N Ü такое, что для каждого x в S функция h ( x , n ) возрастает с увеличением уважение к п и${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \rightarrow }$s ( x ) = lim h ( x , n ). Будем говорить , что s является разрешимым , если оба s и его дополнения - s рекурсивно перечислим. Возможно распространение такой теории на общий случай L-подмножеств (см. Герла 2006). Предлагаемые определения хорошо связаны с нечеткой логикой. Действительно, справедлива следующая теорема (при условии, что аппарат вывода рассматриваемой нечеткой логики удовлетворяет некоторому очевидному свойству эффективности).

Любая «аксиоматизируемая» нечеткая теория рекурсивно перечислима. В частности, нечеткое множество логически истинных формул рекурсивно перечислимо, несмотря на то, что четкое множество правильных формул, вообще говоря, не рекурсивно перечислимо. Более того, любая аксиоматизируемая и полная теория разрешима.

Это открытый вопрос, чтобы поддержать «тезис Черча» для нечеткой математики , предложенное понятие рекурсивной перечислимости для нечетких подмножеств является адекватным. Чтобы решить эту проблему, необходимо расширение понятий нечеткой грамматики и нечеткой машины Тьюринга . Другой открытый вопрос - начать с этого понятия, чтобы найти расширение теорем Гёделя на нечеткую логику.

Нечеткие базы данных [ править ]

После определения нечетких отношений можно разрабатывать нечеткие реляционные базы данных . Первая нечеткая реляционная база данных FRDB появилась в диссертации Марии Земанковой (1983). Позже возникли некоторые другие модели, такие как модель Баклза-Петри, модель Прад-Тестемале, модель Умано-Фуками или модель GEFRED Дж. М. Медина, М. А. Вила и др.

Были определены языки нечетких запросов, такие как SQLf П. Боском и др. и FSQL J. Galindo et al. Эти языки определяют некоторые структуры для включения нечетких аспектов в операторы SQL, таких как нечеткие условия, нечеткие компараторы, нечеткие константы, нечеткие ограничения, нечеткие пороги, лингвистические метки и т. Д.

Сравнение с вероятностью [ править ]

Нечеткая логика и вероятность обращаются к различным формам неопределенности. В то время как и нечеткая логика, и теория вероятностей могут представлять степени определенных видов субъективных убеждений, теория нечетких множеств использует концепцию принадлежности к нечетким множествам, т. Е. Насколько наблюдение находится в нечетко определенном множестве, а теория вероятностей использует концепцию субъективной вероятности. , т. е. частота возникновения или вероятность какого-либо события или состояния ^{[ требуется пояснение ]} . Концепция нечетких множеств была разработана в середине двадцатого века в Беркли ^[21] как ответ на отсутствие теории вероятностей для совместного моделирования неопределенности и неопределенности . ^[22]

Барт Коско утверждает в своей работе «Нечеткость против вероятности» ^[23], что теория вероятностей является подтеорией нечеткой логики, поскольку вопросы степени уверенности во взаимоисключающем членстве во множестве в теории вероятностей могут быть представлены как определенные случаи не исключающего друг друга градуированного членства. в нечеткой теории. В этом контексте он также выводит теорему Байеса из концепции нечеткого подмножества. Лотфи А. Заде утверждает, что нечеткая логика по своему характеру отличается от вероятности и не заменяет ее. Он преобразовал вероятность в нечеткую вероятность, а также обобщил ее на теорию возможностей . ^[24]

В более общем плане нечеткая логика является одним из многих различных расширений классической логики, предназначенных для решения вопросов неопределенности, выходящих за рамки классической логики, неприменимости теории вероятностей во многих областях и парадоксов теории Демпстера-Шафера .

