Z-преобразование

В математике и обработке сигналов , то Z-преобразование преобразует дискретно-сигнал времени , который представляет собой последовательность из реальных или комплексных чисел , в комплексное частотной области представления.

Его можно рассматривать как эквивалент преобразования Лапласа в дискретном времени . Это сходство исследуется в теории исчисления шкалы времени .

История [ править ]

Основная идея, известная теперь как Z-преобразование, была известна Лапласу и была повторно представлена ​​в 1947 году У. Гуревичем ^{[1] [2]} и другими как способ обработки систем управления выборками данных, используемых с радаром. Это дает удобный способ решения линейных разностных уравнений с постоянным коэффициентом . Позже это было названо «z-преобразованием» Рагаццини и Заде в контрольной группе выборочных данных в Колумбийском университете в 1952 г. ^{[3] [4]}

Модифицированное или усовершенствованное Z-преобразование было позже разработано и популяризировано EI Jury . ^{[5] [6]}

Идея, содержащаяся в Z-преобразовании, также известна в математической литературе как метод производящих функций, который можно проследить еще в 1730 году, когда он был введен де Муавром вместе с теорией вероятностей. ^[7] С математической точки зрения Z-преобразование также можно рассматривать как ряд Лорана, в котором рассматриваемая последовательность чисел рассматривается как разложение (Лорана) аналитической функции.

Определение [ править ]

Z-преобразование может быть определено как одностороннее или двустороннее преобразование. ^[8]

Двустороннее Z-преобразование [ править ]

Двусторонний или двусторонний Z-преобразование дискретного сигнала времени является формальным степенным рядом , определенный как${\ Displaystyle х [п]}$ ${\ displaystyle X (z)}$

где - целое число и , как правило, комплексное число :${\ displaystyle n}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle z = Ae ^ {j \ phi} = A \ cdot (\ cos {\ phi} + j \ sin {\ phi})}$

где - величина , - мнимая единица , - комплексный аргумент (также называемый углом или фазой ) в радианах .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle \ phi}$

Одностороннее Z-преобразование [ править ]

В качестве альтернативы, в случаях, когда определено только для , одностороннее или одностороннее Z-преобразование определяется как${\ Displaystyle х [п]}$${\ Displaystyle п \ geq 0}$

При обработке сигналов это определение может использоваться для оценки Z-преобразования единичной импульсной характеристики причинной системы с дискретным временем .

Важным примером одностороннего Z-преобразования является функция , генерирующая вероятность , где компонент - это вероятность того, что дискретная случайная величина примет значение , а функция обычно записывается как в терминах . Свойства Z-преобразований (см. Ниже) имеют полезные интерпретации в контексте теории вероятностей.${\ Displaystyle х [п]}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle X (z)}$${\ Displaystyle X (s)}$${\ displaystyle s = z ^ {- 1}}$

Обратное Z-преобразование [ править ]

Обратное Z-преобразование

где C - замкнутый путь против часовой стрелки, охватывающий начало координат и полностью находящийся в области конвергенции (ROC). В случае, когда ROC является причинным (см. Пример 2 ), это означает, что путь C должен охватывать все полюса .${\ displaystyle X (z)}$

Частный случай этого контурного интеграла возникает, когда C - единичная окружность. Этот контур можно использовать, когда ROC включает единичную окружность, что всегда гарантируется, когда она устойчива, то есть когда все полюса находятся внутри единичной окружности. С этим контуром обратное Z-преобразование упрощается до обратного дискретного преобразования Фурье или ряда Фурье периодических значений Z-преобразования по единичной окружности:${\ displaystyle X (z)}$

${\ displaystyle x [n] = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {+ \ pi} X (e ^ {j \ omega}) e ^ {j \ omega n} d \ omega.}$

Z-преобразование с конечным диапазоном значений n и конечным числом равномерно распределенных значений z может быть эффективно вычислено с помощью алгоритма БПФ Блустейна . Дискретным временем преобразования Фурье (ДВПФ) -не следует путать с дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) -это частный случай такой Z-преобразования , получаемого путем ограничения г лежать на единичной окружности.

