В математике , кольца являются алгебраические структуры , обобщающие поля : необходимость умножения не быть коммутативных и мультипликативные обратными не должны существовать. Другими словами, кольцо представляет собой набор оснащен двумя бинарными операциями , удовлетворяющая свойства , аналогичные добавления и умножения из целых чисел . Элементы кольца могут быть числами, такими как целые или комплексные числа , но они также могут быть нечисловыми объектами, такими как многочлены ,квадратные матрицы , функции и степенные ряды .
Формально кольцо - это абелева группа , операция которой называется сложением , а вторая бинарная операция, называемая умножением , является ассоциативной , распределительной по операции сложения и имеет мультипликативный тождественный элемент . (Некоторые авторы используют термин «кольцо» для обозначения более общей структуры, которая опускает это последнее требование; см. § Примечания к определению .)
Независимо от того, является ли кольцо коммутативным (то есть может ли порядок, в котором перемножаются два элемента, изменить результат), имеет большое значение для его поведения. Коммутативная алгебра , теория коммутативных колец , является основным разделом теории колец . На его развитие большое влияние оказали проблемы и идеи алгебраической теории чисел и алгебраической геометрии . Простейшие коммутативные кольца - это кольца, допускающие деление на ненулевые элементы; такие кольца называются полями .
Примеры коммутативных колец включают множество целых чисел с их стандартным сложением и умножением, множество многочленов с их сложениями и умножением, то координатное кольцо из в аффинном алгебраическом многообразии , а кольцо целых числового поля. Примеры некоммутативных колец включают кольцо вещественных квадратных матриц размера n × n с n ≥ 2 , групповые кольца в теории представлений , операторные алгебры в функциональном анализе , кольца дифференциальных операторов и кольца когомологий в топологии .
Концептуализация колец охватила период с 1870-х по 1920-е годы с ключевыми вкладами Дедекинда , Гильберта , Френкеля и Нётер . Кольца были впервые формализованы как обобщение дедекиндовских областей , встречающихся в теории чисел , а также колец многочленов и колец инвариантов, встречающихся в алгебраической геометрии и теории инвариантов . Позже они оказались полезными в других областях математики, таких как геометрия и анализ .
Определение
Кольцо представляет собой набор R оснащены два бинарных операциями [а] + (сложение) и ⋅ (умножение) , удовлетворяющих следующие три набора аксиом, называемые кольцевые аксиомами [1] [2] [3]
- R является абелевой группой при добавлении, что означает, что:
- ( a + b ) + c = a + ( b + c ) для всех a , b , c в R (то есть + ассоциативен ).
- a + b = b + a для всех a , b в R (т.е. + коммутативен ).
- В R существует элемент 0 такой, что a + 0 = a для всех a в R (то есть 0 является аддитивной единицей ).
- Для каждого a в R существует - a в R такое, что a + (- a ) = 0 (то есть - a является аддитивным обратным к a ).
- R является моноидом относительно умножения, а это означает, что:
- ( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c ) для всех a , b , c в R (то есть ⋅ ассоциативно).
- В R существует элемент 1 такой, что a ⋅ 1 = a и 1 ⋅ a = a для всех a в R (то есть 1 - мультипликативная единица ). [b]
- Умножение распределительно по отношению к сложению, что означает, что:
- a ⋅ ( b + c ) = ( a ⋅ b ) + ( a ⋅ c ) для всех a , b , c в R (левая дистрибутивность).
- ( b + c ) ⋅ a = ( b ⋅ a ) + ( c ⋅ a ) для всех a , b , c в R (правая дистрибутивность).
Примечания к определению
В терминологии этой статьи кольцо определяется как имеющее мультипликативную идентичность, а структура с таким же аксиоматическим определением, но для требования мультипликативной идентичности называется rng (IPA: / r ʊ ŋ / ). Например, набор четных целых чисел с обычными + и ⋅ является rng, но не кольцом. Как объясняется в § История ниже, многие авторы применяют термин «кольцо», не требуя мультипликативного тождества.
Символ умножения ⋅ обычно опускается; например, xy означает x ⋅ y .
Хотя сложение колец коммутативно , умножение колец не обязательно должно быть коммутативным: ab не обязательно равно ba . Кольца, которые также удовлетворяют коммутативности для умножения (например, кольцо целых чисел), называются коммутативными кольцами . Книги по коммутативной алгебре или алгебраической геометрии часто принимают соглашение, что кольцо означает коммутативное кольцо , для упрощения терминологии.
В кольце наличие мультипликативных инверсий не требуется. A Non нулевой коммутативное кольцо , в котором каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный называется полем .
Аддитивная группа кольца - это базовый набор, оснащенный только операцией сложения. Хотя определение требует, чтобы аддитивная группа была абелевой, это можно вывести из других аксиом кольца. [4] Доказательство использует «1» и не работает в группе. (Для цепочки опускание аксиомы коммутативности сложения оставляет ее выводимой из оставшихся предположений цепочки только для элементов, которые являются произведениями: ab + cd = cd + ab .)
Хотя большинство современных авторов используют термин «кольцо», как здесь определено, некоторые используют этот термин для обозначения более общих структур, в которых нет требования, чтобы умножение было ассоциативным. [5] Для этих других каждая алгебра является «кольцом».
Иллюстрация
Самый знакомый пример кольца - это набор всех целых чисел , состоящий из чисел
- ..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
Знакомые свойства сложения и умножения целых чисел служат моделью для аксиом кольца.
Некоторые свойства
Некоторые основные свойства кольца непосредственно следуют из аксиом:
- Аддитивная идентичность уникальна.
- Аддитивная инверсия каждого элемента уникальна.
- Мультипликативная идентичность уникальна.
- Для любого элемента x в кольце R выполняется x 0 = 0 = 0 x (ноль является поглощающим элементом относительно умножения) и (–1) x = - x .
- Если 0 = 1 в кольце R (или, в более общем смысле, 0 - это единичный элемент), то R имеет только один элемент и называется нулевым кольцом .
- Если кольцо R содержит нулевое кольцо в качестве подкольца, то само R является нулевым кольцом. [6]
- Биномиальная формула справедлива для любых х и у , удовлетворяющий х = ух .
Пример: целые числа по модулю 4
Оборудуйте набор со следующими операциями:
- Сумма в Z / 4 Z - это остаток от деления целого числа x + y на 4 (поскольку x + y всегда меньше 8, этот остаток равен x + y или x + y - 4 ). Например, а также .
- Продукт в Z / 4 Z - остаток от деления целого числа xy на 4. Например, а также .
Тогда Z / 4 Z представляет собой кольцо: каждая аксиома следует из соответствующей аксиомы для Z . Если x является целым числом, остаток от x при делении на 4 можно рассматривать как элемент Z / 4 Z , и этот элемент часто обозначается как « x mod 4» или, что согласуется с обозначениями для 0, 1, 2, 3. Аддитивная инверсия любого в Z / 4 Z есть. Например,
Пример: матрицы 2 на 2
Набор квадратных матриц 2 на 2 с элементами в поле F равен [7] [8] [9] [10]
С помощью операций сложения матриц и умножения матриц ,удовлетворяет указанным выше аксиомам кольца. Элемент- мультипликативная единица кольца. Если а также , тогда пока ; этот пример показывает, что кольцо некоммутативно.
В более общем смысле, для любого кольца R , коммутативного или нет, и любого неотрицательного целого числа n квадратные матрицы размерности n с элементами в R образуют кольцо: см. Кольцо матриц .
История
Дедекинд
Изучение колец возникло из теории колец многочленов и теории целых алгебраических чисел . [11] В 1871 году Ричард Дедекинд определил понятие кольца целых чисел числового поля. [12] В этом контексте он ввел термины «идеальный» (вдохновленный понятием идеального числа Эрнста Куммера ) и «модуль» и изучил их свойства. Дедекинд не использовал термин «кольцо» и не определял понятие кольца в общем контексте.
Гильберта
Термин «Zahlring» (кольцо с цифрами) был придуман Дэвидом Гильбертом в 1892 году и опубликован в 1897 году. [13] В немецком языке XIX века слово «Ring» могло означать «ассоциация», которое до сих пор используется в английском языке в ограниченном количестве смысл (например, шпионская сеть), [14] так что если бы это была этимология, то это было бы похоже на то, как «группа» вошла в математику, будучи нетехническим словом для «совокупности связанных вещей». По словам Харви Кона, Гильберт использовал термин для обозначения кольца, которое имело свойство «возвращаться назад» к элементу самого себя (в смысле эквивалентности ). [15] В частности, в кольце алгебраических целых чисел все высокие степени алгебраического целого числа могут быть записаны как целая комбинация фиксированного набора нижних степеней, и, таким образом, степени «циклически возвращаются». Например, если a 3 - 4 a + 1 = 0, то a 3 = 4 a - 1 , a 4 = 4 a 2 - a , a 5 = - a 2 + 16 a - 4 , a 6 = 16 a 2 - 8 a + 1 , a 7 = −8 a 2 + 65 a - 16 и так далее; в общем, п будет целочисленной линейной комбинацией 1, , и в 2 .
