Дифференциальное уравнение

Визуализация теплопередачи в корпусе насоса, созданная путем решения уравнения теплопроводности . Тепло генерируется внутри корпуса и охлаждается на границе, обеспечивая устойчивое распределение температуры.

В математике дифференциальное уравнение - это уравнение, которое связывает одну или несколько функций и их производные . ^[1] В приложениях функции обычно представляют физические величины, производные представляют скорость их изменения, а дифференциальное уравнение определяет взаимосвязь между ними. Такие отношения обычны; поэтому дифференциальные уравнения играют важную роль во многих дисциплинах, включая инженерию , физику , экономику и биологию .

В основном изучение дифференциальных уравнений состоит из изучения их решений (набора функций, удовлетворяющих каждому уравнению) и свойств их решений. Только простейшие дифференциальные уравнения разрешимы по явным формулам; однако многие свойства решений данного дифференциального уравнения могут быть определены без их точного вычисления.

Часто, когда выражение для решений в замкнутой форме недоступно, решения могут быть аппроксимированы численно с помощью компьютеров. Теория динамических систем делает упор на качественный анализ систем, описываемых дифференциальными уравнениями, в то время как многие численные методы были разработаны для определения решений с заданной степенью точности.

История [ править ]

Дифференциальные уравнения первого появились с изобретением исчисления по Ньютона и Лейбница . В главе 2 его 1671 работы Methodus fluxionum и др Serierum Infinitarum , ^[2] Исаак Ньютон перечислил три вида дифференциальных уравнений:

{\begin{aligned}&{\frac {dy}{dx}}=f(x)\\[5pt]&{\frac {dy}{dx}}=f(x,y)\\[5pt]&x_{1}{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}+x_{2}{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}=y\end{aligned}}

Во всех этих случаях $y$ - неизвестная функция от $x$ (или от $x 1$ и $x 2$ ), а $f$ - заданная функция.

Он решает эти и другие примеры, используя бесконечные серии, и обсуждает неединственность решений.

Якоб Бернулли предложил дифференциальное уравнение Бернулли в 1695 году. ^[3] Это обыкновенное дифференциальное уравнение вида

y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,

для которой в следующем году Лейбниц получил решения, упростив ее. ^[4]

Исторически проблема вибрирующей струны, такой как струна музыкального инструмента, изучалась Жаном ле Рондом Даламбером , Леонардом Эйлером , Даниэлем Бернулли и Жозефом-Луи Лагранжем . ^[5]^[6]^[7]^[8] В 1746 году Даламбер открыл одномерное волновое уравнение , а через десять лет Эйлер открыл трехмерное волновое уравнение. ^[9]

Уравнение Эйлера – Лагранжа было разработано в 1750-х годах Эйлером и Лагранжем в связи с их исследованиями проблемы таутохрон . Это проблема определения кривой, на которой взвешенная частица упадет в фиксированную точку за фиксированный промежуток времени, независимо от начальной точки. Лагранж решил эту проблему в 1755 году и отправил решение Эйлеру. Оба далее развили метод Лагранжа и применили его к механике , что привело к формулировке лагранжевой механики .

В 1822 году Фурье опубликовал свою работу по тепловому потоку в Théorie analytique de la chaleur (Аналитическая теория тепла) ^[10], в которой он основывал свои рассуждения на законе охлаждения Ньютона , а именно, что поток тепла между двумя соседними молекулами пропорционально крайне малой разнице их температур. В этой книге содержится предложение Фурье о его уравнении теплопроводности для кондуктивной диффузии тепла. Это уравнение в частных производных теперь преподается каждому студенту математической физики.

Пример [ править ]

В классической механике движение тела описывается его положением и скоростью при изменении значения времени. Законы Ньютона позволяют динамически выражать эти переменные (с учетом положения, скорости, ускорения и различных сил, действующих на тело) в виде дифференциального уравнения для неизвестного положения тела как функции времени.

В некоторых случаях это дифференциальное уравнение (называемое уравнением движения ) может быть решено явно.

Примером моделирования реальной проблемы с использованием дифференциальных уравнений является определение скорости шара, падающего в воздухе, с учетом только силы тяжести и сопротивления воздуха. Ускорение мяча по направлению к земле - это ускорение свободного падения за вычетом замедления из-за сопротивления воздуха. Сила тяжести считается постоянной, а сопротивление воздуха можно моделировать пропорционально скорости мяча. Это означает, что ускорение мяча, которое является производной от его скорости, зависит от скорости (а скорость зависит от времени). Для определения скорости как функции времени необходимо решить дифференциальное уравнение и проверить его справедливость.

