Делитель нуля

В абстрактной алгебре , элемент из кольца R называется влево делитель нуля , если существует ненулевой х в R такой , что ах = 0 , ^[1] или , что эквивалентно , если отображение из R в R , который посылает х к ах не инъективный . ^[a] Аналогично элемент a кольца называется правым делителем нуля, если существует ненулевое y в R такое, что ya = 0 . Это частный случай делимости на кольца. Элемент, который является левым или правым делителем нуля, просто называется делителем нуля . ^[2] Элемент  a, который является как левым, так и правым делителем нуля, называется двусторонним делителем нуля (ненулевой x такой, что ax = 0, может отличаться от ненулевого y такого, что ya = 0 ). Если кольцо коммутативно , то левый и правый делители нуля совпадают.

Элемент кольца, не являющийся левым делителем нуля, называется регулярным слева или сокращаемым слева . Аналогично, элемент кольца, который не является правым делителем нуля, называется правым регулярным или правым сокращаемым . Элемент кольца , который слева и справа досрочный, и является , следовательно , не является делителем нуля, называется регулярным или сократимым , ^[3] или ненулевой делителем . Дивизор нуля, который не равен нулю, называется ненулевым делителем нуля или нетривиальным делителем нуля . Ненулевое кольцо без нетривиальных делителей нуля называется областью .

Примеры [ править ]

• В кольце${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 4 \ mathbb {Z}}$ класс вычетов является делителем нуля, поскольку .${\ displaystyle {\ overline {2}}}$${\ displaystyle {\ overline {2}} \ times {\ overline {2}} = {\ overline {4}} = {\ overline {0}}}$
• Только делитель нуля кольца из целых чисел является .${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle 0}$
• Нильпотентное элемент ненулевого кольца всегда двусторонний делитель нуля.
• Идемпотент кольца всегда двусторонний делитель нуля, так как .${\ displaystyle e \ neq 1}$${\ Displaystyle е (1-е) = 0 = (1-е) е}$
• Кольцо матриц${\ Displaystyle п \ раз п}$ над полем имеет отличные от нуля делителей нуля если таковой . Примеры делителей нуля в кольце матриц (над любым ненулевым кольцом ) показаны здесь:${\ Displaystyle п \ geq 2}$${\ displaystyle 2 \ times 2}$

  ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ - 1 & -1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -2 & 1 \\ - 2 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}},}$

  ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}}$.

• Прямое произведение двух или более ненулевых колец всегда имеет ненулевое делителей нуля. Например, в с каждым отличным от нуля,, так является делителем нуля.${\displaystyle R_{1}\times R_{2}}$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle (1,0)(0,1)=(0,0)}$${\displaystyle (1,0)}$
• Позвольте быть поле и быть группой . Предположим, что у него есть элемент конечного порядка . Тогда в групповом кольце один имеет , причем ни один из множителей не равен нулю, так же как и ненулевой делитель нуля в .${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle K[G]}$${\displaystyle (1-g)(1+g+\cdots +g^{n-1})=1-g^{n}=0}$${\displaystyle 1-g}$${\displaystyle K[G]}$

Односторонний делитель нуля [ править ]

• Рассмотрим кольцо (формальных) матриц с и . Потом и . Если , then является левым делителем нуля тогда и только тогда, когда он четен, поскольку , и он является правым делителем нуля тогда и только тогда, когда является четным по аналогичным причинам. Если любой из них есть , то это двусторонний делитель нуля.${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}}$${\displaystyle x,z\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle y\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&xb+yc\\0&zc\end{pmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&ya+zb\\0&zc\end{pmatrix}}}$${\displaystyle x\neq 0\neq z}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&x\\0&0\end{pmatrix}}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x,z}$${\displaystyle 0}$
• Вот еще один пример кольца с элементом, который является делителем нуля только с одной стороны. Позвольте быть набор всех последовательностей целых чисел . В качестве кольца возьмем все аддитивные отображения из в с поточечным сложением и композицией в качестве операций кольца. (То есть, наше кольцо , то кольцо эндоморфизмов аддитивной группы .) Три примера элементов этого кольца является сдвиг вправо , то сдвиг влево , а проекция на первый множитель . Все три из этих аддитивных карт не равны нулю, и композиты${\displaystyle S}$${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},...)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathrm {End} (S)}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(0,a_{1},a_{2},...)}$ ${\displaystyle L(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(a_{2},a_{3},a_{4},...)}$${\displaystyle P(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(a_{1},0,0,...)}$${\displaystyle LP}$и оба равны нулю, поэтому является левым делителем нуля и правым делителем нуля в кольце аддитивных отображений из в . Однако, не является правым делителем нуля и не является левым делителем нуля: композиция является единицей. является двусторонним делителем нуля, поскольку , пока не находится ни в каком направлении.${\displaystyle PR}$${\displaystyle L}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle L}$${\displaystyle R}$${\displaystyle LR}$${\displaystyle RL}$${\displaystyle RLP=0=PRL}$${\displaystyle LR=1}$