Френкель и Нётер
Первое аксиоматическое определение кольца было дано Адольфом Френкелем в 1915 году [16] [17], но его аксиомы были строже, чем в современном определении. Например, он требовал, чтобы каждый ненулевой делитель имел мультипликативный обратный . [18] В 1921 году Эмми Нётер дала современное аксиоматическое определение коммутативных колец (с единицей и без единицы) и разработала основы теории коммутативных колец в своей статье Idealtheorie in Ringbereichen . [19]
Мультипликативная идентичность и термин «кольцо»
Аксиомы Френкеля для «кольца» включали аксиомы мультипликативного тождества [20], тогда как аксиомы Нётер этого не делали. [19]
Почти все книги по алгебре [21] [22] вплоть до 1960 г. следовали соглашению Нётер о том, что для «кольца» не требуется 1. Начиная с 1960-х годов, все чаще можно было увидеть книги, в которых упоминалось о существовании 1 в определении «кольца», особенно в продвинутых книгах таких известных авторов, как Артин, [23] Атия и Макдональд, [24] Бурбаки, [25]. ] Eisenbud, [26] и Lang. [27] Есть также книги, опубликованные в 2006 году, в которых этот термин используется без требования к 1. [28] [29] [30]
Гарднер и Вигандт утверждают, что при работе с несколькими объектами в категории колец (в отличие от работы с фиксированным кольцом), если требуется, чтобы все кольца имели единицу, то некоторые последствия включают отсутствие существования бесконечных прямых сумм кольца, и что собственные прямые слагаемые колец не являются подкольцами. Они приходят к выводу, что «во многих, а может и в большинстве разделов теории колец требование существования элемента единства неразумно и, следовательно, неприемлемо». [31] Пунен приводит контраргумент, что кольца без мультипликативной идентичности не являются полностью ассоциативными (произведение любой конечной последовательности элементов кольца, включая пустую последовательность, четко определено, независимо от порядка операций), и пишет «естественный расширение ассоциативности требует, чтобы кольца содержали пустое произведение, поэтому естественно требовать, чтобы кольца имели 1 ". [32]
Авторы, которые следуют любому соглашению об использовании термина «кольцо», могут использовать один из следующих терминов для обозначения объектов, удовлетворяющих другому соглашению:
- включить требование мультипликативной идентичности: «унитальное кольцо», «унитарное кольцо», «единичное кольцо», «кольцо с единицей», «кольцо с идентичностью», «кольцо с единицей», [33] или «кольцо с единицей». ". [34]
- опустить требование мультипликативного тождества: «rng» [35] или «псевдокольцо» [36], хотя последнее может сбивать с толку, потому что оно также имеет другие значения.
Основные примеры
Коммутативные кольца
- Типичным примером является кольцо целых чисел с двумя операциями сложения и умножения.
- Рациональные, действительные и комплексные числа представляют собой коммутативные кольца типа, называемого полями .
- Ассоциативная алгебра с единицей над коммутативным кольцом R сама является кольцом, а также R -модулем . Несколько примеров:
- Алгебра R [ X ] из многочленов с коэффициентами из R . В качестве R - модуль, R [ X ] является свободным бесконечного ранга.
- Алгебра R [[ X 1 , ..., X п ]] из формальных степенных рядов с коэффициентами в R .
- Множество всех непрерывных действительных функций, определенных на вещественной прямой, образует коммутативную R -алгебру. Это поточечное сложение и умножение функций.
- Пусть X - множество, а R - кольцо. Тогда множество всех функций от X до R образует кольцо, которое коммутативно, если R коммутативно. Кольцо непрерывных функций в предыдущем примере , является подкольцом этого кольца , если Х представляет собой прямую и R = R .
- , целые числа с соединенными действительным или комплексным числом c . В Z - модуль, он свободен от бесконечного ранга , если с является трансцендентным , свободный от конечного ранга , если с является целым алгебраическим, а не свободен в противном случае.
- , набор десятичных дробей . Не бесплатен как Z -модуль.
- , где d - целое число без квадратов вида 4 n + 1 , где d 1 . Свободный Z -модуль ранга 2. См. Квадратичное целое число .
- , гауссовские целые числа .
- , целые числа Эйзенштейна .
- Предыдущие два примера являются случаи п = 4 и п = 3 из кругового кольца Z [ζ п ] .
- Предыдущие четыре примеров являются случаями кольца целых чисел одного числового поля K , определяемым как множество алгебраических чисел в K .
- Множество всех алгебраических чисел в C образует кольцо называется целое замыкание из Z в C .
- Если S - множество, то набор степеней S становится кольцом, если мы определяем сложение как симметричную разность множеств, а умножение как пересечение . Это пример логического кольца .
Некоммутативные кольца
- Для любого кольца R и любого натурального числа п , множество всех квадратных п матрицы с размерностью п матриц с элементами из R , образует кольцо с матрицей сложением и умножением матриц в качестве операций. Для п = 1 , эта матрица кольцо изоморфно R сам. При n > 1 (и R не нулевое кольцо) это кольцо матриц некоммутативно.
- Если G является абелевой группой , то эндоморфизмами из G образуют кольцо, кольцо эндоморфизмов End ( G ) от G . В этом кольце операции сложения и композиции эндоморфизмов. В более общем смысле, если V - левый модуль над кольцом R , то множество всех R -линейных отображений образует кольцо, также называемое кольцом эндоморфизмов и обозначаемое End R ( V ).
- Если G является группой , и R представляет собой кольцо, то групповое кольцо из G над R представляет собой свободный модуль над R , имеющей G в качестве основы. Умножение определяется правилами , что элементы G коммутируют с элементами R и размножаются вместе , как они это делают в группе G .
- Многие кольца, которые появляются при анализе, некоммутативны. Например, большинство банаховых алгебр некоммутативны.
Без колец
- Множество натуральных чисел N с обычными операциями не является кольцом, поскольку ( N , +) даже не является группой (не все элементы обратимы относительно сложения). Например, нет натурального числа, которое можно было бы добавить к 3 и получить в результате 0. Есть естественный способ сделать его кольцом, добавив отрицательные числа к множеству, таким образом получив кольцо целых чисел. Натуральные числа (включая 0) образуют алгебраическую структуру, известную как полукольцо (которое имеет все аксиомы кольца, за исключением аксиом аддитивного обратного).
- Пусть R будет множеством всех непрерывных функций на вещественной прямой, которые обращаются в нуль вне ограниченного интервала, который зависит от функции, с обычным сложением, но с умножением, определяемым как свертка :
Основные понятия
Продукты и возможности
Для каждого неотрицательного целого числа n , заданного последовательностьюиз n элементов R , можно определить произведениерекурсивно: пусть P 0 = 1 и пусть P m = P m −1 a m для 1 ≤ m ≤ n .
В качестве частного случая можно определить целые неотрицательные степени элемента a кольца: a 0 = 1 и a n = a n −1 a для n ≥ 1 . Тогда a m + n = a m a n для всех m , n ≥ 0 .
Элементы в кольце
Левый делитель нуля кольца это элемент в кольце такое, что существует ненулевой элемент из такой, что . [c] Правый делитель нуля определяется аналогично.
Нильпотентный элемент является элементом такой, что для некоторых . Одним из примеров нильпотентного элемента является нильпотентная матрица . Нильпотентный элемент ненулевого кольца обязательно является делителем нуля.
идемпотентная такой элемент, что . Одним из примеров идемпотентного элемента является проекция в линейной алгебре.
Блок является элементомимеющий мультипликативный обратный ; в этом случае обратное единственно и обозначается. Множество единиц кольца - это группа кольцевого умножения; эта группа обозначается или же или же . Например, если R - кольцо всех квадратных матриц размера n над полем, тосостоит из множества всех обратимых матриц размера n и называется общей линейной группой .
Подкольцо
Подмножество S из R называется подкольцом , если любой из следующих эквивалентных условий:
- сложение и умножение R ограничивают , чтобы дать операции S × S → S делает S кольцо с той же мультипликативной идентичности как R .
