Силовая серия

В математике , а силовые серии (в одной переменной) представляет собой бесконечный ряд вида

где a _n представляет собой коэффициент при n- м члене, а c - константа. Серия питания полезны в математическом анализе , где они возникают , как ряд Тейлора в бесконечно дифференцируемых функций . Фактически, из теоремы Бореля следует, что любой степенной ряд является рядом Тейлора некоторой гладкой функции.

Во многих ситуациях c ( центр ряда) равен нулю, например, при рассмотрении ряда Маклорена . В таких случаях степенной ряд принимает более простой вид

Помимо своей роли в математическом анализе, степенные ряды также встречаются в комбинаторике как производящие функции (разновидность формальных степенных рядов ) и в электронной технике (под названием Z-преобразование ). Знак десятичного обозначения для действительных чисел можно также рассматривать в качестве примера степенного ряда, с целыми коэффициентами, но с аргументом х зафиксирован на уровне ¹ / ₁₀ . В теории чисел концепция p-адических чисел также тесно связана с концепцией степенного ряда.

Примеры [ править ]

Любой многочлен можно легко выразить в виде степенного ряда вокруг любого центра c , хотя все коэффициенты, кроме конечного, будут равны нулю, поскольку степенной ряд по определению имеет бесконечно много членов. Например, многочлен можно записать в виде степенного ряда вокруг центра как${\ textstyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 3}$${\ textstyle c = 0}$

${\ displaystyle f (x) = 3 + 2x + 1x ^ {2} + 0x ^ {3} + 0x ^ {4} + \ cdots}$

или вокруг центра как${\ textstyle c = 1}$

${\ Displaystyle f (x) = 6 + 4 (x-1) +1 (x-1) ^ {2} +0 (x-1) ^ {3} +0 (x-1) ^ {4} + \ cdots}$

или действительно вокруг любого другого центра c . ^[1] Можно рассматривать степенные ряды как «многочлены бесконечной степени», хотя степенные ряды не являются полиномами.

Геометрическая прогрессия формула

${\ displaystyle {\ frac {1} {1-x}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x ^ {n} = 1 + x + x ^ {2} + x ^ {3} + \ cdots,}$

который действителен для , является одним из наиболее важных примеров степенного ряда, как и формула экспоненциальной функции${\ textstyle | х | <1}$

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,}$

и формула синуса

${\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,}$

действительно для всех реальных x .

Эти степенные ряды также являются примерами рядов Тейлора .

О наборе показателей [ править ]

Отрицательные степени не допускаются в степенных рядах; например, не считается степенным рядом (хотя это ряд Лорана ). Точно так же не разрешены дробные степени, такие как (но см. Серию Пюизо ). Коэффициенты не могут зависеть , например, от:${\textstyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }$${\textstyle x^{\frac {1}{2}}}$${\textstyle a_{n}}$${\textstyle x}$

${\displaystyle \sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots }$

не является степенным рядом.

Радиус конвергенции [ править ]

Степенной ряд является сходящимся для некоторых значений переменных х , которые включают в себя всегда х = C (как обычно, вычисляются как${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}$${\displaystyle (x-c)^{0}}$1 , а сумма ряда, таким образом , для й = С ). При других значениях x ряды могут расходиться . Если c - не единственная точка сходимости, то всегда существует число r с 0 < r ≤ ∞ такое, что ряд сходится всякий раз, когда | х - с | < r и расходится всякий раз, когда | х - с | > р . Число r называется радиусом сходимости степенного ряда; в общем это дается как${\displaystyle a_{0}}$

${\displaystyle r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}}$

или, что то же самое,

${\displaystyle r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}}$

(это теорема Коши – Адамара ; объяснение обозначений см. в разделе « Верхний предел и нижний предел» ). Соотношение

${\displaystyle r^{-1}=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|}$

также выполняется, если этот предел существует.

Множество таких комплексных чисел , что | х - с | < r называется диском сходимости ряда. Ряд сходится абсолютно внутри своего круга сходимости и сходится равномерно на каждом компактном подмножестве диска сходимости.

Для | х - с | = r , общего утверждения о сходимости ряда нет. Однако теорема Абеля утверждает, что если ряд сходится для некоторого значения z, такого что | z - c | = r , то сумма ряда для x = z является пределом суммы ряда для x = c + t ( z - c ), где t - действительная переменная, меньшая, чем1, который имеет тенденцию1 .