Область конвергенции [ править ]

Область конвергенции (ROC) - это набор точек на комплексной плоскости, для которых суммирование Z-преобразования сходится.

${\displaystyle \mathrm {ROC} =\left\{z:\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\right|<\infty \right\}}$

Пример 1 (без ROC) [ править ]

Пусть x [n] = (0,5) ⁿ . Разложив x [n] на интервал (−∞, ∞), получим

${\displaystyle x[n]=\left\{\cdots ,0.5^{-3},0.5^{-2},0.5^{-1},1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}=\left\{\cdots ,2^{3},2^{2},2,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}.}$

Глядя на сумму

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\to \infty .}$

Следовательно, не существует значений z , удовлетворяющих этому условию.

Пример 2 (причинный ROC) [ править ]

Пусть (где u - ступенчатая функция Хевисайда ). Разложив x [n] на интервал (−∞, ∞), получим${\displaystyle x[n]=0.5^{n}u[n]\ }$

${\displaystyle x[n]=\left\{\cdots ,0,0,0,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}.}$

Глядя на сумму

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }0.5^{n}z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {0.5}{z}}\right)^{n}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}.}$

Последнее равенство возникает из бесконечного геометрического ряда, и равенство выполняется только в том случае, если | 0.5 z ⁻¹ | <1, который можно переписать через z как | z | > 0,5. Таким образом, ОКР | z | > 0,5. В этом случае ROC представляет собой комплексную плоскость с «пробитым» диском радиуса 0,5 в начале координат.

Пример 3 (антикаузальная ОКР) [ править ]

Пусть (где u - ступенчатая функция Хевисайда ). Разложив x [n] на интервал (−∞, ∞), получим${\displaystyle x[n]=-(0.5)^{n}u[-n-1]\ }$

${\displaystyle x[n]=\left\{\cdots ,-(0.5)^{-3},-(0.5)^{-2},-(0.5)^{-1},0,0,0,0,\cdots \right\}.}$

Глядя на сумму

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=-\sum _{n=-\infty }^{-1}0.5^{n}z^{-n}=-\sum _{m=1}^{\infty }\left({\frac {z}{0.5}}\right)^{m}=-{\frac {0.5^{-1}z}{1-0.5^{-1}z}}=-{\frac {1}{0.5z^{-1}-1}}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}.}$

Опять же, используя бесконечный геометрический ряд , равенство выполняется только в том случае, если | 0.5 ⁻¹ z | <1, который можно переписать через z как | z | <0,5. Таким образом, ОКР | z | <0,5. В этом случае ROC представляет собой диск с центром в начале координат и радиусом 0,5.

Что отличает этот пример от предыдущего, так это только ROC. Это сделано намеренно, чтобы продемонстрировать, что одного результата преобразования недостаточно.

Вывод из примеров [ править ]

Примеры 2 и 3 ясно показывают, что Z-преобразование X (z) для x [n] уникально тогда и только тогда, когда задается ROC. Создание графика полюс-ноль для причинно-следственного и антикаузального случая показывает, что ROC для любого случая не включает полюс, находящийся на 0,5. Это распространяется на случаи с несколькими полюсами: ROC никогда не будет содержать полюсов.

В примере 2 причинная система дает ROC, который включает | z | = ∞, в то время как антикаузальная система в примере 3 дает ROC, который включает | z | = 0.

В системах с несколькими полюсами возможно наличие ROC, не содержащего ни | z | = ∞ ни | z | = 0. ROC создает круговую полосу. Например,

${\displaystyle x[n]=0.5^{n}u[n]-0.75^{n}u[-n-1]}$

имеет полюса 0,5 и 0,75. ROC будет 0,5 <| z | <0,75, что не включает ни начало координат, ни бесконечность. Такая система называется системой смешанной причинности, поскольку она содержит причинный член (0.5) ⁿ u [ n ] и антикаузальный член - (0.75) ⁿ u [- n −1].

