Неявная функция

В математике , неявное уравнение представляет собой отношение вида R ( х ₁ , ..., х _п ) = 0 , где R является функцией нескольких переменных (часто полином ). Например, неявное уравнение единичной окружности : x ² + y ² - 1 = 0 .

Неявная функция является функцией , которая определяется неявно посредством неявного уравнения, сопоставляя одну из переменных (далее значения ) с другими (то аргументами ). ^{[1] : 204–206} Таким образом, неявная функция для y в контексте единичной окружности неявно определяется как x ² + f ( x ) ² - 1 = 0 . Это неявное уравнение определяет f как функцию от x, только если −1 ≤ x ≤ 1 и рассматриваются только неотрицательные (или неположительные) значения для значений функции.

Теорема о неявной функции обеспечивает условия , при которых некоторых виды отношений определяют неявную функцию, а именно отношения , определенные как функции индикатора от нулевого множества некоторой непрерывно дифференцируемой многофакторной функции.

Примеры [ править ]

Обратные функции [ править ]

Обычный тип неявной функции - это обратная функция . Не все функции имеют уникальную обратную функцию. Если g является функцией x , имеющей единственный обратный, то обратная функция g , называемая g − ¹ , является единственной функцией, дающей решение уравнения

${\ Displaystyle у = г (х)}$

для x через y . Тогда это решение можно записать как

${\displaystyle x=g^{-1}(y)\,.}$

Определение g ⁻¹ как обратного к g является неявным определением. Для некоторых функций g , g ⁻¹ ( y ) может быть явно записано в виде выражения в замкнутой форме - например, если g ( x ) = 2 x - 1 , то g ⁻¹ ( y ) =1/2( у + 1) . Однако часто это невозможно или только путем введения новой нотации (как в примере журнала продукта ниже).

Интуитивно обратная функция получается из g , меняя роли зависимых и независимых переменных.

Пример. Журнал произведения - это неявная функция, дающая решение для x уравнения y - xe ^x = 0 .

Алгебраические функции [ править ]

Алгебраическая функция является функцией , которая удовлетворяет полиномиальное уравнение, коэффициенты которого являются сами многочлены. Например, алгебраическая функция от одной переменной x дает решение относительно y уравнения

${\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0\,,}$

где коэффициенты a _i ( x ) являются полиномиальными функциями от x . Эта алгебраическая функция может быть записана как правая часть решения уравнения y = f ( x ) . Написанная таким образом, f - многозначная неявная функция.

Алгебраические функции играют важную роль в математическом анализе и алгебраической геометрии . Простой пример алгебраической функции дается левой частью уравнения единичной окружности:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0\,.}$

Решение относительно y дает явное решение:

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\,.}$

Но даже без указания этого явного решения можно ссылаться на неявное решение уравнения единичной окружности как y = f ( x ) , где f - многозначная неявная функция.

Хотя явные решения могут быть найдены для уравнений, которые являются квадратичными , кубическими и квартичными по y , то же самое в общем случае неверно для уравнений пятой и более высоких степеней, таких как

${\displaystyle y^{5}+2y^{4}-7y^{3}+3y^{2}-6y-x=0\,.}$

Тем не менее, можно по-прежнему ссылаться на неявное решение y = f ( x ) с использованием многозначной неявной функции f .

Предостережения [ править ]

Не каждое уравнение R ( x , y ) = 0 подразумевает график однозначной функции, одним из ярких примеров является уравнение круга. Другой пример - неявная функция, заданная формулой x - C ( y ) = 0, где C - кубический многочлен, имеющий «горб» на графике. Таким образом, для того, чтобы неявная функция была истинной (однозначной) функцией, может потребоваться использовать только часть графика. Неявная функция иногда может быть успешно определена как истинная функция только после "увеличения" некоторой части x-оси и «срезание» некоторых нежелательных функциональных ветвей. Затем можно записать уравнение, выражающее y как неявную функцию других переменных.