Операции над степенными рядами [ править ]

Сложение и вычитание [ править ]

Когда две функции f и g разлагаются в степенной ряд вокруг одного и того же центра c , степенной ряд суммы или разности функций может быть получен путем почленного сложения и вычитания. То есть, если

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}$ и ${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}$

тогда

${\displaystyle f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}.}$

Неверно, что если два степенных ряда и имеют одинаковый радиус сходимости, то также имеет этот радиус сходимости. Если и , то оба ряда имеют одинаковый радиус сходимости 1, но ряд имеет радиус сходимости 3.${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}}$${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}}$${\textstyle a_{n}=(-1)^{n}}$${\textstyle b_{n}=(-1)^{n+1}\left(1-{\frac {1}{3^{n}}}\right)}$${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3^{n}}}x^{n}}$

Умножение и деление [ править ]

При тех же определениях и степенной ряд произведения и частного функций может быть получен следующим образом:${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)g(x)&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\\&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.\end{aligned}}}$

Последовательность известна как свертка последовательностей и .${\textstyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle b_{n}}$

Для деления, если определить последовательность как${\displaystyle d_{n}}$

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}}$

тогда

${\displaystyle f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}\right)}$

и можно рекурсивно решить для членов , сравнивая коэффициенты.${\displaystyle d_{n}}$

Решение соответствующих уравнений приводит к формулам, основанным на определителях некоторых матриц коэффициентов и${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle d_{0}={\frac {a_{0}}{b_{0}}}}$

${\displaystyle d_{n}={\frac {1}{b_{0}^{n+1}}}{\begin{vmatrix}a_{n}&b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{n}\\a_{n-1}&b_{0}&b_{1}&\cdots &b_{n-1}\\a_{n-2}&0&b_{0}&\cdots &b_{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{0}&0&0&\cdots &b_{0}\end{vmatrix}}}$

Дифференциация и интеграция [ править ]

После того, как функция задается как степенной ряд , как указано выше, она дифференцируема на внутренней части области сходимости. Его можно довольно легко дифференцировать и интегрировать , рассматривая каждый термин отдельно:${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n(x-c)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}(n+1)(x-c)^{n},\\\int f(x)\,dx&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}(x-c)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}(x-c)^{n}}{n}}+k.\end{aligned}}}$

Обе эти серии имеют тот же радиус сходимости, что и исходная.

Аналитические функции [ править ]

Функция f, определенная на некотором открытом подмножестве U в R или C , называется аналитической, если она локально задается сходящимся степенным рядом. Это означает , что каждый ∈ U имеет открытую окрестность V ⊆ U , такие , что существует степенной ряд с центром а , который сходится к F ( х ) для каждого х ∈ V .

Каждый степенной ряд с положительным радиусом сходимости аналитичен внутри своей области сходимости. Все голоморфные функции комплексно-аналитичны. Суммы и произведения аналитических функций являются аналитическими, как и частные, пока знаменатель не равен нулю.

Если функция аналитическая, то она бесконечно дифференцируема, но в реальном случае обратное, как правило, неверно. Для аналитической функции коэффициенты a _n могут быть вычислены как

${\displaystyle a_{n}={\frac {f^{\left(n\right)}\left(c\right)}{n!}}}$

где обозначает n- ю производную f в точке c , а . Это означает, что каждая аналитическая функция локально представлена ​​своим рядом Тейлора .${\displaystyle f^{(n)}(c)}$${\displaystyle f^{(0)}(c)=f(c)}$

Глобальная форма аналитической функции полностью определяется ее локальным поведением в следующем смысле: если f и g - две аналитические функции, определенные на одном и том же связном открытом множестве U , и если существует элемент c ∈ U такой, что f  ^{( n )} ( с ) = г  ^{( п )} ( с ) для всех п ≥ 0, то F ( х ) = г ( х ) для всех х ∈ U .

Если дан степенной ряд с радиусом сходимости r , можно рассматривать аналитические продолжения ряда, т. Е. Аналитические функции f, которые определены на множествах, больших, чем { x  : | х - с | < r } и согласитесь с данным степенным рядом на этом множестве. Число r является максимальным в следующем смысле: всегда существует комплексное число x с | х - с | = r такое, что аналитическое продолжение ряда не может быть определено в точке x .