Стабильность системы также можно определить, зная РПЦ в одиночку. Если ROC содержит единичную окружность (т. Е. | Z | = 1), то система устойчива. В приведенных выше системах причинная система (Пример 2) устойчива, поскольку | z | > 0,5 содержит единичный круг.

Предположим, нам предоставлено Z-преобразование системы без ROC (т.е. неоднозначное x [n] ). Мы можем определить уникальный x [n], если нам нужно следующее:

• Стабильность
• Причинно-следственная связь

Для устойчивости ROC должен содержать единичный круг. Если нам нужна причинная система, тогда ROC должен содержать бесконечность, а функция системы будет правосторонней последовательностью. Если нам нужна антикаузальная система, тогда ROC должен содержать начало координат, а функция системы будет левосторонней последовательностью. Если нам нужна как стабильность, так и причинность, все полюса системной функции должны находиться внутри единичного круга.

Затем можно найти уникальный x [n] .

Свойства [ править ]

Свойства z-преобразования

	Область времени	Z-домен	Доказательство	ROC
Обозначение	${\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}}$	${\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}}$		${\displaystyle r_{2}<|z|<r_{1}}$
Линейность	${\displaystyle a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]}$	${\displaystyle a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)}$	${\displaystyle {\begin{aligned}X(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a_{1}x_{1}(n)+a_{2}x_{2}(n))z^{-n}\\&=a_{1}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}(n)z^{-n}+a_{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}\\&=a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)\end{aligned}}}$	Содержит ROC 1 ∩ ROC 2
Расширение времени	${\displaystyle x_{K}[n]={\begin{cases}x[r],&n=Kr\\0,&n\notin K\mathbb {Z} \end{cases}}}$ с ${\displaystyle K\mathbb {Z} :=\{Kr:r\in \mathbb {Z} \}}$	${\displaystyle X(z^{K})}$	${\displaystyle {\begin{aligned}X_{K}(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{K}(n)z^{-n}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x(r)z^{-rK}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x(r)(z^{K})^{-r}\\&=X(z^{K})\end{aligned}}}$	${\displaystyle R^{\frac {1}{K}}}$
Децимация	${\displaystyle x[Kn]}$	${\displaystyle {\frac {1}{K}}\sum _{p=0}^{K-1}X\left(z^{\tfrac {1}{K}}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{K}}p}\right)}$	ohio-state.edu   или   ee.ic.ac.uk
Временная задержка	${\displaystyle x[n-k]}$ с и${\displaystyle k>0}$${\displaystyle x:x[n]=0\ \forall n<0}$	${\displaystyle z^{-k}X(z)}$	${\displaystyle {\begin{aligned}Z\{x[n-k]\}&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-(j+k)}&&j=n-k\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}z^{-k}\\&=z^{-k}\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}\\&=z^{-k}\sum _{j=0}^{\infty }x[j]z^{-j}&&x[\beta ]=0,\beta <0\\&=z^{-k}X(z)\end{aligned}}}$	ROC, кроме z = 0, если k > 0, и z = ∞, если k <0
Время вперед	${\displaystyle x[n+k]}$ с ${\displaystyle k>0}$	Двустороннее Z-преобразование: $${\displaystyle z^{k}X(z)}$$ Одностороннее Z-преобразование: [9] $${\displaystyle z^{k}X(z)-z^{k}\sum _{n=0}^{k-1}x[n]z^{-n}}$$
Первое отличие назад	${\displaystyle x[n]-x[n-1]}$ с x [ n ] = 0 для n <0	${\displaystyle (1-z^{-1})X(z)}$		Содержит пересечение ROC X 1 (z) и z ≠ 0
Первая разница вперед	${\displaystyle x[n+1]-x[n]}$	${\displaystyle (z-1)X(z)-zx[0]}$
Обратное время	${\displaystyle x[-n]}$	${\displaystyle X(z^{-1})}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x(-n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(-n)z^{-n}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m)z^{m}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m){(z^{-1})}^{-m}\\&=X(z^{-1})\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{r_{1}}}<|z|<{\tfrac {1}{r_{2}}}}$
