Вторая производная

В исчислении , то вторая производная , или вторая производная , из функции F является производной от производной F . Грубо говоря, вторая производная измеряет, как изменяется сама скорость изменения величины; например, вторая производная положения объекта по времени - это мгновенное ускорение объекта или скорость, с которой скорость объекта изменяется во времени. В обозначениях Лейбница :

${\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ frac {d \ mathbf {v}} {dt}} = {\ frac {d ^ {2} {\ boldsymbol {x}}} {dt ^ {2}}} ,}$

где a - ускорение, v - скорость, t - время, x - положение, а d - мгновенная «дельта» или изменение. Последнее выражение - вторая производная от позиции (x) по времени.${\ displaystyle {\ tfrac {d ^ {2} {\ boldsymbol {x}}} {dt ^ {2}}}}$

На графике функции вторая производная соответствует кривизне или вогнутости графика. График функции с положительной второй производной вогнут вверх, а график функции с отрицательной второй производной - наоборот.

Правило второй производной степени [ править ]

Правило мощности для первой производной, если применяется дважды, будет производить второй производной мощности правило следующим образом :

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ left [x ^ {n} \ right] = {\ frac {d} {dx}} {\ frac {d} { dx}} \ left [x ^ {n} \ right] = {\ frac {d} {dx}} \ left [nx ^ {n-1} \ right] = n {\ frac {d} {dx}} \ left [x ^ {n-1} \ right] = n (n-1) x ^ {n-2}.}$

Обозначение [ править ]

Обычно обозначают вторую производную функции . ^{[1] [2] [3]} То есть:${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f '' (х)}$

${\ displaystyle f '' = \ left (f '\ right)'}$

При использовании обозначений Лейбница для производных вторая производная зависимой переменной y по отношению к независимой переменной x записывается как

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}}.}$

Это обозначение получено из следующей формулы:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).}$

Альтернативная нотация [ править ]

Как было отмечено в предыдущем разделе, стандартное обозначение Лейбница для второй производной - . Однако эта форма не поддается алгебраическим манипуляциям. То есть, хотя она сформирована как дробь дифференциалов, дробь не может быть разделена на части, члены не могут быть отменены и т. Д. Однако это ограничение можно исправить, используя альтернативную формулу для второй производной. Этот вывод получается из применения правила частного к первой производной. ^[4] Это дает формулу:${\textstyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}$

${\displaystyle y''(x)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)={\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-{\frac {dy}{dx}}{\frac {d^{2}x}{dx^{2}}}}$

В этой формуле представляет собой дифференциальный оператор применяется к , т.е. , представляет собой применение дифференциального оператора в два раза, то есть, и относится к квадрату дифференциального оператора применительно к , т.е. .${\displaystyle du}$${\displaystyle u}$${\displaystyle d(u)}$${\displaystyle d^{2}u}$${\displaystyle d(d(u))}$${\displaystyle du^{2}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle (d(u))^{2}}$

Когда написано таким образом (и принимая во внимание значение обозначений, приведенных выше), членами второй производной можно свободно манипулировать, как и любым другим алгебраическим термином. Например, формула обратной функции для второй производной может быть выведена из алгебраических манипуляций с приведенной выше формулой, а также цепным правилом для второй производной. Вопрос о том, является ли внесение такого изменения в обозначение достаточно полезным, чтобы оправдать затраты, все еще обсуждается. ^[5]

Пример [ править ]

Учитывая функцию

${\displaystyle f(x)=x^{3},}$

производная от f - это функция

${\displaystyle f'(x)=3x^{2}.}$

Вторая производная от f - это производная от f ′ , а именно

${\displaystyle f''(x)=6x.}$

Связь с графиком [ править ]

Участок от до . Касательная линия синего цвета, если кривая вогнута вверх, зеленого цвета, когда кривая вогнута вниз, и красного цвета в точках перегиба (0, / 2 и ).${\displaystyle f(x)=\sin(2x)}$${\displaystyle -\pi /4}$${\displaystyle 5\pi /4}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$

Вогнутость [ править ]

Вторая производная функции f может использоваться для определения вогнутости графика f . ^[3] Функция, вторая производная которой положительна, будет вогнутой вверх (также называемой выпуклой), что означает, что касательная линия будет лежать под графиком функции. Точно так же функция, вторая производная которой отрицательна, будет вогнута вниз (также называемая просто вогнутой), а ее касательные линии будут лежать над графиком функции.

Точки перегиба [ править ]

Если вторая производная функции меняет знак, график функции переключается с вогнутой вниз на вогнутую вверх или наоборот. Точка, в которой это происходит, называется точкой перегиба . Предполагая, что вторая производная является непрерывной, она должна принимать нулевое значение в любой точке перегиба, хотя не каждая точка, в которой вторая производная равна нулю, обязательно является точкой перегиба.

Тест второй производной [ править ]

Связь между второй производной и графиком может использоваться для проверки того, является ли стационарная точка для функции (т. Е. Точка, где ) локальным максимумом или локальным минимумом . Конкретно,${\displaystyle f'(x)=0}$

• Если , то имеет локальный максимум в .${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)<0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$
• Если , то имеет локальный минимум в .${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)>0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$
• Если второй тест производной ничего не говорит о точке , то о возможной точке перегиба.${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)=0}$${\displaystyle x}$

Причину, по которой вторая производная дает такие результаты, можно увидеть с помощью аналогии с реальным миром. Рассмотрим транспортное средство, которое сначала движется вперед с большой скоростью, но с отрицательным ускорением. Ясно, что положение транспортного средства в точке, где скорость достигает нуля, будет максимальным расстоянием от исходного положения - по истечении этого времени скорость станет отрицательной, и транспортное средство обратится в обратном направлении. То же самое верно и для минимума, для транспортного средства, которое сначала имеет очень отрицательную скорость, но положительное ускорение.

