В математике , А рекуррентное соотношение является уравнением , что рекурсивно определяет последовательность или многомерный массив значений после того , как один или более начальные условия; каждый следующий член последовательности или массива определяется как функция предыдущих терминов.
Термин « разностное уравнение» иногда (и для целей данной статьи) относится к определенному типу рекуррентного отношения. Однако «разностное уравнение» часто используется для обозначения любого рекуррентного отношения.
Определение [ править ]
Рекуррентное соотношение является уравнением , которое выражает каждый элемент последовательности в зависимости от предыдущих. Точнее, в случае, когда задействован только непосредственно предшествующий элемент, рекуррентное отношение имеет вид
где
- функция, где X - множество, которому должны принадлежать элементы последовательности. Для любого , это определяет уникальную последовательность с первым элементом, называемым начальным значением . [1]
Легко изменить определение для получения последовательностей, начиная с члена индекса 1 или выше.
Это определяет рекуррентное отношение первого порядка . Рекуррентное отношение порядка k имеет вид
где - функция, включающая k последовательных элементов последовательности. В этом случае для определения последовательности необходимы k начальных значений.
Примеры [ править ]
Факториал [ править ]
Факториала определяется рекуррентным соотношением
и начальное условие
Логистическая карта [ править ]
Примером рекуррентного отношения является логистическая карта :
с заданной постоянной r ; при начальном члене x 0 каждый последующий член определяется этим соотношением.
Решение рекуррентного отношения означает получение решения в замкнутой форме : нерекурсивной функции от n .
Числа Фибоначчи [ править ]
Повторяемость второго порядка, которой удовлетворяют числа Фибоначчи, является архетипом однородного линейного рекуррентного отношения с постоянными коэффициентами (см. Ниже). Последовательность Фибоначчи определяется с использованием повторения
с начальными условиями (начальные значения)
В явном виде рекуррентность приводит к уравнениям
и т.п.
Получаем последовательность чисел Фибоначчи, которая начинается
- 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
Повторяемость может быть решена описанными ниже методами, в результате чего получается формула Бине , которая включает степени двух корней характеристического многочлена t 2 = t + 1; производящая функция последовательности является рациональной функцией
Биномиальные коэффициенты [ править ]
Простой пример многомерного рекуррентного отношения дают биномиальные коэффициенты , которые подсчитывают количество способов выбора k элементов из набора n элементов. Их можно вычислить с помощью рекуррентного соотношения
с базовыми случаями . Использование этой формулы для вычисления значений всех биномиальных коэффициентов создает бесконечный массив, называемый треугольником Паскаля . Те же значения также могут быть вычислены напрямую по другой формуле, которая не является повторением, но требует умножения, а не просто сложения для вычисления:
Связь с разностными уравнениями в узком смысле [ править ]
Учитывая упорядоченную последовательность из действительных чисел : первое различие определяются как
Второе различие определяется как
который можно упростить до
В более общем смысле: k -я разность последовательности a n, записанной как , определяется рекурсивно как
(Последовательность и его различие связаны между собой биномиальным преобразованием ) . В более ограничительном определении разностного уравнения является уравнением , состоящим из более п и его к - я разностей. (Широко используемое более широкое определение трактует «разностное уравнение» как синоним «рекуррентного отношения». См., Например, рациональное разностное уравнение и матричное разностное уравнение .)
Собственно, нетрудно заметить, что,
Таким образом, разностное уравнение может быть определена как уравнение , которое включает в п , а п -1 , а п -2 и т.д. (или , что эквивалентно а п , а п +1 , а п + 2 и т.д.)
Поскольку разностные уравнения - очень распространенная форма повторения, некоторые авторы используют эти два термина как взаимозаменяемые. Например, разностное уравнение
эквивалентно рекуррентному соотношению
Таким образом, можно решить многие рекуррентные соотношения, перефразируя их как разностные уравнения, а затем решая разностное уравнение, аналогично тому, как решаются обыкновенные дифференциальные уравнения . Однако числа Аккермана являются примером рекуррентного отношения, которое не отображается в разностное уравнение, не говоря уже о точках решения дифференциального уравнения.
См. Исчисление шкалы времени для объединения теории разностных уравнений с теорией дифференциальных уравнений .
Уравнения суммирования относятся к разностным уравнениям, как интегральные уравнения относятся к дифференциальным уравнениям.