Разложение в степенной ряд обратной функции аналитической функции может быть определено с помощью теоремы об обращении Лагранжа .

Поведение около границы [ править ]

Сумма степенного ряда с положительным радиусом сходимости является аналитической функцией в каждой точке внутри диска сходимости. Однако в точках на границе этого диска может происходить различное поведение. Например:

1. Дивергенция, когда сумма продолжается до аналитической функции : имеет радиус сходимости, равный и расходится в каждой точке . Тем не менее, сумма равна , которая является аналитической во всех точках плоскости, кроме .${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle |z|=1}$${\displaystyle |z|<1}$${\displaystyle {\frac {1}{1-z}}}$${\displaystyle z=1}$
2. В одних точках сходятся, в других - расходятся. : имеет радиус схождения . Он сходится при , а расходится при${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {z^{n}}{n}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle z=1}$${\displaystyle z=-1}$
3. Абсолютная сходимость в каждой точке границы : имеет радиус сходимости , в то время как она сходится абсолютно и равномерно в каждой точке из- за М-критерия Вейерштрасса, применяемого с гипергармоническим сходящимся рядом .${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{2}}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle |z|=1}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$
4. Сходящаяся на замыкании круга сходимости, но не непрерывная сумма : Серпинский привел пример ^[2] степенного ряда с радиусом сходимости , сходящегося во всех точках с , но сумма является неограниченной функцией и, в частности, разрывной. Достаточное условие односторонней непрерывности в граничной точке дает теорема Абеля .${\displaystyle 1}$${\displaystyle |z|=1}$

Формальный степенной ряд [ править ]

В абстрактной алгебре пытаются уловить суть степенных рядов, не ограничиваясь полями действительных и комплексных чисел и без необходимости говорить о сходимости. Это приводит к концепции формальных степенных рядов , концепции большой полезности в алгебраической комбинаторике .

Степенный ряд от нескольких переменных [ править ]

Расширение теории необходимо для целей многомерного исчисления . Под степенным рядом здесь понимается бесконечный ряд вида

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}(x_{k}-c_{k})^{j_{k}},}$

где j = ( j ₁ , ..., j _n ) - вектор натуральных чисел, коэффициенты a _{( j 1 ,…, j n )} обычно являются действительными или комплексными числами, а центр c = ( c ₁ ,. .., c _n ) и аргумент x = ( x ₁ , ..., x _n ) обычно являются действительными или комплексными векторами. Этот символ - это символ продукта , обозначающий умножение. В более удобной многоиндексной записи это можно записать${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }(x-c)^{\alpha }.}$

где есть множество натуральных чисел , и поэтому есть множество упорядоченных п - кортежи натуральных чисел.${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}}$

Теория таких рядов сложнее, чем рядов с одной переменной, с более сложными областями сходимости. Например, степенной ряд абсолютно сходится в множестве между двумя гиперболами. (Это пример лог-выпуклого множества в том смысле, что множество точек , лежащих в указанной выше области, является выпуклым множеством. В более общем плане, можно показать, что когда c = 0, внутренняя часть области абсолютной сходимости всегда является лог-выпуклым множеством в этом смысле.) С другой стороны, внутри этой области сходимости можно дифференцировать и интегрировать под знаком ряда, как это можно сделать с обычными степенными рядами.${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{1}^{n}x_{2}^{n}}$${\displaystyle \{(x_{1},x_{2}):|x_{1}x_{2}|<1\}}$${\displaystyle (\log |x_{1}|,\log |x_{2}|)}$${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$

Порядок степенного ряда [ править ]

Пусть α - мультииндекс для степенного ряда f ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ). Порядок в степенной ряд F определяется как наименьшее значение таково , что существует _{& alpha} ; ≠ 0, или , если F ≡ 0. В частности, для степенной ряд F ( х ) в одной переменной х , порядок f - наименьшая степень x с ненулевым коэффициентом. Это определение легко распространяется на ряд Лорана .${\displaystyle r}$${\displaystyle r=|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$${\displaystyle \infty }$

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], "Силовые ряды" , Энциклопедия математики , EMS Press

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. "Формальная степенная серия" . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Силовая серия» . MathWorld .
• Полномочия комплексных чисел Майкла Шрайбера, Wolfram Demonstrations Project .