Определяющее уравнение R ( x , y ) = 0 может иметь и другие патологии. Например, уравнение x = 0 вообще не подразумевает функцию f ( x ), дающую решения для y ; это вертикальная линия. Чтобы избежать подобной проблемы, на допустимые типы уравнений или на область часто накладываются различные ограничения . Теорема о неявной функции обеспечивает единообразный способ обращения с такими патологиями.

Неявная дифференциация [ править ]

В исчислении метод, называемый неявным дифференцированием, использует цепное правило для дифференцирования неявно определенных функций.

Чтобы дифференцировать неявную функцию y ( x ) , определяемую уравнением R ( x , y ) = 0 , обычно невозможно решить ее явно для y, а затем дифференцировать. Вместо этого можно полностью дифференцировать R ( x , y ) = 0 относительно x и y, а затем решить полученное линейное уравнение дляdy/dxчтобы явно получить производную через x и y . Даже когда можно явно решить исходное уравнение, формула, полученная в результате полного дифференцирования, в целом намного проще и удобнее в использовании.

Примеры [ править ]

Пример 1. Рассмотрим

${\displaystyle y+x+5=0\,.}$

Это уравнение легко решить относительно y , давая

${\displaystyle y=-x-5\,,}$

где правая часть - явный вид функции y ( x ) . Тогда дифференциация даетdy/dx= -1 .

В качестве альтернативы можно полностью дифференцировать исходное уравнение:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {dx}{dx}}+{\frac {d}{dx}}(5)&=0\,;\\[6px]{\frac {dy}{dx}}+1+0&=0\,.\end{aligned}}}$

Решение для dy/dx дает

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-1\,,}$

тот же ответ, что и полученный ранее.

Пример 2. Примером неявной функции, для которой неявное дифференцирование проще, чем использование явного дифференцирования, является функция y ( x ), определяемая уравнением

${\displaystyle x^{4}+2y^{2}=8\,.}$

Чтобы явно дифференцировать это по x , нужно сначала получить

${\displaystyle y(x)=\pm {\sqrt {\frac {8-x^{4}}{2}}}\,,}$

а затем дифференцируйте эту функцию. Это создает две производные: одну для y ≥ 0 и другую для y <0 .

Неявно дифференцировать исходное уравнение существенно проще:

${\displaystyle 4x^{3}+4y{\frac {dy}{dx}}=0\,,}$

давая

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {-4x^{3}}{4y}}=-{\frac {x^{3}}{y}}\,.}$

Пример 3. Часто трудно или невозможно явно решить для y , и неявное дифференцирование - единственный возможный метод дифференцирования. Примером может служить уравнение

${\displaystyle y^{5}-y=x\,.}$

Невозможно алгебраически выразить y явно как функцию от x , и поэтому нельзя найтиdy/dxявным дифференцированием. Используя неявный метод,dy/dx можно получить, дифференцируя уравнение, чтобы получить

${\displaystyle 5y^{4}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}\,,}$

куда dx/dx= 1 . Факторингdy/dx показывает, что

${\displaystyle \left(5y^{4}-1\right){\frac {dy}{dx}}=1\,,}$

что дает результат

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{5y^{4}-1}}\,,}$

который определен для

${\displaystyle y\neq \pm {\frac {1}{\sqrt[{4}]{5}}}\quad {\text{and}}\quad y\neq \pm {\frac {i}{\sqrt[{4}]{5}}}\,.}$

Общая формула производной неявной функции [ править ]

Если R ( x , y ) = 0 , производная неявной функции y ( x ) дается формулой ^{[2] : §11.5}

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\,{\frac {\partial R}{\partial x}}\,}{\frac {\partial R}{\partial y}}}=-{\frac {R_{x}}{R_{y}}}\,,}$

где R _х и R _у обозначают частные производные от R по х и у .

Приведенная выше формула является результатом использования правила обобщенной цепочки для получения полной производной по x обеих сторон R ( x , y ) = 0 :

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,}$

следовательно

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial x}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,}$

который, когда решен для dy/dx, дает выражение выше.