От последовательностей к сеткам [ править ]
Однопеременные или одномерные рекуррентные отношения касаются последовательностей (то есть функций, определенных на одномерных сетках). Многопараметрические или n-мерные рекуррентные отношения относятся к n-мерным сеткам. Функции, определенные на n-сетках, также можно изучать с помощью уравнений в частных разностях . [2]
Решение [ править ]
Решение однородных линейных рекуррентных соотношений с постоянными коэффициентами [ править ]
Корни характеристического многочлена [ править ]
Однородная линейная рекуррентность порядка d с постоянными коэффициентами - это уравнение вида
где коэффициенты d c i (для всех i ) являются константами, и .
Постоянная рекурсивная последовательность представляет собой последовательность , удовлетворяющая повторению этой формы. Решения этого повторения имеют d степеней свободы , т. Е. В качестве начальных значений могут приниматься любые значения, но тогда повторение однозначно определяет последовательность.
Те же коэффициенты дают характеристический многочлен (также «вспомогательный многочлен»)
чьи корни d играют решающую роль в поиске и понимании последовательностей, удовлетворяющих рекуррентности. Если корни r 1 , r 2 , ... различны, то каждое решение рекурсии принимает вид
где коэффициенты k i определены таким образом, чтобы соответствовать начальным условиям повторения. Когда одни и те же корни встречаются несколько раз, члены этой формулы, соответствующие второму и последующим вхождениям одного и того же корня, умножаются на возрастающие степени n . Например, если характеристический многочлен можно разложить на множители как ( x - r ) 3 , причем один и тот же корень r встречается три раза, то решение будет иметь вид
- [3]
А также числа Фибоначчей , другие последовательности константных-рекурсивный включают номера Лукаса и Лукас последовательность , то число Якобстали , то число Пеллы и в более общем случае решения для уравнения Пелля .
Для порядка 1 повторение
имеет решение а , п = г л с 0 = 1 и наиболее общее решение п = кр п с в 0 = K . Характеристический многочлен, приравненный к нулю ( характеристическое уравнение ), есть просто t - r = 0.
Решения таких рекуррентных соотношений более высокого порядка находятся систематическими средствами, часто с использованием того факта, что a n = r n является решением для рекуррентности именно тогда, когда t = r является корнем характеристического многочлена. К этому можно подойти напрямую или с помощью производящих функций ( формальных степенных рядов ) или матриц.
Рассмотрим, например, рекуррентное отношение вида
Когда у него есть решение того же общего вида, что и a n = r n ? Подставляя это предположение ( анзац ) в рекуррентное соотношение, находим, что
должно быть истинным для всех n > 1.
Разделив на r n −2 , мы получим, что все эти уравнения сводятся к одному и тому же:
которое является характеристическим уравнением рекуррентного соотношения. Решите относительно r, чтобы получить два корня λ 1 , λ 2 : эти корни известны как характеристические корни или собственные значения характеристического уравнения. В зависимости от природы корней получаются разные решения: если эти корни разные, мы имеем общее решение
а если они идентичны (когда A 2 + 4 B = 0 ), мы имеем
Это наиболее общее решение; две константы C и D могут быть выбраны на основе двух заданных начальных условий a 0 и a 1 для получения конкретного решения.
В случае комплексных собственных значений (которые также приводят к комплексным значениям для параметров решения C и D ) использование комплексных чисел можно исключить, переписав решение в тригонометрической форме. В этом случае мы можем записать собственные значения как Тогда можно показать, что
можно переписать как [4] : 576–585
где
Здесь E и F (или, что то же самое, G и δ) - действительные константы, которые зависят от начальных условий. С использованием
можно упростить решение, данное выше, как
где a 1 и a 2 - начальные условия, а
Таким образом, нет необходимости решать для λ 1 и λ 2 .
Во всех случаях - действительные различные собственные значения, действительные дублированные собственные значения и комплексно сопряженные собственные значения - уравнение является устойчивым (то есть, переменная a сходится к фиксированному значению [в частности, к нулю]) тогда и только тогда, когда оба собственных значения меньше единицы в абсолютное значение . В этом случае второго порядка это условие на собственные значения может быть показано [5] как эквивалентное | А | <1 - B <2, что эквивалентно | B | <1 и | А | <1 - Б .
Уравнение в приведенном выше примере было однородным в том смысле , что не было постоянного члена. Если начать с неоднородного повторения
с постоянным членом K , это может быть преобразовано в однородную форму следующим образом: Установившееся состояние находится путем установки b n = b n −1 = b n −2 = b *, чтобы получить
Тогда неоднородную рекуррентность можно переписать в однородном виде как
который можно решить, как указано выше.