- 1 ∈ S ; и для всех х , у в S , элементы х , х + у , а - х в S .
- S можно снабдить операциями, делающими его кольцом, так что отображение включения S → R является гомоморфизмом колец.
Например, кольцо Z целых чисел является подкольцом поля действительных чисел, а также подкольцом кольца многочленов Z [ X ] (в обоих случаях Z содержит 1, которая является мультипликативной единицей больших колец). С другой стороны, подмножество четных целых чисел 2 Z не содержит единичного элемента 1 и, следовательно, не квалифицируется как подкольцо Z ; можно было бы назвать 2 Z subrng , однако.
Пересечение подколец - это подкольцо. Учитывая подмножество Е из R , наименьший подкольцу R , содержащим Е является пересечением всех подкольцах R , содержащим Е , и это называется подкольцо , порожденное Е .
Для кольца R , наименьший подкольцо R называется характерный подкольцо из R . Его можно сгенерировать путем сложения копий 1 и -1. Возможно, что( n раз) может быть нулевым. Если п есть наименьшее целое положительное число такое , что это происходит, то п называется характеристику из R . В некоторых кольцахникогда не равен нулю для любого положительного целого числа n , и говорят, что эти кольца имеют нулевую характеристику .
Для кольца R пустьобозначим множество всех элементов x в R таких, что x коммутирует с каждым элементом в R :для любого у в R . потомявляется подкольцом R , называется центр из R . В более общем плане , учитывая подмножество Х из R , пусть S будет множество всех элементов в R , которые коммутируют с каждым элементом в X . Тогда S является подкольцом R , называется централизатор (или Коммутант) из X . Центр централизатор всего кольца R . Элементы или подмножества центра называются центральными в R ; они (каждый в отдельности) образуют подкольцо центра.
Идеально
Пусть R - кольцо. Левый идеал из R представляет собой непустое подмножество Я из R такое , что для любого х , у в I и г в R , элементы а также в I . Еслиобозначает R -пространство I , то есть множество конечных сумм
то I - левый идеал, если. Аналогично, правый идеал - это такое подмножество I , что. Подмножество I называется двусторонним идеалом или просто идеалом, если оно одновременно является левым идеалом и правым идеалом. Односторонний или двусторонний идеал тогда аддитивная подгруппа R . Если E является подмножеством R , толевый идеал, называемый левым идеалом, порожденным E ; это наименьший левый идеал , содержащий Е . Кроме того , можно рассмотреть правый идеал или двусторонний идеал , порожденный подмножеством R .
Если x находится в R , то а также - левые идеалы и правые идеалы соответственно; они называются главными левыми идеалами и правыми идеалами, порожденными x . Главный идеал записывается как . Например, множество всех положительных и отрицательных кратных 2 вместе с 0 образуют идеал целых чисел, и этот идеал порождается целым числом 2. Фактически, каждый идеал кольца целых чисел является главным.
Как и группа, кольцо называется простым, если оно ненулевое и у него нет собственных ненулевых двусторонних идеалов. Коммутативное простое кольцо - это в точности поле.
Кольца часто изучаются с особыми условиями, налагаемыми на их идеалы. Например, кольцо, в котором нет строго возрастающей бесконечной цепочки левых идеалов, называется нётеровым слева кольцом . Кольцо, в котором нет строго убывающей бесконечной цепочки левых идеалов, называется артиновым левым кольцом . Несколько удивительно, что артиново левое кольцо является нётеровым слева ( теорема Хопкинса – Левицки ). Однако целые числа образуют нётерово кольцо, которое не является артиновым.
Для коммутативных колец идеалы обобщают классическое понятие делимости и разложения целого числа на простые числа в алгебре. Собственный идеал Р из R называется простым идеалом , если для любых элементов у нас есть это подразумевает либо или же . Эквивалентно P простое, если для любых идеалов у нас есть это подразумевает либо или же Эта последняя формулировка иллюстрирует идею идеалов как обобщений элементов.
Гомоморфизм
Гомоморфизм из кольца ( R , +, ⋅ ) на кольце ( S , ‡, *) является функцией F от R до S , который сохраняет кольцевые операции; а именно такой, что для всех a , b в R выполняются следующие тождества:
- f ( a + b ) = f ( a ) ‡ f ( b )
- f ( a ⋅ b ) = f ( a ) ∗ f ( b )
- f (1 R ) = 1 S
Если кто-то работает с rngs, то третье условие отбрасывается.
Гомоморфизм колец f называется изоморфизмом, если существует гомоморфизм, обратный к f (то есть гомоморфизм колец, являющийся обратной функцией ). Любой биективный гомоморфизм колец является изоморфизмом колец. Два кольца называются изоморфными, если между ними существует изоморфизм, и в этом случае пишут . Гомоморфизм колец одного и того же кольца называется эндоморфизмом, а изоморфизм одного и того же кольца автоморфизмом.
Примеры:
- Функция, которая отображает каждое целое число x в его остаток по модулю 4 (число в {0, 1, 2, 3}), является гомоморфизмом из кольца Z в фактор-кольцо Z / 4 Z (термин "фактор-кольцо" определен ниже) .
- Если - единичный элемент в кольце R , тоявляется кольцевой гомоморфизм, называется внутренний автоморфизм из R .
- Пусть R - коммутативное кольцо простой характеристики p . потом- кольцевой эндоморфизм кольца R, называемый гомоморфизмом Фробениуса .
- Группа Галуа расширения поля- множество всех автоморфизмов L , ограничения на K тождественны.
- Для любого кольца R существует единственный гомоморфизм колец Z → R и единственный гомоморфизм колец R → 0 .
- Эпиморфизм (то есть, правый отменяемый морфизм) кольца не должен быть сюръективен. Например, единственное отображение Z → Q является эпиморфизмом.
- Гомоморфизм алгебры k -алгебры в алгебру эндоморфизмов векторного пространства над k называется представлением алгебры .
Для гомоморфизма колец , Множество всех элементов , отображенных в 0 е называется ядро из е . Ядро двусторонний идеал R . Изображение е , с другой стороны, не всегда является идеальным, но это всегда подкольцо S .
Дать кольцевой гомоморфизм коммутативного кольца R в кольцо A с образом, содержащимся в центре A , то же самое, что дать структуру алгебры над R в A (которая, в частности, дает структуру A -модуля) .
Факторное кольцо
Понятие фактор-кольца аналогично понятию фактор-группы . Для кольца ( R , +, ⋅ ) и двустороннего идеала I в ( R , +, ⋅ ) рассматривайте I как подгруппу в ( R , +) ; то фактор - кольцо R / I есть множество смежных классов от I вместе с операциями
- ( a + I ) + ( b + I ) = ( a + b ) + I и
- ( а + я ) ( б + я ) = ( аб ) + я .
для всех а , б , в R . Кольцо R / I также называется фактор-кольцом .
Как и в случае фактор-группы, существует канонический гомоморфизм , данный . Он сюръективен и удовлетворяет следующему универсальному свойству:
- Если гомоморфизм колец такой, что , то существует единственный гомоморфизм такой, что .
Для любого гомоморфизма колец , ссылаясь на универсальное свойство с производит гомоморфизм что дает изоморфизм от к образу ф .
Модуль
Концепция модуля над кольцом обобщает концепцию векторного пространства (над полем ) путем обобщения от умножения векторов на элементы поля ( скалярное умножение ) до умножения на элементы кольца. Точнее, дано кольцо R с 1, R -модуль M - это абелева группа, снабженная операцией R × M → M (сопоставляющей элемент из M каждой паре элемента из R и элемента из M ), которая удовлетворяет определенные аксиомы . Эта операция обычно обозначается мультипликативно и называется умножением. Аксиомы модулей следующие: для всех a , b в R и всех x , y в M имеем:
- M - добавляемая абелева группа.
Когда кольцо некоммутативно, эти аксиомы определяют левые модули ; Правые модули определяются аналогично, записывая xa вместо ax . Это не только изменение обозначений, так как последняя аксиома правых модулей (то есть x ( ab ) = ( xa ) b ) становится ( ab ) x = b ( ax ) , если используется левое умножение (на элементы кольца) для правого модуля.
Базовыми примерами модулей являются идеалы, в том числе и само кольцо.
Несмотря на то же самое определение, теория модулей намного сложнее, чем теория векторного пространства, в основном потому, что, в отличие от векторных пространств, модули не характеризуются (с точностью до изоморфизма) одним инвариантом ( размерностью векторного пространства ). В частности, не все модули имеют основу .
