В математике , А т-норма (также Т-норма или, несокращенная, треугольная норма ) является своим родом бинарной операции , используемой в рамках вероятностных метрических пространств и в многозначных логиках , в частности , в нечеткой логике . T-норма обобщает пересечение в решетке и конъюнкцию в логике . Название треугольная норма относится к тому факту, что в рамках вероятностных метрических пространств t-нормы используются для обобщения неравенства треугольника обычных метрических пространств..
Определение
T-норма - это функция T: [0, 1] × [0, 1] → [0, 1], которая удовлетворяет следующим свойствам:
- Коммутативность : T ( a , b ) = T ( b , a )
- Монотонность : T ( a , b ) ≤ T ( c , d ), если a ≤ c и b ≤ d
- Ассоциативность : T ( a , T ( b , c )) = T (T ( a , b ), c )
- Число 1 действует как элемент идентичности : T ( a , 1) = a
Поскольку t-норма - это бинарная алгебраическая операция на интервале [0, 1], также распространена инфиксная алгебраическая нотация, причем t-норма обычно обозначается как .
Определяющие условия t-нормы в точности соответствуют условиям частично упорядоченного абелева моноида на вещественном единичном интервале [0, 1]. (Срав упорядоченной группу .) Моноидальная работа любого частично упорядоченного абелева моноидного L Поэтому некоторых авторы , названных треугольная норму на L .
Мотивы и приложения
T-нормы являются обобщением обычной двузначной логической конъюнкции , изучаемой классической логикой, для нечетких логик . Действительно, классическая булева конъюнкция коммутативна и ассоциативна. Свойство монотонности гарантирует, что степень истинности конъюнкции не уменьшается, если значения истинности конъюнктов увеличиваются. Требование, чтобы 1 был элементом идентичности, соответствует интерпретации 1 как истинного (и, следовательно, 0 как ложного ). Непрерывность, которая также часто требуется от нечеткого соединения, выражает идею о том, что, грубо говоря, очень небольшие изменения в значениях истинности конъюнктов не должны макроскопически влиять на значение истинности их соединения.
T-норма также используется для построения пересечения с нечеткими множествами , или в качестве основы для операторов агрегации (см нечетких множества операций ). В вероятностных метрических пространствах t-нормы используются для обобщения неравенства треугольника обычных метрических пространств. Индивидуальные t-нормы, конечно, могут часто встречаться в дальнейших математических дисциплинах, поскольку класс содержит много знакомых функций.
Классификация t-норм
T-норма называется непрерывной, если она непрерывна как функция в обычной интервальной топологии на [0, 1] 2 . (Аналогично для непрерывности слева и справа .)
T-норма называется строгой, если она непрерывна и строго монотонна .
T-норма называется нильпотентной, если она непрерывна и каждый x в открытом интервале (0, 1) является ее нильпотентным элементом, т. Е. Существует натуральное число n такое, что x ... x ( n раз) равно 0.
T-норма называется Архимедовым, если он обладает свойством Архимеда , т. е. если для каждого x , y в открытом интервале (0, 1) существует натуральное число n такое, что x ... x ( n раз) меньше или равно y .
Обычное частичное упорядочение t-норм поточечное, т. Е.
- T 1 ≤ T 2, если T 1 ( a , b ) ≤ T 2 ( a , b ) для всех a , b в [0, 1].
Как функции, поточечно большие t-нормы иногда называют более сильными, чем поточечно меньшие. В семантике нечеткой логики, однако, чем больше t-норма, тем слабее (с точки зрения логической силы) конъюнкция, которую она представляет.
Выдающиеся примеры
- Минимальная t-норма также называется t-нормой Гёделя , поскольку это стандартная семантика конъюнкции в нечеткой логике Гёделя . Кроме того, это встречается в большинстве нечетких логик, основанных на t-норме, как стандартная семантика для слабой конъюнкции. Это поточечная наибольшая t-норма (см. Свойства t-норм ниже).
- T-норма продукта (обычное произведение действительных чисел). Помимо других применений, t-норма произведения является стандартной семантикой для сильной конъюнкции в нечеткой логике произведения . Это строгая архимедова t-норма.
- Лукасевич t-норма Название происходит от того факта, что t-норма является стандартной семантикой для сильной конъюнкции в нечеткой логике Лукасевича . Это нильпотентная архимедова t-норма, поточечно меньшая, чем t-норма произведения.
- Резкая t-норма
- Название отражает тот факт, что экстремальная t-норма является поточечно наименьшей t-нормой (см. Свойства t-норм ниже). Это непрерывная справа архимедова t-норма.
- Нильпотентный минимум
- является стандартным примером t-нормы, которая непрерывна слева, но не непрерывна. Несмотря на свое название, нильпотентный минимум не является нильпотентной t-нормой.
- Продукция Hamacher
- строгий архимедов т-норма, а также важный представитель параметрических классов Hamacher т-нормы и Schweizer-Скляр т-нормы .