Условие устойчивости, сформулированное выше в терминах собственных значений для случая второго порядка, остается в силе для общего случая n- го порядка: уравнение является устойчивым тогда и только тогда, когда все собственные значения характеристического уравнения меньше единицы по модулю.
Для однородного линейного рекуррентного отношения с постоянными коэффициентами порядка d пусть p ( t ) будет характеристическим многочленом (также «вспомогательным многочленом»)
такое, что каждый c i соответствует каждому c i в исходном рекуррентном соотношении (см. общую форму выше). Предположим, что λ - корень p ( t ) кратности r . Это означает, что ( t - λ) r делит p ( t ). Имеют место два следующих свойства:
- Каждая из r последовательностей удовлетворяет рекуррентному соотношению.
- Любую последовательность, удовлетворяющую рекуррентному соотношению, можно однозначно записать как линейную комбинацию решений, построенных в части 1, когда λ изменяется по всем различным корням p ( t ).
В результате этой теоремы однородное линейное рекуррентное соотношение с постоянными коэффициентами может быть решено следующим образом:
- Найдите характеристический многочлен p ( t ).
- Найдите корни p ( t ) с учетом кратности.
- Запишите a n как линейную комбинацию всех корней (с учетом кратности, как показано в теореме выше) с неизвестными коэффициентами b i .
- Это общее решение исходного рекуррентного отношения. ( q - кратность λ * )
- Приравняйте каждое из части 3 (включение n = 0, ..., d в общее решение рекуррентного отношения) с известными значениями из исходного рекуррентного отношения. Однако значения a n из исходного используемого рекуррентного отношения обычно не обязательно должны быть смежными: за исключением исключительных случаев, необходимо всего d из них (т. Е. Для исходного однородного линейного рекуррентного отношения порядка 3 можно использовать значения a 0 , а 1 , а 4 ). Этот процесс приведет к линейной системе d уравнений с dнеизвестные. Решение этих уравнений для неизвестных коэффициентов общего решения и включение этих значений обратно в общее решение приведет к получению частного решения исходного рекуррентного отношения, которое соответствует начальным условиям исходного рекуррентного отношения (а также всем последующим значениям исходного рекуррентного отношения ).
Метод решения линейных дифференциальных уравнений аналогичен описанному выше - «интеллектуальное предположение» ( анзац ) для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - это e λ x, где λ - комплексное число, которое определяется путем подстановки предположения в дифференциальное уравнение. .
Это не совпадение. Рассматривая ряд Тейлора решения линейного дифференциального уравнения:
видно, что коэффициенты ряда задаются n- й производной функции f ( x ), вычисленной в точке a . Дифференциальное уравнение представляет собой линейное разностное уравнение, связывающее эти коэффициенты.
Эту эквивалентность можно использовать для быстрого решения рекуррентного соотношения для коэффициентов в решении степенного ряда линейного дифференциального уравнения.
Практическое правило (для уравнений, в которых многочлен, умножающий первый член, не равен нулю в нуле), заключается в следующем:
и в более общем плане
Пример: рекуррентное соотношение для коэффициентов ряда Тейлора уравнения:
дан кем-то
или же
Этот пример показывает, как проблемы, обычно решаемые с использованием метода решения степенного ряда, преподаваемого в классах нормальных дифференциальных уравнений, могут быть решены намного проще.
Пример: дифференциальное уравнение
есть решение
Преобразование дифференциального уравнения в разностное уравнение коэффициентов Тейлора имеет вид
Легко видеть , что п - й производной е ах оценивается в точке 0 п .
Решение с помощью линейной алгебры [ править ]
Линейно рекурсивная последовательность y порядка n
идентичен
Расширенное с помощью n −1 тождеств , это уравнение n-го порядка переводится в систему матричных разностных уравнений из n линейных уравнений первого порядка,
Заметим , что вектор может быть вычислена по п применений матрицы компаньон , C , к исходному вектору состояния, . Таким образом, n -я запись искомой последовательности y является верхним компонентом .