Масштабирование в z-области	${\displaystyle a^{n}x[n]}$	${\displaystyle X(a^{-1}z)}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\left\{a^{n}x[n]\right\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n}x(n)z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(a^{-1}z)^{-n}\\&=X(a^{-1}z)\end{aligned}}}$	${\displaystyle |a|r_{2}<|z|<|a|r_{1}}$
Комплексное сопряжение	${\displaystyle x^{*}[n]}$	${\displaystyle X^{*}(z^{*})}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x^{*}(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{*}(n)z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[x(n)(z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=X^{*}(z^{*})\end{aligned}}}$
Реальная часть	${\displaystyle \operatorname {Re} \{x[n]\}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left[X(z)+X^{*}(z^{*})\right]}$
Мнимая часть	${\displaystyle \operatorname {Im} \{x[n]\}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2j}}\left[X(z)-X^{*}(z^{*})\right]}$
Дифференциация	${\displaystyle nx[n]}$	${\displaystyle -z{\frac {dX(z)}{dz}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{nx(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n}\\&=z\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n-1}\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(-nz^{-n-1})\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n){\frac {d}{dz}}(z^{-n})\\&=-z{\frac {dX(z)}{dz}}\end{aligned}}}$	ОКР, если рационально;${\displaystyle X(z)}$ ROC возможно без границы, если иррационально [10]${\displaystyle X(z)}$
Свертка	${\displaystyle x_{1}[n]*x_{2}[n]}$	${\displaystyle X_{1}(z)X_{2}(z)}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x_{1}(n)*x_{2}(n)\}&={\mathcal {Z}}\left\{\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right\}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right]z^{-n}\\&=\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n-l)z^{-n}\right]\\&=\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)z^{-l}\right]\!\!\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}\right]\\&=X_{1}(z)X_{2}(z)\end{aligned}}}$	Содержит ROC 1 ∩ ROC 2
Взаимная корреляция	${\displaystyle r_{x_{1},x_{2}}=x_{1}^{*}[-n]*x_{2}[n]}$	${\displaystyle R_{x_{1},x_{2}}(z)=X_{1}^{*}({\tfrac {1}{z^{*}}})X_{2}(z)}$		Содержит пересечение ОКР и${\displaystyle X_{1}({\tfrac {1}{z^{*}}})}$${\displaystyle X_{2}(z)}$
Накопление	${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{n}x[k]}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}X(z)}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]z^{-n}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(x[n]+\cdots +x[-\infty ])z^{-n}\\&=X[z]\left(1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots \right)\\&=X[z]\sum _{j=0}^{\infty }z^{-j}\\&=X[z]{\frac {1}{1-z^{-1}}}\end{aligned}}}$
Умножение	${\displaystyle x_{1}[n]x_{2}[n]}$	${\displaystyle {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}({\tfrac {z}{v}})v^{-1}\mathrm {d} v}$		-

Теорема Парсеваля

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\quad =\quad {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\tfrac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v}$

Теорема о начальном значении : если x [ n ] причинно, то

${\displaystyle x[0]=\lim _{z\to \infty }X(z).}$

Теорема об окончательном значении : если полюса ( z −1) X ( z ) находятся внутри единичной окружности, то

${\displaystyle x[\infty ]=\lim _{z\to 1}(z-1)X(z).}$

Таблица общих пар Z-преобразований [ править ]

Здесь:

${\displaystyle u:n\mapsto u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}}$

- ступенчатая функция единицы (или Хевисайда) и

${\displaystyle \delta :n\mapsto \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}}$

представляет собой единичную импульсную функцию с дискретным временем (см. дельта-функцию Дирака, которая является версией с непрерывным временем). Две функции выбираются вместе, так что функция единичного шага представляет собой накопление (промежуточный итог) единичной импульсной функции.