Из аксиом модулей следует, что (−1) x = - x , где первый минус означает аддитивный обратный в кольце, а второй минус аддитивный обратный в модуле. Использование этого и обозначение повторного сложения умножением на положительное целое число позволяет идентифицировать абелевы группы с модулями над кольцом целых чисел.
Любой гомоморфизм колец индуцирует структуру модуля: если f : R → S - гомоморфизм колец, то S - левый модуль над R в силу умножения: rs = f ( r ) s . Если R коммутативно или если ф ( R ) содержится в центре из S , кольцо S называется R - алгебра . В частности, каждое кольцо является алгеброй над целыми числами.
Конструкции
Прямой продукт
Пусть R и S - кольца. Тогда произведение R × S можно снабдить следующей естественной кольцевой структурой:
- ( r 1 , s 1 ) + ( r 2 , s 2 ) = ( r 1 + r 2 , s 1 + s 2 )
- ( r 1 , s 1 ) ⋅ ( r 2 , s 2 ) = ( r 1 ⋅ r 2 , s 1 ⋅ s 2 )
для всех г 1 , г 2 в R и ев 1 , ев 2 в S . Кольцо R × S с указанными выше операциями сложения и умножения и мультипликативным тождествомназывается прямым произведением из R с S . Та же конструкция работает и для произвольного семейства колец: если- кольца, индексированные множеством I , то кольцо с покомпонентным сложением и умножением.
Пусть R - коммутативное кольцо и быть идеалами такими, что в любое время . Тогда китайская теорема об остатках утверждает, что существует канонический изоморфизм колец:
- .
«Конечный» прямой продукт также можно рассматривать как прямую сумму идеалов. [37] А именно, пусть быть кольцами, включения с изображениями (в частности кольца, но не подколец). потомидеалы в R и
как прямая сумма абелевых групп (поскольку для абелевых групп конечные произведения аналогичны прямым суммам). Очевидно , что прямая сумма таких идеалов также определяет произведение колец, изоморфная R . Точно так же все вышесказанное можно сделать с помощью центральных идемпотентов . Предположим, что R имеет указанное выше разложение. Тогда мы можем написать
По условиям на , у одного есть это центральные идемпотенты и (ортогональный). Опять же, можно перевернуть конструкцию. А именно, если дано разбиение 1 на ортогональные центральные идемпотенты, то пусть, которые являются двусторонними идеалами. Если каждыйне является суммой ортогональных центральных идемпотентов, [D] , то их прямая сумма изоморфна R .
Важным приложением бесконечного прямого произведения является построение проективного предела колец (см. Ниже). Другое приложение - ограниченное произведение семейства колец (ср. Кольцо адела ).
Кольцо полиномов
Для данного символа t (называемого переменной) и коммутативного кольца R множество многочленов
образует коммутативное кольцо с обычным сложением и умножением, содержащее R в качестве подкольца. Это называется кольцо многочленов над R . В более общем смысле набор всех многочленов от переменных образует коммутативное кольцо, содержащее в качестве подколец.
Если R - область целостности , тотакже является областью целостности; его поле дробей - это поле рациональных функций . Если R - нётерово кольцо, тоявляется нётеровым кольцом. Если R - уникальная область факторизации, тоэто уникальная область факторизации. Наконец, R является полем тогда и только тогда, когда является главной идеальной областью.
Позволять - коммутативные кольца. Для элемента x из S можно рассмотреть гомоморфизм колец
(то есть подмена ). Если S = R [ t ] и x = t , то f ( t ) = f . Из-за этого многочлен f часто также обозначают через. Изображение карты обозначается ; это то же самое, что подкольцо S, порожденное R и x .
Пример: обозначает образ гомоморфизма
Другими словами, это подалгебра порождается t 2 и t 3 .
Пример: пусть F многочлен от одной переменной, то есть, элемент в кольце полиномов R . потом это элемент в а также делится на h в этом кольце. Результат замены нуля на h в является , производная f в точке x .
Подстановка - это частный случай универсального свойства кольца многочленов. Свойство гласит: учитывая гомоморфизм колеци для элемента x из S существует единственный кольцевой гомоморфизм такой, что а также ограничивается . [38] Например, при выборе базиса симметрическая алгебра удовлетворяет универсальному свойству, как и кольцо полиномов.
В качестве примера пусть S - кольцо всех функций от R до самого себя; сложение и умножение принадлежат функциям. Пусть x - тождественная функция. Каждый r в R определяет постоянную функцию, что приводит к гомоморфизму. Универсальное свойство говорит, что эта карта распространяется однозначно на
( t отображается в x ), где- полиномиальная функция, определяемая функцией f . Полученное отображение инъективно тогда и только тогда, когда R бесконечно.
Учитывая непостоянный унитарный многочлен F всуществует кольцо S, содержащее R такое, что f является произведением линейных множителей в. [39]
Пусть k - алгебраически замкнутое поле. В Гильберта о нулях (теорема нулей) утверждает , что существует естественное взаимно-однозначное соответствие между множеством всех простых идеалов и множество замкнутых подмногообразий в . В частности, многие локальные проблемы алгебраической геометрии могут быть решены путем изучения образующих идеала в кольце многочленов. (ср. базис Грёбнера .)
Есть и другие родственные конструкции. Формальный степенной ряд кольцо состоит из формальных степенных рядов
вместе с умножением и сложением, имитирующими сходящиеся ряды. Это содержиткак подкольцо. Кольцо формальных степенных рядов не обладает универсальным свойством кольца многочленов; серия может не сходиться после замены. Важным преимуществом кольца формальных степенных рядов перед кольцом многочленов является то, что оно локально (фактически, полно ).
Кольцо матриц и кольцо эндоморфизмов
Пусть R - кольцо (не обязательно коммутативное). Множество всех квадратных матриц размера n с элементами в R образует кольцо с поэтапным сложением и обычным матричным умножением. Оно называется кольцом матриц и обозначается M n ( R ). Для правого R -модуля, множество всех R -линейных отображений из U в себя образует кольцо со сложением, которое является функцией, и умножением, которое является композицией функций ; оно называется кольцом эндоморфизмов U и обозначается.
Как и в линейной алгебре, кольцо матриц можно канонически интерпретировать как кольцо эндоморфизмов: . Это частный случай следующего факта: еслиявляется R -линейным отображением, то f можно записать как матрицу с элементами в , что приводит к изоморфизму колец:
Любой гомоморфизм колец R → S индуцирует M n ( R ) → M n ( S ) . [40]
Лемма Шура утверждает, что если U - простой правый R -модуль, тоэто делительное кольцо. [41] Еслиявляется прямой суммой m i -копий простых R -модулей, тогда
- .
Теорема Артина – Веддерберна утверждает, что любое полупростое кольцо (см. Ниже) имеет такой вид.
Кольцо R и кольцо матриц M n ( R ) над ним эквивалентны по Морите : категория правых модулей кольца R эквивалентна категории правых модулей над M n ( R ). [40] В частности, двусторонние идеалы в R взаимно однозначно соответствуют двусторонним идеалам в M n ( R ).
Пределы и копределы колец
Пусть R i - последовательность колец, такая что R i - подкольцо R i +1 для всех i . Тогда объединение (или фильтрованный копредел ) R i - это кольцоопределяется следующим образом: это несвязное объединение всех R i по модулю отношения эквивалентности если и только если в R i для достаточно больших i .
Примеры копределов:
- Кольцо многочленов от бесконечного числа переменных:
- Алгебраическое замыкание на конечных полей одного и того же характеристики
- Поле формальных рядов Лорана над полем k :(это поле дробей кольца формальных степенных рядов .)
- Поле функций алгебраического многообразия над полем к является где предел пробегает все координатные кольца непустых открытых подмножеств U (точнее, это стержень структурного пучка в общей точке .)
Любое коммутативное кольцо является копределом конечно порожденных подколец .
Проективный предел (или фильтруются предел ) колец определяются следующим образом . Предположим, нам дано семейство колец, i пробегает, скажем, натуральные числа и гомоморфизмы колец такой, что все идентичности и является в любое время . потом это подкольцо состоящий из такой, что сопоставляется с под .
Пример проективного предела см. В § Завершение .