Eigendecomposition , в собственных, и собственные векторы , используется для вычислений . Благодаря тому решающему факту, что система C сдвигает во времени каждый собственный вектор e , просто масштабируя его компоненты в λ раз,
то есть, со сдвигом во времени вариант собственного вектора, е , имеет компоненты А раз больше, компоненты собственного вектора силы Х , и, таким образом, рецидивирующий однородное линейное решение уравнения представляет собой комбинацию показательных функций, . Компоненты могут быть определены из начальных условий:
Решая для коэффициентов,
Это также работает с произвольными граничными условиями , не обязательно с начальными,
Это описание действительно не отличается от общего метода, приведенного выше, но более лаконично. Это также хорошо работает в таких ситуациях, как
где есть несколько связанных повторений. [6]
Решение с Z-преобразованиями [ править ]
Некоторые разностные уравнения - в частности, линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами - могут быть решены с помощью z-преобразований . В Z -преобразования представляют собой класс интегральных преобразований , которые приводят к более удобным алгебраическим преобразованиям и более простых решениям. Бывают случаи, когда получить прямое решение было бы практически невозможно, но решить проблему с помощью тщательно подобранного интегрального преобразования несложно.
Решение неоднородных линейных рекуррентных соотношений с постоянными коэффициентами [ править ]
Если повторение неоднородно, конкретное решение может быть найдено методом неопределенных коэффициентов, и решение представляет собой сумму решения однородного и частного решений. Другой метод решения неоднородной рекуррентности - это метод символического дифференцирования . Например, рассмотрим следующее повторение:
Это неоднородное повторение. Если мы подставим n ↦ n +1, мы получим рекуррентность
Вычитание исходной рекурсии из этого уравнения дает
или эквивалентно
Это однородная повторяемость, которую можно решить описанными выше методами. В общем случае, если линейная рекуррентность имеет вид
где - постоянные коэффициенты, а p ( n ) - неоднородность, то если p ( n ) - многочлен со степенью r , то эту неоднородную рекуррентность можно свести к однородной рекуррентности, применяя метод символического разложения r раз.
Если
- производящая функция неоднородности, производящая функция
неоднородной повторяемости
с постоянными коэффициентами c i получается из
Если P ( x ) - рациональная производящая функция, A ( x ) - также единица. Рассмотренный выше случай, когда p n = K - константа, возникает как один из примеров этой формулы с P ( x ) = K / (1 - x ). Другой пример, повторяемость с линейной неоднородностью, возникает при определении шизофренических чисел . Решение однородных повторений включается как p = P = 0.
Решение неоднородных рекуррентных соотношений первого порядка с переменными коэффициентами [ править ]
Более того, для общего неоднородного линейного рекуррентного соотношения первого порядка с переменными коэффициентами:
есть еще хороший способ решить эту проблему: [7]
Позволять
потом
Если мы применим формулу и возьмем предел h → 0, мы получим формулу для линейных дифференциальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами; сумма становится интегралом, а произведение становится экспоненциальной функцией интеграла.
Решение общих однородных линейных рекуррентных соотношений [ править ]
Многие однородные линейные рекуррентные соотношения могут быть решены с помощью обобщенных гипергеометрических рядов . Частные случаи из них приводят к рекуррентным соотношениям для ортогональных многочленов и многих специальных функций . Например, решение
дан кем-то
функции Бесселя , в то время как
решается
вырожденная гипергеометрическая серии . Последовательности, являющиеся решениями линейных разностных уравнений с полиномиальными коэффициентами , называются P-рекурсивными . Для этих конкретных рекуррентных уравнений известны алгоритмы, которые находят полиномиальные , рациональные или гипергеометрические решения.
Решение рациональных разностных уравнений первого порядка [ править ]
Рациональное разностное уравнение первого порядка имеет вид . Такое уравнение можно решить, записав нелинейное преобразование другой переменной, которая сама изменяется линейно. Затем можно использовать стандартные методы для решения линейного разностного уравнения в .
Стабильность [ править ]
Устойчивость линейных повторений высшего порядка [ править ]
Линейная рекуррентность порядка d ,
имеет характеристическое уравнение
Повторение является стабильным , что означает, что итерации асимптотически сходятся к фиксированному значению тогда и только тогда, когда собственные значения (т. Е. Корни характеристического уравнения), действительные или комплексные, меньше единицы по абсолютной величине.
Устойчивость линейных матричных повторений первого порядка [ править ]
В матричном разностном уравнении первого порядка
с вектором состояния x и матрицей перехода A , x сходится асимптотически к вектору устойчивого состояния x * тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы перехода A (действительные или комплексные) имеют абсолютное значение меньше 1.
Устойчивость нелинейных повторений первого порядка [ править ]
Рассмотрим нелинейное возвращение первого порядка
Это повторение является локально устойчивым , что означает, что оно сходится к фиксированной точке x * из точек, достаточно близких к x *, если наклон f в окрестности x * меньше единицы по модулю: то есть,
Нелинейное возвращение может иметь несколько фиксированных точек, и в этом случае некоторые фиксированные точки могут быть локально устойчивыми, а другие - локально нестабильными; для непрерывного f две соседние неподвижные точки не могут быть обе локально устойчивыми.