	Сигнал, ${\displaystyle x[n]}$	Z-преобразование, ${\displaystyle X(z)}$	ROC
1	${\displaystyle \delta [n]}$	1	все z
2	${\displaystyle \delta [n-n_{0}]}$	${\displaystyle z^{-n_{0}}}$	${\displaystyle z\neq 0}$
3	${\displaystyle u[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|>1}$
4	${\displaystyle -u[-n-1]}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|<1}$
5	${\displaystyle nu[n]}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|>1}$
6	${\displaystyle -nu[-n-1]\,}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|<1}$
7	${\displaystyle n^{2}u[n]}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}}$	${\displaystyle |z|>1\,}$
8	${\displaystyle -n^{2}u[-n-1]\,}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}}$	${\displaystyle |z|<1\,}$
9	${\displaystyle n^{3}u[n]}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}}$	${\displaystyle |z|>1\,}$
10	${\displaystyle -n^{3}u[-n-1]}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}}$	${\displaystyle |z|<1\,}$
11	${\displaystyle a^{n}u[n]}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$
12	${\displaystyle -a^{n}u[-n-1]}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|<|a|}$
13	${\displaystyle na^{n}u[n]}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$
14	${\displaystyle -na^{n}u[-n-1]}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|<|a|}$
15	${\displaystyle n^{2}a^{n}u[n]}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$
16	${\displaystyle -n^{2}a^{n}u[-n-1]}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}}$	${\displaystyle |z|<|a|}$
17	${\displaystyle \left({\begin{array}{c}n+m-1\\m-1\end{array}}\right)a^{n}u[n]}$	${\displaystyle {\frac {1}{(1-az^{-1})^{m}}}}$, для положительного целого числа [10]${\displaystyle m}$	${\displaystyle |z|>|a|}$
18	${\displaystyle (-1)^{m}\left({\begin{array}{c}-n-1\\m-1\end{array}}\right)a^{n}u[-n-m]}$	${\displaystyle {\frac {1}{(1-az^{-1})^{m}}}}$, для положительного целого числа [10]${\displaystyle m}$	${\displaystyle |z|<|a|}$
19	${\displaystyle \cos(\omega _{0}n)u[n]}$	${\displaystyle {\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>1}$
20	${\displaystyle \sin(\omega _{0}n)u[n]}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>1}$
21 год	${\displaystyle a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]}$	${\displaystyle {\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$
22	${\displaystyle a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$

Связь с рядами Фурье и преобразованием Фурье [ править ]

Для значений в области , известной как единичный круг , мы можем выразить преобразование как функцию единственной действительной переменной ω путем определения . А двустороннее преобразование сводится к ряду Фурье :${\displaystyle z}$${\displaystyle |z|=1}$${\displaystyle z=e^{j\omega }}$

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ z^{-n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-j\omega n},}$

( Уравнение 4 )

которое также известно как преобразование Фурье с дискретным временем (ДВПФ) последовательности. Этот 2 π -периодической функция является периодическим суммированием из преобразования Фурье , что делает его широко используемым инструментом анализа. Чтобы понять это, позвольте быть преобразованием Фурье любой функции, выборки которой на некотором интервале T равны последовательности x [ n ]. Тогда ДВПФ последовательности x [ n ] можно записать следующим образом.${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle X(f)}$${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle \underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }\overbrace {x(nT)} ^{x[n]}\ e^{-j2\pi fnT}} _{\text{DTFT}}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X(f-k/T).}$

( Уравнение 5 )