Типы [ править ]

Дифференциальные уравнения можно разделить на несколько типов. Помимо описания свойств самого уравнения, эти классы дифференциальных уравнений могут помочь в выборе подхода к решению. Обычно используемые различия включают в себя то, является ли уравнение обычным или частичным, линейным или нелинейным, однородным или неоднородным. Этот список далеко не исчерпывающий; существует множество других свойств и подклассов дифференциальных уравнений, которые могут быть очень полезны в определенных контекстах.

Обыкновенные дифференциальные уравнения [ править ]

Обыкновенное дифференциальное уравнение ( ОДУ ) представляет собой уравнение , содержащее неизвестную функцию одной действительной или комплексной переменной $х$ , его производных, а также некоторые заданные функции $х$ . Неизвестная функция обычно представлена переменной (часто обозначаемой $y$ ), которая, следовательно, зависит от $x$ . Таким образом, $x$ часто называют независимой переменной уравнения. Термин « обыкновенный » используется в отличие от термина « уравнение в частных производных» , которое может относиться к более чем одной независимой переменной.

Линейные дифференциальные уравнения - это дифференциальные уравнения, линейные относительно неизвестной функции и ее производных. Их теория хорошо разработана, и во многих случаях их решения можно выразить в терминах интегралов .

Большинство ОДУ, встречающихся в физике, являются линейными. Следовательно, большинство специальных функций могут быть определены как решения линейных дифференциальных уравнений (см. Голономная функция ).

Поскольку, как правило, решения дифференциального уравнения не могут быть выражены выражением в замкнутой форме , численные методы обычно используются для решения дифференциальных уравнений на компьютере.

Уравнения с частными производными [ править ]

Парциальное дифференциальное уравнение ( ФДЭ ) представляет собой дифференциальное уравнение , которое содержит неизвестные многомерные функции и их частные производные . (В этом отличие от обычных дифференциальных уравнений , которые имеют дело с функциями одной переменной и их производными.) УЧП используются для формулирования задач, включающих функции нескольких переменных, и либо решаются в замкнутой форме, либо используются для создания соответствующего компьютера. модель .

PDE могут использоваться для описания широкого спектра явлений в природе, таких как звук , тепло , электростатика , электродинамика , поток жидкости , упругость или квантовая механика . Эти, казалось бы, различные физические явления можно формализовать аналогичным образом в терминах УЧП. Так же, как обыкновенные дифференциальные уравнения часто моделируют одномерные динамические системы , уравнения в частных производных часто моделируют многомерные системы . Стохастические дифференциальные уравнения в частных производных обобщают уравнения в частных производных для моделирования случайности .

Нелинейные дифференциальные уравнения [ править ]

Нелинейный дифференциальное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение , которое не является линейным уравнением относительно неизвестной функции и ее производных (линейность или нелинейность в аргументах функции не рассматривается здесь). Существует очень мало методов точного решения нелинейных дифференциальных уравнений; те, которые известны, обычно зависят от уравнения, имеющего определенные симметрии . Нелинейные дифференциальные уравнения могут демонстрировать очень сложное поведение на длительных интервалах времени, характерное для хаоса.. Даже фундаментальные вопросы существования, единственности и расширяемости решений нелинейных дифференциальных уравнений, а также корректности начальных и краевых задач для нелинейных уравнений в частных производных являются сложными задачами, и их разрешение в частных случаях считается значительным достижением в математике. теория (ср. существование и гладкость Навье – Стокса ). Однако, если дифференциальное уравнение является правильно сформулированным представлением значимого физического процесса, то можно ожидать, что оно имеет решение. ^[11]

Линейные дифференциальные уравнения часто появляются как приближения к нелинейным уравнениям. Эти приближения действительны только при ограниченных условиях. Например, уравнение гармонического осциллятора является приближением к уравнению нелинейного маятника, которое справедливо для колебаний малой амплитуды (см. Ниже).

Порядок уравнения [ править ]

Дифференциальные уравнения описываются их порядком, определяемым слагаемым с наивысшими производными . Уравнение, содержащее только первые производные, является дифференциальным уравнением первого порядка, уравнение , содержащее вторую производную, является дифференциальным уравнением второго порядка и т. Д. ^[12]^[13] Дифференциальные уравнения, описывающие природные явления, почти всегда содержат только производные первого и второго порядка, но есть некоторые исключения, такие как уравнение тонкой пленки , которое является уравнением в частных производных четвертого порядка.