Лимит [ править ]

Для второй производной можно написать единственный предел :

${\displaystyle f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.}$

Предел называется второй симметричной производной . ^{[6] [7]} Обратите внимание, что вторая симметричная производная может существовать, даже если (обычная) вторая производная отсутствует.

Выражение справа можно записать как отношение разности частных разностей:

${\displaystyle {\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}.}$

Этот предел можно рассматривать как непрерывную версию второго различия для последовательностей .

Однако наличие указанного выше предела не означает, что функция имеет вторую производную. Приведенный выше предел просто дает возможность вычислить вторую производную, но не дает определения. Контрпримером является функция знака , которая определяется как: ^[1]${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}}$

Знаковая функция не является непрерывной в нуле, поэтому второй производной для не существует. Но указанный выше предел существует для :${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatorname {sgn}(-h)}{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.\end{aligned}}}$

Квадратичное приближение [ править ]

Так же, как первая производная связана с линейными приближениями , вторая производная связана с наилучшим квадратичным приближением для функции f . Это квадратичная функция , первая и вторая производные которой совпадают с производными функции f в данной точке. Формула наилучшего квадратичного приближения функции f вокруг точки x = a :

${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+{\tfrac {1}{2}}f''(a)(x-a)^{2}.}$

Это квадратичное приближение является полиномом Тейлора второго порядка для функции с центром в точке x  =  a .

Собственные значения и собственные векторы второй производной [ править ]

Для многих комбинаций граничных условий могут быть получены явные формулы для собственных значений и собственных векторов второй производной . Например, предполагая однородные граничные условия Дирихле (т. Е. ), Собственные значения равны, а соответствующие собственные векторы (также называемые собственными функциями ) равны . Здесь,${\displaystyle x\in [0,L]}$${\displaystyle v(0)=v(L)=0}$${\displaystyle \lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}}$${\displaystyle v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)}$${\displaystyle v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x),\,j=1,\ldots ,\infty .}$

Для других хорошо известных случаев см. Собственные значения и собственные векторы второй производной .

Обобщение на более высокие измерения [ править ]

Гессен [ править ]

Вторая производная обобщается на более высокие измерения через понятие вторых частных производных . Для функции f : R ³  →  R они включают три частичных второго порядка

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}},{\text{ and }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}$

и смешанные частичные

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}},{\text{ and }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}.}$

Если и изображение функции, и домен имеют потенциал, то они укладываются в симметричную матрицу, известную как гессиан . Собственные значения этой матрицы могут быть использованы для реализации многопараметрического аналога теста второй производной. (См. Также второй тест частной производной .)

Лапласиан [ править ]

Другое распространенное обобщение второй производной - лапласиан . Это дифференциальный оператор (или ^[1] ), определяемый формулой${\displaystyle \nabla ^{2}}$${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$

Лапласиан функции равен дивергенция от градиента , и след от матрицы Гесса.

См. Также [ править ]

• Чирикание , вторая производная от мгновенной фазы
• Конечная разность , используемая для аппроксимации второй производной
• Тест второй частной производной
• Симметрия вторых производных

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Распечатать [ редактировать ]

• Антон, Ховард; Бивенс, Ирландия; Дэвис, Стивен (2 февраля 2005 г.), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (8-е изд.), Нью-Йорк: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5
• Апостол, Том М. (июнь 1967 г.), Calculus, Vol. 1: Исчисление с одной переменной с введением в линейную алгебру , 1 (2-е изд.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1
• Апостол, Том М. (июнь 1969 г.), Calculus, Vol. 2. Исчисление с несколькими переменными и линейная алгебра с приложениями , 1 (2-е изд.), Wiley, ISBN. 978-0-471-00007-5
• Ивс, Ховард (2 января 1990 г.), Введение в историю математики (6-е изд.), Брукс Коул, ISBN 978-0-03-029558-4
• Ларсон, Рон; Хостетлер, Роберт П .; Эдвардс, Брюс Х. (28 февраля 2006 г.), Исчисление: ранние трансцендентные функции (4-е изд.), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5
• Спивак, Майкл (сентябрь 1994 г.), Исчисление (3-е изд.), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8
• Стюарт, Джеймс (24 декабря 2002 г.), Исчисление (5-е изд.), Брукс Коул, ISBN 978-0-534-39339-7
• Томпсон, Сильванус П. (8 сентября 1998 г.), Calculus Made Easy (пересмотренное, обновленное, расширенное издание), Нью-Йорк: издательство St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0

Интернет-книги [ править ]

• Кроуэлл, Бенджамин (2003), Расчет
• Гаррет, Пол (2004), Заметки по расчету за первый год
• Хуссейн, Фараз (2006), Понимание исчисления
• Кейслер, Х. Джером (2000), Элементарное исчисление: подход с использованием бесконечно малых
• Маух, Шон (2004), Несокращенная версия книги Шона по прикладной математике , заархивировано из оригинала 15 апреля 2006 г.
• Слаутер, Дэн (2000), Разностные уравнения к дифференциальным уравнениям
• Стрэнг, Гилберт (1991), Расчет
• Строян, Кейт Д. (1997), Краткое введение в исчисление бесконечно малых , заархивировано из оригинала 11 сентября 2005 г.
• Викиучебники, Исчисление

Внешние ссылки [ править ]

• Дискретная вторая производная от неравномерно расположенных точек