Локализация
Локализации обобщает построение области фракций интегрального домена для произвольного кольца и модулей. Для кольца R (не обязательно коммутативного) и подмножества S в R существует кольцо вместе с гомоморфизмом колец что "инвертирует" S ; то есть гомоморфизм отображает элементы в S в единичные элементы в, и, более того, любой гомоморфизм колец из R , "инвертирующий" S, однозначно пропускается через. [42] Кольцоназываются локализацией из R относительно S . Например, если R - коммутативное кольцо, а f - элемент в R , то локализация состоит из элементов вида (точнее, ) [43]
Локализации часто применяются к коммутативному кольцу R относительно дополнения к простому идеалу (или объединения простых идеалов) в R . В этом случае, часто пишут для . тогда является локальным кольцом с максимальным идеалом . Отсюда и возникновение терминологии «локализация». Поле частных области целостности R - это локализация R в нулевом первичном идеале. Еслиявляется первичным идеалом коммутативного кольца R , то поле частных кольца совпадает с полем вычетов локального кольца и обозначается .
Если M - левый R -модуль, то локализация M относительно S задается заменой колец .
Наиболее важные свойства локализации следующие: когда R - коммутативное кольцо, а S - мультипликативно замкнутое подмножество
- является биекцией между множеством всех первичных идеалов в R, не пересекающихся с S, и множеством всех первичных идеалов в. [44]
- , f пробегает элементы в S с частичным порядком, заданным делимостью. [45]
- Локализация точная:
- точно над в любое время точно над R .
- Наоборот, если точно для любого максимального идеала , тогда точно.
- Замечание: локализация не помогает доказать глобальное существование. Одним из примеров этого является то, что если два модуля изоморфны по всем первичным идеалам, из этого не следует, что они изоморфны. (Один из способов объяснить это состоит в том, что локализация позволяет рассматривать модуль как пучок над простыми идеалами, а пучок по своей сути является локальным понятием.)
В теории категорий , локализация категории составляет сделать некоторые морфизмов изоморфизмов. Элемент в коммутативном кольце R можно рассматривать как эндоморфизм любого R -модуля. Таким образом, категорически локализация R относительно подмножества S в R является функтором из категории R -модулей в себя, который переводит элементы S, рассматриваемые как эндоморфизмы, в автоморфизмы и универсален относительно этого свойства. (Конечно, тогда R сопоставляется си R -модули отображаются в-модули.)
Завершение
Пусть R коммутативное кольцо, и пусть я идеал в R . Завершение из R в I является проективным пределом; это коммутативное кольцо. Канонические гомоморфизмы из R в факторы индуцировать гомоморфизм . Последний гомоморфизм инъективен, если R - нётерова область целостности, а I - собственный идеал, или если R - нётерово локальное кольцо с максимальным идеалом I , по теореме Крулля о пересечении . [46] Конструкция особенно полезна, когда I - максимальный идеал.
Базовый пример - пополнение Z в главном идеале ( p ), порожденном простым числом p ; оно называется кольцом целых p -адических чисел и обозначается Z p . Завершение в этом случае может быть выполнен также из р -адического абсолютного значения на Q . Р -адическая абсолютное значение на Q представляет собой картуот Q до R задано где обозначает показатель степени p в разложении на простые числа ненулевого целого n на простые числа (мы также положим а также ). Он определяет функцию расстояния на Q, а пополнение Q как метрического пространства обозначается Q p . Это снова поле, поскольку полевые операции продолжаются до завершения. Подкольцо в Q p, состоящее из элементов x сизоморфна Z p .
Точно так же кольцо формальных степенных рядов завершение в (см. также лемму Гензеля )
Полное кольцо имеет гораздо более простую структуру, чем коммутативное кольцо. Это связано с теоремой Коэна о структуре , которая грубо гласит, что полное локальное кольцо имеет тенденцию выглядеть как кольцо формальных степенных рядов или его частное. С другой стороны, взаимодействие между интегральным замыканием и пополнением было одним из наиболее важных аспектов, которые отличают современную коммутативную теорию колец от классической теории, разработанной Нётер. Патологические примеры, обнаруженные Нагатой, привели к пересмотру роли нётерских колец и послужили мотивацией, среди прочего, к определению превосходного кольца .
Кольца с образующими и отношениями
Самый общий способ построить кольцо - указать образующие и отношения. Пусть F быть свободным кольцо (то есть свободная алгебра над целыми числами) с множеством X символов, то есть F состоит из многочленов с целыми коэффициентами в некоммутирующем переменных , которые являются элементами X . Свободное кольцо удовлетворяет универсальному свойству: любая функция из множества X в кольцо R пропускается через F так, что- единственный гомоморфизм колец. Как и в групповом случае, каждое кольцо можно представить как частное от свободного кольца. [47]
Теперь мы можем установить отношения между символами в X , взяв частное. Явное, если Е представляет собой подмножество F , то фактор - кольцо F от идеала , порожденного Е называется кольцом с образующими X и соотношениями Е . Если бы мы использовали кольцо, скажем, А в качестве базового кольца вместо Z , то полученное кольцо будет более A . Например, если, то получившееся кольцо будет обычным кольцом многочленов с коэффициентами в A от переменных, которые являются элементами X (это то же самое, что и симметрическая алгебра над A с символами X ).
В терминах теории категорий формация является левым сопряженным функтором забывчивого функтора из категории колец в Set (и его часто называют функтором свободного кольца).
Пусть , В алгебрах над коммутативным кольцом R . Тогда тензорное произведение R -модулейявляется R -алгеброй с умножением, характеризуемым. См. Также: Тензорное произведение алгебр , Замена колец .
Особые виды колец
Домены
Отлична от нуля кольцо без ненулевых делителей нуля называется доменом . Коммутативная область называется областью целостности . Наиболее важными интегральными областями являются основные идеальные области, сокращенно PID и поля. Область главных идеалов - это целостная область, в которой каждый идеал является главным. Важным классом областей целостности, содержащих PID, является область уникальной факторизации (UFD), область целостности, в которой каждый неединичный элемент является произведением простых элементов (элемент является простым, если он порождает простой идеал ). Фундаментальный вопрос в Теория алгебраических чисел - это степень, в которой кольцо (обобщенных) целых чисел в числовом поле , где «идеал» допускает разложение на простые множители, не может быть PID.
Среди теорем, касающихся PID, наиболее важной является теорема о структуре для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов . Теорема может быть проиллюстрирована следующим приложением к линейной алгебре. [48] Пусть V - конечномерное векторное пространство над полем k илинейное отображение с минимальным многочленом q . Тогда, посколькуявляется единственной областью факторизации, q разлагается на степени различных неприводимых многочленов (то есть простых элементов):
Сдача , Мы делаем V к [ т ] -модуль. Тогда структурная теорема говорит, что V является прямой суммой циклических модулей , каждый из которых изоморфен модулю вида. Сейчас если, то такой циклический модуль (для ) имеет базис, в котором ограничение f представляется жордановой матрицей . Таким образом, если, скажем, k алгебраически замкнуто, то всеимеют форму и выше , соответствует разложению к Иордану каноническая формы из F .
В алгебраической геометрии UFD возникают из-за гладкости. Точнее, точка в многообразии (над совершенным полем) является гладкой, если локальное кольцо в этой точке является регулярным локальным кольцом . Регулярное локальное кольцо - это UFD. [49]
Ниже приводится цепочка включений классов , описывающая отношения между кольцами, доменами и полями:
- rngs ⊃ кольца ⊃ коммутативные кольца ⊃ области целостности ⊃ интегрально замкнутые области ⊃ области GCD ⊃ уникальные области факторизации ⊃ области главных идеалов ⊃ евклидовы области ⊃ поля ⊃ алгебраически замкнутые поля
Дивизионное кольцо
Деление кольцо представляет собой кольцо , таким образом, что каждый ненулевой элемент является единицей. Коммутативное тело - это поле . Ярким примером делительного кольца, которое не является полем, является кольцо кватернионов . Любой централизатор в делительном кольце также является делительным кольцом. В частности, центр физического кольца - это поле. Оказалось, что всякая конечная область (в частности, конечное тело) является полем; в частности, коммутативный ( малая теорема Веддерберна ).
Каждый модуль над телом является свободным модулем (имеет базис); следовательно, большая часть линейной алгебры может выполняться над телом вместо поля.
Изучение классов сопряженности занимает видное место в классической теории тел. см., например, теорему Картана – Брауэра – Хуа .
Циклическая алгебра , введенный LE Диксон , является обобщением алгебры кватернионов .
Полупростые кольца
Полупростой модуль является прямой суммой простых модулей. Полупростое кольцо является кольцом , что полупрост как левый модуль (или правый модуль) над самим собой.
Примеры
- Тело полупрост (и простой ).
- Для любого тела D и натурального числа n кольцо матриц M n ( D ) полупростое (и простое ).
- Для поля к и конечной группе G , группа кольцо кГс полупроста тогда и только тогда , когда характеристика из к не делит порядок из G ( теорема Машкя ).
- Алгебры Клиффорда полупросты.