Примеры [ править ]

В первой группе примеров u - неизвестная функция от x , а c и ω - константы, которые предполагается известными. Две широкие классификации как обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнений в частных производных состоят из различения линейных и нелинейных дифференциальных уравнений, а также однородных дифференциальных уравнений и неоднородных .

Неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение с линейными постоянными коэффициентами первого порядка:

{\frac {du}{dx}}=cu+x^{2}.

Однородное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка:

{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-x{\frac {du}{dx}}+u=0.

Однородное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянным коэффициентом второго порядка, описывающее гармонический осциллятор :

{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+\omega ^{2}u=0.

Неоднородное нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка:

{\frac {du}{dx}}=u^{2}+4.

Нелинейное (обусловленное синусоидой) обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее движение маятника длиной L :

L{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+g\sin u=0.

В следующей группе примеров неизвестная функция u зависит от двух переменных x и t или x и y .

Однородное линейное уравнение в частных производных первого порядка:

{\frac {\partial u}{\partial t}}+t{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.

Однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами в частных производных второго порядка эллиптического типа, уравнение Лапласа :

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.

Однородное нелинейное уравнение в частных производных третьего порядка:

{\frac {\partial u}{\partial t}}=6u{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}.

Существование решений [ править ]

Решение дифференциальных уравнений не похоже на решение алгебраических уравнений . Мало того, что их решения часто неясны, но и то, являются ли решения уникальными или вообще существуют, также являются предметом особого интереса.

Для задач первого порядка с начальным значением теорема существования Пеано дает один набор обстоятельств, при которых существует решение. Для любой точки в плоскости xy определите некоторую прямоугольную область , такую, что и находится внутри . Если нам дано дифференциальное уравнение и условие, что when , то существует локальное решение этой проблемы, если и оба являются непрерывными на . Это решение существует на некотором интервале с центром в точке . Решение не может быть уникальным. ( Другие результаты см. В разделе Обыкновенное дифференциальное уравнение .) $(a,b)$ $Z$ $Z=[l,m]\times [n,p]$ $(a,b)$ $Z$ ${\frac {dy}{dx}}=g(x,y)$ $y=b$ $x=a$ $g(x,y)$ ${\frac {\partial g}{\partial x}}$ $Z$ $a$

Однако это помогает нам только с проблемами начального значения первого порядка . Предположим, у нас есть линейная задача начального значения n-го порядка:

f_{n}(x){\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+\cdots +f_{1}(x){\frac {dy}{dx}}+f_{0}(x)y=g(x)

такой, что

y(x_{0})=y_{0},y'(x_{0})=y'_{0},y''(x_{0})=y''_{0},\ldots

Для любого ненулевого , если и непрерывны на некотором интервале, содержащем , единственно и существует. ^[14] $f_{n}(x)$ $\{f_{0},f_{1},\ldots \}$ $g$ $x_{0}$ $y$

Понятия, связанные с данным [ править ]

Дифференциальное уравнение задержки (DDE) представляет собой уравнение для функции одной переменной, обычно называют время , в котором производная функции в определенный момент времени дается в терминах значений функции в прежние времена.
Интегро-дифференциальное уравнение (IDE) представляет собой уравнение , которое сочетает в себе аспекты дифференциального уравнения и к интегральному уравнению .
Стохастическое дифференциальное уравнение (СД) является уравнением , в котором искомая величина является случайным процессом и уравнение включает некоторые известные случайные процессы, например, процесс Винер в случае уравнений диффузии.
Стохастическое дифференциальное уравнение (SPDE) представляет собой уравнение , которое обобщает СДУ , чтобы включать в себя процессы шума пространства-времени, с приложениями в квантовой теории поля и статистической механики .
Дифференциальное алгебраическое уравнение (ДАЭ) представляет собой дифференциальное уравнение , содержащее дифференциальные и алгебраические термины, приведенные в неявном виде.

Связь с разностными уравнениями [ править ]

Теория дифференциальных уравнений тесно связана с теорией разностных уравнений , в которой координаты принимают только дискретные значения, а взаимосвязь включает значения неизвестной функции или функций и значения в ближайших координатах. Многие методы вычисления численных решений дифференциальных уравнений или изучения свойств дифференциальных уравнений включают аппроксимацию решения дифференциального уравнения решением соответствующего разностного уравнения.

