Правило частного

В исчислении , то правило фактора представляет собой способ нахождения производной из функции , которая представляет собой отношение двух дифференцируемых функций. ^{[1] [2] [3]} Пусть где и g, и h дифференцируемы, а правило частного утверждает, что производная f ( x ) равна${\ Displaystyle е (х) = г (х) / час (х),}$${\ Displaystyle ч (х) \ neq 0.}$

${\ displaystyle f '(x) = {\ frac {g' (x) h (x) -g (x) h '(x)} {[h (x)] ^ {2}}}.}.}$

Примеры [ править ]

1. Базовый пример:

   ${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d} {dx}} {\ frac {e ^ {x}} {x ^ {2}}} & = {\ frac {\ left ({\ frac { d} {dx}} e ^ {x} \ right) (x ^ {2}) - (e ^ {x}) \ left ({\ frac {d} {dx}} x ^ {2} \ right) } {(x ^ {2}) ^ {2}}} \\ & = {\ frac {(e ^ {x}) (x ^ {2}) - (e ^ {x}) (2x)} { x ^ {4}}} \\ & = {\ frac {e ^ {x} (x-2)} {x ^ {3}}}. \ end {выравнивается}}}$

2. Правило частного можно использовать для нахождения производной от следующего.${\ Displaystyle е (х) = \ загар х = {\ tfrac {\ грех х} {\ соз х}}}$

   ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\tan x&={\frac {d}{dx}}{\frac {\sin x}{\cos x}}\\&={\frac {\left({\frac {d}{dx}}\sin x\right)(\cos x)-(\sin x)\left({\frac {d}{dx}}\cos x\right)}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x.\end{aligned}}}$

Доказательства [ править ]

Доказательство на основе определения производной и предельных свойств [ править ]

Пусть Применение определения производной и свойств пределов дает следующее доказательство.${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)-f(x)}{k}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {{\frac {g(x+k)}{h(x+k)}}-{\frac {g(x)}{h(x)}}}{k}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {g(x+k)h(x)-g(x)h(x+k)}{k\cdot h(x)h(x+k)}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {g(x+k)h(x)-g(x)h(x+k)}{k}}\cdot \lim _{k\to 0}{\frac {1}{h(x)h(x+k)}}\\&=\left(\lim _{k\to 0}{\frac {g(x+k)h(x)-g(x)h(x)+g(x)h(x)-g(x)h(x+k)}{k}}\right)\cdot {\frac {1}{h(x)^{2}}}\\&=\left(\lim _{k\to 0}{\frac {g(x+k)h(x)-g(x)h(x)}{k}}-\lim _{k\to 0}{\frac {g(x)h(x+k)-g(x)h(x)}{k}}\right)\cdot {\frac {1}{h(x)^{2}}}\\&=\left(h(x)\lim _{k\to 0}{\frac {g(x+k)-g(x)}{k}}-g(x)\lim _{k\to 0}{\frac {h(x+k)-h(x)}{k}}\right)\cdot {\frac {1}{h(x)^{2}}}\\&={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}}.\end{aligned}}}$

Доказательство с использованием неявного дифференцирования [ править ]

Пусть так. Затем правило продукта дает Решение и обратная замена дает:${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}},}$${\displaystyle g(x)=f(x)h(x).}$${\displaystyle g'(x)=f'(x)h(x)+f(x)h'(x).}$${\displaystyle f'(x)}$${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&={\frac {g'(x)-f(x)h'(x)}{h(x)}}\\&={\frac {g'(x)-{\frac {g(x)}{h(x)}}\cdot h'(x)}{h(x)}}\\&={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}}.\end{aligned}}}$

Доказательство с использованием цепного правила [ править ]

Пусть Тогда правило произведения дает${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}=g(x)h(x)^{-1}.}$

${\displaystyle f'(x)=g'(x)h(x)^{-1}+g(x)\cdot {\frac {d}{dx}}(h(x)^{-1}).}$

Чтобы оценить производную во втором члене, примените правило мощности вместе с правилом цепочки :

${\displaystyle f'(x)=g'(x)h(x)^{-1}+g(x)\cdot (-1)h(x)^{-2}h'(x).}$

Наконец, перепишите как дроби и объедините члены, чтобы получить

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&={\frac {g'(x)}{h(x)}}-{\frac {g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}}\\&={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}}.\end{aligned}}}$

Формулы высшего порядка [ править ]

Неявное дифференцирование может использоваться для вычисления n- й производной частного (частично в терминах его первых n - 1 производных). Например, дважды дифференцируя (в результате ), а затем решая для доходности${\displaystyle fh=g}$${\displaystyle f''h+2f'h'+fh''=g''}$${\displaystyle f''}$

${\displaystyle f''=\left({\frac {g}{h}}\right)''={\frac {g''-2f'h'-fh''}{h}}.}$

Ссылки [ править ]