Алгебра Вейля над полем является простым кольцом , но не полупроста. То же верно и для кольца дифференциальных операторов многих переменных .
Характеристики
Любой модуль над полупростым кольцом полупрост. (Доказательство: свободный модуль над полупростым кольцом полупрост, и любой модуль является фактором свободного модуля.)
Для кольца R следующие условия эквивалентны:
- R полупростой.
- R является артиновым и полупросты .
- R - конечное прямое произведение где каждое n i - натуральное число, а каждое D i - тело (теорема Артина – Веддерберна ).
Полупростота тесно связана с отделимостью. Унитальная ассоциативная алгебра A над полем k называется сепарабельной, если базовое расширениеполупросто для любого расширения поля . Если А оказывается полем, то это эквивалентно обычному определению в теории поля (ср. Сепарабельное расширение ).
Центральная простая алгебра и группа Брауэра
Для поля к , А к -алгебра является центральной , если ее центр к и просто , если это простое кольцо . Поскольку центр простой k -алгебры является полем, любая простая k -алгебра является центральной простой алгеброй над своим центром. В этом разделе предполагается, что центральная простая алгебра имеет конечную размерность. Также мы в основном исправляем базовое поле; таким образом, алгебра относится к k -алгебре. Кольцо матриц размера n над кольцом R обозначим через.
Теорема Сколема – Нётер утверждает, что любой автоморфизм центральной простой алгебры является внутренним.
Две центральные простые алгебры A и B называются подобными, если существуют такие целые числа n и m , что. [50] Поскольку, подобие является отношением эквивалентности. Классы сходства с умножением образуют абелеву группу, называемую группой Брауэра поля k и обозначаемую. По теореме Артина – Веддерберна центральная простая алгебра - это кольцо матриц тела; таким образом, каждый класс подобия представлен уникальным делительным кольцом.
Например, тривиально, если k - конечное поле или алгебраически замкнутое поле (вообще, квазиалгебраически замкнутое поле ; см . теорему Цена ).имеет порядок 2 (частный случай теоремы Фробениуса ). Наконец, если k - неархимедово локальное поле (например,), тогда через инвариантное отображение .
Теперь, если F - расширение поля k , то базовое расширение побуждает . Его ядро обозначается. Это состоит из такой, что является кольцом матриц над F (т. е. A расщепляется на F ). Если расширение конечно и Галуа, то канонически изоморфна . [51]
Алгебры Адзумая обобщают понятие центральных простых алгебр на коммутативное локальное кольцо.
Оценочное кольцо
Если K - поле, нормирование v - это гомоморфизм группы из мультипликативной группы K ∗ в вполне упорядоченную абелеву группу G такой, что для любых f , g в K с f + g ненулевым, v ( f + g ) ≥ min { v ( f ), v ( g )}. Кольцо нормирования из V является подкольцом K , состоящее из нуля и все ненулевые F такой , что v ( ф ) ≥ 0 .
Примеры:
- Поле формальных рядов Лорана над полем k имеет значение v такое, что v ( f ) - наименьшая степень ненулевого члена в f ; кольцо оценки v - это кольцо формальных степенных рядов .
- В более общем смысле, для данного поля k и вполне упорядоченной абелевой группы G пусть- множество всех функций от G до k , носители которых (множества точек, в которых функции отличны от нуля) хорошо упорядочены . Это поле с умножением, заданным сверткой :
- .
Смотрите также: Кольцо Новикова и одинарное кольцо .
Кольца с дополнительной структурой
Кольцо можно рассматривать как абелеву группу (с помощью операции сложения) с дополнительной структурой: а именно, кольцевым умножением. Точно так же есть другие математические объекты, которые можно рассматривать как кольца с дополнительной структурой. Например:
- Ассоциативная алгебра является кольцом , которое является также векторным пространством над полем K такое , что скалярное умножение совместимо с кольцевым умножением. Например, множество п матрица с размерностью N матрицы над реальным полем R имеет размерность п 2 в качестве реального векторного пространства.
- Кольцо R является топологическим кольцом, если его набору элементов R задана топология, которая делает отображение сложения () и карту умножения ( ) быть непрерывными как отображения между топологическими пространствами (где X × X наследует топологию продукта или любой другой продукт в категории). Например, матрицы размером n x n над действительными числами могут иметь либо евклидову топологию , либо топологию Зарисского , и в любом случае можно получить топологическое кольцо.
- Λ-кольцо представляет собой коммутативное кольцо R вместе с операциями Л п : R → R , которые подобны п -х внешних степеней :
- .
- Например, Z - это λ-кольцо с , биномиальные коэффициенты . Это понятие играет центральную роль в алгебраическом подходе к теореме Римана – Роха .
- Полностью упорядоченное кольцо представляет собой кольцо с общей упорядоченностью , которая совместима с кольцевыми операциями.
Некоторые примеры повсеместного распространения колец
Многие виды математических объектов могут быть плодотворно проанализированы в терминах некоторого ассоциированного кольца .
Кольцо когомологий топологического пространства
Любому топологическому пространству X можно сопоставить его целочисленное кольцо когомологий
градуированное кольцо . Также существуют группы гомологий пространства, и действительно, они были сначала определены как полезный инструмент для различения определенных пар топологических пространств, таких как сферы и торы , для которых методы топологии точек не подходят. Группы когомологий позже были определены в терминах групп гомологий способом, который примерно аналогичен двойственному векторному пространству . Знать каждую индивидуальную целочисленную группу гомологий по существу то же самое, что знать каждую индивидуальную целую группу когомологий, из-за теоремы об универсальных коэффициентах . Тем не менее, преимущество когомологий групп является то , что есть натуральный продукт , который является аналогом наблюдения , что можно умножить на поточечную K - полилинейное форму и л -multilinear формы , чтобы получить ( K + L ) -multilinear формы.
Кольцевая структура в когомологиях обеспечивает основу для характеристических классов из пучков волокон , теории пересечений на многообразиях и алгебраических многообразий , Шуберта исчислении и многое другое.
Кольцо Бернсайда группы
С любой группой связано ее кольцо Бернсайда, которое использует кольцо для описания различных способов, которыми группа может действовать на конечном множестве. Аддитивная группа кольца Бернсайда - это свободная абелева группа , базисом которой являются транзитивные действия группы, а добавление - несвязное объединение действия. Выражение действия в терминах основы - это разложение действия на его переходные составляющие. Умножение легко выражается в терминах кольца представления : умножение в кольце Бернсайда формируется путем записи тензорного произведения двух модулей перестановок в виде модуля перестановок. Кольцевая структура позволяет формально отделить одно действие от другого. Поскольку кольцо Бернсайда содержится как подкольцо конечного индекса кольца представлений, можно легко перейти от одного к другому, расширив коэффициенты с целых до рациональных.
Кольцо представлений группового кольца
С любым групповым кольцом или алгеброй Хопфа связано свое кольцо представлений или «зеленое кольцо». Аддитивная группа кольца представлений - это свободная абелева группа, в основе которой лежат неразложимые модули, а сложение которой соответствует прямой сумме. Выражение модуля в терминах базиса - это поиск неразложимой декомпозиции модуля. Умножение - это тензорное произведение. Когда алгебра полупроста, кольцо представлений - это просто кольцо характеров из теории характеров , которое в большей или меньшей степени является группой Гротендика с учетом кольцевой структуры.
Функциональное поле неприводимого алгебраического многообразия
С любым неприводимым алгебраическим многообразием связано его функциональное поле . Точки алгебраического многообразия соответствуют оценочным кольцам, содержащимся в функциональном поле и содержащим координатное кольцо . Изучение алгебраической геометрии широко использует коммутативную алгебру для изучения геометрических понятий в терминах теоретико-кольцевых свойств. Бирациональная геометрия изучает карты между подкольцами функционального поля.
Граневое кольцо симплициального комплекса
Каждому симплициальному комплексу соответствует кольцо граней, которое также называется кольцом Стэнли – Райснера . Это кольцо отражает многие комбинаторные свойства симплициального комплекса, поэтому оно представляет особый интерес в алгебраической комбинаторике . В частности, алгебраическая геометрия кольца Стэнли – Рейснера использовалась для характеристики числа граней в каждом измерении симплициальных многогранников .
Теоретико-категориальное описание
Каждое кольцо можно рассматривать как моноид в Ab , категории абелевых групп (рассматриваемой как моноидальная категория под тензорным произведением Z {\ displaystyle {\ mathbf {Z}}} -модули ). Моноидное действие кольца R на абелевой группе - это просто R -модуль . По сути, R -модуль является обобщением понятия векторного пространства - где вместо векторного пространства над полем имеется «векторное пространство над кольцом».