Теорема о неявной функции [ править ]

Пусть R ( x , y ) - дифференцируемая функция двух переменных, а ( a , b ) - пара действительных чисел такая, что R ( a , b ) = 0 . Если∂ R/∂ y≠ 0 , то R ( х , у ) = 0 определяет неявную функцию, дифференцируемые в некоторых достаточно малых окрестностях из ( в , б ) ; другими словами, существует дифференцируемая функция f, которая определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки a , такая что R ( x , f ( x )) = 0 для x в этой окрестности.

Условие ∂ R/∂ y≠ 0 означает , что ( , б ) является регулярной точкой из неявных кривых неявного уравнения R ( х , у ) = 0 , где касательный не по вертикали.

Говоря менее техническим языком, неявные функции существуют и могут быть дифференцированы, если кривая имеет не вертикальную касательную. ^{[2] : §11.5}

В алгебраической геометрии [ править ]

Рассмотрим отношение вида R ( x ₁ ,…, x _n ) = 0 , где R - многочлен с несколькими переменными. Набор значений переменных, удовлетворяющих этому соотношению, называется неявной кривой, если n = 2, и неявной поверхностью, если n = 3 . Неявные уравнения составляют основу алгебраической геометрии , основным предметом изучения которой являются одновременные решения нескольких неявных уравнений, левые части которых являются полиномами. Эти множества одновременных решений называются аффинными алгебраическими множествами .

В дифференциальных уравнениях [ править ]

Решения дифференциальных уравнений обычно выражаются неявной функцией. ^[3]

Приложения в экономике [ править ]

Предельная ставка замещения [ править ]

В экономике , когда набор уровней R ( x , y ) = 0 является кривой безразличия для количеств x и y, потребленных двух товаров, абсолютное значение неявной производнойdy/dxинтерпретируется как предельная норма замещения двух товаров: насколько больше y нужно получить, чтобы не потерять одну единицу  x .

Предельная ставка технической замены [ править ]

Аналогичным образом , иногда заданный уровень R ( L , K ) представляет собой изокванта , показывающий различные комбинации используемых величин L труда и K от физического капитала , каждый из которых будет приводить к получению того же заданного количества продукции некоторой пользы. В этом случае модуль неявной производнойdK/длинтерпретируется как предельная норма технического замещения между двумя факторами производства: насколько больше капитала должна использовать фирма, чтобы произвести такой же объем продукции с использованием одной единицы труда меньше.

Оптимизация [ править ]

Часто в экономической теории некоторая функция, такая как функция полезности или функция прибыли, должна быть максимизирована относительно вектора выбора x, даже если целевая функция не ограничена какой-либо конкретной функциональной формой. Теорема о неявной функции гарантирует, что условия первого порядка оптимизации определяют неявную функцию для каждого элемента оптимального вектора x * вектора выбора x . Когда прибыль максимизируется, обычно результирующими неявными функциями являются функция спроса на труд и функции предложения.различных товаров. Когда полезность максимизируется, обычно результирующими неявными функциями являются функция предложения труда и функции спроса на различные товары.

Кроме того, влияние этой проблемы в параметрах на й * - частные производные неявной функции - могут быть выражены как полные производные системы условий первого порядка найти с помощью общей дифференциации .

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Бинмор, KG (1983). «Неявные функции» . Исчисление . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. С. 198–211. ISBN 0-521-28952-1.
• Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа . Бостон: Макгроу-Хилл . С.  223–228 . ISBN 0-07-054235-X.
• Саймон, Карл П .; Блюм, Лоуренс (1994). «Неявные функции и их производные» . Математика для экономистов . Нью-Йорк: У.В. Нортон. С. 334–371. ISBN 0-393-95733-0.

Внешние ссылки [ править ]

• "Неявная дифференциация, что здесь происходит?" . 3Синий1Коричневый . Сущность исчисления. 3 мая 2017 г. - через YouTube .