Нелинейное рекуррентное соотношение может также иметь цикл периода k для k > 1. Такой цикл является устойчивым, что означает, что он привлекает набор начальных условий положительной меры, если составная функция
с появлением f k раз является локально устойчивым по тому же критерию:
где x * - любая точка цикла.
В хаотическом рекуррентном соотношении переменная x остается в ограниченной области, но никогда не сходится к фиксированной точке или к циклу притяжения; любые неподвижные точки или циклы уравнения неустойчивы. См. Также логистическую карту , диадическую трансформацию и карту палатки .
Связь с дифференциальными уравнениями [ править ]
При численном решении обыкновенного дифференциального уравнения обычно встречается рекуррентное соотношение. Например, при решении задачи начального значения
с помощью метода Эйлера и шага h вычисляются значения
повторением
Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка могут быть дискретизированы точно аналитически, используя методы, указанные в статье о дискретизации .
Приложения [ править ]
Биология [ править ]
Некоторые из наиболее известных разностных уравнений возникли в результате попытки моделирования динамики популяции . Например, числа Фибоначчи когда-то использовались в качестве модели роста популяции кроликов.
Логистическое отображение либо используется непосредственно для роста модели населения, или в качестве отправной точки для более детальных моделей динамики популяций . В этом контексте связанные разностные уравнения часто используются для моделирования взаимодействия двух или более популяций. Например, модель Николсона – Бейли для взаимодействия паразит- хозяин дается выражением
где N t представляет хозяев, а P t - паразитов в момент времени t .
Уравнения интегроразличия - это форма рекуррентного соотношения, важная для пространственной экологии . Эти и другие разностные уравнения особенно подходят для моделирования одновольтных популяций.
Информатика [ править ]
Отношения рекуррентности также имеют фундаментальное значение при анализе алгоритмов . [8] [9] Если алгоритм спроектирован так, что он разбивает проблему на более мелкие подзадачи ( разделяй и властвуй ), время его выполнения описывается рекуррентным соотношением.
Простым примером является время, необходимое алгоритму для поиска элемента в упорядоченном векторе с элементами в худшем случае.
Наивный алгоритм будет искать слева направо, по одному элементу за раз. Худший из возможных сценариев - когда требуемый элемент является последним, поэтому количество сравнений равно .
Более лучший алгоритм называется двоичным поиском . Однако для этого требуется отсортированный вектор. Сначала он проверит, находится ли элемент в середине вектора. Если нет, то он проверит, больше или меньше средний элемент искомого. На этом этапе половину вектора можно отбросить, а алгоритм можно запустить снова на другой половине. Количество сравнений будет выражено
временная сложность которого будет .
Цифровая обработка сигналов [ править ]
При цифровой обработке сигналов рекуррентные отношения могут моделировать обратную связь в системе, где выходы в один момент времени становятся входами для будущего времени. Таким образом, они возникают в цифровых фильтрах с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) .
Например, уравнение для гребенчатого БИХ- фильтра задержки T с прямой связью выглядит следующим образом:
где - вход в момент времени t , - выход в момент времени t , а α контролирует, какая часть задержанного сигнала возвращается на выход. Из этого мы видим, что
и т.п.
Экономика [ править ]
Отношения рекуррентности, особенно линейные рекуррентные отношения, широко используются как в теоретической, так и в эмпирической экономике. [10] [11] В частности, в макроэкономике можно разработать модель различных широких секторов экономики (финансовый сектор, сектор товаров, рынок труда и т. Д.), В которой действия некоторых агентов зависят от лаговых переменных. Затем модель будет решена для текущих значений ключевых переменных ( процентная ставка , реальный ВВП и т. Д.) С точки зрения прошлых и текущих значений других переменных.
См. Также [ править ]
- Голономные последовательности
- Итерированная функция
- Ортогональные многочлены
- Рекурсия
- Рекурсия (информатика)
- Генератор Фибоначчи с запаздыванием
- Основная теорема (анализ алгоритмов)
- Доказательство сегментов точек круга
- Непрерывная дробь
- Расчет шкалы времени
- Комбинаторные принципы
- Бесконечный импульсный отклик
- Интегрирование по формулам приведения
- Математическая индукция
Ссылки [ править ]
Сноски [ править ]
- ^ Джейкобсон, Натан, Основная алгебра 2 (2-е изд.), § 0.4. стр.16.
