Дифференциальное уравнение Бернулли

В математике , обыкновенное дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением Бернулли , если она имеет вид

{\ Displaystyle у '+ п (х) у = Q (х) у ^ {п},}

где это вещественное число . Некоторые авторы допускают любое действительное , ^[1]^[2], тогда как другие требуют, чтобы оно не было 0 или 1. ^[3]^[4] Уравнение было впервые обсуждено в 1695 году Якобом Бернулли , в честь которого оно названо. Однако самое раннее решение было предложено Готфридом Лейбницем , который опубликовал свой результат в том же году и чей метод используется до сих пор. ^[5] ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$

Уравнения Бернулли являются особенными, поскольку они являются нелинейными дифференциальными уравнениями с известными точными решениями. Примечательным частным случаем уравнения Бернулли является логистическое дифференциальное уравнение .

Преобразование в линейное дифференциальное уравнение [ править ]

Когда , дифференциальное уравнение является линейным . Когда , это отделимо . В этих случаях могут применяться стандартные методы решения уравнений такой формы. Для и замена сводит любое уравнение Бернулли к линейному дифференциальному уравнению . Например, в случае замены в дифференциальном уравнении получается уравнение , которое является линейным дифференциальным уравнением. ${\ displaystyle n = 0}$ ${\ Displaystyle п = 1}$ ${\ Displaystyle п \ neq 0}$ ${\ Displaystyle п \ neq 1}$ $u=y^{1-n}$ $n=2$ $u=y^{-1}$ ${\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{x}}y=xy^{2}$ ${\frac {du}{dx}}-{\frac {1}{x}}u=-x$

Решение [ править ]

Пусть и $x_{0}\in (a,b)$

\left\{{\begin{array}{ll}z:(a,b)\rightarrow (0,\infty )\ ,&{\textrm {if}}\ \alpha \in \mathbb {R} \setminus \{1,2\},\\z:(a,b)\rightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\}\ ,&{\textrm {if}}\ \alpha =2,\\\end{array}}\right.

- решение линейного дифференциального уравнения

z'(x)=(1-\alpha )P(x)z(x)+(1-\alpha )Q(x).

Тогда у нас есть решение $y(x):=[z(x)]^{\frac {1}{1-\alpha }}$

y'(x)=P(x)y(x)+Q(x)y^{\alpha }(x)\ ,\ y(x_{0})=y_{0}:=[z(x_{0})]^{\frac {1}{1-\alpha }}.

И для каждого такого дифференциального уравнения, для всех, что у нас есть в качестве решения . $\alpha >0$ $y\equiv 0$ $y_{0}=0$

Пример [ править ]

Рассмотрим уравнение Бернулли

y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}

(в данном случае - уравнение Риккати ). Постоянная функция - это решение. Деление по урожайности $y=0$ $y^{2}$

y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}

Замена переменных дает уравнения

{\begin{aligned}u={\frac {1}{y}}\;&,~u'={\frac {-y'}{y^{2}}}\\-u'-{\frac {2}{x}}u&=-x^{2}\\u'+{\frac {2}{x}}u&=x^{2}\end{aligned}}

которое можно решить с помощью интегрирующего множителя

M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}\,dx}=e^{2\ln x}=x^{2}.

Умножая на , $M(x)$

u'x^{2}+2xu=x^{4}.

Левая часть может быть представлена как производная от обращения правила произведения . Применяя цепное правило и интегрируя обе части по результатам в уравнениях $ux^{2}$ $x$

{\begin{aligned}\int \left(ux^{2}\right)'dx&=\int x^{4}\,dx\\ux^{2}&={\frac {1}{5}}x^{5}+C\\{\frac {1}{y}}x^{2}&={\frac {1}{5}}x^{5}+C\end{aligned}}

Решение для IS $y$

y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}.

Заметки [ править ]

^ Zill, Деннис Г. (2013). Первый курс дифференциальных уравнений с приложениями моделирования (10-е изд.). Бостон, Массачусетс: Cengage Learning . п. 73. ISBN 9780357088364.
^ Стюарт, Джеймс (2015). Исчисление: Ранние трансцендентальные (8-е изд.). Бостон, Массачусетс: Cengage Learning . п. 625. ISBN 9781305482463.
↑ Розов, Н. Х. (2001) [1994], "Уравнение Бернулли" , Энциклопедия математики , EMS Press
^ Тешл, Джеральд (2012). «1.4. Поиск явных решений» (PDF) . Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Аспирантура по математике . Провиденс, Род-Айленд : Американское математическое общество . п. 15. eISSN 2376-9203 . ISBN 978-0-8218-8328-0. ISSN 1065-7339 . Zbl 1263.34002 .
^ Паркер, Адам Э. (2013). "Кто решил дифференциальное уравнение Бернулли и как они это сделали?" (PDF) . Журнал математики колледжа . 44 (2): 89–97. ISSN 2159-8118 - через Математическую ассоциацию Америки .

Ссылки [ править ]

Бернулли, Якоб (1695), "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. De Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis", Acta Eruditorum. Цитируется по Hairer, Nørsett & Wanner (1993) .
Хайрер, Эрнст; Норсетт, Сиверт Пол; Ваннер, Герхард (1993), Решение обыкновенных дифференциальных уравнений I: нежесткие задачи , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56670-0.

Внешние ссылки [ править ]

«Уравнение Бернулли» . PlanetMath .
«Дифференциальное уравнение» . PlanetMath .
«Указатель дифференциальных уравнений» . PlanetMath .

[Zill_10E-1] Zill, Деннис Г. (2013). Первый курс дифференциальных уравнений с приложениями моделирования (10-е изд.). Бостон, Массачусетс: Cengage Learning . п. 73. ISBN 9780357088364.

[Stewart_Calculus-2] Стюарт, Джеймс (2015). Исчисление: Ранние трансцендентальные (8-е изд.). Бостон, Массачусетс: Cengage Learning . п. 625. ISBN 9781305482463.

[EOM-3] Розов, Н. Х. (2001) [1994], "Уравнение Бернулли" , Энциклопедия математики , EMS Press

[Teschl-4] Тешл, Джеральд (2012). «1.4. Поиск явных решений» (PDF) . Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Аспирантура по математике . Провиденс, Род-Айленд : Американское математическое общество . п. 15. eISSN 2376-9203 . ISBN 978-0-8218-8328-0. ISSN 1065-7339 . Zbl 1263.34002 .

[5] Паркер, Адам Э. (2013). "Кто решил дифференциальное уравнение Бернулли и как они это сделали?" (PDF) . Журнал математики колледжа . 44 (2): 89–97. ISSN 2159-8118 - через Математическую ассоциацию Америки .

[1]