Отношение к экорифмам [ править ]

Теоретик вычислений Лесли Валиант использует термин экорифмы, чтобы описать, сколько менее точных систем и методов, таких как нечеткая логика (и «менее надежная» логика), можно применить к алгоритмам обучения . Valiant по сути переопределяет машинное обучение как эволюционное. В общем, экорифмы - это алгоритмы, которые учатся в своей более сложной среде (следовательно, экологической ) для обобщения, аппроксимации и упрощения логики решения. Как и нечеткая логика, это методы, используемые для преодоления непрерывных переменных или систем, слишком сложных для полного перечисления или понимания дискретно или точно. ^[25] Экорифмы и нечеткая логика также имеют общее свойство иметь дело с возможностями больше, чем с вероятностями, хотя обратная связь ипрямая связь , в основном стохастические веса, являются особенностью обоих, например, при работе с динамическими системами.

Компенсационная нечеткая логика [ править ]

Компенсаторная нечеткая логика (CFL) - это ветвь нечеткой логики с модифицированными правилами конъюнкции и дизъюнкции. Когда значение истинности одного компонента соединения или дизъюнкции увеличивается или уменьшается, другой компонент уменьшается или увеличивается для компенсации. Это увеличение или уменьшение значения истинности может быть компенсировано увеличением или уменьшением другого компонента. Смещение может быть заблокировано при достижении определенных пороговых значений. Сторонники ^{[ кто? ]} утверждают, что CFL позволяет улучшить семантическое поведение вычислений и имитировать естественный язык. ^{[ расплывчато ] [26] [27]}

Компенсаторная нечеткая логика состоит из четырех непрерывных операторов: конъюнкция (c); дизъюнкция (г); нечеткий строгий порядок (или); и отрицание (п). Конъюнкция - это среднее геометрическое и двойственные ему конъюнктивные и дизъюнктивные операторы. ^[28]

СТАНДАРТ IEEE 1855–2016 - Стандарт IEEE для языка нечеткой разметки [ править ]

IEEE 1855 , то стандарт IEEE 1855-2016, о языке спецификации под названием Fuzzy Markup Language (FML) ^[29] , разработанной Ассоциацией IEEE Standards . FML позволяет моделировать систему с нечеткой логикой в ​​удобочитаемом и аппаратно-независимом виде. FML основан на расширяемом языке разметки ( XML ). Разработчики нечетких систем с FML имеют унифицированную и высокоуровневую методологию описания взаимодействующих нечетких систем. IEEE STANDARD 1855–2016 использует язык определения схемы W3C XML для определения синтаксиса и семантики программ FML.

До внедрения FML специалисты по нечеткой логике могли обмениваться информацией о своих нечетких алгоритмах, добавляя к своим программным функциям возможность читать, правильно анализировать и сохранять результат своей работы в форме, совместимой с языком нечеткого управления (FCL). описан и определен частью 7 стандарта IEC 61131 . ^{[30] [31]}