- ^ Уравнения с частичными разностями , Sui Sun Cheng, CRC Press, 2003, ISBN 978-0-415-29884-1
- ^ Грин, Дэниел Х .; Кнут, Дональд Э. (1982), "2.1.1 Постоянные коэффициенты - A) Однородные уравнения", Математика для анализа алгоритмов (2-е изд.), Birkhäuser, p. 17.
- ^ Чан, Альфа С., Фундаментальные методы математической экономики , третье издание, McGraw-Hill, 1984.
- ↑ Папаниколау, Василис, «Об асимптотической устойчивости одного класса линейных разностных уравнений», Mathematics Magazine 69 (1), февраль 1996 г., стр. 34–43.
- ^ Маурер, Стивен Б .; Ралстон, Энтони (1998), Дискретная алгоритмическая математика (2-е изд.), А.К. Петерс, стр. 609, ISBN 9781568810911.
- ^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 05.07.2010 . Проверено 19 октября 2010 . CS1 maint: archived copy as title (link)
- ^ Кормен, Т. и др., Введение в алгоритмы , MIT Press, 2009
- ^ Р. Седжвик, Ф. Флажолет, Введение в анализ алгоритмов , Addison-Wesley, 2013
- ^ Стоки, Нэнси Л .; Лукас, Роберт Э., младший ; Прескотт, Эдвард С. (1989). Рекурсивные методы в экономической динамике . Кембридж: Издательство Гарвардского университета. ISBN 0-674-75096-9.
- ^ Юнгквист, Ларс ; Сарджент, Томас Дж. (2004). Рекурсивная макроэкономическая теория (второе изд.). Кембридж: MIT Press. ISBN 0-262-12274-X.
Библиография [ править ]
- Батчелдер, Пол М. (1967). Введение в линейные разностные уравнения . Dover Publications.
- Миллер, Кеннет С. (1968). Линейные разностные уравнения . WA Бенджамин.
- Филмор, Джей П .; Маркс, Моррис Л. (1968). «Линейные рекурсивные последовательности». SIAM Ред . 10 (3). С. 324–353. JSTOR 2027658 .
- Бруссо, Альфред (1971). Линейная рекурсия и последовательности Фибоначчи . Ассоциация Фибоначчи.
- Томас Х. Кормен , Чарльз Э. Лейзерсон , Рональд Л. Ривест и Клиффорд Штайн . Введение в алгоритмы , второе издание. MIT Press и McGraw-Hill, 1990. ISBN 0-262-03293-7 . Глава 4: Рецидивы, стр. 62–90.
- Грэм, Рональд Л .; Knuth, Donald E .; Паташник, Орен (1994). Конкретная математика: Фонд компьютерных наук (2-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-55802-5.
- Эндерс, Уолтер (2010). Прикладные эконометрические временные ряды (3-е изд.). Архивировано из оригинала на 2014-11-10.
- Калл, Пол; Флэхив, Мэри ; Робсон, Робби (2005). Разностные уравнения: от кроликов к хаосу . Springer. ISBN 0-387-23234-6. Глава 7.
- Жак, Ян (2006). Математика для экономики и бизнеса (Пятое изд.). Прентис Холл. стр. 551 -568. ISBN 0-273-70195-9. Глава 9.1: Разностные уравнения.
- Минь, Тан; Ван То, Тан (2006). «Использование производящих функций для решения линейных неоднородных рекуррентных уравнений» (PDF) . Proc. Int. Конф. Моделирование, моделирование и оптимизация, SMO'06 . С. 399–404.
- Полянин, Андрей Д. "Разностные и функциональные уравнения: точные решения" . в EqWorld - Мир математических уравнений.
- Полянин, Андрей Д. "Разностные и функциональные уравнения: методы" . в EqWorld - Мир математических уравнений.
- Ван, Сян-Шэн; Вонг, Родерик (2012). «Асимптотика ортогональных многочленов через рекуррентные соотношения». Анальный. Прил . 10 (2): 215–235. arXiv : 1101.4371 . DOI : 10.1142 / S0219530512500108 . S2CID 28828175 .
Внешние ссылки [ править ]
- «Отношение рекуррентности» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Вайсштейн, Эрик В. "Уравнение повторяемости" . MathWorld .
- "Индекс OEIS Rec" . Индекс OEIS на несколько тысяч примеров линейных повторений, отсортированных по порядку (количеству терминов) и сигнатуре (вектор значений постоянных коэффициентов)