Когда T имеет единицы секунд, имеет единицы герц . Сравнение двух серий показывает, что     это нормализованная частота с единицами радиан на выборку . Значение ω = 2 π соответствует Гц. И теперь, с заменой   Eq.4 может быть выражено через преобразование Фурье, X (•) :${\displaystyle \scriptstyle f}$${\displaystyle \scriptstyle \omega =2\pi fT}$${\displaystyle \scriptstyle f={\frac {1}{T}}}$${\displaystyle \scriptstyle f={\frac {\omega }{2\pi T}},}$ 

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-j\omega n}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\underbrace {X\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-{\tfrac {k}{T}}\right)} _{X\left({\frac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right)}.}$

( Уравнение 6 )

При изменении параметра T отдельные члены уравнения (5) перемещаются дальше друг от друга или сближаются вдоль оси f. Однако в уравнении 6 центры остаются на расстоянии 2 π друг от друга, а их ширина расширяется или сжимается. Когда последовательность x ( nT ) представляет собой импульсную характеристику системы LTI , эти функции также известны как ее частотная характеристика . Когда последовательность является периодической, ее ДВПФ расходится на одной или нескольких гармонических частотах и ​​ноль на всех остальных частотах. Это часто представлено использованием амплитудно- вариативной дельты Дирака.${\displaystyle x(nT)}$функции на частотах гармоник. Из-за периодичности существует только конечное число уникальных амплитуд, которые легко вычисляются с помощью гораздо более простого дискретного преобразования Фурье (ДПФ). (См. DTFT § Периодические данные .)

Связь с преобразованием Лапласа [ править ]

Билинейное преобразование [ править ]

Билинейное преобразование может быть использованы для преобразования непрерывного времени фильтров (представленные в области Лапласа) в дискретное время фильтров (представленных в Z-домене), и наоборот. Используется следующая замена:

${\displaystyle s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1)}}}$

преобразовать некоторую функцию в области Лапласа в функцию в Z-области ( преобразование Тастина ), или${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle H(z)}$

${\displaystyle z=e^{sT}\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}}$

из Z-области в область Лапласа. Посредством билинейного преобразования комплексная s-плоскость (преобразования Лапласа) отображается в комплексную z-плоскость (z-преобразования). Хотя это отображение (обязательно) является нелинейным, оно полезно тем, что отображает всю ось s-плоскости на единичный круг в z-плоскости. Таким образом, преобразование Фурье (которое является преобразованием Лапласа, вычисляемым на оси) становится преобразованием Фурье с дискретным временем. Это предполагает, что преобразование Фурье существует; то есть ось находится в области сходимости преобразования Лапласа.${\displaystyle j\omega }$${\displaystyle j\omega }$${\displaystyle j\omega }$

Помеченное преобразование [ править ]

Учитывая одностороннее Z-преобразование, X (z), функции с временной дискретизацией, соответствующее преобразование, помеченное звездочкой, производит преобразование Лапласа и восстанавливает зависимость от параметра дискретизации, T :

${\displaystyle {\bigg .}X^{*}(s)=X(z){\bigg |}_{\displaystyle z=e^{sT}}}$

Обратное преобразование Лапласа - это математическая абстракция, известная как функция с импульсной выборкой .

Линейное уравнение разности с постоянным коэффициентом [ править ]

Уравнение линейной разности постоянных коэффициентов (LCCD) представляет собой представление линейной системы, основанной на уравнении авторегрессионного скользящего среднего .

${\displaystyle \sum _{p=0}^{N}y[n-p]\alpha _{p}=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}}$

Обе части приведенного выше уравнения можно разделить на α ₀ , если оно не равно нулю, нормализуя α ₀ = 1, и уравнение LCCD можно записать

${\displaystyle y[n]=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}-\sum _{p=1}^{N}y[n-p]\alpha _{p}.}$

Эта форма уравнения LCCD позволяет сделать более явным, что «текущий» выход y [n] является функцией прошлых выходов y [n − p] , текущего входа x [n] и предыдущих входов x [n− q] .