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Arabacioglu, BC (2010). «Использование системы нечеткого вывода для анализа архитектурного пространства». Прикладные программные вычисления . 10 (3): 926–937. DOI : 10.1016 / j.asoc.2009.10.011 .
• Biacino, L .; Герла, Г. (2002). «Нечеткая логика, преемственность и эффективность». Архив математической логики . 41 (7): 643–667. CiteSeerX  10.1.1.2.8029 . DOI : 10.1007 / s001530100128 . ISSN  0933-5846 . S2CID  12513452 .
• Кокс, Эрл (1994). Справочник по нечетким системам: практическое руководство по созданию, использованию и обслуживанию нечетких систем . Бостон: AP Professional. ISBN 978-0-12-194270-0.
• Герла, Джангиакомо (2006). «Эффективность и многозначная логика». Журнал символической логики . 71 (1): 137–162. DOI : 10.2178 / JSL / 1140641166 . ISSN  0022-4812 .
• Гайек, Петр (1998). Метаматематика нечеткой логики . Дордрехт: Клувер. ISBN 978-0-7923-5238-9.
• Гайек, Петр (1995). «Нечеткая логика и арифметическая иерархия». Нечеткие множества и системы . 3 (8): 359–363. DOI : 10.1016 / 0165-0114 (94) 00299-M . ISSN  0165-0114 .
• Халперн, Джозеф Ю. (2003). Рассуждения о неопределенности . Кембридж, Массачусетс: MIT Press . ISBN 978-0-262-08320-1.
• Хеппнер, Франк; Klawonn, F .; Kruse, R .; Рунклер, Т. (1999). Нечеткий кластерный анализ: методы классификации, анализа данных и распознавания изображений . Нью-Йорк: Джон Вили. ISBN 978-0-471-98864-9.
• Ибрагим, Ахмад М. (1997). Введение в прикладную нечеткую электронику . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice Hall . ISBN 978-0-13-206400-2.
• Клир, Георгий Иржи ; Фолгер, Тина А. (1988). Нечеткие множества, неопределенность и информация . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice Hall . ISBN 978-0-13-345984-5.
• Клир, Георгий Иржи ; Сент-Клер, штат Юта H .; Юань, Бо (1997). Теория нечетких множеств: основы и приложения . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice Hall . ISBN 978-0-13-341058-7.
• Клир, Георгий Иржи ; Юань, Бо (1995). Нечеткие множества и нечеткая логика: теория и приложения . Река Аппер Сэдл, штат Нью-Джерси: Prentice Hall PTR . ISBN 978-0-13-101171-7.
• Коско, Барт (1993). Нечеткое мышление: новая наука о нечеткой логике . Нью-Йорк: Гиперион. ISBN 978-0-7868-8021-8.
• Коско, Барт; Исака, Сатору (июль 1993 г.). "Нечеткая логика". Scientific American . 269 (1): 76–81. Bibcode : 1993SciAm.269a..76K . DOI : 10.1038 / Scientificamerican0793-76 .
• Лохани, AK; Гоэль, Н.К .; Бхатия, KKS (2006). «Система нечеткого вывода Такаги – Сугено для моделирования взаимосвязи стадия – разряд». Журнал гидрологии . 331 (1): 146–160. Bibcode : 2006JHyd..331..146L . DOI : 10.1016 / j.jhydrol.2006.05.007 .
• Лохани, AK; Гоэль, Н.К .; Бхатия, KKS (2007). «Построение зависимости стадия – сброс – концентрация наносов с использованием нечеткой логики». Журнал гидрологических наук . 52 (4): 793–807. DOI : 10,1623 / hysj.52.4.793 . S2CID  117782707 .
• Лохани, AK; Гоэль, Н.К .; Бхатия, KKS (2011). «Сравнительное исследование методов нейронной сети, нечеткой логики и линейной передаточной функции в ежедневном моделировании дождевого стока в различных входных областях». Гидрологические процессы . 25 (2): 175–193. Bibcode : 2011HyPr ... 25..175L . DOI : 10.1002 / hyp.7831 .