Приложения [ править ]

Изучение дифференциальных уравнений - обширная область чистой и прикладной математики , физики и техники . Все эти дисциплины связаны со свойствами дифференциальных уравнений различных типов. Чистая математика фокусируется на существовании и единственности решений, в то время как прикладная математика подчеркивает строгое обоснование методов приближения решений. Дифференциальные уравнения играют важную роль в моделировании практически всех физических, технических или биологических процессов, от движения небесных тел до конструкции мостов и взаимодействий между нейронами. Дифференциальные уравнения, такие как те, которые используются для решения реальных задач, не обязательно могут быть решаемыми напрямую, т. Е. Не имеют замкнутой формы.решения. Вместо этого решения можно аппроксимировать численными методами .

Многие фундаментальные законы физики и химии можно сформулировать в виде дифференциальных уравнений. В биологии и экономике дифференциальные уравнения используются для моделированияповедение сложных систем. Математическая теория дифференциальных уравнений впервые развивалась вместе с науками, в которых эти уравнения возникли и где результаты нашли применение. Однако различные проблемы, иногда возникающие в совершенно разных областях науки, могут привести к идентичным дифференциальным уравнениям. Когда бы это ни происходило, математическую теорию, лежащую в основе уравнений, можно рассматривать как объединяющий принцип, лежащий в основе различных явлений. В качестве примера рассмотрим распространение света и звука в атмосфере и волн на поверхности пруда. Все они могут быть описаны одним и тем же уравнением в частных производных второго порядка , волновым уравнением, что позволяет нам думать о свете и звуке как о волнах, очень похожих на знакомые волны в воде. Теплопроводность, теория которой была разработана Джозефом Фурье , регулируется другим уравнением в частных производных второго порядка - уравнением теплопроводности . Оказывается, многие диффузионные процессы, хотя и кажутся разными, описываются одним и тем же уравнением; Блэка-Шоулза уравнение финансов, например, связанные с уравнением теплопроводности.

Количество дифференциальных уравнений, получивших название, в различных областях науки свидетельствует о важности данной темы. См. Список названных дифференциальных уравнений .

Программное обеспечение [ править ]

Некоторые программы CAS могут решать дифференциальные уравнения. Стоит упомянуть эти программы CAS и их команды:

Клен : ^[15] dsolve
Mathematica : ^[16] DSolve []
SageMath : ^[17] desolve ()
Xcas : ^[18] desolve (y '= k * y, y)

См. Также [ править ]

Комплексное дифференциальное уравнение
Точное дифференциальное уравнение
Функционально-дифференциальное уравнение
Начальное состояние
Интегральные уравнения
Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Численные методы для уравнений в частных производных
Теорема Пикара – Линделёфа о существовании и единственности решений.
Отношение повторяемости , также известное как «разностное уравнение»
Абстрактное дифференциальное уравнение
Система дифференциальных уравнений

Ссылки [ править ]

↑ Деннис Г. Зилл (15 марта 2012 г.). Первый курс дифференциальных уравнений с приложениями моделирования . Cengage Learning. ISBN 978-1-285-40110-2.
^ Ньютон, Исаак. (около 1671). Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (Метод потоков и бесконечных рядов), опубликованный в 1736 г. [Opuscula, 1744, Vol. И. п. 66].
^ Бернулли, Якоб (1695), "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. De Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis" , Acta Eruditorum
^ Хайрер, Эрнст; Норсетт, Сиверт Пол; Ваннер, Герхард (1993), Решение обыкновенных дифференциальных уравнений I: нежесткие задачи , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56670-0
^ Фрэйзер, Крэйг (июль 1983). «Обзор эволюции динамики, теории колебаний с 1687 по 1742 год , Джона Т. Кэннона и Сигалии Достровски» (PDF) . Бюллетень (новая серия) Американского математического общества . 9 (1).
^ Уиллер, Джерард Ф .; Краммет, Уильям П. (1987). "Противоречие" Вибрирующая струна ". Являюсь. J. Phys. 55 (1): 33–37. Bibcode : 1987AmJPh..55 ... 33W . DOI : 10.1119 / 1.15311 .
^ Специальную коллекцию из 9 новаторских работ трех авторов см. В разделе Первое появление волнового уравнения: Даламбер, Леонард Эйлер, Даниэль Бернулли. - полемика о вибрирующих струнах (получено 13 ноября 2012 г.). Герман Х. Дж. Линге и сын.
^ Для получения информации о вкладе де Лагранжа в уравнение акустической волны см. « Акустика: введение в ее физические принципы и приложения». Аллан Д. Пирс, Acoustical Soc of America, 1989; страница 18. (проверено 9 декабря 2012 г.)
^ Speiser, Дэвид. Открывая принципы механики 1600-1800 , стр. 191 (Базель: Birkhäuser, 2008).
^ Фурье, Джозеф (1822). Théorie analytique de la chaleur (на французском языке). Париж: Фирмен Дидо Пер и Филс. OCLC 2688081 .
^ Бойс, Уильям Э .; ДиПрима, Ричард С. (1967). Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи (4-е изд.). Джон Вили и сыновья. п. 3.
^ Weisstein, Eric W . «Порядок обыкновенных дифференциальных уравнений». Из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/OrdinaryDifferentialEquationOrder.html
^ Порядок и степень дифференциального уравнения. Архивировано 1апреля2016 г. в Wayback Machine , по состоянию на декабрь 2015 г.
^ Zill, Деннис Г. (2001). Первый курс дифференциальных уравнений (5-е изд.). Брукс / Коул. ISBN 0-534-37388-7.
^ "dsolve - Справка по программированию Maple" . www.maplesoft.com . Проверено 9 мая 2020 .
^ "DSolve - Документация по языку Wolfram Language" . www.wolfram.com . Проверено 28 июня 2020 .
^ «Основы алгебры и исчисления - Учебник Sage v9.0» . doc.sagemath.org . Проверено 9 мая 2020 .
^ "Символическая алгебра и математика с Xcas" (PDF) .