Свойства t-норм
Резкая t-норма - это поточечная наименьшая t-норма, а минимальная - поточечная наибольшая t-норма:
- для любой t-нормы и все a , b в [0, 1].
Для каждой t-нормы T число 0 действует как нулевой элемент: T ( a , 0) = 0 для всех a в [0, 1].
T-норма T имеет делители нуля тогда и только тогда, когда в ней есть нильпотентные элементы; каждый нильпотентный элемент T также является делителем нуля T. Множество всех нильпотентных элементов является интервалом [0, a ] или [0, a ) для некоторого a в [0, 1].
Свойства непрерывных t-норм
Хотя действительные функции двух переменных могут быть непрерывными по каждой переменной, но не на [0, 1] 2 , это не относится к t-нормам: t-норма T непрерывна тогда и только тогда, когда она непрерывна по одной переменной. , т. е. тогда и только тогда, когда функции f y ( x ) = T ( x , y ) непрерывны для каждого y в [0, 1]. Аналогичные теоремы верны для непрерывности t-нормы слева и справа.
Непрерывная t-норма архимедова тогда и только тогда, когда 0 и 1 - ее единственные идемпотенты .
Непрерывная архимедова t-норма является строгой, если 0 - ее единственный нильпотентный элемент; в противном случае он нильпотентен. Более того, по определению непрерывная архимедова t-норма T нильпотентна тогда и только тогда, когда каждый x <1 является нильпотентным элементом T. Таким образом, с непрерывной архимедовой t-нормой T либо все, либо ни один из элементов (0, 1) нильпотентны. Если все элементы в (0, 1) нильпотентны, то t-норма изоморфна t-норме Лукасевича; т.е. существует строго возрастающая функция f такая, что
Если, с другой стороны, в T нет нильпотентных элементов, t-норма изоморфна t-норме произведения. Другими словами, все нильпотентные t-нормы изоморфны, t-норма Лукасевича является их прототипическим представителем; и все строгие t-нормы изоморфны, а t-норма произведения является их прототипом. T-норма Лукасевича сама изоморфна t-норме произведения с подрезом в 0,25, т. Е. Функции p ( x , y ) = max (0,25, x · y ) на [0,25, 1] 2 .
Для каждой непрерывной t-нормы множество ее идемпотентов является замкнутым подмножеством [0, 1]. Его дополнение - множество всех элементов, которые не являются идемпотентными, - поэтому объединение счетного числа неперекрывающихся открытых интервалов. Ограничение t-нормы на любой из этих интервалов (включая его концы) архимедово и, следовательно, изоморфно t-норме Лукасевича или t-норме произведения. Для таких x , y, которые не попадают в один и тот же открытый интервал неидемпотентов, t-норма оценивается как минимум x и y . Эти условия фактически дают характеристику непрерывных t-норм, называемую теоремой Мостерта – Шилдса , поскольку таким образом можно разложить любую непрерывную t-норму, а описанная конструкция всегда дает непрерывную t-норму. Теорема также может быть сформулирована следующим образом:
- T-норма непрерывна тогда и только тогда, когда она изоморфна порядковой сумме минимума, Лукасевича и t-нормы произведения.
Подобная характеризационная теорема для прерывных t-норм неизвестна (даже для непрерывных слева), были найдены только некоторые неисчерпывающие методы построения t-норм .
Остаток
Для любой непрерывной слева t-нормы , есть уникальная бинарная операция на [0, 1] такие, что
- если и только если
для всех x , y , z в [0, 1]. Эта операция называется вычетом t-нормы. В префиксной записи остаток до t-нормы часто обозначается как или буквой Р.
Интервал [0, 1] с t-нормой и его остатком образует решетку с делениями . Связь между t-нормой T и ее остатком R является примером присоединения (в частности, связности Галуа ): остаток образует правый сопряженный R ( x , -) к функтору T (-, x ) для каждого x в решетка [0, 1], взятая как чум-категория .
В стандартной семантике нечетких логик на основе t-нормы, где конъюнкция интерпретируется t-нормой, остаток играет роль импликации (часто называемой R-импликацией ).
Основные свойства остатка
Если является вычетом непрерывной слева t-нормы , тогда
Следовательно, для всех x , y в единичном интервале
- если и только если
а также
Если является непрерывной слева t-нормой и его остаток, то
Если непрерывно, то в первом равенство выполняется.
Вычетов выдающихся непрерывных слева t-норм
Если x ≤ y , то R ( x , y ) = 1 для любого остатка R. Поэтому в следующей таблице приведены значения выдающихся остатков только для x > y .