• Лохани, AK; Гоэль, Н.К .; Бхатия, KKS (2012). «Моделирование гидрологических временных рядов: сравнение адаптивных нейронечетких, нейросетевых и авторегрессионных методов». Журнал гидрологии . 442–443 (6): 23–35. Bibcode : 2012JHyd..442 ... 23L . DOI : 10.1016 / j.jhydrol.2012.03.031 .
• Могхаддам, MJ; Солеймани, MR; Фарси, Массачусетс (2013). «Планирование последовательности операций штамповки в прогрессивных штампах». Журнал интеллектуального производства : 1–11.
• Масмуди, Малек; Хаит, Ален (июль 2012 г.). Планирование проектов в условиях неопределенности с использованием методов нечеткого моделирования и решения, Engineering Applications of Artificial Intelligence . Эльзевир.
• Масмуди, Малек; Хаит, Ален (ноябрь 2012 г.). «Нечеткое моделирование неопределенности для планирования проекта; приложение для обслуживания вертолетов» (PDF) . Международный журнал производственных исследований . 50 (24).
• Мериго, Хосе М .; Gil-Lafuente, Anna M .; Ягер, Рональд Р. (2015). «Обзор нечетких исследований с библиометрическими показателями». Прикладные программные вычисления . 27 : 420–433. DOI : 10.1016 / j.asoc.2014.10.035 . ISSN  1568-4946 .
• Миронов, А. (2005). «Нечеткая модальная логика». Журнал математических наук . 128 (6): 3461–3483. DOI : 10.1007 / s10958-005-0281-1 . ISSN  1072-3374 . S2CID  120674564 .
• Монтанья, Ф. (2001). «Три проблемы сложности в количественной нечеткой логике». Studia Logica . 68 (1): 143–152. DOI : 10,1023 / A: 1011958407631 . ISSN  0039-3215 . S2CID  20035297 .
• Мундичи, Даниэле; Чиньоли, Роберто; Д'Оттавиано, Италия ML (1999). Алгебраические основы многозначных рассуждений . Дордрехт: Kluwer Academic. ISBN 978-0-7923-6009-4.
• Новак, Вилем (1989). Нечеткие множества и их приложения . Бристоль: Адам Хильгер. ISBN 978-0-85274-583-0.
• Новак, Вилем (2005). «О теории нечетких типов». Нечеткие множества и системы . 149 (2): 235–273. DOI : 10.1016 / j.fss.2004.03.027 .
• Новак, Вилем; Перфильева Ирина; Мочкорж, Иржи (1999). Математические принципы нечеткой логики . Дордрехт: Kluwer Academic. ISBN 978-0-7923-8595-0.
• Онсес, Ричард (1996). Эксперт второго порядка: новый инструмент для изменения парадигм в расчетах страновых рисков . ISBN 978-84-7719-558-0.
• Онсес, Ричард (1994). Определение искренности в инвестициях в Латинскую Америку на основе теории собственных ансамблей . Барселона. ISBN 978-84-475-0881-5.
• Пассино, Кевин М .; Юркович, Стивен (1998). Нечеткое управление . Бостон: Эддисон-Уэсли . ISBN 978-0-201-18074-9.
• Педрич, Витольд; Гомиде, Фернандо (2007). Разработка нечетких систем: к человеко-ориентированным вычислениям . Хобокен: Wiley-Interscience . ISBN 978-0-471-78857-7.
• Пу, Пао Мин ; Лю, Инь Мин (1980). "Нечеткая топология. I. Окрестности нечеткой точки и сходимость Мура-Смита". Журнал математического анализа и приложений . 76 (2): 571–599. DOI : 10.1016 / 0022-247X (80) 90048-7 . ISSN  0022-247X .
• Саху, Бхабаграхи; Лохани, AK; Саху, Рохит К. (2006). «Модели управления на основе нечеткого многокритериального и линейного программирования для оптимального планирования системы« земля-вода-растение ». Управление водными ресурсами, Springer, Нидерланды . 20 (6): 931–948. DOI : 10.1007 / s11269-005-9015-х . S2CID  154264034 .
• Сантос, Юджин С. (1970). «Нечеткие алгоритмы» . Информация и контроль . 17 (4): 326–339. DOI : 10.1016 / S0019-9958 (70) 80032-8 .
