Правило продукта

Геометрическая иллюстрация доказательства правила продукта

В исчислении , то правило продукт представляет собой формулу , используемую , чтобы найти производные продуктов из двух или более функций . Это может быть указано как

${\ Displaystyle (е \ cdot g) '= f' \ cdot g + f \ cdot g '}$

или в обозначениях Лейбница

${\ displaystyle {\ dfrac {d} {dx}} (u \ cdot v) = {\ dfrac {du} {dx}} \ cdot v + u \ cdot {\ dfrac {dv} {dx}}.}$

Правило может быть расширено или обобщено на многие другие ситуации, в том числе на продукты с несколькими функциями, на правило для производных продукта более высокого порядка и на другие контексты.

Открытие [ править ]

Открытие этого правила приписывают Готфриду Лейбницу , который продемонстрировал его с помощью дифференциалов . ^[1] (Однако Дж. М. Чайлд, переводчик статей Лейбница, ^[2] утверждает, что это связано с Исааком Барроу .) Вот аргумент Лейбница: пусть u ( x ) и v ( x ) - две дифференцируемые функции от x . Тогда дифференциал uv равен

${\ Displaystyle {\ begin {align} d (u \ cdot v) & {} = (u + du) \ cdot (v + dv) -u \ cdot v \\ & {} = u \ cdot dv + v \ cdot du + du \ cdot дв. \ конец {выровнено}}}$

Поскольку термин du · dv «ничтожен» (по сравнению с du и dv ), Лейбниц пришел к выводу, что

${\ Displaystyle d (и \ cdot v) = v \ cdot du + u \ cdot dv}$

и это действительно дифференциальная форма правила произведения. Если разделить на дифференциал dx , получим

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} (u \ cdot v) = v \ cdot {\ frac {du} {dx}} + u \ cdot {\ frac {dv} {dx}}}$

который также можно записать в обозначениях Лагранжа как

${\ Displaystyle (и \ cdot v) '= v \ cdot u' + и \ cdot v '.}$

Примеры [ править ]

• Предположим, мы хотим дифференцировать f ( x ) = x ² sin ( x ). Используя правило произведения, мы получаем производную f ′ ( x ) = 2 x sin ( x ) + x ² cos ( x ) (поскольку производная x ² равна 2 x, а производная синусоидальной функции является функцией косинуса ).
• Частным случаем правила произведения является правило множественных констант , которое гласит: если c - число, а f ( x ) - дифференцируемая функция, то cf ( x ) также дифференцируема, и ее производная равна ( cf ) ′ ( x ) = c  f ′ ( x ). Это следует из правила произведения, поскольку производная любой константы равна нулю. Это в сочетании с правилом сумм для производных показывает, что дифференцирование линейно .
• Правило интегрирования по частям выводится из правила продукта, как и (слабая версия) правила частного . (Это «слабая» версия, поскольку она не доказывает, что фактор дифференцируема, а только говорит, какова его производная, если она дифференцируема.)

Доказательства [ править ]

Доказательство факторинга (из первых принципов) [ править ]

Пусть h ( x ) = f ( x ) g ( x ) и предположим, что каждая из f и g дифференцируема в x . Мы хотим доказать, что h дифференцируема в точке x и что ее производная h ′ ( x ) задается формулой f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) . Сделать это,${\ Displaystyle f (x) g (x + \ Delta x) -f (x) g (x + \ Delta x)}$ (который равен нулю и, следовательно, не изменяет значение) добавляется к числителю, чтобы разрешить его факторизацию, а затем используются свойства пределов.

${\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\big [}f(x+\Delta x)-f(x){\big ]}\cdot g(x+\Delta x)+f(x)\cdot {\big [}g(x+\Delta x)-g(x){\big ]}}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\cdot \underbrace {\lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)} _{\text{See the note below.}}+\lim _{\Delta x\to 0}f(x)\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{aligned}}}$

Дело в том, что

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)=g(x)}$

выводится из теоремы о непрерывности дифференцируемых функций.