Не примеры [ править ]

• Кольцо целых чисел по модулю простого числа , не имеет отличные от 0. делителей нуля Поскольку каждый ненулевой элемент представляет собой блок , это кольцо является конечным полем .
• В более общем смысле, у телесного кольца нет делителей нуля, кроме 0.
• Ненулевым коммутативное кольцо которого только нулевой делитель равен 0, называется областью целостности .

Свойства [ править ]

• В кольце п матрицу с размерностью п матриц над полем , левые и правые делители нуля совпадают; это в точности особые матрицы . В кольце п матрицы с размерностью п матриц над областью целостности , то делители нуля в точности матрица с определителем нулем .
• Левый или правый делители нуля никогда не могут быть единицами , потому что если a обратимо и ax = 0 , то 0 = a ⁻¹ 0 = a ⁻¹ ax = x для некоторого ненулевого x .
• Элемент может быть отменен на той стороне, на которой он является обычным. То есть, если a является левым регулярным, из ax = ay следует, что x = y , и аналогично для правого регулярного.

Ноль как делитель нуля [ править ]

Нет необходимости в отдельном соглашении относительно случая a = 0 , потому что определение применимо и в этом случае:

• Если R представляет собой кольцо, отличные от нулевого кольца , то 0 является (двусторонний) делителем нуля, поскольку 0 · с = 0 = в · 0 , где представляет собой ненулевой элемент из R .
• Если R - нулевое кольцо , в котором 0 = 1 , то 0 не является делителем нуля, потому что нет ненулевого элемента, который при умножении на 0 дает 0 .

Такие свойства необходимы для того, чтобы сделать следующие общие утверждения верными:

• В коммутативном кольце R , множество ненулевых делителей является мультипликативным множеством в R . (Это, в свою очередь, важно для определения полного фактор-кольца .) То же самое верно для множества не делителей нуля слева и множества не делителей нуля вправо в произвольном кольце, коммутативном или нет.
• В коммутативном нётерове кольцо R , множество делителей нуля является объединением ассоциированных простых идеалов из R .

Некоторые ссылки предпочитают исключить 0 как делитель нуля по соглашению, но тогда они должны вводить исключения в двух только что сделанных общих утверждениях.

Делитель нуля на модуле [ править ]

Пусть R коммутативное кольцо, пусть М быть R - модуль , и пусть быть элементом R . Один говорит , что является M -регулярна если «умножение на » карте инъективна, и что является делителем нуля на М иначе. ^[4] Множество M -регулярных элементов является мультипликативным множеством в R . ^[4]${\displaystyle M{\stackrel {a}{\to }}M}$

Специализация определений « M -регулярного» и «делителя нуля на M » на случай M = R восстанавливает определения «регулярного» и «делителя нуля», данные ранее в этой статье.

См. Также [ править ]

• Собственность нулевого продукта
• Глоссарий коммутативной алгебры (точный делитель нуля)
• График делителей нуля

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• "Делитель нуля" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Мишель Хазевинкель ; Надежда Губарени; Надежда Михайловна Губарени; Владимир В. Кириченко. (2004), Алгебры, кольца и модули , Vol. 1, Springer, ISBN 1-4020-2690-0
• Вайсштейн, Эрик В. «Делитель нуля» . MathWorld .