Пусть ( A , +) - абелева группа, а End ( A ) - ее кольцо эндоморфизмов (см. Выше). Обратите внимание, что, по сути, End ( A ) - это множество всех морфизмов A , где, если f находится в End ( A ), а g находится в End ( A ), следующие правила могут использоваться для вычисления f + g и f ⋅ г :
- ( е + д ) ( х ) = е ( х ) + д ( х )
- ( f ⋅ g ) ( x ) = f ( g ( x )),
где +, как в f ( x ) + g ( x ), является сложением в A , а композиция функций обозначается справа налево. Поэтому, связанное с любой абелевой группой, представляет собой кольцо. Наоборот, учитывая любое кольцо, ( R +, ⋅ ) , ( R +) является абелевой группой. Кроме того, для каждого r в R правое (или левое) умножение на r приводит к морфизму ( R , +) на правую (или левую) дистрибутивность. Пусть A = ( R , +) . Рассмотрим эти эндоморфизмы из А , что «фактор через» правый (или левый) умножения R . Другими словами, пусть Конец R ( ) множество всех морфизмов т из А , обладающие тем свойством , что м ( г ⋅ х ) = г ⋅ м ( х ) . Было замечено, что каждое r в R порождает морфизм A : правое умножение на r . На самом деле верно, что это соединение любого элемента R с морфизмом A как функции от R до End R ( A ) является изоморфизмом колец. В этом смысле, следовательно, любое кольцо можно рассматривать как кольцо эндоморфизмов некоторой абелевой X -группы (под X -группой подразумевается группа, в которой X является ее множеством операторов ). [52] По сути, наиболее общая форма кольца - это группа эндоморфизмов некоторой абелевой X -группы.
Любое кольцо можно рассматривать как предаддитивную категорию с одним объектом. Поэтому естественно рассматривать произвольные предаддитивные категории как обобщения колец. И действительно, многие определения и теоремы, первоначально данные для колец, могут быть переведены в этот более общий контекст. Аддитивные функторы между предаддитивными категориями обобщают понятие гомоморфизма колец, а идеалы в аддитивных категориях могут быть определены как множества морфизмов, замкнутые относительно сложения и композиции с произвольными морфизмами.
Обобщение
Алгебраисты определили структуры более общие, чем кольца, ослабив или отбросив некоторые из аксиом колец.
Rng
RNG такой же , как кольцо, за исключением того, что существование мультипликативной идентичности не предполагаются. [53]
Неассоциативное кольцо
Неассоциативная кольцо является алгебраической структурой , которая удовлетворяет всем кольцевые аксиомы , кроме ассоциативной собственности и существования мультипликативной идентичности. Ярким примером является алгебра Ли . Для таких алгебр существует некоторая структурная теория, обобщающая аналогичные результаты для алгебр Ли и ассоциативных алгебр. [ необходима цитата ]
Полукруглый
Полукольца (иногда вышка ) получается путем ослабления предположения о том, что ( R +) является абелевой группой к предположению , что ( R +) является коммутативным моноидом, и добавляя аксиому , что 0 ⋅ = ⋅ 0 = 0 для всех a в R (поскольку это уже не следует из других аксиом).
Примеры:
- неотрицательные целые числа с обычным сложением и умножением;
- тропическое полукольцо .
Другие кольцевидные объекты
Обзвонить объект в категории
Пусть C - категория с конечными продуктами . Пусть пт обозначит терминальный объект из C (пустой продукт). Кольцо объект в C представляет собой объект R оснащен морфизмами (добавление), (умножение), (аддитивная идентичность), (аддитивная обратная), и (мультипликативное тождество), удовлетворяющее обычным аксиомам кольца. Эквивалентно кольцевой объект - это объект R, оснащенный факторизацией его функтора точек. через категорию колец: .
Схема кольца
В алгебраической геометрии кольцевая схема над базовой схемой S является кольцевым объектом в категории S -схем. Одним из примеров являются схемой кольца Ш п над Spec Z , который для любого коммутативного кольца А возвращает кольцо Ш п ( А ) из р -isotypic векторов Витта длины п над А . [54]
Спектр кольца
В алгебраической топологии , кольцо спектр представляет собой спектр X вместе с умножением и единичная карта из спектра сфер S , такие что кольцевые диаграммы аксиом коммутируют с точностью до гомотопии. На практике принято определять кольцевой спектр как моноидный объект в хорошей категории спектров, такой как категория симметричных спектров .
Смотрите также
- Алгебра над коммутативным кольцом
- Категориальное кольцо
- Категория колец
- Словарь теории колец
- Неассоциативное кольцо
- Кольцо наборов
- Полукруглый
- Спектр кольца
- Симплициальное коммутативное кольцо
Особые виды колец:
- Логическое кольцо
- Кольцо дедекинда
- Дифференциальное кольцо
- Экспоненциальное кольцо
- Конечное кольцо
- Кольцо лжи
- Местное кольцо
- Нетеровы и артиновы кольца
- Заказанное кольцо
- Кольцо Пуассона
- Уменьшенное кольцо
- Обычное кольцо
- Кольцо периодов
- SBI кольцо
- Оценочное кольцо и дискретное оценочное кольцо
Заметки
- ^ Это означаетчто каждая операция определена и производит уникальный результат в R для каждой упорядоченной паре элементов R .
- ^ Существование 1 не предполагается некоторыми авторами; здесь термин rng используется, если не предполагается существование мультипликативного тождества. См. Следующий подраздел .
- ^ Некоторые другие авторы, такие как Ланг, требуют, чтобы делитель нуля был ненулевым.
- ^ Такой центральный идемпотент называется центрально-примитивным .
Цитаты
- Перейти ↑ Bourbaki 1989 , p. 96, гл. 1, §8.1.
- ^ Сондерс Маклейн ; Гаррет Биркгоф (1967). Алгебра . AMS Челси. п. 85.
- ^ Ланг, Серж (2002). Алгебра (Третье изд.). Springer-Verlag. п. 83.
- Перейти ↑ Isaacs 1994 , p. 160.
- ^ «Неассоциативные кольца и алгебры» . Энциклопедия математики .
- Перейти ↑ Isaacs 1994 , p. 161.
- ^ Лам, Первый курс некоммутативных колец , 2-е издание, Springer, 2001; Теорема 3.1.
- ^ Лэнг, Бакалавриат по алгебре , Springer, 2005; V.§3.
- ^ Серр, Алгебры Ли и группы Ли , 2-е издание, исправленное 5-е издание, Springer, 2006; п. 3.
- ^ Серр, Местные поля , Springer, 1979; п. 158.
- ^ Развитие теории колец
- Перейти ↑ Kleiner 1998 , p. 27.
- ^ Гильберт 1897 .
- ^ Почему кольцо называется «кольцо»? - MathOverflow
- ^ Кон, Харви (1980), Расширенная теория чисел , Нью-Йорк: Dover Publications, стр. 49 , ISBN 978-0-486-64023-5
- ↑ Fraenkel 1915 , стр. 143–145.
- ^ Якобсон 2009 , стр. 86, сноска 1.
- Перейти ↑ Fraenkel 1915 , p. 144, аксиома R 8) .
- ^ а б Нётер 1921 , стр. 29.
- Перейти ↑ Fraenkel 1915 , p. 144, аксиома R 7) .
- ^ ван дер Варден 1930 .
- Перейти ↑ Zariski & Samuel 1958 .
- ^ Артин 2018 , стр. 346.
- Перейти ↑ Atiyah & MacDonald 1969 , p. 1.
- Перейти ↑ Bourbaki 1989 , p. 96.
- ^ Эйзенбад , стр. 11.
- ^ Ланг , стр. 83.
- ^ Gallian 2006 , стр. 235.
- Перейти ↑ Hungerford 1997 , p. 42.
- ↑ Warner 1965 , стр. 188.
- ^ Gardner & Wiegandt 2003 .
- ^ Poonen 2018 .
- ^ Уайлдер 1965 , стр. 176.
- ^ Ротман 1998 , стр. 7.
- ^ Якобсон 2009 , стр. 155.
- Перейти ↑ Bourbaki 1989 , p. 98.
- ^ Кон 2003 , теорема 4.5.1.
- ^ Якобсон 1974 , теорема 2.10.
- ↑ Бурбаки, 1964 , гл. 5. § 1, лемма 2.
- ^ а б Кон 2003 , 4.4.
- ^ Lang 2002 , гл. XVII. Предложение 1.1.