Краткое доказательство [ править ]

По определению, если дифференцируемы в, то мы можем написать${\displaystyle f,g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle x}$

${\displaystyle f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\psi _{1}(h)\qquad \qquad g(x+h)=g(x)+g'(x)h+\psi _{2}(h)}$

такое что тоже написано . Потом:${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\psi _{1}(h)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\psi _{2}(h)}{h}}=0,}$ ${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2}\sim o(h)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}fg(x+h)-fg(x)&=(f(x)+f'(x)h+\psi _{1}(h))(g(x)+g'(x)h+\psi _{2}(h))-fg(x)\\&=f(x)g(x)+f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)h-fg(x)+{\text{other terms}}\\&=f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)h+o(h)\\[12pt]\end{aligned}}}$

«Другие термины» состоят из таких элементов, как и это не трудно показать , что все они Разделив и переходя к пределу при малых дает результат.${\displaystyle f(x)\psi _{2}(h),f'(x)g'(x)h^{2}}$${\displaystyle hf'(x)\psi _{1}(h).}$${\displaystyle o(h).}$${\displaystyle h}$${\displaystyle h}$

Кварталы [ править ]

Существует доказательство с использованием умножения на четверть квадрата, которое опирается на правило цепочки и на свойства функции четверти квадрата (обозначенной здесь как q , то есть с ):${\displaystyle q(x)={\tfrac {x^{2}}{4}}}$

${\displaystyle f=q(u+v)-q(u-v),}$

Различие обеих сторон:

${\displaystyle {\begin{aligned}f'&=q'(u+v)(u'+v')-q'(u-v)(u'-v')\\[4pt]&=\left({1 \over 2}(u+v)(u'+v')\right)-\left({1 \over 2}(u-v)(u'-v')\right)\\[4pt]&={1 \over 2}(uu'+vu'+uv'+vv')-{1 \over 2}(uu'-vu'-uv'+vv')\\[4pt]&=vu'+uv'\\[4pt]&=uv'+u'v\end{aligned}}}$

Цепное правило [ править ]

Правило произведения можно рассматривать как частный случай правила цепочки для нескольких переменных.

${\displaystyle {d(ab) \over dx}={\frac {\partial (ab)}{\partial a}}{\frac {da}{dx}}+{\frac {\partial (ab)}{\partial b}}{\frac {db}{dx}}=b{\frac {da}{dx}}+a{\frac {db}{dx}}.}$

Нестандартный анализ [ править ]

Пусть u и v - непрерывные функции от x , а dx , du и dv - бесконечно малые в рамках нестандартного анализа , в частности гиперреальные числа . Использование st для обозначения стандартной функции части, которая связывает конечному гиперреалистичному числу бесконечно близкое к нему вещественное, это дает

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d(uv)}{dx}}&=\operatorname {st} \left({\frac {(u+du)(v+dv)-uv}{dx}}\right)\\[4pt]&=\operatorname {st} \left({\frac {uv+u\cdot dv+v\cdot du+dv\cdot du-uv}{dx}}\right)\\[4pt]&=\operatorname {st} \left({\frac {u\cdot dv+(v+dv)\cdot du}{dx}}\right)\\[4pt]&=u{\frac {dv}{dx}}+v{\frac {du}{dx}}.\end{aligned}}}$

По сути, это было доказательством Лейбница , использующим трансцендентный закон однородности (вместо стандартной части, приведенной выше).

Гладкий анализ бесконечно малых [ править ]

В контексте подхода Ловера к бесконечно малым, пусть dx будет нильквадратным бесконечно малым. Тогда du  =  u ′  dx и dv  =  v  ′  dx , так что

${\displaystyle {\begin{aligned}d(uv)&=(u+du)(v+dv)-uv\\&=uv+u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv-uv\\&=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv\\&=u\cdot dv+v\cdot du\,\!\end{aligned}}}$

поскольку

${\displaystyle du\,dv=u'v'(dx)^{2}=0.}$

Обобщения [ править ]

Произведение более чем двух факторов [ править ]

Правило продукта может быть обобщено на продукты более чем двух факторов. Например, для трех факторов мы имеем

${\displaystyle {\frac {d(uvw)}{dx}}={\frac {du}{dx}}vw+u{\frac {dv}{dx}}w+uv{\frac {dw}{dx}}.}$

Для набора функций у нас есть${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left(\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\right)\prod _{j=1,j\neq i}^{k}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right).}$

Логарифмическая производная обеспечивает более простое выражение последней формы, а также прямое доказательство того, что не предполагает какую - либо рекурсии . Logatithmic производной от функции F , обозначаемый здесь Logder ( е ) , является производной от логарифма функции. Следует, что

${\displaystyle \operatorname {Logder} (f)={\frac {f'}{f}}.}$

Учитывая, что логарифм продукта является суммой логарифмов факторов, правило сумм для производных сразу дает