Остаток | Имя | Значение для x > y | График |
---|---|---|---|
Минимальная t-норма | Стандартная импликация Гёделя | y | |
T-норма продукта | Смысл Гогена | у / х | |
Лукасевич t-норма | Стандартный вывод Лукасевича | 1 - х + у | |
Нильпотентный минимум | макс (1 - х , у ) |
Т-конормы
T-конормы (также называемые S-нормами ) двойственны t-нормам при операции изменения порядка, которая присваивает 1 - x элементу x на [0, 1]. Учитывая t-норму, дополнительная конорма определяется формулой
Это обобщает законы Де Моргана .
Отсюда следует, что t-конорма удовлетворяет следующим условиям, которые можно использовать для эквивалентного аксиоматического определения t-конорм независимо от t-норм:
- Коммутативность: ⊥ ( a , b ) = ⊥ ( b , a )
- Монотонность: ⊥ ( a , b ) ≤ ⊥ ( c , d ), если a ≤ c и b ≤ d
- Ассоциативность: ⊥ ( a , ⊥ ( b , c )) = ⊥ (⊥ ( a , b ), c )
- Элемент идентичности: ⊥ ( a , 0) = a
T-конормы используются для представления логической дизъюнкции в нечеткой логике и объединения в теории нечетких множеств .
Примеры т-конорм
Важными t-конормами являются те, которые двойственны известным t-нормам:
- Максимальный t-конорм , двойственная минимальной t-норме, является наименьшей t-конормой (см. свойства t-конорм ниже). Это стандартная семантика дизъюнкции в нечеткой логике Гёделя и для слабой дизъюнкции во всех нечетких логиках, основанных на t-норме.
- Вероятностная сумма двойственна t-норме произведения. В теории вероятностей он выражает вероятность объединения независимых событий . Это также стандартная семантика для сильной дизъюнкции в таких расширениях нечеткой логики произведения, в которых она определима (например, те, которые содержат инволютивное отрицание).
- Ограниченная сумма двойственна t-норме Лукасевича. Это стандартная семантика сильной дизъюнкции в нечеткой логике Лукасевича .
- Резкий т-конорм
- двойственная к радикальной t-норме, является наибольшей t-конормой (см. свойства t-конорм ниже).
- Нильпотентный максимум , двойственный нильпотентному минимуму:
- Сумма Эйнштейна (сравните формулу сложения скоростей в специальной теории относительности)
- является двойственным к одной из t-норм Хамахера .
Свойства т-конорм
Многие свойства t-конорм могут быть получены путем дуализации свойств t-норм, например:
- Для любой t-конормы ⊥ число 1 является аннулирующим элементом: ⊥ ( a , 1) = 1 для любого a из [0, 1].
- По отношению к t-нормам все t-конормы ограничены максимумом и сильной t-конормой:
- , для любого т-конорма и все a , b в [0, 1].
Дополнительные свойства являются результатом отношений между t-нормами и t-конормами или их взаимодействием с другими операторами, например:
- T-норма T распределяется по t-конорме ⊥, т. Е.
- T ( x , ⊥ ( y , z )) = ⊥ (T ( x , y ), T ( x , z )) для всех x , y , z в [0, 1],
- тогда и только тогда, когда ⊥ - максимальная t-конорма. Соответственно, любая t-конорма распределяется по минимуму, но не по любой другой t-норме.
Нестандартные отрицатели
Negator является монотонным падением, т. е. отображение с изменением порядка с а также (в других обозначениях: а также ). Негатор n называется
- строгий при строгой монотонности
- сильный, если он строгий и инволютивный , т. е. ∀ {\ displaystyle \ forall}
Стандартный (канонический) отрицатель , который одновременно строг и силен. Поскольку в приведенном выше определении пары t-норма / t-конорма используется стандартный отрицатель, его можно обобщить следующим образом:
Де Моргана триплет является тройной (Т, ⊥, п ) , такие , что [1]
- T - t-норма
- ⊥ является t-конормой в соответствии с аксиоматическим определением t-конорм, как упомянуто выше.
- n - сильный отрицатель
- .
Смотрите также
- Построение t-норм
- Нечеткая логика T-нормы
Рекомендации
- ^ Исмат Бег, Самина Ашраф: Меры подобия для нечетких множеств , по адресу: Applied and Computational Mathematics, март 2009 г., доступно на Research Gate с 23 ноября 2016 г.
- Клемент, Эрих Петер; Месияр, Радько; и Пап, Эндре (2000), Треугольные нормы . Дордрехт: Клувер. ISBN 0-7923-6416-3 .
- Хаек, Петр (1998), Метаматематика нечеткой логики . Дордрехт: Клувер. ISBN 0-7923-5238-6
- Чиньоли, Роберто ЛО; D'Ottaviano, Itala ML ; и Мундичи, Даниэле (2000), Алгебраические основы многозначного мышления . Дордрехт: Клувер. ISBN 0-7923-6009-5
- Фодор, Янош (2004), "Непрерывные слева t-нормы в нечеткой логике: обзор". Acta Polytechnica Hungarica 1 (2), ISSN 1785-8860 [1]