• Скарпеллини, Бруно (1962). "Die Nichaxiomatisierbarkeit des unendlichwertigen Prädikatenkalküls von Lukasiewicz". Журнал символической логики . 27 (2): 159–170. DOI : 10.2307 / 2964111 . ЛВП : 20.500.11850 / 423097 . ISSN  0022-4812 . JSTOR  2964111 .
• Захват, Рудольф (2007). Фаззификация систем. Возникновение теории нечетких множеств и ее начальные приложения - развитие до 1970-х годов . Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-71795-9.
• Стиб, Вилли-Ханс (2008). The Nonlinear Workbook: Chaos, Fractals, Cellular Automata, Neural Networks, Genetic Algorithms, Gene Expression Programming, Support Vector Machine, Wavelets, Hidden Markov Models, Fuzzy Logic with C ++, Java and SymbolicC ++ Programs (4 ed.). World Scientific. ISBN 978-981-281-852-2.
• Цитоловский, Лев; Сандлер, Узиэль (2008). Поведение нейронных клеток и нечеткая логика . Springer. ISBN 978-0-387-09542-4.
• Видерманн, Дж. (2004). «Описание вычислительной мощности супер-Тьюринга и эффективности классических нечетких машин Тьюринга» . Теоретическая информатика . 317 (1–3): 61–69. DOI : 10.1016 / j.tcs.2003.12.004 .
• Ягер, Рональд Р .; Филев, Димитар П. (1994). Основы нечеткого моделирования и управления . Нью-Йорк: Вили. ISBN 978-0-471-01761-5.
• Ван Пелт, Майлз (2008). Нечеткая логика в повседневной жизни . Сиэтл, Вашингтон: Нет Нет Нет Нет Пресса. ISBN 978-0-252-16341-8.
• Фон Альтрок, Константин (1995). Объяснение нечеткой логики и приложений NeuroFuzzy . Река Аппер Сэдл, штат Нью-Джерси: Prentice Hall PTR. ISBN 978-0-13-368465-0.
• Уилкинсон, Р.Х. (1963). «Метод создания функций нескольких переменных с использованием аналоговой диодной логики». Транзакции IEEE на электронных компьютерах . 12 (2): 112–129. DOI : 10,1109 / PGEC.1963.263419 .
• Заде, Л.А. (1968). «Нечеткие алгоритмы» . Информация и контроль . 12 (2): 94–102. DOI : 10.1016 / S0019-9958 (68) 90211-8 . ISSN  0019-9958 .
• Заде, Л.А. (1965). «Нечеткие множества» . Информация и контроль . 8 (3): 338–353. DOI : 10.1016 / S0019-9958 (65) 90241-X . ISSN  0019-9958 .
• Зайцев Д.А.; Сарбей, В.Г .; Слепцов А.И. (1998). «Синтез функций непрерывной логики, заданных в табличной форме». Кибернетика и системный анализ . 34 (2): 190–195. DOI : 10.1007 / BF02742068 . S2CID  120220846 .
• Земанкова-Пиявка М. (1983). «Нечеткие реляционные базы данных». Кандидатская диссертация. Государственный университет Флориды. Cite journal requires |journal= (help)
• Циммерманн, Х. (2001). Теория нечетких множеств и ее приложения . Бостон: Kluwer Academic Publishers . ISBN 978-0-7923-7435-0.

Внешние ссылки [ править ]

• Формальная нечеткая логика - статья в Citizendium
• IEC 1131-7 CD1 IEC 1131-7 CD1 PDF
• Fuzzy Logic - статья в Scholarpedia
• Моделирование со словами - статья в Scholarpedia
• Нечеткая логика - статья в Стэнфордской энциклопедии философии
• Нечеткая математика - введение в нечеткую логику для начинающих
• Нечеткость и точность - Нечеткость в повседневной жизни, науке, религии, этике, политике и т. Д.
• Fuzzylite - кроссплатформенная бесплатная библиотека Fuzzy Logic Control с открытым исходным кодом, написанная на C ++. Также имеет очень полезный графический пользовательский интерфейс в QT4.
• Онлайн-калькулятор на основе нечеткой логики - дает онлайн-расчет на обучающем примере нечеткой логической модели.
• Более гибкое машинное обучение - MIT описывает одно приложение.
• Семантическое сходство MIT предоставляет подробную информацию о нечетком семантическом сходстве.