${\displaystyle \operatorname {Logder} (f_{1}\cdots f_{k})=\sum _{i=1}^{k}\operatorname {Logder} (f_{i}).}$

Последнее указанное выше выражение производной продукта получается путем умножения обоих членов этого уравнения на произведение ${\displaystyle f_{i}.}$

Высшие производные [ править ]

Его также можно обобщить до общего правила Лейбница для n- й производной произведения двух множителей, символически расширив его согласно биномиальной теореме :

${\displaystyle d^{n}(uv)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot d^{(n-k)}(u)\cdot d^{(k)}(v).}$

Примененная к определенной точке x , приведенная выше формула дает:

${\displaystyle (uv)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).}$

Кроме того, для n- й производной произвольного числа факторов:

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}\right)^{(n)}=\sum _{j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{k}=n}{n \choose j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}^{(j_{i})}.}$

Высшие частные производные [ править ]

Для частных производных имеем ^[3]

${\displaystyle {\partial ^{n} \over \partial x_{1}\,\cdots \,\partial x_{n}}(uv)=\sum _{S}{\partial ^{|S|}u \over \prod _{i\in S}\partial x_{i}}\cdot {\partial ^{n-|S|}v \over \prod _{i\not \in S}\partial x_{i}}}$

где индекс S пробегает все 2 ^п подмножеств из {1, ..., п } и | S | это количество элементов из S . Например, когда n = 3 ,

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}(uv)\\[6pt]={}&u\cdot {\partial ^{3}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\\[6pt]&+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\cdot {\partial v \over \partial x_{3}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{1}}+{\partial ^{3}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot v.\end{aligned}}}$

Банахово пространство [ править ]

Предположим, что X , Y и Z - банаховы пространства (включая евклидово пространство ), а B  : X × Y → Z - непрерывный билинейный оператор . Тогда B дифференцируема, и ее производная в точке ( x , y ) в X × Y является линейным отображением D _{( x , y )} B  : X × Y → Z, заданным формулой

${\displaystyle (D_{\left(x,y\right)}\,B)\left(u,v\right)=B\left(u,y\right)+B\left(x,v\right)\qquad \forall (u,v)\in X\times Y.}$

Выводы в абстрактной алгебре [ править ]

В абстрактной алгебре правило произведения используется для определения того, что называется производным , а не наоборот.

В векторном исчислении [ править ]

Правило произведения распространяется на скалярное умножение , скалярные произведения и перекрестные произведения векторных функций следующим образом. ^[4]

Для скалярного умножения:${\displaystyle (f\cdot \mathbf {g} )'=f'\cdot \mathbf {g} +f\cdot \mathbf {g} '}$

Для точечных продуктов:${\displaystyle (\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\cdot \mathbf {g} +\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} '}$

Для перекрестных произведений:${\displaystyle (\mathbf {f} \times \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\times \mathbf {g} +\mathbf {f} \times \mathbf {g} '}$

Существуют также аналоги для других аналогов производной: если f и g - скалярные поля, то существует правило произведения с градиентом :

$${\displaystyle \nabla (f\cdot g)=\nabla f\cdot g+f\cdot \nabla g}$$

Приложения [ править ]

Среди приложений правила произведения есть доказательство того, что

${\displaystyle {d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}}$

когда n является положительным целым числом (это правило верно, даже если n не является положительным или не целым числом, но доказательство этого должно опираться на другие методы). Доказательство проводится математической индукцией по показателю n . Если n  = 0, то x ⁿ является константой и nx ^{n  - 1} = 0. В этом случае правило выполняется, потому что производная постоянной функции равна 0. Если правило выполняется для любого конкретного показателя n , то для следующего значения n  +1, имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}{d \over dx}x^{n+1}&{}={d \over dx}\left(x^{n}\cdot x\right)\\[12pt]&{}=x{d \over dx}x^{n}+x^{n}{d \over dx}x\qquad {\mbox{(the product rule is used here)}}\\[12pt]&{}=x\left(nx^{n-1}\right)+x^{n}\cdot 1\qquad {\mbox{(the induction hypothesis is used here)}}\\[12pt]&{}=(n+1)x^{n}.\end{aligned}}}$

Следовательно, если предложение верно для n , оно верно и для  n  + 1, а значит, и для всех натуральных n .

См. Также [ править ]

• Обратные функции и дифференцирование

Ссылки [ править ]