Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Чтобы узнать о других значениях, см. Нечеткая математика (значения) .

Нечеткая математика образует раздел математики, включая теорию нечетких множеств и нечеткую логику . Это началось в 1965 году после публикации основополагающей работы Лотфи Аскер-Заде « Нечеткие множества» . [1]

Определение [ править ]

Нечеткое подмножество из множества X является функцией : Х → L , где L представляет собой интервал [0, 1]. Эта функция также называется функцией принадлежности. Функция принадлежности - это обобщение индикаторной функции (также называемой характеристической функцией ) подмножества, определенного для L = {0, 1}. В более общем плане , можно использовать любой полную решетку L в определении нечеткого подмножества A . [2]

Фаззификация [ править ]

Эволюцию фаззификации математических понятий можно разбить на три этапа: [3]

  1. прямая фаззификация в шестидесятые и семидесятые годы,
  2. взрыв возможных выборов в процессе обобщения в восьмидесятые годы,
  3. стандартизация, аксиоматизация и L- фаззификация в девяностые годы.

Обычно фаззификация математических понятий основана на обобщении этих понятий от характеристических функций до функций принадлежности. Пусть и B два нечетких подмножества X . Пересечение  ∩  B и объединение  ∪  B определены следующим образом : (  ∩  B ) ( х ) = мин ( ( х ), В ( х )), (  ∪  B ) ( х ) = тах ( ( х ), В ( Х )) для всех х в X . Вместо min и max можно использовать t-норму и t-конорму соответственно [4], например, min ( a , b ) можно заменить умножением ab . Прямая фаззификация обычно основана на минимальных и максимальных операциях, потому что в этом случае больше свойств традиционной математики можно распространить на нечеткий случай.

Важным принципом обобщения, используемым при фаззификации алгебраических операций, является свойство замыкания. Пусть * будет бинарная операция на X . Свойство замыкания для нечеткого подмножества A в X состоит в том, что для всех x , y в X , A ( x * y ) ≥ min ( A ( x ), A ( y )). Пусть ( G , *) является группой и нечеткое подмножество G . Тогда A - нечеткая подгруппа вG, если для всех x , y в G , A ( x * y −1 ) ≥ min ( A ( x ), A ( y −1 )).

Аналогичный принцип обобщения используется, например, для фаззификации свойства транзитивности . Пусть R нечеткое отношение на X , т.е. R является нечеткое подмножество X  ×  X . Тогда R транзитивно (Нечетко-) , если для всех х ,  у ,  г в X , Р ( х ,  г ) ≥ мин ( Р ( х ,  у ), R ( у ,  г )).

Нечеткие аналоги [ править ]

Нечеткие подгруппы и нечеткие подгруппы были введены в 1971 г. А. Розенфельдом. [5] [6] [7]

Аналоги других математических дисциплин были переведены в нечеткую математику, например, теория нечеткого поля и нечеткая теория Галуа, [8] нечеткая топология, [9] [10] нечеткая геометрия, [11] [12] [13] [14] нечеткая порядки, [15] и нечеткие графы. [16] [17] [18]

См. Также [ править ]

  • Теория нечеткой меры
  • Нечеткая подалгебра
  • Моноидальная логика t-нормы
  • Теория возможностей
  • Т-норма

Ссылки [ править ]

  1. ↑ Заде, Л.А. (1965) «Нечеткие множества», Информация и управление , 8, 338–353.
  2. ^ Goguen, J. (1967) "L-нечеткие множества", J. Math. Анальный. Прил. , 18, 145-174.
  3. ^ Kerre, EE, Mordeson, JN (2005) «Исторический обзор нечеткой математики», New Mathematics and Natural Computing , 1, 1-26.
  4. ^ Klement, ЕР, Mesiar, Р., мазок, Е. (2000) Треугольные нормы . Дордрехт, Клувер.
  5. ^ Розенфельд, А. (1971) "Нечеткие группы", J. Math. Анальный. Прил. , 35, 512-517.
  6. ^ Мордесон, Дж., Малик, Д. С., Куроли, Н. (2003) Нечеткие полугруппы . Исследования в области нечеткости и мягких вычислений, т. 131, Springer-Verlag
  7. ^ Mordeson, JN, Bhutani, KR, Розенфельд, А. (2005) Fuzzy теории групп . Исследования в области нечеткости и мягких вычислений, т. 182. Springer-Verlag.
  8. ^ Мордесон, Дж. Н., Малик, Д. С. (1998) Нечеткая коммутативная алгебра . World Scientific.
  9. ^ Чанг, CL (1968) "Нечеткие топологические пространства", J. Math. Анальный. Прил. , 24, 182—190.
  10. ^ Лю, Ю.-М. , Луо, М.-К. (1997) Нечеткая топология . Достижения в нечетких системах - приложения и теория, т. 9, World Scientific, Сингапур.
  11. ^ Постон, Тим, «Нечеткая геометрия».
  12. ^ Бакли, Дж. Дж., Эслами, Э. (1997) "Нечеткая геометрия плоскости I: точки и линии". Нечеткие множества и системы , 86, 179–187.
  13. ^ Гош, Д., Чакраборти, Д. (2012) "Аналитическая геометрия нечеткой плоскости I". Нечеткие множества и системы , 209, 66-83.
  14. ^ Чакраборти, Д. и Гош, Д. (2014) "Аналитическая геометрия нечеткой плоскости II". Нечеткие множества и системы , 243, 84–109.
  15. ^ Заде Л.А. (1971) "Отношения подобия и нечеткие порядки". Сообщить. Sci. , 3, 177–200.
  16. Перейти ↑ Kaufmann, A. (1973). Введение a la théorie des sous-ensembles flow . Париж. Массон.
  17. ^ А. Розенфельд, А. (1975) "Нечеткие графы". В: Заде, Л.А., Фу, К.С., Танака, К., Шимура, М. (ред.), Нечеткие множества и их приложения к когнитивным процессам и процессам принятия решений , Academic Press, Нью-Йорк, ISBN  978-0-12-775260- 0 , с. 77–95.
  18. ^ Yeh, RT, Банг, SY (1975) "Нечеткие графы, нечеткие отношения и их приложения к кластерному анализу". В: Заде, Л.А., Фу, К.С., Танака, К., Шимура, М. (ред.), Нечеткие множества и их приложения к когнитивным процессам и процессам принятия решений , Academic Press, Нью-Йорк, ISBN 978-0-12-775260- 0. С. 125–149. 

Внешние ссылки [ править ]

  • Заде, Л.А. Нечеткая логика - статья в Scholarpedia
  • Hajek, P. Fuzzy Logic - статья в Стэнфордской энциклопедии философии
  • Навара, М. Треугольные нормы и конормы - статья в Scholarpedia
  • Дюбуа Д., Прад Х. Теория возможностей - статья в Scholarpedia
  • Центр для математики неопределенности Fuzzy Math Research - веб - сайт размещен на Университет Крейтон
  • Зейзинг Р. [1] Книга по истории математической теории нечетких множеств: фаззификация систем. Возникновение теории нечетких множеств и ее начальные приложения - разработки до 1970-х годов (Исследования нечеткости и мягких вычислений, том 216), Берлин, Нью-Йорк, [и др.]: Springer 2007.