- ^ Кон 1995 , Предложение 1.3.1.
- ^ Эйзенбад 2004 , Упражнение 2.2.
- Перейти ↑ Milne 2012 , Proposition 6.4.
- ^ Милн 2012 , конец главы 7.
- ^ Atiyah & Macdonald 1969 , теорема 10.17 и ее следствия.
- Перейти ↑ Cohn 1995 , pg. 242 .
- ↑ Lang 2002 , Ch XIV, §2.
- ^ Вейбель , гл. 1, теорема 3.8.
- ↑ Milne & CFT , Глава IV, §2.
- ^ Серр, JP., Applications algébriques de la cohomologie des groupes, I, II, Séminaire Henri Cartan, 1950/51 [1]
- ^ Якобсон 2009 , стр. 162, теорема 3.2.
- ^ Якобсон 2009 .
- ^ Серр, стр. 44.
Рекомендации
Общие ссылки
- Артин, Майкл (2018). Алгебра (2-е изд.). Пирсон.
- Атья, Майкл ; Макдональд, Ян Г. (1969). Введение в коммутативную алгебру . Аддисон-Уэсли.
- Бурбаки, Н. (1964). Коммутативный Algèbre . Германн.
- Бурбаки, Н. (1989). Алгебра I, главы 1–3 . Springer.
- Кон, Пол Мориц (2003), Базовая алгебра: группы, кольца и поля , Springer, ISBN 978-1-85233-587-8.
- Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии . Springer.
- Галлиан, Джозеф А. (2006). Современная абстрактная алгебра, шестое издание . Хоутон Миффлин. ISBN 9780618514717.
- Гарднер, JW; Вигандт Р. (2003). Радикальная теория колец . Чепмен и Холл / CRC Чистая и прикладная математика. ISBN 0824750330.
- Герштейн И.Н. (1994) [перепечатка оригинала 1968 года]. Некоммутативные кольца . Математические монографии Каруса. 15 . С послесловием Лэнса В. Смолла. Математическая ассоциация Америки. ISBN 0-88385-015-X.
- Хангерфорд, Томас В. (1997). Абстрактная алгебра: введение, второе издание . Брукс / Коул. ISBN 9780030105593.
- Джейкобсон, Натан (2009). Базовая алгебра . 1 (2-е изд.). Дувр. ISBN 978-0-486-47189-1.
- Джейкобсон, Натан (1964). «Состав колец». Публикации коллоквиума Американского математического общества (пересмотренная ред.). 37 .
- Джейкобсон, Натан (1943). «Теория колец». Математические исследования Американского математического общества . Я .
- Каплански, Ирвинг (1974), Коммутативные кольца (пересмотренная редакция), University of Chicago Press , ISBN 0-226-42454-5, Руководство по ремонту 0345945.
- Лам, Цит Юэн (2001). Первый курс некоммутативных колец . Тексты для выпускников по математике. 131 (2-е изд.). Springer. ISBN 0-387-95183-0.
- Лам, Цит Юэн (2003). Упражнения по классической теории колец . Проблемные книги по математике (2-е изд.). Springer. ISBN 0-387-00500-5.
- Лам, Цит Юэн (1999). Лекции по модулям и кольцам . Тексты для выпускников по математике. 189 . Springer. ISBN 0-387-98428-3.
- Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 , Zbl 0984.00001.
- Мацумура, Хидеюки (1989). Коммутативная теория колец . Кембриджские исследования в области высшей математики (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-36764-6.
- Милн, Дж. "Праймер коммутативной алгебры" .
- Ротман, Джозеф (1998), Теория Галуа (2-е изд.), Springer, ISBN 0-387-98541-7.
- ван дер Варден, Бартель Леендерт (1930), Современная алгебра. Teil I , Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 33 , Springer, ISBN 978-3-540-56799-8, MR 0009016.
- Уорнер, Сет (1965). Современная алгебра . Дувр. ISBN 9780486663418.
- Уайлдер, Раймонд Луи (1965). Введение в основы математики . Вайли.
- Зариски, Оскар; Самуэль, Пьер (1958). Коммутативная алгебра . 1 . Ван Ностранд.
Специальные ссылки
- Бальцжик, Станислав; Józefiak, Tadeusz (1989), Коммутативные кольца Нётера и Крулля , Математика и ее приложения, Чичестер: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155615-7
- Бальцжик, Станислав; Józefiak, Tadeusz (1989), Размерность, множественность и гомологические методы , Математика и ее приложения, Чичестер: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155623-2
- Баллье, Р. (1947). "Anneaux finis; systèmes hypercomplexes de rang trois sur un corps commutatif". Аня. Soc. Sci. Брюссель . I (61): 222–227.
- Беррик, AJ; Китинг, ME (2000). Введение в кольца и модули с K-теорией в поле зрения . Издательство Кембриджского университета.
- Кон, Пол Мориц (1995), Skew Fields: Theory of General Division Rings , Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 57 , Cambridge University Press, ISBN 9780521432177
- Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра. С прицелом на алгебраическую геометрию. , Тексты для выпускников по математике, 150 , Springer, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
- Gilmer, R .; Мотт, Дж. (1973). «Ассоциативные кольца порядка» . Proc. Япония Acad . 49 : 795–799. DOI : 10.3792 / PJA / 1195519146 .
- Харрис, JW; Стокер, Х. (1998). Справочник по математике и вычислительным наукам . Springer.
- Айзекс, И.М. (1994). Алгебра: аспирантура . AMS . ISBN 978-0-8218-4799-2.
- Jacobson, Натан (1945), "Структурная теория алгебраических алгебр ограниченной степени", Анналы математики , Annals математики, 46 (4): 695-707, DOI : 10,2307 / 1969205 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969205
- Knuth, DE (1998). Искусство программирования . Vol. 2: получисловые алгоритмы (3-е изд.). Аддисон-Уэсли.
|volume=
имеет дополнительный текст ( справка ) - Корн, Джорджия; Корн, TM (2000). Математический справочник для ученых и инженеров . Дувр. ISBN 9780486411477.
- Милн, Дж. "Теория поля классов" .
- Нагата, Масаёши (1962) [переиздание 1975 года], Местные кольца , Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 13 , Interscience Publishers, ISBN 978-0-88275-228-0, Руководство по ремонту 0155856
- Пирс, Ричард С. (1982). Ассоциативные алгебры . Тексты для выпускников по математике. 88 . Springer. ISBN 0-387-90693-2.
- Пунен, Бьорн (2018), Почему все кольца должны иметь 1 (PDF) , arXiv : 1404.0135
- Серр, Жан-Пьер (1979), Локальные поля , Тексты для выпускников по математике, 67 , Springer
- Спрингер, Тонни А. (1977), Теория инвариантов , Лекционные заметки по математике, 585 , Springer, ISBN 9783540373704
- Вейбель, Чарльз. "K-книга: Введение в алгебраическую K-теорию" .
- Зариски, Оскар ; Самуэль, Пьер (1975). Коммутативная алгебра . Тексты для выпускников по математике. 28–29. Springer. ISBN 0-387-90089-6.
Основные источники
- Френкель, А. (1915). "Uber die Teiler der Null und die Zerlegung von Ringen". J. Reine Angew. Математика . 145 : 139–176.
- Гильберт, Дэвид (1897). "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 4 .
- Нётер, Эмми (1921). «Идеалтеория в Рингберейхене» . Математика. Аннален . 83 (1–2): 24–66. DOI : 10.1007 / bf01464225 . S2CID 121594471 .
Исторические ссылки
- История теории колец в архиве MacTutor
- Гаррет Биркгоф и Сондерс Мак-Лейн (1996) Обзор современной алгебры , 5-е изд. Нью-Йорк: Макмиллан.
- Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике , 2004 , 4-е изд. Нью-Йорк: Springer-Verlag ISBN 3-540-43491-7 .
- Вера, Карл (1999) Кольца и вещи и прекрасный набор ассоциативной алгебры двадцатого века . Математические обзоры и монографии, 65. Американское математическое обществоISBN 0-8218-0993-8 .
- Ито, К. редактор (1986) "Кольца". §368 в Энциклопедическом словаре математики , 2-е изд., Т. 2. Кембридж, Массачусетс: MIT Press .
- Исраэль Кляйнер (1996) "Происхождение концепции абстрактного кольца", American Mathematical Monthly 103: 417–424 doi : 10.2307 / 2974935
- Кляйнер, И. (1998) «От чисел к кольцам: ранняя история теории колец», Elemente der Mathematik 53: 18–35.
- Б.Л. ван дер Варден (1985) История алгебры , Springer-Verlag,