Дальнейшее чтение [ править ]

Abbott, P .; Нил, Х. (2003). Научитесь исчислению . С. 266–277.
Blanchard, P .; Девани, Р.Л . ; Холл, GR (2006). Дифференциальные уравнения . Томпсон.
Boyce, W .; DiPrima, R .; Мид, Д. (2017). Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи . Вайли.
Коддингтон, EA; Левинсон, Н. (1955). Теория обыкновенных дифференциальных уравнений . Макгроу-Хилл.
Инс, Э.Л. (1956). Обыкновенные дифференциальные уравнения . Дувр.
Джонсон, В. (1913). Трактат об обыкновенных и дифференциальных уравнениях с частными производными . Джон Вили и сыновья.В исторической математической коллекции Мичиганского университета
Полянин А.Д .; Зайцев, В. Ф. (2003). Справочник точных решений обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е изд.). Бока-Ратон: Chapman & Hall / CRC Press. ISBN 1-58488-297-2.
Портер, Р.И. (1978). «XIX Дифференциальные уравнения». Дальнейший элементарный анализ .
Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0.
Даниэль Цвиллинджер (12 мая 2014 г.). Справочник по дифференциальным уравнениям . Elsevier Science. ISBN 978-1-4832-6396-0.

Внешние ссылки [ править ]

В Викицитатнике есть цитаты, связанные с: Дифференциальное уравнение.

В Викиучебнике есть книга на тему: Обыкновенные дифференциальные уравнения.

В Викиверситете есть учебные ресурсы о дифференциальных уравнениях

В Wikisource есть текст статьи « Дифференциальное уравнение» из Британской энциклопедии 1911 года .

СМИ, связанные с дифференциальными уравнениями на Викискладе?
Лекции по дифференциальным уравнениям MIT Open CourseWare Videos
Онлайн-заметки / Дифференциальные уравнения Пол Докинз, Университет Ламара
Дифференциальные уравнения , математика SOS
Введение в моделирование с помощью дифференциальных уравнений Введение в моделирование с помощью дифференциальных уравнений с критическими замечаниями.
Математический помощник в инструменте Web Symbolic ODE, использующий Maxima
Точные решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Коллекция ODE и DAE моделей физических систем MATLAB models
Заметки о Diffy Qs: дифференциальные уравнения для инженеров Вводный учебник по дифференциальным уравнениям Иржи Лебля из UIUC
Khan Academy Видеоплейлист по дифференциальным уравнениям. Темы первого года обучения по дифференциальным уравнениям.
MathDiscuss Видео плейлист по дифференциальным уравнениям

[Zill2012-1] Деннис Г. Зилл (15 марта 2012 г.). Первый курс дифференциальных уравнений с приложениями моделирования . Cengage Learning. ISBN 978-1-285-40110-2.

[2] Ньютон, Исаак. (около 1671). Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (Метод потоков и бесконечных рядов), опубликованный в 1736 г. [Opuscula, 1744, Vol. И. п. 66].