Передаточная функция [ править ]

Принятие Z-преобразования приведенного выше уравнения (с использованием законов линейности и сдвига во времени) дает

${\displaystyle Y(z)\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}=X(z)\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}$

и переставляя результаты в

${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}{\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}}}={\frac {\beta _{0}+z^{-1}\beta _{1}+z^{-2}\beta _{2}+\cdots +z^{-M}\beta _{M}}{\alpha _{0}+z^{-1}\alpha _{1}+z^{-2}\alpha _{2}+\cdots +z^{-N}\alpha _{N}}}.}$

Нули и полюсы [ править ]

Из основной теоремы алгебры числителя имеет M корни ( что соответствует нулям H) , а знаменатель имеет N корни ( что соответствует полюсам). Переписываем передаточную функцию в терминах нулей и полюсов

${\displaystyle H(z)={\frac {(1-q_{1}z^{-1})(1-q_{2}z^{-1})\cdots (1-q_{M}z^{-1})}{(1-p_{1}z^{-1})(1-p_{2}z^{-1})\cdots (1-p_{N}z^{-1})}}}$

где q _k - k -й нуль, а p _k - k-й полюс. Нули и полюсы обычно являются сложными, и когда они нанесены на комплексную плоскость (z-плоскость), это называется графиком полюс – ноль .

Кроме того, могут существовать нули и полюсы в точках z = 0 и z = ∞. Если мы примем во внимание эти полюса и нули, а также нули и полюсы нескольких порядков, количество нулей и полюсов всегда будет одинаковым.

Разложив знаменатель на множители, можно использовать частичное дробное разложение, которое затем можно преобразовать обратно во временную область. Это приведет к появлению импульсной характеристики и линейного уравнения разности постоянных коэффициентов системы.

Выходной ответ [ править ]

Если такая система H (z) управляется сигналом X (z), то на выходе будет Y (z) = H (z) X (z) . Выполняя частичное дробное разложение на Y (z) и затем выполняя обратное Z-преобразование, можно найти выход y [n] . На практике часто бывает полезно дробно разложить перед умножением этой величины на z, чтобы сгенерировать форму Y (z), которая имеет члены с легко вычисляемыми обратными Z-преобразованиями.${\displaystyle \textstyle {\frac {Y(z)}{z}}}$

См. Также [ править ]

• Расширенное Z-преобразование
• Билинейное преобразование
• Разностное уравнение (рекуррентное соотношение)
• Дискретная свертка
• Дискретное преобразование Фурье
• Конечный импульсный отклик
• Формальный степенной ряд
• Производящая функция
• Преобразование производящей функции
• Преобразование Лапласа
• Серия Laurent
• Вероятностно-производящая функция
• Звездное преобразование
• Зак преобразовать
• Регуляризация дзета-функции

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Рефаат Эль Аттар, Конспекты лекций по Z-преобразованию , Lulu Press, Моррисвилл, Северная Каролина, 2005. ISBN 1-4116-1979-X . 
• Огата, Кацухико, Системы управления дискретным временем, 2-е изд. , Prentice-Hall Inc, 1995, 1987. ISBN 0-13-034281-5 . 
• Алан В. Оппенгейм и Рональд В. Шафер (1999). Обработка сигналов в дискретном времени, 2-е издание, Серия Prentice Hall Signal Processing. ISBN 0-13-754920-2 . 

Внешние ссылки [ править ]

• "Z-преобразование" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Численное обращение Z-преобразования
• Таблица Z-преобразований некоторых распространенных преобразований Лапласа
• Запись Mathworld о Z-преобразовании
• Потоки Z-Transform в Comp.DSP
• График взаимосвязи между s-плоскостью преобразования Лапласа и Z-плоскостью преобразования Z
• Видеообъяснение Z-Transform для инженеров
• Что такое z-преобразование?