[3] Бернулли, Якоб (1695), "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. De Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis" , Acta Eruditorum

[4] Хайрер, Эрнст; Норсетт, Сиверт Пол; Ваннер, Герхард (1993), Решение обыкновенных дифференциальных уравнений I: нежесткие задачи , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56670-0

[5] Фрэйзер, Крэйг (июль 1983). «Обзор эволюции динамики, теории колебаний с 1687 по 1742 год , Джона Т. Кэннона и Сигалии Достровски» (PDF) . Бюллетень (новая серия) Американского математического общества . 9 (1).

[6] Уиллер, Джерард Ф .; Краммет, Уильям П. (1987). "Противоречие" Вибрирующая струна ". Являюсь. J. Phys. 55 (1): 33–37. Bibcode : 1987AmJPh..55 ... 33W . DOI : 10.1119 / 1.15311 .

[7] Специальную коллекцию из 9 новаторских работ трех авторов см. В разделе Первое появление волнового уравнения: Даламбер, Леонард Эйлер, Даниэль Бернулли. - полемика о вибрирующих струнах (получено 13 ноября 2012 г.). Герман Х. Дж. Линге и сын.

[8] Для получения информации о вкладе де Лагранжа в уравнение акустической волны см. « Акустика: введение в ее физические принципы и приложения». Аллан Д. Пирс, Acoustical Soc of America, 1989; страница 18. (проверено 9 декабря 2012 г.)

[Speiser-9] Speiser, Дэвид. Открывая принципы механики 1600-1800 , стр. 191 (Базель: Birkhäuser, 2008).

[10] Фурье, Джозеф (1822). Théorie analytique de la chaleur (на французском языке). Париж: Фирмен Дидо Пер и Филс. OCLC 2688081 .

[11] Бойс, Уильям Э .; ДиПрима, Ричард С. (1967). Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи (4-е изд.). Джон Вили и сыновья. п. 3.

[12] Weisstein, Eric W . «Порядок обыкновенных дифференциальных уравнений». Из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/OrdinaryDifferentialEquationOrder.html

[13] Порядок и степень дифференциального уравнения. Архивировано 1апреля2016 г. в Wayback Machine , по состоянию на декабрь 2015 г.

[14] Zill, Деннис Г. (2001). Первый курс дифференциальных уравнений (5-е изд.). Брукс / Коул. ISBN 0-534-37388-7.

[15] "dsolve - Справка по программированию Maple" . www.maplesoft.com . Проверено 9 мая 2020 .

[16] "DSolve - Документация по языку Wolfram Language" . www.wolfram.com . Проверено 28 июня 2020 .

[17] «Основы алгебры и исчисления - Учебник Sage v9.0» . doc.sagemath.org . Проверено 9 мая 2020 .

[18] "Символическая алгебра и математика с Xcas" (PDF) .

[1]

vтеМатематика ( разделы математики )
Фонды	Теория категорий Теория информации Математическая логика Философия математики Теория множеств
Алгебра	Абстрактный Коммутативный Элементарный Теория групп Линейный Полилинейный Универсальный
Анализ	Исчисление Реальный анализ Комплексный анализ Дифференциальные уравнения Функциональный анализ Гармонический анализ
Дискретный	Комбинаторика Теория графов Теория порядка Теория игры
Геометрия	Алгебраический Аналитический Дифференциальный Дискретный Евклидово Конечный
Теория чисел	Арифметика Алгебраическая теория чисел Аналитическая теория чисел Диофантова геометрия
Топология	Алгебраический Дифференциальный Геометрический
Применяемый	Теория управления Математическая биология Математическая химия Математическая экономика Математические финансы Математическая физика Математическая психология Математическая социология Математическая статистика Исследование операций Вероятность Статистика
Вычислительная	Информатика Теория вычислений Числовой анализ Оптимизация Компьютерная алгебра
похожие темы	История математики Развлекательная математика Математика и искусство Математическое образование
Категория Портал Commons ВикиПроект

vтеОсновные темы анализа
Исчисление : интеграция Дифференциация Дифференциальные уравнения ( обыкновенные - частные ) Основная теорема исчисления Вариационное исчисление Векторное исчисление Тензорное исчисление Списки интегралов Таблица производных
Реальный анализ Комплексный анализ Функциональный анализ Фурье-анализ Гармонический анализ Теория меры Теория представлений Функции Непрерывная функция Специальные функции Предел Серии бесконечность
Математический портал